TP 13 : Algorithme de dichotomie

TP 13 : Algorithme de dichotomie
Dans ce TP, nous allons découvrir l'algorithme de dichotomie.
Cet algorithme permet de résoudre, de façon approchée, les équations de type f(x)=0.
Partie A : Découverte de l'algorithme
On considère la fonction f définie sur
ℝ
par
f(x)=x3−3x2+1
.
1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f.
2. Justifier que l'équation
f(x)=0
admet une unique solution α dans l'intervalle [0,2].
3. a) Calculer
f(1)
. Est-ce que α est situé dans l'intervalle [0,1] ou [1,2] ? Expliquer brièvement.
b) Calculer
f(0,5)
, et en déduire un intervalle d'amplitude 0,5 dans lequel est situé α.
Principe de l'algorithme de dichotomie
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b], avec
f(a)
et
f(b)
de signes opposés.
Nous allons chercher une solution approchée de l'équation
f(x)=0
par dichotomie.
Cette méthode consiste à construire une suite d'intervalles imbriqués
[a0, b0],[a1, b1],…
contenant la
solution, et dont l'amplitude tend vers 0.
On la définit de la façon suivante :
a0=a
,
b0=b
Pour tout entier n,
{
an+1=an+bn
2
bn+1=bn
si
f(an)× f(an+bn
2)≤0
et
{
an+1=an
bn+1=an+bn
2
sinon.
Remarque :
La condition
f(an)× f(an+bn
2)≤0
vérifie si les images de
an
et
an+bn
2
sont de signes opposés.

Partie B : Application graphique de l'algorithme
Sur la page suivante, on a représenté la fonction f sur l'intervalle [0,2].
Construire les cinq premiers intervalles obtenus par l'algorithme de dichotomie.
[a0 , b0 ] =
[a1 , b1 ] =
[a2 , b2 ] =
[a3 , b3 ] =
[a4 , b4 ] =

Partie C : Application de l'algorithme « à la main »
Voici l'algorithme de dichotomie, écrit en langage naturel.
1 : Entrer A, B, E
2 : Tant que
B−A>E
faire
3 : M prend la valeur
A+B
2
4 : Si
f(A)× f(M)≤0
alors
5 : B prend la valeur M
6 : Sinon
7 : A prend la valeur M
8 : FinSi
9 : FinTantQue
10 : Afficher A,B
1. Exécuter l'algorithme avec l'exemple de la partie A, et E=0,1.
On complétera le tableau suivant, en indiquant les valeurs des variables A,B et M à chaque étape, et VRAI/FAUX aux
résultats des tests.
Etape 1 2 3 4 5 6 7
A 0
B 2
Test
B−A>E
FAUX
M=A+B
2
Test
f(A)× f(M)≤0
Indication : Pour accélérer les calculs, on pourra utiliser Scilab, en entrant la fonction
2. Expliquer le rôle de la variable E.

Partie D : Programmation de l'algorithme dans Scilab.
1. Programmer l'algorithme de dichotomie dans Scilab.
On pourra simplement transcrire l'algorithme donné au début de la partie C, à la suite de définition de la fonction.
2. Donner des encadrements de la solution α d'amplitude
10−2
,
10−4
et
10−8
.
3. a) Justifier (brièvement) que l'équation f(x)=0 admet deux autres solution β et γ dans
ℝ
.
b) Donner des encadrements de ces solutions d'amplitude
10−4
.
Partie E : Exercices d'application.
Exercice 1 Application directe de l'algorithme
Soit g la fonction définie sur
ℝ
par
g(x)=(2−x)ex−1
.
1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction g.
2. En déduire le nombre de solutions de l'équation
g(x)=0
.
3. Donner un encadrement à
10−2
près de chacune de ces solutions.
Exercice 2 Exercice avec prise d'initiatives.
On considère l'équation
(E):xln(x)=1
.
1. Montrer que cette équation admet une unique solution α.
2. Donner une valeur approchée de α au centième près.
Exercice 3 Exercice avec prise d'initiatives.
1. Déterminer, à l'aide de l'algorithme de dichotomie, un encadrement de
√
2
d'amplitude
10−8
.
2. Déterminer, à l'aide de l'algorithme de dichotomie, un encadrement de
3
√
2=2
1
3
d'amplitude
10−8
.
Exercice 4 Démonstration de la convergence de cette méthode.
On reprend les notations de l'encadré gris en début de TP.
1. Justifier que la suites
(an)
est croissante et que la suite
(bn)
est décroissante.
2. Justifier que
∣
bn+1– an+1
∣
=1
2
∣
bn−an
∣
puis démontrer que
∣
bn−an
∣
=b−a
2n
.
3. Que peut-on dire des suites
(an)
et
(bn)
?
4. À partir de l'inégalité
f(an)× f(bn)≤0
, montrer que la limite α des suites
(an)
et
(bn)
vérifie
f(α)=0
.[