Trous noirs de Chern-Simons à trois dimensions

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE FERHAT ABBAS–SETIF1 (ALGERIE)
THESE
Présentée à la Faculté des Sciences
Département de Physique
Pour l’Obtention du Diplôme de
DOCTORAT EN SCIENCES
Option : Physique Théorique
Présentée par
GUENNOUNE HAKIM
THEME
Trous noirs de Chern-Simons à trois dimensions
Soutenue Publiquement le : .
Devant la commission d’examen :
Pr. H. HACHEMI Président Professeur Université Ferhat Abbas Sétif
Pr. K. AIT MOUSSA Rapporteur Professeur Université Constantine
Pr. N. BELALOUI Examinateur Professeur Université Constantine
Pr. T. BOUDJEDAA Examinateur Professeur Université Jijel
Pr. K. NOUICER Examinateur Professeur Université Jijel
Pr. S. HOUAMER Examinateur Professeur Université Ferhat Abbas Sétif
Pr. G.CLEMENT Invité Directeur de Recherche C.N.R.S

Table des matières
1 Introduction 6
2 Trous noirs 10
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Diagrammes de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Thermodynamique des trous noirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons 21
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Electrodynamique et gravitation topologiquement massive . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Equations réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Trous noirs de Chern-Simons 26
4.1 Solutions trous noirs de TMGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Structure globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Masse, moment angulaire et thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Symétries .......................................... 48
4.4.1 Vecteurs de Killings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.2 Générer des trous noirs du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique 52
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 L’action ........................................... 53
5.3 Les équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1

TABLE DES MATIÈRES 2
5.4 Métrique et champ dilatonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.1 Expression du champ dilatonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.2 Métrique des solution trous noirs de la théorie TME dilatonique . . . . . . . 59
5.5 Structure globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.1 Régularité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.2 Diagrammes de penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6 Masse, moment angulaire et thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Conclusion Générale 68
A Relativité Générale 70
B Vecteur et équation de Killing 74

Table des …gures
2.1 Diagramme de Penrose pour l’espace-temps de Minkowski représenté par le losange
et la ligne r= 0:...................................... 16
2.2 Diagramme de Penrose de la solution (2.3) représentant l’extention analytique maxi-
male de l’espace-temps de Schwarzschild. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1 Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas où 0< 2<1,!2>
2
0=(1 2)et ! > 0. Il est similaire au diagramme de Penrose du trou noir de
Reissner-Nordström. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas 0< 2<1; ! > 0et 0= 0,
ainsi que dans le cas 2= 1; ! > p2uet u > 0. C’est deux cas ont un diagramme
similaire à celui du trou noir extrême de Reissner-Nordström. . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas 0< 2<1et !2< 2
0=(12)
similaire à celui du trou noir de Kerr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Diagramme de Penrose de la solution(4.34) déduite de la solution (4.17) dans le cas
exceptionnel !=0=(1 2)avec 0< 2<1. Ce diagramme est similaire au trou
noir de Schwarzschild de la …gure 2.2 mais avec une singularité =0. . . . . . . . 40
4.5 Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans la cas 2= 1; !2<2uet 0= 0.
Il est similaire au diagramme de Penrose du trou noir de Kerr extrême. . . . . . . . 40
4.6 Diagramme de Penrose de la solution (4.17), dans le cas exceptionnel 2= 1; u = 0
et ! > 0. La singularité de genre lumière = 0 et représentée par une double ligne
inclinée de 45:....................................... 41
4.7 Diagramme de Penrose de la solution (4.24), dans le cas 2= 0 et ! > =2. Ce
diagramme est similaire à celui donnée par la métrique de Rindler. . . . . . . . . . . 42
3

TABLE DES FIGURES 4
5.1 Les deux morceaux composant le diagramme de Penrose de la structure conforme de
la solution de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 Diagramme de Penrose de la solution (5.50) dans le cas 1q < 0ou, qui est
similaire au diagramme de Penrose de la solution de Schwarzschild. . . . . . . . . . 65