TP 13 : Algorithme de dichotomie Dans ce TP, nous allons découvrir l'algorithme de dichotomie. Cet algorithme permet de résoudre, de façon approchée, les équations de type f(x)=0. Partie A : Découverte de l'algorithme On considère la fonction f définie sur ℝ par f ( x )=x 3−3 x 2+1 . 1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f. 2. Justifier que l'équation f ( x )=0 admet une unique solution α dans l'intervalle [0,2]. 3. a) Calculer f (1) . Est-ce que α est situé dans l'intervalle [0,1] ou [1,2] ? Expliquer brièvement. b) Calculer f (0,5) , et en déduire un intervalle d'amplitude 0,5 dans lequel est situé α. Principe de l'algorithme de dichotomie Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b], avec f (a ) et f (b) de signes opposés. Nous allons chercher une solution approchée de l'équation f ( x )=0 par dichotomie. Cette méthode consiste à construire une suite d'intervalles imbriqués [a 0 , b0 ] ,[a 1 , b1 ] ,… contenant la solution, et dont l'amplitude tend vers 0. On la définit de la façon suivante : a 0=a , b0 =b Pour tout entier n, { a n +bn a n+b n si f (a n )× f ( )≤0 2 2 bn +1=bn a n+1= et { a n+1=a n a +b sinon. b n+1= n n 2 Remarque : La condition f (a n )× f ( a n+b n a +b )≤0 vérifie si les images de a n et n n sont de signes opposés. 2 2 Partie B : Application graphique de l'algorithme Sur la page suivante, on a représenté la fonction f sur l'intervalle [0,2]. Construire les cinq premiers intervalles obtenus par l'algorithme de dichotomie. [a0 , b0 ] = [a1 , b1 ] = [a2 , b2 ] = [a3 , b3 ] = [a4 , b4 ] = Partie C : Application de l'algorithme « à la main » Voici l'algorithme de dichotomie, écrit en langage naturel. 1 : Entrer A, B, E 2 : Tant que B−A>E faire A+B 2 4 : Si f ( A)× f (M )≤0 alors 3 : M prend la valeur 5: B prend la valeur M 6 : Sinon 7: A prend la valeur M 8 : FinSi 9 : FinTantQue 10 : Afficher A,B 1. Exécuter l'algorithme avec l'exemple de la partie A, et E=0,1. On complétera le tableau suivant, en indiquant les valeurs des variables A,B et M à chaque étape, et VRAI/FAUX aux résultats des tests. Etape 1 A 0 B 2 Test B−A>E M= Test 2 3 4 FAUX A+B 2 f ( A)× f (M )≤0 Indication : Pour accélérer les calculs, on pourra utiliser Scilab, en entrant la fonction 2. Expliquer le rôle de la variable E. 5 6 7 Partie D : Programmation de l'algorithme dans Scilab. 1. Programmer l'algorithme de dichotomie dans Scilab. On pourra simplement transcrire l'algorithme donné au début de la partie C, à la suite de définition de la fonction. −2 2. Donner des encadrements de la solution α d'amplitude 10 −4 10 , −8 et 10 . 3. a) Justifier (brièvement) que l'équation f(x)=0 admet deux autres solution β et γ dans ℝ . −4 b) Donner des encadrements de ces solutions d'amplitude 10 . Partie E : Exercices d'application. Exercice 1 Application directe de l'algorithme x Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x)=(2−x)e −1 . 1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction g. 2. En déduire le nombre de solutions de l'équation g ( x)=0 . −2 3. Donner un encadrement à 10 près de chacune de ces solutions. Exercice 2 Exercice avec prise d'initiatives. On considère l'équation ( E ): x ln( x)=1 . 1. Montrer que cette équation admet une unique solution α. 2. Donner une valeur approchée de α au centième près. Exercice 3 Exercice avec prise d'initiatives. 1. Déterminer, à l'aide de l'algorithme de dichotomie, un encadrement de √2 2. Déterminer, à l'aide de l'algorithme de dichotomie, un encadrement de 3 −8 d'amplitude 10 . 1 √ 2=2 3 d'amplitude 10−8 . Exercice 4 Démonstration de la convergence de cette méthode. On reprend les notations de l'encadré gris en début de TP. 1. Justifier que la suites (a n ) est croissante et que la suite (b n) est décroissante. 2. Justifier que 1 ∣ bn+1 – an +1 ∣= 2 ∣ bn−a n∣ puis démontrer que 3. Que peut-on dire des suites (a n ) et (b n) ∣ bn−a n∣= b−a . 2n ? 4. À partir de l'inégalité f (a n )× f (b n)≤0 , montrer que la limite α des suites (a n ) et (b n) vérifie f (α)=0 .[