Module libre

Module libre
3 Propriétés générales
En algèbre, un module libre est un module M qui possède une base B, c'est-à-dire un sous-ensemble de M tel
que tout élément de M s’écrive de façon unique comme
combinaison linéaire (finie) d'éléments de B.
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• Si (Mi)i est une famille de modules libres sur A, alors
leur somme directe ⊕i Mi est libre sur A.
Supposons que M et N sont des modules libres sur A.
Définitions
• Leur produit tensoriel M ⊗ N est libre.
Une base de M est une partie B de M qui est à la fois :
• L'ensemble HomA(M, N) des applications Alinéaires, qui possède une structure naturelle de Amodule, est libre. En particulier, le dual HomA(M,
A) est libre.
• génératrice pour M, c'est-à-dire que tout élément de
M est combinaison linéaire d'éléments de B ;
• libre, c'est-à-dire que pour toutes familles finies
(ei)1≤i≤n d'éléments de B deux à deux distincts et
(ai)1≤i≤n d'éléments de l'anneau sous-jacent telles
que a1 e1 + ... + anen = 0, on a : a1 = ... = an = 0.
2
• Si C est une A-algèbre, alors M ⊗A C est libre sur
C.
• Sur un anneau principal, tout sous-module d'un module libre F est libre et de rang inférieur ou égal à
celui de F [1] .
Exemples et contre-exemple
• Tout module libre est projectif et plus généralement
plat. Ces dernières propriétés sont plus souples que
la liberté : par exemple, si 0 → M → N → L → 0
est une suite exacte de modules avec N et L libres,
cela n'implique pas en général que M est libre. En
revanche cette propriété est vraie pour les modules
projectifs et pour les modules plats.
• Étant donné un anneau A, l'exemple le plus immédiat de A-module libre est An . Réciproquement, tout
A-module libre de base à n éléments est isomorphe
à An .
• Tout groupe abélien admet une unique structure de
ℤ-module. Les groupes abéliens libres sont exactement les ℤ-modules libres.
4 Rang d'un module libre sur un
• Contrairement aux espaces vectoriels, cas particuanneau commutatif ou noethéliers des modules sur un corps, un module n'est pas
rien
toujours libre. Par exemple les ℤ-modules ℤ/2ℤ et
ℚ ne sont pas libres. En revanche, tout module est le
quotient d'un module libre.
Une question naturelle est de savoir si, comme pour les
espaces vectoriels, toutes les bases d'un module libre ont
• Un sous-module d'un module libre n'est en général même cardinal. La réponse est négative en général[2] ,
pas libre. Par exemple tout idéal (à gauche) de A est mais affirmative avec de faibles conditions supplémenun A-module (à gauche), mais il n'est libre que s’il taires sur l'anneau sous-jacent. Par exemple, il suffit que
est engendré par un seul élément.
l'anneau soit commutatif, ou alors noethérien, pour que
le résultat tienne ; on peut dans ce cas parler de la dimen• Le théorème de construction des bases partant d'une sion, également appelée rang, du module libre.
partie libre ou génératrice n'est pas valide pour les
Supposons dans ce qui suit A commutatif et non nul.
modules. Ainsi la partie {2,3} engendre ℤ en tant
que ℤ-module (car elle engendre 1 par 3 - 2 = 1).
• Le rang d'une somme directe s’additionne, celui d'un
En revanche, ni le singleton {2} ni {3} n'engendrent
produit tensoriel se multiplie, et reste inchangé par
ℤ seuls. De même la partie libre {2} ne peut pas se
extension des scalaires.
compléter en une base de ℤ.
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5 NOTES ET RÉFÉRENCES
• Si P est un idéal maximal de A, alors M/PM est un
espace vectoriel sur le corps A/P, de dimension égale
au rang de M.
• Si M → N est une application linéaire injective entre
deux modules libres avec N de rang fini, alors M est
de rang fini et inférieur ou égal à celui de N [3] .
• Si M → N est une application linéaire surjective
entre deux modules libres, alors le rang de M est
supérieur ou égal celui de N (en effet on a alors
une application linéaire surjective d'espaces vectoriels M/PM → N/PN).
• Si M → N est une application linéaire surjective
entre modules libres de même rang fini, alors c'est
un isomorphisme (son déterminant est inversible).
Les propriétés ci-dessus se traduisent également de la façon suivante : dans un module libre de rang α (fini ou
pas), toute partie génératrice est de cardinal supérieur ou
égal à α ; dans un module libre de rang fini n, toute partie
libre a au plus n éléments et toute partie génératrice à n
éléments est une base.
• Toute suite exacte courte 0 → M → N → L → 0 de
modules libres est scindée (puisque L est projectif)
et N est alors isomorphe à M ⊕ L, autrement dit : le
rang de N est la somme des rangs de M et de L. Cela
peut être vu comme la généralisation du théorème du
rang, lequel concerne les espaces vectoriels.
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Notes et références
[1] Ce théorème est démontré dans ce cours de Wikiversité
pour F de rang fini, et dans Serge Lang, Algèbre [détail
des éditions], appendice 2, §2 (en utilisant le lemme de
Zorn) pour F de rang quelconque. Le cas particulier d'un
module libre de rang fini sur un anneau euclidien est traité
dans l'article Théorème des facteurs invariants.
[2] Voir l'article Invariance de la dimension (en)
[3] (en) Tsit-Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings,
Springer, coll. « GTM » (no 189), 1999 (ISBN 978-0-38798428-5) en donne deux preuves, p. 14-16, la première
via un détour par les anneaux noethériens et la seconde,
plus élémentaire, via l'algèbre extérieure et extraite de N.
Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. III,
§ 7.9, prop. 12 p. 519.
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Texte
• Module libre Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Module_libre?oldid=126942028 Contributeurs : Touriste, Theon, Jobert, Vanina82,
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