Module libre

Module libre
En algèbre, un module libre est un module Mqui pos-
sède une base B, c'est-à-dire un sous-ensemble de Mtel
que tout élément de Ms’écrive de façon unique comme
combinaison linéaire (finie) d'éléments de B.
1 Définitions
Une base de Mest une partie Bde Mqui est à la fois :
•génératrice pour M, c'est-à-dire que tout élément de
Mest combinaison linéaire d'éléments de B;
•libre, c'est-à-dire que pour toutes familles finies
(ei)1≤i≤n d'éléments de Bdeux à deux distincts et
(ai)1≤i≤n d'éléments de l'anneau sous-jacent telles
que a1e1+ ... + anen =0, on a : a1= ... = an =0.
2 Exemples et contre-exemple
•Étant donné un anneau A, l'exemple le plus immé-
diat de A-module libre est An. Réciproquement, tout
A-module libre de base à néléments est isomorphe
àAn.
•Tout groupe abélien admet une unique structure de
ℤ-module. Les groupes abéliens libres sont exacte-
ment les ℤ-modules libres.
•Contrairement aux espaces vectoriels, cas particu-
liers des modules sur un corps, un module n'est pas
toujours libre. Par exemple les ℤ-modules ℤ/2ℤ et
ℚ ne sont pas libres. En revanche, tout module est le
quotient d'un module libre.
•Un sous-module d'un module libre n'est en général
pas libre. Par exemple tout idéal (à gauche) de Aest
un A-module (à gauche), mais il n'est libre que s’il
est engendré par un seul élément.
•Le théorème de construction des bases partant d'une
partie libre ou génératrice n'est pas valide pour les
modules. Ainsi la partie {2,3} engendre ℤ en tant
que ℤ-module (car elle engendre 1 par 3 - 2 = 1).
En revanche, ni le singleton {2} ni {3} n'engendrent
ℤ seuls. De même la partie libre {2} ne peut pas se
compléter en une base de ℤ.
3 Propriétés générales
•Si (Mi)iest une famille de modules libres sur A, alors
leur somme directe ⊕i Mi est libre sur A.
Supposons que Met Nsont des modules libres sur A.
•Leur produit tensoriel M⊗Nest libre.
•L'ensemble HomA(M,N) des applications A-
linéaires, qui possède une structure naturelle de A-
module, est libre. En particulier, le dual HomA(M,
A) est libre.
•Si Cest une A-algèbre, alors M⊗A C est libre sur
C.
•Sur un anneau principal, tout sous-module d'un mo-
dule libre Fest libre et de rang inférieur ou égal à
celui de F[1].
•Tout module libre est projectif et plus généralement
plat. Ces dernières propriétés sont plus souples que
la liberté : par exemple, si 0 → M→N→L→ 0
est une suite exacte de modules avec Net Llibres,
cela n'implique pas en général que Mest libre. En
revanche cette propriété est vraie pour les modules
projectifs et pour les modules plats.
4 Rang d'un module libre sur un
anneau commutatif ou noethé-
rien
Une question naturelle est de savoir si, comme pour les
espaces vectoriels, toutes les bases d'un module libre ont
même cardinal. La réponse est négative en général[2],
mais affirmative avec de faibles conditions supplémen-
taires sur l'anneau sous-jacent. Par exemple, il suffit que
l'anneau soit commutatif, ou alors noethérien, pour que
le résultat tienne ; on peut dans ce cas parler de la dimen-
sion, également appelée rang, du module libre.
Supposons dans ce qui suit Acommutatif et non nul.
•Le rang d'une somme directe s’additionne, celui d'un
produit tensoriel se multiplie, et reste inchangé par
extension des scalaires.
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25 NOTES ET RÉFÉRENCES
•Si Pest un idéal maximal de A, alors M/PM est un
espace vectoriel sur le corps A/P, de dimension égale
au rang de M.
•Si M→Nest une application linéaire injective entre
deux modules libres avec Nde rang fini, alors Mest
de rang fini et inférieur ou égal à celui de N[3].
•Si M→Nest une application linéaire surjective
entre deux modules libres, alors le rang de Mest
supérieur ou égal celui de N(en effet on a alors
une application linéaire surjective d'espaces vecto-
riels M/PM →N/PN).
•Si M→Nest une application linéaire surjective
entre modules libres de même rang fini, alors c'est
un isomorphisme (son déterminant est inversible).
Les propriétés ci-dessus se traduisent également de la fa-
çon suivante : dans un module libre de rang α (fini ou
pas), toute partie génératrice est de cardinal supérieur ou
égal à α ; dans un module libre de rang fini n, toute partie
libre a au plus néléments et toute partie génératrice à n
éléments est une base.
•Toute suite exacte courte 0 → M→N→L→ 0 de
modules libres est scindée (puisque Lest projectif)
et Nest alors isomorphe à M⊕L, autrement dit : le
rang de Nest la somme des rangs de Met de L. Cela
peut être vu comme la généralisation du théorème du
rang, lequel concerne les espaces vectoriels.
5 Notes et références
[1] Ce théorème est démontré dans ce cours de Wikiversité
pour Fde rang fini, et dans Serge Lang, Algèbre [détail
des éditions], appendice 2, §2 (en utilisant le lemme de
Zorn) pour Fde rang quelconque. Le cas particulier d'un
module libre de rang fini sur un anneau euclidien est traité
dans l'article Théorème des facteurs invariants.
[2] Voir l'article Invariance de la dimension (en)
[3] (en) Tsit-Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings,
Springer, coll. « GTM » (no189), 1999 (ISBN 978-0-387-
98428-5) en donne deux preuves, p. 14-16, la première
via un détour par les anneaux noethériens et la seconde,
plus élémentaire, via l'algèbre extérieure et extraite de N.
Bourbaki,Éléments de mathématique, Algèbre, chap. III,
§ 7.9, prop. 12 p. 519.
•Portail de l’algèbre

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