TP 13 : Algorithme de dichotomie

TP 13 : Algorithme de dichotomie
Dans ce TP, nous allons découvrir l'algorithme de dichotomie.
Cet algorithme permet de résoudre, de façon approchée, les équations de type f(x)=0.
Partie A : Découverte de l'algorithme
On considère la fonction f définie sur ℝ par f ( x )=x 3−3 x 2+1 .
1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f.
2. Justifier que l'équation f ( x )=0 admet une unique solution α dans l'intervalle [0,2].
3. a) Calculer f (1) . Est-ce que α est situé dans l'intervalle [0,1] ou [1,2] ? Expliquer brièvement.
b) Calculer f (0,5) , et en déduire un intervalle d'amplitude 0,5 dans lequel est situé α.
Principe de l'algorithme de dichotomie
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b], avec f (a ) et f (b) de signes opposés.
Nous allons chercher une solution approchée de l'équation f ( x )=0 par dichotomie.
Cette méthode consiste à construire une suite d'intervalles imbriqués [a 0 , b0 ] ,[a 1 , b1 ] ,… contenant la
solution, et dont l'amplitude tend vers 0.
On la définit de la façon suivante :
a 0=a , b0 =b
Pour tout entier n,
{
a n +bn
a n+b n
si f (a n )× f (
)≤0
2
2
bn +1=bn
a n+1=
et
{
a n+1=a n
a +b sinon.
b n+1= n n
2
Remarque :
La condition f (a n )× f (
a n+b n
a +b
)≤0 vérifie si les images de a n et n n sont de signes opposés.
2
2
Partie B : Application graphique de l'algorithme
Sur la page suivante, on a représenté la fonction f sur l'intervalle [0,2].
Construire les cinq premiers intervalles obtenus par l'algorithme de dichotomie.
[a0 , b0 ] =
[a1 , b1 ] =
[a2 , b2 ] =
[a3 , b3 ] =
[a4 , b4 ] =
Partie C : Application de l'algorithme « à la main »
Voici l'algorithme de dichotomie, écrit en langage naturel.
1 : Entrer A, B, E
2 : Tant que B−A>E faire
A+B
2
4 : Si f ( A)× f (M )≤0 alors
3 : M prend la valeur
5:
B prend la valeur M
6 : Sinon
7:
A prend la valeur M
8 : FinSi
9 : FinTantQue
10 : Afficher A,B
1. Exécuter l'algorithme avec l'exemple de la partie A, et E=0,1.
On complétera le tableau suivant, en indiquant les valeurs des variables A,B et M à chaque étape, et VRAI/FAUX aux
résultats des tests.
Etape
1
A
0
B
2
Test B−A>E
M=
Test
2
3
4
FAUX
A+B
2
f ( A)× f (M )≤0
Indication : Pour accélérer les calculs, on pourra utiliser Scilab, en entrant la fonction
2. Expliquer le rôle de la variable E.
5
6
7
Partie D : Programmation de l'algorithme dans Scilab.
1. Programmer l'algorithme de dichotomie dans Scilab.
On pourra simplement transcrire l'algorithme donné au début de la partie C, à la suite de définition de la fonction.
−2
2. Donner des encadrements de la solution α d'amplitude 10
−4
10
,
−8
et 10
.
3. a) Justifier (brièvement) que l'équation f(x)=0 admet deux autres solution β et γ dans ℝ .
−4
b) Donner des encadrements de ces solutions d'amplitude 10
.
Partie E : Exercices d'application.
Exercice 1 Application directe de l'algorithme
x
Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x)=(2−x)e −1 .
1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction g.
2. En déduire le nombre de solutions de l'équation g ( x)=0 .
−2
3. Donner un encadrement à 10
près de chacune de ces solutions.
Exercice 2 Exercice avec prise d'initiatives.
On considère l'équation ( E ): x ln( x)=1 .
1. Montrer que cette équation admet une unique solution α.
2. Donner une valeur approchée de α au centième près.
Exercice 3 Exercice avec prise d'initiatives.
1. Déterminer, à l'aide de l'algorithme de dichotomie, un encadrement de
√2
2. Déterminer, à l'aide de l'algorithme de dichotomie, un encadrement de
3
−8
d'amplitude 10
.
1
√ 2=2 3 d'amplitude 10−8 .
Exercice 4 Démonstration de la convergence de cette méthode.
On reprend les notations de l'encadré gris en début de TP.
1. Justifier que la suites (a n ) est croissante et que la suite (b n) est décroissante.
2. Justifier que
1
∣ bn+1 – an +1 ∣= 2 ∣ bn−a n∣
puis démontrer que
3. Que peut-on dire des suites (a n ) et (b n)
∣ bn−a n∣=
b−a
.
2n
?
4. À partir de l'inégalité f (a n )× f (b n)≤0 , montrer que la limite α des suites (a n ) et (b n) vérifie
f (α)=0 .[