1. Ensembles de nombres

1. Ensembles de nombres
Entiers naturels
Définition : Un nombre entier naturel est un nombre entier positif.
Exemples : 0, 1, 2, 3, 4, …
Notation : L’ensemble des entiers naturels se note .
Remarque : Les entiers naturels ont d’abord été inventés pour compter les animaux ou les objets.
Entiers relatifs
Définition : Un nombre entier relatif est un nombre entier positif ou un nombre entier négatif.
Exemples : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Notation : L’ensemble des entiers relatifs se note .
Remarques :  Les entiers négatifs n’apparurent qu’au XVI e et XVII e siècles.
 Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs, mais tous les entiers relatifs ne sont pas des entiers naturels.
Nombres décimaux
Définition : Les nombres décimaux sont les nombres pouvant s’écrire sous la forme
entiers relatifs.
Exemples : 0,54
54
10
70 000
7
10
Notation : L’ensemble des nombres décimaux se note .
8
8
10 où
et
sont des
10
Remarques :  Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
 Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale (c’est-à-dire une fraction dont le
dénominateur est 10, 100, 1000, …).
 Tous les entiers relatifs sont des décimaux, mais tous les décimaux ne sont pas des entiers relatifs.
Nombres rationnels
Définition : Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient d’un
entier relatif par un entier relatif non nul.
Exemples : 0,54
8
Notation : L’ensemble des nombres rationnels se note ℚ.
Remarques :  Un rationnel a une infinité d’écritures (ex :
⋯
où
est un entier non nul).
 Le rationnel n’est égal ni au décimal 0,3, ni au décimal 0,333. Ces décimaux en sont des valeurs approchées.
 Tous les décimaux sont des nombres rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas des décimaux.
Nombres irrationnels
Définition : Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels.
Exemples : √2, √3, √5,
Notation : L’ensemble des nombres irrationnels se note ou \ℚ.
Nombres réels
Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou un nombre irrationnel.
Notation : L’ensemble des nombres réels se note .
Remarques :  Toutes les longueurs possibles forment avec leurs opposés l’ensemble des réels.
 Chaque nombre réel peut être considéré comme l’abscisse d’un point sur une droite graduée.
Inclusions des ensembles de nombres
2. Multiples et diviseurs
Définitions :
Soient et deux entiers naturels. S’il existe un entier naturel tel que
est un diviseur de ,
Exemple : 8
4
est divisible par ,
divise ,
, alors on dit que :
est multiple de .
32 donc 8 est un diviseur de 32, 8 divise 32, 32 est divisible par 8, et 32 est un multiple de 8.
3. Nombres premiers
Définition :
Un entier naturel premier est un entier naturel qui possède deux et seulement deux diviseurs, 1 et lui-même.
Exemples :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
Théorème de la décomposition en produit de facteurs premiers (admis) :
Tout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit de manière unique (à l’ordre près des facteurs) sous forme d’un produit
de nombres premiers.
Remarque : On appelle ce produit la décomposition en facteurs premiers.
Méthode 1 : On peut procéder de manière un peu empirique, en écrivant le nombre sous la forme d’un produit,
jusqu’à ce que tous les facteurs obtenus soient premiers.
Exemples : 20
900
4
15
5
2
60
2
3
5
5
2
2
5
3
5
2
60
3
5
3
20
2
3
5
Méthode 2 : On essaye les divisions par tous les nombres premiers depuis 2, jusqu’à l’obtention du quotient 1.
Exemple : Pour trouver la décomposition en facteurs premiers de 60, on divise d’abord 60 par 2, le quotient est
30. Puis on divise 30 par 2, le quotient est 15. Comme 15 n’est pas divisible par 2, on divise 15 par le nombre
premier suivant, soit 3. Le quotient est 5. Etc.
60 2 30 2 2 15 2 2 3 5 2
3 5
4. Fraction irréductible
Définition :
Une fraction est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre
que 1.
Méthode : On peut décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.
Exemple :