TRANSISTOR MOS Approches imagées des propriétés des

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TRANSISTOR
MOS
Approches imagées des propriétés
des transistors MOS
Représentation Qψ
http://perso.orange.fr/physique.belledonne/
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TRANSISTOR
MOS
Approches imagées des propriétés
des transistors MOS
Représentation Qψ
http://perso.orange.fr/physique.belledonne/
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nD
r
+a
i
+n
0
V
G
75
Sommaire
TRANSISTOR MOS................................................................................................................ 77
Présentation .......................................................................................................................... 77
Courant du TMOS avec U=RI et Q=CV.............................................................................. 79
Calcul de base................................................................................................................... 79
Prise en compte de la tension seuil................................................................................... 81
Prise en compte de la tension de drain dans la charge. .................................................... 83
Courant élémentaire ......................................................................................................... 83
Signification de cette relation.......................................................................................... 83
Effet de la vitesse limite. .................................................................................................. 85
Pincement du canal et courant associé. ............................................................................ 85
Courant du TMOS exhaustif …et illustrations .................................................................... 87
Adaptation du graphe Qψ................................................................................................. 87
Relation générale.............................................................................................................. 93
Courant en inversion forte sur toute la longueur du canal ............................................... 95
Pincement du canal et courant associé. ............................................................................ 97
Courant de saturation pour VD>VDSAT .............................................................................. 99
Evolution en fonction de VG (transconductance).............................................................. 99
Régime sous le seuil (VG<VT) ........................................................................................ 101
Effet de la polarisation du substrat ..................................................................................... 105
Modifications de la représentation Qψ........................................................................... 105
Conséquences physiques de la polarisation substrat ...................................................... 107
Résumé ............................................................................................................................... 109
Annexe TMOS: Conduction d'une distribution de porteurs............................................... 111
Annexe TMOS : Conduction : Gauss, Ohm et vitesse limite. Diffusion / Conduction ..... 113
Gauss, Ohm et vitesse limite. Balistique........................................................................ 113
Diffusion / Conduction................................................................................................... 115
Relation toujours valable................................................................................................ 115
Synthèse diffusion/conduction : quasi niveaux de Fermi............................................... 117
Annexe TMOS: Champ et potentiel le long du canal. ....................................................... 119
Annexe TMOS: approximation charge de zone désertée constante................................... 121
Annexe TMOS: Courant dans une diode ........................................................................... 123
76
Transistor MOS
VG
GRILLE
VD
0
SOURCE
n++
n++
p
n++
DRAIN
Drain
SUBSTRAT
0
TMOS et Bipolaire:
principe de conduction
TMOS et Bipolaire: barrière de potentiel
p
Etat bloqué
n
Transistor MOS
n
Transistor bipolaire
Etat passant
Abaissement du
potentiel en surface,
par grille + isolant
Tension appliquée
directement au matériau p
77
TRANSISTOR MOS
Présentation
Le transistor MOS (TMOS) est essentiellement une structure MOS (cf. Chapitre Structure MOS) sur laquelle
deux contacts latéraux, appelés source et drain, ont été intégrés (cf. fig. Transistor MOS). Ils sont généralement
constitués d’un SC très dopé, de dopage opposé à celui du substrat. Le dispositif est parfaitement symétrique,
source et drain peuvent être permutés. Pour faciliter le raisonnement, le substrat sera supposé de type p, comme
dans l’étude de la structure MOS.
L’effet transistor consiste à contrôler le courant source drain par une tension sur la grille.
Pour l’instant, les tensions appliquées sont :
0 sur source et substrat
VG sur la grille
VD sur le drain.
La tension VG peut être quelconque, par contre la tension drain VD doit toujours maintenir la diode drain/substrat
en inverse (donc ici VD>0)
En l’absence de tension grille :
- la diode source-substrat est non polarisée, donc aucun courant ne la traverse
- le courant inverse de la diode drain-substrat (pour l’expression du courant de diode, cf annexe Courant
dans une diode) est très faible.
Il ne passe donc quasiment aucun courant . Le transistor est bloqué.
Comme nous l’avons vu dans l’étude de la structure MOS une tension grille VG suffisante, ici positive, va
peupler d’électrons l’interface SC-oxyde.
Sans rentrer dans les détails, nous avons alors deux zones peuplées d’électrons la source et le drain reliées par un
canal rempli d’électrons : les électrons circulent, le transistor est passant.
Ce type de transistor se nomme transistor MOS canal n (électrons dans le canal), ou transistor NMOS. Ce n’est
donc pas le type du substrat dans lequel passe le canal qui fixe le nom, mais le type des porteurs qui circulent
dans le canal.
Les noms source et drain proviennent du fait que les électrons vont de la source vers le drain (en empruntant le
canal !). Il en serait de même dans un MOS canal p, où VD serait <0, et où les trous iraient aussi de la source vers
le drain. Par contre le courant conventionnel va bien de la source vers le drain dans le TMOS p, mais en sens
contraire dans le TMOS n.
NB :
1/ Le principe de fonctionnement est différent de celui du transistor bipolaire: la figure
TMOS et Bipolaire compare les principes de ces deux grandes familles de transistors.
78
TMOS: éléments géométriques et tensions
VG
L
W
eox
GRILLE
VD
0
y
e
n++
n++
n+
DRAIN
Drai
+n
SUBSTRAT
SOURCE
type p
0
0
z
variable y
L
x
79
2/ Le mot canal est entendu ici au sens dépression, puits de potentiel énergétique dans lequel
des porteurs libres sont éventuellement présents. Ce canal est descendu (électrostatiquement)
au niveau des réservoirs d’électrons source et drain, nous en reparlerons plus loin.
3/ Ce canal se remplit "instantanément" à partir des drains et source, ce qui explique la
rapidité de commutation des transistors, alors que la formation de la couche d’inversion
d’une structure MOS peut prendre plusieurs jours !
Avertissement (cf. Chapitre structure MOS)
Dans toutes les équations qui suivent,
pour tenir compte des charges dans l’oxyde
et de la différence des travaux de sortie
il suffit de remplacer
VG par VG-VFB
Il y a plusieurs manières d'établir les caractéristiques des transistors MOS. Nous en proposons deux, une très
simplifiée, mais qui malgré tout donne la relation classiquement utilisée, et une seconde plus complète, qui,
basée sur le graphe
A
QSC
(ψ S ) (cf. Chapitre MOS), permet de visualiser l’effet de tous les paramètres, qu’ils
soient technologiques ou électriques.
Courant du TMOS avec U=RI et Q=CV
Nous allons établir la relation la plus élémentaire possible que nous complèterons ensuite
Le transistor peut se réduire à un condensateur dont l’isolant est un oxyde et dont la plaque inférieure ne possède
comme porteurs libres que les électrons issus de la plaque supérieure Une différence de potentiel est appliquée
aux extrémités de la "plaque" inférieure, qui est donc parcourue par un courant.
Les signes sont ignorés : on se souviendra seulement que le courant conventionnel se déplace des potentiels
élevés vers les potentiels plus faibles.
Calcul de base
(cf. fig. Grille oxyde et canal)
Cette plaque inférieure est soumise, entre les 2 faces distantes de L, à une différence de potentiel VD.
La loi d’ohm s’applique :
I=
VD
R
avec,
L
L
=ρ
et ,
Surface
We
1
ρ=
qµn n
où n est le nombre de porteurs par unité de volume, supposé constant pour simplifier.
R=ρ
80
Grille Oxyde et Canal
eox
VG
e
L
W
VD
81
Ces 3 relation rassemblées conduisent à :
W
VD (qne)
L
où q.n.e représente la charge par unité de surface de la plaque considérée (C/m2). La simplification d’une
I = µn
concentration volumique n=constante n'a donc aucune importance, c'est la charge par unité de surface qui
compte, quelle que soit sa répartition. Nous allons la calculer simplement.
Entre la grille et la couche conductrice du SC, la relation
Q = CV
s’applique aussi, avec
LW
eox
LW
Q = ε ox
VG
eox
C = ε ox
donc
La charge par unité de surface s'écrit
ε
Q
= ox VG
L.W eox
et par conséquent
qne =
ε ox
eox
VG
En reportant cette charge surfacique dans l’expression du courant, il vient :
I = µn
W ε ox
VGVD
L eox
Cette relation contient déjà les propriétés essentielles du TMOS. En particulier, les effets de la géométrie et de
l’oxyde sont parfaitement pris en compte. On retrouve la particularité très intéressante du TMOS, qui est qu’une
réduction simultanée de la longueur L et de la largeur W ne change pas le courant, car W/L reste constant, alors
que sa surface W.L, donc la surface occupée dans les circuits diminue (divisée par quatre pour un facteur 2 sur L
et W).
Prise en compte de la tension seuil.
La conclusion de l’étude de la structure MOS (cf. Chapitre MOS) est que la charge par unité de surface de
porteurs libres n’est pas :
ε ox
eox
VG
mais :
ε ox
eox
(VG − VT )
Où VT rend compte de la charge de la zone désertée. Donc le courant doit s’écrire :
I = µn
W ε ox
(VG − VT )VD
L eox
avec (cf. Chapitre MOS)
VT = 2ψ b (1 + 2
ε sc eox
)
ε ox lmax
82
Charge: effet tension drain
VG
Différence VG-VD
Différence VG
VD
En moyenne la différence de tension aux bornes
de cette capacité un peu particulière est:
VG – VD/2
Le courant et les tensions du TMOS canal n
I=0
e-
ee-
n++
SOURCE
eSUBSTRAT
e-
n++
n++
p
VD +
DRAIN
Drain
e-
I=0
e-
VG +
e-
e-
e-
I
-
-
83
Prise en compte de la tension de drain dans la charge.
(cf. fig. Charge: effet tension drain)
A gauche, coté source, la différence de tension aux bornes du "condensateur" est
VG − 0 = VG
A droite elle est égale à
VG − VD
Il semble donc raisonnable de remplacer VG par
VG-VD/2
tension moyenne aux bornes du "condensateur".
NB : Compte tenu de VT, nous venons donc d’écrire que les |charges surfaciques| sont
exprimées par :
ε ox
eox
(VG − VT )
côté source
ε ox
(VG − VT − VD )
côté drain
eox
Ceci sera important pour discuter du comportement du courant, cf. plus loin le pincement et
la saturation.
Courant élémentaire
Pour terminer, nous mettrons un signe moins, car le courant conventionnel va du drain à la source, et le sens
positif (y croissant) est généralement pris de la source vers le drain, sens de déplacement des porteurs.
I = − µn
W ε ox
V
(VG − VT − D ) VD
L eox
2
I élémentaire / approximation
Nous avons donc très simplement obtenu la relation la plus couramment employée pour les caractéristiques du
TMOS.
Le comportement I(VD) est curieux, puisqu’il est parabolique. Nous verrons plus loin, lors de l’étude du
pincement du canal, que seule une partie de la parabole a une réalité physique.
Un substrat type p requerrait un signe + : toutes les tensions seraient négatives, et I positif.
Signification de cette relation
L’expression du courant se lit mieux en la réécrivant
 ε
V  V 
I = W ox (VG − VT − D )   µ n D 
2 
L
 eox
Le premier terme est proportionnel à la charge transportée, et le second est simplement la vitesse du transport
puisque VD/L est le champ électrique moyen dans la direction du déplacement des porteurs libres (voir annexe
Champ et potentiel le long du canal).
Une autre expression, classique dans les études de transports consiste à l’écrire sous la forme I
=
Q
:
t
84
Pincement du canal et saturation
VG
Régime ohmique
VD<VDSAT
0
Pincement
VG
La largeur "représente"
la charge par unité de surface
VD=VDSAT
0
Ici, moi l’électron,
je suis collecté par le drain
grâce au champ électrique
puisque VD (arrivée) > VDSAT (départ)
Transistor
classique
saturé
L
Régime Saturé
VG
Le cas VD>VDSAT est strictement identique au cas VD=VDSAT
Il suffit de remplacer L par L’
VD>VDSAT
0
Le potentiel V mentionné est à une constante près
égal au quasi niveau de Fermi.
Il est fixé par les connexions à 0 dans la source et VD dans le drain
L’
Ici, le potentiel V
c’est VDSAT
Courant et concentration
+VG
0
+VD
Au point de pincement, et plus loin, il est difficile d’imaginer un courant sans charges!
En fait il faut respecter l’équation toujours valable
J=qnv
De la source au point de pincement, la concentration de porteurs diminue, et pour compenser, leur vitesse augmente.
Au point de pincement, leur vitesse est proche de la vitesse limite (~100km/s),
qu’ils conservent ensuite dans le champ accélérateur, entre le point de pincement et le drain.
Donc la concentration de porteurs n’est pas nulle, mais respecte:
J = q n vlim
Il serait trop compliqué de prendre cet effet en compte dans les expressions analytiques.
85
LW
I =
ε ox
(VG − VT −
eox
L /( µnVD L)
VD
)
2
Où le numérateur représente la charge totale des porteurs dans le canal, et
L /( µnVD L) le temps de transit qui varie donc comme L2 .
NB : le calcul général du temps de transit s’obtient à partir de la relation locale
soit le mode de transport. En supposant une surface traversée S(y):
J = qnv , valable quel que
Q porteurs
qn(dVolume )
dy
qn( y )dy
qn( y ) S ( y )dy
dQ
=∫
=∫
=∫
=∫
I = Cte => t =
I
v
J ( y)
S ( y) J ( y)
I
I
Ce qui est somme toutes assez évident : penser à un écoulement de fluide dans un tuyau de
section variable… et faire un dessin !
t=∫
Troisième point de vue, qui rejoint la signification réelle du mot "transistor": résistance variable. En effet, le
courant I résulte d’une tension VD appliquée à une résistance dont la valeur est modulée par VG , et un peu par VD
il est vrai. Cette résistance s’écrit :
R=
VD
1
=
W ε ox
V
I
µn
(VG − VT − D )
L eox
2
Effet de la vitesse limite.
Lorsque VD/L atteint des valeurs de plusieurs volts/µm, les porteurs atteignent leur vitesse limite vlim (de l’ordre
de 100km/s), et le terme µVD/L doit être remplacé par vlim
La caractéristique se simplifie alors sous la forme :
 ε
V 
I = W ox (VG − VT − D )  [ vlim ]
2 
 eox
Pincement du canal et courant associé.
Lorsque la tension VD croît, ou lorsque VG décroît, il existe une valeur pour laquelle il n’existe plus de charge
dans le canal côté drain. C’est le classique pincement du canal, cf. Fig. Pincement du canal et saturation.
Souvenons nous que nous avions écrit, dans le paragraphe prise en compte de la tension drain, que la charge du
côté du canal était égale à :
ε ox
(VG − VT − VD )
eox
Elle est donc nulle (cf. fig. Courant et concentration) lorsque VD = VG − VT . La tension VD
correspondante est dénommée VDSAT. Donc :
VDSAT = VG − VT
Cette valeur a une signification particulière ; lorsqu’on examine l’expression du courant |I|(VG), c’est une
parabole concavité tournée vers le bas, et la dérivée du courant
∂I
W ε ox
V
V
W ε ox
[(VG − VT − D ) − D ] = µn
[VG − VT − VD ]
∂VD
L eox
2
2
L eox
s’annule justement (voir figure Conductance) pour : VD = VG − VT
= µn
86
Conductance
Régime ohmique
Régime saturé
W εox
V
(VG −VT − D )VD
L eox
2
1 Wε
I = µn ox (VG −VT )2
2 L' eox
I = µn
|I |
Diminution L’
avec VD
Ici, dérivée nulle
de la parabole
du régime ohmique
VD
VG - VT
Exemple
Na=1023m-3
ε0=8,8510-12F/m
Données
T=300K (kT/q=25,85mV)
εr(SiO2)=3,9 εr(Si)=11,7
ni=1016m-3
kT N a
=0,417V
ψb =
ln
q
ni
lmax
Calculs physiques
2ε SC ( 2ψ b )
=
= 1040Å
qN a
eox=50Å
µ n=0,05m2/V/s
VT = 2ψ b ( 1 + 2
ε SC eox
) =1,074V
ε ox lmax
Courant pour un transistor tel que W/L=1 et VG = 3V
VD = 0,1V
VD = VDSAT = VG - VT = 1,926V
W ε ox
VD
1
W ε ox
I = µn
(VG − VT −
)VD = 65µA
I = µn
(VG − VT )2 = 640µA
L eox
2
2
L eox
Transconductance
Régime saturé
1 Wε
I = µn ox (VG −VT )2
2 L' eox
|I |
Transistor
bloqué
Diminution de la mobilité
liée au fort champ électrique
transversal qui induit
des chocs avec la surface
Régime ohmique
I = Idiffusion
I = µn
(sous − le − seuil)
W εox
V
(VG −VT − D )VD
L eox
2
( faible)
VT
VT+VD
VT+VD/2
VG
87
Et le courant vaut alors :
1
I SAT = µ n
2
W ε ox
(VG − VT ) 2
L eox
Que se passe-t-il si on augmente encore la tension drain ?
Le point de pincement, initialement à la limite du drain va se déplacer vers la source. (cf. Fig. Pincement du
canal et saturation). Pour bien comprendre, imaginer que VDSAT vaut 3V : si on applique 3V sur le drain, le
point de pincement est à la limite du drain, mais si on applique 5V, il est naturel de penser que le point de tension
3V se rapproche de la source, qui est à 0V.
Il faut alors distinguer deux zones:
- de la source au point de pincement, nous avons à faire à un transistor ordinaire pincé.
- du point de pincement au drain, les électrons sont soumis à un champ accélérateur positif car VD>VDSAT, et ils
sont collectés par le drain, comme le sont les porteurs par le collecter d’un transistor bipolaire, et cette région
n’intervient pas dans le calcul du courant. C’est un peu comme une cascade d’eau dont le débit est indépendant
du niveau du bas de la chute.
Conclusion : on retrouve entre la source et le point de saturation un transistor pincé, dont le courant est donné par
l’expression ci-dessus, mais avec une longueur L’ plus courte.
1
I > SAT = µn
2
W ε ox
(VG − VT ) 2
L' eox
Le courant augmente donc un peu avec VD. L’effet est d’autant plus sensible que le transistor est court. La
détermination de L’ sort du cadre de cet exposé.
Les figures Conductance (I(VD)) et Transconductance (I(VG)) résument le comportement du courant lors de
l’application des tensions. La transconductance n’est pas évidente à comprendre et sera beaucoup plus facile à
percevoir lors de l’étude exhaustive.
On notera que la droite du régime ohmique coupe l'axe des tensions non pas en VT, mais en VT + VD 2 .
Les conductance et transconductance proprement dites sont les dérivées de ces courbes.
Courant du TMOS exhaustif …et illustrations
Cette deuxième approche est l’approche classique, avec bien sûr des graphes inédits qui justifient ce document.
Elle conduira à une caractéristique I(V) du transistor dont un développement limité nous ramènera à l’équation
que nous venons d’établir:
I = − µn
W ε ox
V
(VG − VT − D )VD
L eox
2
Adaptation du graphe Qψ
ψ
La question est : comment compléter le graphe Qψ pour faire "apparaître" le transistor.
Pour éviter des considérations de quasi niveau de Fermi, pas toujours faciles à manipuler et peu parlantes, il faut
absolument se plonger dans les figures à 3 dimensions (3D) qui ont été proposées par GROVE (épuisé) et SZE.
Elles représentent le potentiel des bandes de valence et de conduction en fonction de la position dans le
composant. Cette position est repérée par les coordonnées y (direction drain source) et x (profondeur dans le
matériau).
88
Côté source
substrat
= lmax
x
y
source
z
canal
x
y
Vbi=
Ψs ~ 2 Ψb
Faible différence de potentiel Ψs,
=> les électrons peuplent le canal
à partir de la source
Ψ
CONCLUSION
D’après figure A. S. GROVE . Physics and Technology of Semiconductor Devices. Wiley. New York. 1967 (épuisé)
NB: cette figure met bien en évidence la différence entre la tension appliquée (ici nulle ),
et la différence de potentiel électrostatique (ici Vbi)
89
Côté drain
x
drain
y
z
VD
VD
x
Ψs ~ VD + 2 Ψ b
Pas d’électrons dans le canal car
états énergétiques trop élevés
par rapport au drain.
Idem cas (b) fig. côté source
Faible différence de potentiel Ψ s,
=> les électrons peuplent le canal
à partir du drain
y
Ψ
CONCLUSION
(…un canal s’est pendu …Le plat pays, Jacques BREL)
D’après figure A. S. GROVE . Physics and Technology of Semiconductor Devices. Wiley. New York. 1967 (épuisé)
90
De la source au drain
VD faible
VG = 0
VD faible
VG > V T
y
S
Ψs
2Ψ b
2Ψ b+V D
D
Imaginer un torrent
D’après figure S. M .SZE. Physics of Semiconductor Devices. Wiley. New York 1981
VD élevé
VG > V T + ?
91
Les conclusions sont les suivantes :
Côté source
(cf. fig. Côté source)
Côté source, la polarisation source-substrat est nulle (zéro partout), et la répartition des charges QASC(ψs) n’est
pas affectée par la présence de la source. Si le substrat est mis en état d’inversion (VG supérieur à VT), les
électrons peuvent facilement passer de la bande de conduction de la source dans la bande de conduction en
surface du substrat ; en effet, les états énergétiques de la source et du canal sont sensiblement au même niveau.
Ceci est parfaitement visible sur les dessins 3D, et le petit calcul suivant permet de préciser ces niveaux :
par rapport au niveau de la bande de conduction du substrat p, la bande de conduction de la source est plus
basse ; cette différence est la barrière habituelle de la diode soit, si la source est non dégénérée :
ψ BC .Source −ψ BC .Substrat =
kT  N a N d 
ln 

q  ni 2 
Le potentiel de surface du canal quant à lui et égal à
ψ BC .Canal −ψ BC .Substrat = 2
2ψ b soit :
kT  N a  kT  N a2 
ln 
ln 
=

q  ni  q  ni 2 
Donc :
ψ BC . Source − ψ BC .Canal =
kT  N d 
ln 

q  Na 
Cette quantité est positive, mais faible, et comme de plus
ψ BC .Canal est supérieur à 2ψ b
en forte inversion (cf.
annexe MOS: Tension seuil), on peut en conclure que les états énergétiques du canal pour les électrons sont
vraiment à un niveau très proche, voire en dessous de ceux de la source.
Côté drain
(cf. fig. Côté drain et fig. De la Source au Drain)
Côté drain il n’en est pas de même : le niveau de la bande de conduction du drain est modifié de -qVD (énergie
diminuée). Si la grille est maintenue à une valeur proche de VT, les états énergétiques disponibles dans le canal
sont inchangés, et ils sont donc à une "hauteur" +qVD par rapport à la bande de conduction du drain (voir le cas
(b) de la fig. côté drain). Il est certain que les électrons, qui ont le choix entre le drain et le canal, resteront
forcément dans le drain dont les états énergétiques sont beaucoup plus favorables.
Conclusion, il n’y a pas d’électrons dans le canal côté drain.
Que faut-il faire pour qu’il existe ? Il faut bien évidemment "descendre" le canal au niveau du drain. Il faut donc
augmenter le potentiel de surface (du canal) côté drain d’une quantité VD.
La condition d’inversion n’est plus
ψ s = 2ψ b
mais
ψ s = 2ψ b + VD
92
Graphe QΨ appliqué au TMOS
QAsc
2Ψb
-[2ε
sc q N
a
2Ψb+VD
ψs
Ψ ] 1/2
s
Inversion
côté source
VG
εox/eox
Inversion
côté drain
Conditions locales d’inversion
QAsc
Potentiel de surface local
ψs=2ψb+V
2Ψb+0
-[2ε
sc qN
a
Charge locale
d’inversion
Qinv(Ψs)
2Ψb+VD
VG
ψs
Ψ ] 1/2
s
εox/eox
93
Si nous revenons sur le graphe Qψ, la solution est donc simple (cf. fig. Graphe QΨ
Ψ appliqué au TMOS) :
Côté source :
la verticale de l’inversion est inchangée
ψ s = 2ψ b
Côté drain,
la verticale se situe en
ψ s = 2ψ b + VD
Il faut donc aussi prolonger la courbe de désertion jusqu’à
ψ s = 2ψ b + VD . La zone désertée est effectivement
plus grande, ce qui est bien représenté sur les fig. 3D "Côté drain".
NB : ceci est la traduction du fait que les distributions d’électrons sont gérées par le potentiel
de la zone de type n la plus proche. La physique traduirait ceci en invoquant un quasi-niveau
de Fermi des électrons fixé d’un côté par la source et de l’autre par le drain.
Par contre, il ne faut absolument pas modifier la droite
A
QSC
=
ε ox
eox
(ψ s − VG )
En effet, elle est toujours valable, car elle a été obtenue par des considérations strictement électrostatiques
concernant uniquement le métal et de l’oxyde.
Il est donc possible, côté source et drain de connaître la charge dans le canal. Ceci n’est pas suffisant pour
calculer le courant, il faut connaître la charge sur toute la longueur du canal. En fait ceci ne pose pas de
difficulté, il suffit de se référer à la figure Conditions Locales d'inversion: en chaque point, donc pour chaque
tension ψs comprise entre 2ψb et 2Ψb+VD, la charge de porteurs libres est la charge qui est comprise entre la
droite Qψ et la charge en racine carrée de la zone désertée.
Relation générale
L’hypothèse qui est classiquement faite, et qui est tout à fait vérifiée, est qu’en inversion forte, le courant est un
courant de conduction.
Ceci se comprend très bien en observant la figure De la source au drain. Le canal présente une pente dont la
valeur
−
dψ s
est le champ électrique local qui entraîne les porteurs.
dy
Le calcul du courant s’effectue à partir de la loi d’ohm locale (cf. Annexe TMOS: Conduction d'une
distribution de porteurs):
I = µn W Qinv ( y )
dψ s
dy
qui n’est autre que la loi d’ohm
I = µn
W
VD (qne)
L
établie précédemment (cf. calcul de base), où qne est
remplacé par la charge par unité de surface Qinv(y), et où le |champ moyen| VD/L devient le champ électrique local
dψ s
.
dy
94
Courant du TMOS par QΨ
QAsc
2Ψb
-[2ε
sc q N
a
2Ψb+VD
VG
ψs
Ψ ] 1/2
s
εox/eox
AQ ψ
I = µn
Courant du TMOS canal p
I = µp W
L
AQψ
W
AQψ
L
Le courant et les tensions du TMOS canal p
A
QSC
Recombinaison
électrons-trous
VD
I=0
e-
eε ox
eox
AQψ
p++
ψs
VG
e-
SOURCE
t+
SUBSTRAT
t+
t+
n
p++
n++
VD -
DRAIN
Drain
e-
I=0
2Ψb
e-
e-
VG -
e-
I
+
+
95
Le calcul consistera donc à intégrer le long du canal (cf. fig. Conditions locales d'inversion)
I dy = µ nWQinv ( y ) dψ s
en prenant comme variables y et ψs, sachant que Qinv(y) peut tout aussi bien s’écrire Qinv(ψs).
L’intégration devient, en supposant une mobilité constante le long du canal, et compte tenu que le courant I est
nécessairement constant :
I
∫
drain
source
dy = µnW ∫
drain
source
Qinv (ψ S ) dψ S
Courant en inversion forte sur toute la longueur du canal
Visualisation Qψ
ψ
L’intégration à gauche est évidente ( =
I . L ) et à droite la valeur de l’intégrale de Qinv dψ S est tout simplement
représentée sur la fig. Qψ par la surface comprise entre les 2 verticales source et drain, la droite Qψ et la racine
carrée de la zone désertée.
Le courant du transistor est donc proportionnel à cette aire AQψ :
I = µn
W
AQψ
L
Sans aucun calcul, il est donc possible de visualiser l’influence de tous les paramètres, notamment les tensions de
grille VG et de drain VD. Remarque : AQψ s’exprime en Joule/m2.
NB : ici la surface est négative, donc I l’est aussi, ce qui est exact pour un TMOS canal n.
Calcul analytique
Pour effectuer le calcul analytique, les bornes d’intégration pour ψ sont naturellement 2ψb et 2ψb+VD . Nous
prendrons le signe des charges en considération ; cela a relativement peu d’importance, il faut seulement bien
veiller à soustraire la charge de la zone désertée à la charge totale, toutes deux négatives ici.
ε

Qinv = −  ox (VG −ψ s ) − 2 ⋅ ε sc ⋅ q ⋅ N a ⋅ψ s 
 eox

L
2ψ b +VD  ε
ox
I ∫ dy = µnW ∫
(ψ s − VG ) + 2ε sc qN aψ s

0
2ψ b
 eox

 dψ S

Le calcul est sans difficulté et conduit à :
I = − µn
W ε ox 
V
 VG − 2ψ b − D
L eox 
2
Ou encore en utilisant lmax :
3
3 
2 2ε sc qN a 


2 − ( 2ψ ) 2 
V
−
V
+
2
ψ
(
)
 D

b
b
 D
3 ε ox eox 



W ε ox 
VD
I = − µn
 VG − 2ψ b −

2
L eox 

3


4 ε sc eox
VD  2 
2 

( 2ψ b ) 1 +
 − 1
 VD −
3 ε ox lmax

 2ψ b 



[I exhaustif]
Sous cette forme, le TMOS canal p nécessite simplement un changement de signe du courant (et bien penser que
ψb<0).
96
Charge d’inversion et tension drain
QAsc
2Ψb+VDsat
2Ψ b
-[2ε
sc qN
a
Ψ ] 1/2
s
ψs
VG
εox/eox
Q inv
Q inv=0 VD=VDSAT
VG fixé
VD augmente
VD<VDsat
Tension VDSAT exacte
QAsc
2Ψb+VDsat
- [ 2ε q
sc N Ψ 1/2
a s]
VG
εox/eox
ψs
97
Cette relation est peu employée. Un développement limité au premier ordre de la quantité
3

VD  2
3 VD
1 +
 ~1+
2 2ψ b
 2ψ b 
dont il est évident que le résultat peut-être assez faux si VD est supérieur à 2Ψb, conduit à :
I = − µn
ε e
W ε ox 
V 
⋅ VG − 2ψ b (1 + 2 sc ox ) − D  VD
L eox 
2
ε ox lmax
Ce qui est très exactement la relation très rapidement établie dans le calcul élémentaire.
I = − µn
W ε ox
V
(VG − VT − D )VD
L eox
2
Avec
VT = 2ψ b (1 + 2
ε sc eox
)
ε ox lmax
expression que nous avions démontrée dans l’étude de la structure MOS.
Rappelons qu’à partir de cette relation simplifiée, I(VG) est une droite, et I(VD) une parabole dont nous avons vu
que seule la partie ascendante a une signification.
Il est à noter, que ce développement limité revient à bloquer la charge de la zone désertée à sa valeur du coté de
la source, ce qui équivaut sur la figure Qψ, non pas à prolonger la racine carrée entre la source et le drain, mais à
tracer une horizontale QZD=Cte.= −
2ε sc qN a (2ψ b ) . Cf. Annexe TMOS : approximation charge de zone
désertée constante.
NB :
1/ Bien que ce régime soit baptisé ohmique, car dérivé de la loi d’ohm, le courant ne varie
pas linéairement avec la tension appliquée VD, à cause de la raréfaction des électrons côté
drain créée par la polarisation VD. A noter que du fait que la conduction se déroule en
surface, la mobilité des porteurs libres est environ 3 fois plus faible qu’en volume.
2/ Bien évidemment la vitesse limite à aussi son mot à dire, généralement prise en compte
par une mobilité effective, décroissante avec la tension VD.
Pincement du canal et courant associé.
Lorsque la tension VD croît, ou lorsque VG décroît, il existe une valeur pour laquelle il n’existe plus de charge
dans le canal côté drain. C’est le classique pincement du canal (cf. fig. Charge d'inversion et tension drain vue
précédemment).
La figure Tension VDSAT exacte permet de visualiser, et calculer, la valeur de VD appelée VDSAT. Cette tension
VDSAT doit respecter :
2ε sc qN a [2ψ b + VDsat ]
ε ox eox
NB : Pour l’interprétation physique, 2ψ b + VDsat représente la variation de potentiel dans la zone désertée,
VG = [ 2ψ b + VDsat ] +
tandis que
2ε sc qN a [2ψ b + VDsat ] représente la charge de la zone désertée côté drain, qui divisée par
ε ox donne le champ dans l’oxyde, qu’il reste à multiplier par ε ox pour obtenir la différence de potentiel dans
l’oxyde.
98
Courant du TMOS : saturation
QAsc
2Ψb+VDsat
2 Ψb
-[2ε
εox/eox
ψs
VG
s c qN
a
Ψs ] 1/2
La courant
ne varie pas
La surface
ne varie pas
VG fixé
VD augmente
Séquences de transconductance
QAsc
Apparition
couche inversion
côté source
VG : Bloqué
Aucune inversion
2Ψ b
VD fixé
VG augmente
VG : Saturé
Inversion partielle
2Ψ b+VD
Apparition
couche inversion
côté drain
= Pincement
VG : Ohmique
Inversion totale
ψs
99
Si VG est fixé, la détermination de VDSAT requiert une équation du second degré (il est plus commode de se
donner VDSAT et de calculer VG ).
Il suffirait de porter cette valeur de VDSAT dans l’expression du courant [I exhaustif] pour connaître le courant
correspondant.
En fait on utilise le plus souvent l’approximation qui résulte de l’étude élémentaire et qui rappelons-le conduit à.
VDSAT = VG − VT et donc, pour le courant de saturation, à ;
1 W ε ox
I SAT = µ n
(VG − VT ) 2
2
L eox
L'annexe TMOS : approximation charge de zone désertée constante montre que cette approximation revient
à supposer la charge de zone désertée égale à celle côte source sur toute la longueur du transistor.
Courant de saturation pour VD>VDSAT
Sur la courbe QΨ (cf. fig. Courant du TMOS: Saturation), dès que VD dépasse VDsat, l’aire AQψ ne varie plus,
donc dans l’intégration de
I dy = µ nWQinv ( y ) dψ s
l’intégrale du terme de droite
∫Q
inv
.dψ S reste constante.
Ceci ne veut pas dire que le courant ne varie pas car si l’intégration sur y part toujours de la source, elle s’arrête à
l’endroit où le canal est pincé, avant le drain (retourner à la Fig. Pincement du canal et saturation)
Il ne varie donc finalement avec la tension drain VD que par l’intermédiaire de L ' , comme dans l’analyse
élémentaire que nous avions faite : le terme de gauche vaut I .L' .
Evolution en fonction de VG (transconductance)
La même étude peut être faite en bloquant VD et en modifiant VG. La figure séquences de transconductance
présente le comportement correspondant du TMOS.
Le comportement du courant en fonction de VG se comprend très bien :
- si VG<VT, la surface AQψ est nulle. Il n’y a pas de courant de conduction (seul un faible courant de
-
diffusion, courant sous le seuil, est présent).
pour des tensions juste en dessus de la tension seuil VT, le régime est dit saturé. La surface AQψ se
-
réduit à un pseudo triangle, dont les dimensions sont proportionnelles à VG-VT, et le courant varie donc
de manière quadratique : retourner éventuellement sur la figure transconductance.
pour des tensions VG telles que le transistor possède une inversion sur toute la longueur, la surface AQψ
augmente linéairement avec VG.
Ce qui est curieux avec la tension grille, c’est que le courant passe de zéro (ou presque, cf. paragraphe suivant),
au régime saturé, puis seulement au régime ohmique.
100
TMOS sous le seuil
QAsc
ψs
2Ψ b+VD
2Ψ b
VG
ψs
[2 ε q
sc N Ψ 1
a
] /2
s
εox/eox
Conclusion:
Ψs = Cte
Fenêtre d’énergie
(distribution de Boltzmann)
n(Ψ)
n0
0
Propriété bien connue,
l’intégrale est égale
à la surface du rectangle
hauteur*sous-tangente
n0 exp(qΨ/kT)
Ceci est équivalent
à une distribution constante
n0 exp(qΨs/kT)
sur un intervalle de potentiel
kT/q (ou d’énergie kT)
Il est commode de parler
d’une fenêtre d’énergie kT
kT/q
Ψs
Ψ
∫
ψS
−∞
n0 exp(qΨs/kT)
n0 exp(
qψ
qψ
kT
)dψ =[n0 exp( S )][ ]
kT
kT
q
Vu la rapide décroissance de l’exponentielle, intégrer
à partir de zéro ou de moins l’infini ne change pratiquement rien.
101
Régime sous le seuil (VG<VT)
Il est clair (cf. fig. TMOS sous le seuil) que lorsque VG<VT, quelle que soit la polarisation drain, il y a un, et un
seul, point d’intersection de la droite
A
QSC
= ( ε ox eox )(ψ S − VG ) avec la courbe Qsc(ψs). Le potentiel ψs est
donc constant, de la source jusqu’au drain, fixé par VG.
La profondeur ψs du canal ψ S est donc constante, il n’existe aucun champ électrique ( dψ s
dy = 0 ). Ceci
correspond au cas (b) de la figure Côté drain (figure3D)
Par conséquent, si un courant existe, ce ne peut être qu’un courant de diffusion.
Le calcul se fait en 2 temps : nous allons tout d’abord établir la surface traversée par les porteurs, puis la densité
de courant.
Surface traversée :
Les porteurs se raréfient très rapidement à partir de la surface suivant une loi en exp(-énergie/kT), calculons la
densité surfacique N de porteurs, en appelant n0 la concentration dans le substrat neutre :
qψ
)dx qui, avec un champ sensiblement constant près de la surface ( Es ), devient :
kT
1 ψS
qψ
N=
n0 exp( )dψ
∫
Es 0
kT
∞
N = ∫ n0 exp(
0
L’intégrale (voir figure Fenêtre d’énergie) est équivalente à des charges en concentration constante (celle de la
surface) rassemblées sur une hauteur kT/q : le physicien parle d’une fenêtre d’énergie kT:
∫
ψs
0
≈∫
ψs
−∞
= [n0 exp(
qψ s
)][kT / q ]
kT
Ce potentiel kT/q correspond à une distance dans la profondeur du solide LS telle que :
LS =
Le
kT q
Es
champ
Cf. fig. Canal sous le seuil
électrique ES
A
Ds = QSC
= 2ε sc qN aψ s
se
calcule facilement
à
partir
de
la
valeur
de
D
en
surface :
(cf. Théorème de Gauss 1D, Chapitre MOS). D’où :
Es = 2ε sc qN aψ s ε sc
Le courant passe donc sur une surface Sdiff. produit de la largeur W du transistor par Ls :
S diff . = W
kT q
2ε sc qN aψ s ε sc
NB :
Cette surface a été obtenue de manière classique, sans tenir compte de la mécanique
quantique qui ne tolèrerait pas un maximum de concentration au pied d’un mur de potentiel
(celui de l’oxyde). En fait les calculs qui couplent les équations de Poisson et de Schrödinger,
conduisent à une distribution d’électrons différente (cf. annexe MOS Couche d'inversion:
effets quantiques), mais ceci affecte peu le courant.
Le point important est que Sdiff. est constant puisque ψs est constant.
D’autre part, le courant I est obligatoirement conservatif tout le long du canal.
Conclusion : puisque I=J Sdiff., la densité de courant J est constante
102
Canal sous le seuil
Pente =
champ en surface Es
Es
x
Ψs
Ψ
...
x
.
Parabole de la zone désertée,
peu affectée par les
électrons libres,
de charge négligeable
par rapport aux dopants
Ψs
...
kT/q
Ls
Ls=(kT/q)/Es
Ψ
Ls est la profondeur du canal suivant x,
l’épaisseur physique de silicium
sur laquelle se déplacent les électrons
Le canal peut être considéré comme rempli d’électrons
en concentration constante, égale à celle de surface
Concentration le long du canal (sous le seuil)
0
L
Ψs=Cte
=> pas de
conduction
Pas de polarisation
source =>
idem structure MOS
n(0) = n0 exp(qΨs/kT)
y
Raréfaction des électrons
imposée par le drain
(cf. atmosphère)
n(L) = n0 exp(qΨs/kT) exp(-qVD/kT)
Source
Ψs
VD
Différence de
concentrations =>
courant de diffusion
Drain
103
Densité de courant J
Utilisons alors la relation classique du courant de diffusion
J = qDn
dn
dy
J dy = qDn dn
qui s’écrit aussi :
Nous avons montré que J est constant. Donc en intégrant de la source au drain :
J L = qDn (ndrain − nsource )
Mais de quelle concentration parlons nous ? Conformément au modèle de la fenêtre d’énergie, que nous venons
de voir, nous n’avons à évaluer que les concentrations de surface. Il nous faut donc maintenant mener une
discussion sur les concentrations, semblable à celle de l’évaluation du potentiel de surface en inversion forte (cf.
fig. Concentration le long du canal).
• Côté source, il n’y a aucune différence de potentiel appliquée entre la source et le substrat, et la
concentration d’électrons en surface est égale à la concentration d’équilibre dans le SC type p (cf.
Chapitre MOS),
n0 = ni2 N A = N Ae
−2 qψ b
kT
multipliée par l’exponentielle de la répartition énergétique
des porteurs exp(-énergie/kT) où l’énergie est égale à - qψs :
nsource = ( N A
•
−2 qψ b
e kT
)e
+ qψ s
kT
Côté drain le canal est à la même hauteur que côté source (puisque ψs est constant), mais à proximité il
y a le drain, réservoir d’électrons qui présente une énergie qVD plus basse. Ceci contribue à raréfier
exponentiellement les électrons dans le canal (loi de l’atmosphère locale, gérée par le drain) d’où :
ndrain = nsource e
− qVD
kT
D’où finalement :
J =−
1
qDn N a e
L
q (ψ s − 2ψ b )
kT
(1 − e
− qVD
kT
)
Courant I
En tenant compte de la relation d’Einstein
I = − µn
W
L
 kT 


 q 
2
ε sc qN a
e
2ψ s
Dn = (kT q ) µ n , et de la surface traversée :
q (ψ s −2ψ b )
kT
(1 − e
− qVD
kT
)
Relation qui est exactement celle établie classiquement par d’autres voies.
Quelques remarques sur ce courant de diffusion :
1/ I est effectivement négatif, en sens inverse des électrons qui circulent bien évidemment de la source vers le
drain, polarisé positivement. Il serait positif pour un TMOS canal p.
2/ Comme le courant ohmique, il dépend du rapport W/L, et n’est donc pas affecté par une réduction simultanée
des 2 dimensions.
3/ Il ne dépend plus de VD à partir du moment où VD est supérieur à qq. kT/q. En effet, dans la différence nsource –
ndrain, à partir du moment où ndrain<< nsource, la valeur de ndrain ne joue plus aucun rôle. Rappelons nous l’image
de la chute d’eau que nous avions utilisée pour le courant ohmique lorsque VD>VDSAT
104
Courant sous le seuil: ΨS
solution mathématique indésirable
ε ox
QAsc
eox
(ψ S − VG )
C’est elle
2Ψb
VG
Ψs
-[2εscqNaΨs’]1/2
ε ox
eox
(ψ S − VG ) = − 2ε SC qN Aψ S
Conduit à une équation du second degré
La solution physiquement raisonnable exige
ψ s < VG
(Vrai en valeur absolue pour matériau type n)
Polarisation substrat
VG
VD
0
Vsub
Qψ?
transposition
QAsc
2Ψb+VD -Vsub
2Ψb-Vsub
VG-Vsub
0
transposition
inverse
VG
sc qN Ψ 1/2
a ′s ]
Vsub
εox/eox
QAsc
Vsub
2Ψb 2Ψb+VD
VD
0
Ψ′s
-[2ε
VD-Vsub
-Vsub
VG -Vsub
VG
Vsub=0
-[2ε
sc qN (Ψ
a s -V
]
sub ) 1/2
εox/eox
Ψs
105
qψ s
4/ Il dépend essentiellement de ψs par l’exponentielle e kT En se reportant au Chapitre MOS, fig. Ψs(VG) on se
rend facilement compte que ψs varie de manière sensiblement linéaire avec VG : il varie un peu moins vite, à
cause du pont diviseur de tension constitué par la capacité de l’oxyde de grille et celle de la zone désertée, qui est
variable (cf. Chapitre Capacité MOS). Malgré tout, sur un petit domaine de variation de la tension grille VG, le
courant varie exponentiellement avec VG.
Il est évident sur la figure et pour tout électricien (même sans figure) que plus l’oxyde de grille est mince, plus
ψs est proche de VG et suit donc d’autant mieux ses variations. A la limite, pour une diode Schottky, ψs = VG.
Effet de la polarisation du substrat
Par convention, c’est la source qui sert habituellement de référence de potentiel (Vsource=0). Il est évidemment
possible de polariser le substrat. De façon à ne pas générer de courant indésirable, une seule polarisation est
utilisée, celle qui laisse les jonctions substrat-source et substrat-drain en inverse, soit une tension Vsub négative
pour un substrat de type p.
Avertissement
Cet effet n’est du tout pas trivial, car il est exactement opposé à celui que l’on obtiendrait en
polarisant négativement le substrat d’une structure MOS (sans source ni drain) de type p.
Pour fixer les idées, prenons une telle structure MOS, et appliquons une tension positive
VG>VT, qui assure la création d’une couche d’inversion. Remplacer la tension nulle du
substrat par une tension négative revient à augmenter la différence de potentiel entre le métal
et le SC, donc à augmenter la charge d’inversion. Nous allons voir que dans les mêmes
conditions, pour un transistor MOS, la charge d’inversion diminue !
Modifications de la représentation Qψ
Sur la figure nous nous trouvons dans une configuration inhabituelle, le substrat ayant toujours été considéré
comme potentiel de référence. Par contre nous savons traiter le cas où un potentiel est appliqué sur le drain, et la
source joue un rôle tout à fait semblable à celui du drain. Pour retrouver notre configuration habituelle, nous
pouvons donc transposer le problème (cf. fig. Polarisation substrat) et ramener le potentiel du substrat à la
valeur zéro en retranchant à toutes les connexions, ainsi qu’au potentiel de surface une valeur
Vsub (cf. figure).
Nous obtenons alors un schéma Qssc(ψ’s) où ψ’s =ψs-Vsub sur lequel :
• les courbes d’accumulation et de désertion correspondent au cas habituel d’une structure MOS dont le
potentiel du substrat est à zéro
• nous retrouvons exactement nos discussions précédentes sur le positionnement des verticales
d’inversion, en ψ’s =2Ψb+0-Vsub côté source, et en ψ’s =2Ψb+VD-Vsub côté drain.
Toutefois, il n’est pas très commode de raisonner avec toutes les tensions décalées. Il est plus intéressant
d'opérer
la
transposition
inverse
(cf.
fig.
Polarisation
substrat).
106
Effet de la polarisation substrat
Qssc
Vsub (<0)
2 Ψb
2Ψb+VD
VG
Ψs
Vsub=0
-[2ε
sc qN (Ψ
A s -V
εox/eox
]
sub ) 1/2
Diminution
de la surface,
donc du courant
avec Vsub
Polarisation substrat: charges
Qssc
Vsub
2Ψ b
2Ψ b+VD
VG
Vsub=0
Charge locale zone désertée
Charge locale d’inversion
εox/eox
Charge locale totale:
indépendante de Vsub
Ψs
107
Sur la figure Effet de la polarisation substrat la conclusion est parfaitement claire : l'application de la tension
substrat augmente la charge de la zone désertée du substrat et diminue la charge d’inversion, donc le courant.
Il est inutile de réécrire toutes les relations. La figure effet de la polarisation substrat permet de visualiser, et
calculer si nécessaire, les nouvelles caractéristiques. En fait, dans toute relation impliquant la charge de la zone
désertée, il faudra ajouter Vsub. à ψ s . D’où, finalement


3
3 

W ε ox 
V 
2 2ε sc qN a 

 VG − 2ψ b − D VD −
I = − µn
VD + 2ψ b + Vsub. ) 2 − ( 2ψ b + Vsub. ) 2 
(

ε ox
L eox 
2 
3




eox
Tous les régimes de fonctionnement du transistor sont modifiés et en particulier la tension
seuil est augmentée (en valeur absolue bien sûr pour les substrats type n !).
Conséquences physiques de la polarisation substrat
Mentionnons la possibilité physique très intéressante fournie par Vsub : en régime d’inversion, il est possible de
changer la charge, donc la concentration des porteurs dans le canal, sans modifier le champ électrique local de
surface, en modifiant simplement Vsub. En effet :
VG étant fixé, lorsque Vsub varie, la charge totale QAsc ne varie pas, (voir figure Polarisation substrat: Charges)
donc il n’y a pas de modification du champ en surface du SC (th de Gauss 1D). Par contre, la charge de la zone
désertée augmente lors de l’application de Vsub et par conséquent la charge dans le canal diminue. Ce
changement de charge s’effectue donc effectivement sans modification du champ en surface.
Une autre conséquence, tout à fait visible sur la figure, est que le potentiel de surface ψs ne varie pas avec Vsub.
Physiquement, ceci s’explique aisément car, en inversion, le canal garni de porteurs constitue un excellent
conducteur dont le potentiel est fixé aux extrémités par les potentiels de source et drain : son potentiel n’a donc
aucune raison de varier avec le potentiel du substrat. En fait la structure peut alors être considérée verticalement
comme deux composants en série :
- une capacité d’oxyde dont les charges sont fixées par les tensions appliquées sur la grille et l’ensemble
source drain
- une diode Schottky dont la zone désertée est gérée par la tension source-drain et la polarisation substrat.
Cette remarque nous conforte dans l’idée que le champ en surface du SC ne varie pas avec Vsub car si ψs n’est pas
fonction de Vsub, le champ électrique dans l’oxyde
Eox =
VG −ψ s
eox
est lui aussi constant ainsi que le champ en surface du SC du fait de la continuité du vecteur D :
ε ox Eox = ε SC ESC −int erface
108
RESUME: TMOS et Q Ψ
effet de tous les paramètres physiques et électriques
QAsc
Vsub
2Ψb
-[2ε
2Ψb+VD
VG
ψs
Vsub=0
sc q N (
a
Ψs -V
su b )
] 1 /2
AQ ψ
εox/eox
W
I = µn L
A Qψ
109
NB : Ici encore nous nous rendons compte que la gestion des concentrations des porteurs est
bien opérée par les matériaux du type correspondant (ce qui correspond à la notion de quasi
niveaux de Fermi):
- la tension drain, type n, modifie l’emplacement de la verticale d’inversion des électrons
- la tension de substrat, type p, modifie le courbe d’accumulation des trous et la profondeur
de la zone désertée (désertion du matériau par des trous)
Résumé
La figure RESUME: TMOS et QΨ rassemble l’ensemble des conclusions de cette étude.
Cette présentation graphique ne sous-entend évidemment pas une approche qualitative : elle contient en
substance les équations. En exploitant le graphe Qψ pour intégrer Qinv dψ S , le courant s’écrit bien :

W ε ox 
V
 VG − 2ψ b − D
I = − µn
L eox 
2

L’utilité du graphe Qψ est double :
•
•
2 2ε sc qN a 

(VD + 2ψ b + Vsub. ) − ( 2ψ b + Vsub. )
VD −
ε ox
3


eox
3
2
3
2





il visualise très facilement l’impact des paramètres physiques et électriques sur le comportement d’une
structure MOS ou d’un TMOS, plus facilement en tous cas que la relation ci-dessus. De surcroît, il
donne la ou les raisons physiques de l’influence des paramètres.
d’autre part il permet d'évaluer la pertinence des approximations très couramment opérées qui
conduisent, sans polarisation substrat, à :
I = − µn
W ε ox 
VD 
 VG − VT −  VD
L eox 
2 
Il suffit pour cela de supposer que, de la source au drain, la charge de la zone désertée est constante.
110
Distribution à deux dimensions: conduction
Courant I
w
Ψ y
x
x+dx
Ψ+dΨ y+dy
dI
n(x,y)
x
y
111
Annexe TMOS: Conduction d'une distribution de porteurs
(cf. fig. Distribution à deux dimensions: conduction)
La loi d'ohm appliquée à la tranche
dψ =
où
ρ
ρ=
ρ dy
W dx
W dx dy conduit à:
dI
s'écrit:
1
q µ ( x, y ) n ( x , y )
Pour retrouver tout le courant, il faut intégrer sur toute la profondeur du matériau:
∞
I
W dψ ∫ µ ( x, y ) q n( x, y ).dx = dy ∫ dI = I dy
0
0
Sans hypothèse supplémentaire, il est impossible d'aller plus loin. Il est commode de supposer une mobilité
constante (ou de définir une mobilité efficace µ ( y )
∫
µ ( y) =
∞
0
µ ( x, y ) n( x, y ) dx
∫
∞
0
n( x, y ) dx
d'où:
∞
q W µ ( y )dψ ∫ n( x, y ) dx = I dy
0
L'intégrale représente le nombre de porteurs par unité de surface "vue de dessus" (cf. NB), et multipliée par
elle représente exactement la charge par unité de surface (toujours vue de dessus).
∫
∞
0
q n( x, y ) dx = Q A ( y )
Donc finalement:
W µ ( y ) Q A ( y )dψ = I dy
Cette relation est suffisante pour nos applications.
Dans certains cas il est commode de définir une résistance élémentaire entre
dR =
y et y + dy par:
dψ
dy
=
I
W µ ( y) Q A ( y)
NB: Le nombre total de charges comprises entre
∞
∞
0
0
y et y + dy est donné par l'intégrale sur x :
dN tot = ∫ n( x, y ) [W dy ] dx = W dy ∫ n( x, y ) dx
et donc le nombre de charges par unité de surface "vue de dessus" (direction x) est bien:
∞
dN tot
= ∫ n( x, y ) dx
0
W dy
q,
112
Conduction: Gauss, Ohm et vitesse limite
j
y
l
ψa
113
Annexe TMOS : Conduction : Gauss, Ohm et vitesse limite.
Diffusion / Conduction
Gauss, Ohm et vitesse limite. Balistique
Il faut toujours faire attention à respecter le théorème de Gauss, même dans un simple problème de conduction.
Il se traduit à 1 dimension par :
dD = ρ dy soit si ε est constant dE = ρ dy ε (avec toujours E = − dψ dx )
Nous donnons ici l’expression de densité de courant dans plusieurs cas de figures. Nous décomposons tout
d’abord la charge d’espace en deux parties distinctes : les donneurs et les porteurs libres
ρ = q ( N D+ − n )
et nous allons considérer les deux cas classiques
N D+ = n
matériau neutre (SC neutre, métaux en général)
+
D
N << n
forte injection (SC)
Puis nous allons calculer la densité de courant de conduction d’électrons dans les deux cas typiques :
Loi d’ohm
j = qnµ E
j = qnVlim
Vitesse limite
Pour simplifier, nous négligerons les signes et les constantes d’intégration.
j = qnµ E
+
D
N =n
ρ =0
dE dy = 0
E = Cte
E =ψ a l
ρ = qn
j = qnVlim
+
D
+
D
N << n
N =n
dE = [ qn ε ] dy
dE = [ qn ε ] dy
EdE = [ j / µε ] dy
E = [ ( j Vlim ) ε ] y
dE = [ ( j µ E ) ε ] dy
dE = [ ( j Vlim ) ε ] dy
E 2 2 = [ j µε ] y
E = [ 2 j µε ]
1
2
y
1
ψ = [ ( j Vlim ) ε ] y 2 2
2
ψ = [ 2 j µε ] 2 2 3 y
1
qnµψ a
j=
l
Loi d’Ohm
N D+ << n
ρ = qn
3
2
9 µεψ a2
j=
8 l3
Limité par charge d’espace
j = qnVlim
j=2
ε Vlimψ a
l2
114
Diffusion et Conduction
électrons
trous
kT
dn
µn )
q
dy
kT
dp
J diff . = −q(
µp )
q
dy
J diff . = q(
y+dy
ψ
ψ+dψ
n
n+dn
J cond . = qp µ p E y
Diffusion + conduction = 0
(courant nul)
Diffusion / conduction
y
J cond . = qnµ n E y
kT
dn
µ n ) + qnµn E y = 0
q
dy
dψ
et
Ey = −
dy
q(
y
⇒
dn
Diffusion
= n
dψ
Conduction
kT q
kT
dn − ndψ = 0
q
qψ
⇒
n ∝ e kT
et
p∝e
−qψ
kT
Un courant nul impose une distribution
exponentielle de porteurs, et réciproquement
Conduction par électrons et trous: analogie hydraulique
Les électrons se comportent (un peu) comme des billes et les trous comme des bulles.
Une excellente illustration du transport dans les SC peut être présentée avec deux tubes,
l’un contenant une goutte, et l’autre une bulle.
Il devient alors parfaitement évident en inclinant les éprouvettes qu’un déplacement de la bulle (des trous du SC)
n’est qu’un déplacement d’eau par échange de place disponible entre l’eau et la bulle (une histoire d’énergie).
On constatera bien évidemment que la goutte et la bulle se déplacent en sens inverse,
mais aussi qu’elles ne se déplacent pas à la même vitesse: la goutte va plus vite … comme dans le silicium.
D’autre part, et c’est très visible avec la bulle, lorsqu'on incline les tubes, la vitesse :
- est sensiblement constante: frottement eau-tube = notion de mobilité dans les matériaux
- croit avec l’inclinaison: effet d’un champ électrique croissant
115
Nous voyons ici la grande diversité des expressions des courants qui varient avec le potentiel appliqué de
ψ a0 à
ψ a2 et de l 0 à l −3 . D’autre part une loi en ψ a1 ne signifie pas forcément loi d’Ohm ! La méfiance est de rigueur
…
Pour compléter le tableau, on pourrait encore rajouter le transport balistique, sans interaction, (lorsque le libre
parcours moyen des porteurs est supérieur à la longueur l ), qui respecte
1
2
2
mVmax
= qψ a
qui conduit à des vitesses ( Vmoyenne
= Vmax / 2 ), donc des courants, en ψ a .
Ne pas oublier à ce sujet que dans ce cas la notion de mobilité et les grandeurs associées perdent tout leurs sens.
Rappel : le libre parcours moyen est relié au temps de relaxation par :
l pm = Vth.τ
( Vthermique ~100km/s à T ambiante).
Le temps
τ
est lui-même relié à la mobilité par
µ = qτ m
Diffusion / Conduction
Pour savoir qui de la diffusion ou de la conduction gère localement le transport, il faut comparer la diffusion
jdiff . = qD
dn
dy
à la conduction
jcond . = qn µ E
Compte tenu de la relation d’Einstein
D = (kT q) µ et de la définition du potentiel électrostatique
E = dψ dy
Diffusion
dn n
=
Conduction dψ (kT q )
C’est donc, entre deux zones y et y + dy , le rapport de deux grandeurs elles-mêmes sans dimensions :
- la variation relative de concentration
- la variation de potentiel comparée à kT/q,
qui permettra de décider du transport effectif.
Rappelons ici que la vitesse limite s’applique aux deux types de transport, les processus de dissipation d’énergie
étant les mêmes.
Relation toujours valable
Quel que soit le type de transport (conduction balistique ou non, diffusion), ne pas oublier que la relation
J = qnv
est toujours vérifiée. En profiter pour vérifier qu’en conduction non balistique et en diffusion la vitesse limite
n’est pas dépassée.
NB : En transformant la charge q en masse m, c’est la relation J = ρ v de la mécanique des fluides (débit en
kg/m2/s)
116
Quasi niveau de Fermi des électrons EFn(y)
Ec(y) suit les variations
du potentiel électrostatique
du matériau
Définition du quasi niveau de Fermi des électrons
n( y ) = N c .exp[ −
( Ec ( y ) − E F n ( y )
]
kT
n(y)
E C(y)
-qψ (y)+Cte
E Fn(y)
-qφ(y)
E
y
Courant d’électrons dans une structure n-p- n: principes de base
type n (1)
Gestion exponentielle
des électrons par n (1)
type p
Respect des lois
de transport
BC
BV
Gestion
des trous
par le
matériau p
type n (2)
Gestion exponentielle
des électrons par n (2)
117
Synthèse diffusion/conduction : quasi niveaux de Fermi
L’approche différentiée diffusion/conduction n’est pas toujours très satisfaisante. Par
exemple, dans une pièce sans aucun courant d’air, il doit y avoir a un violent courant d’air
ascendant puisque la concentration au sol est supérieure à celle du plafond (diffusion), et c’est
bien ce qu’indique un altimètre. Il existe aussi un violent flux descendant car la pesanteur joue
son rôle (conduction). Il doit donc y avoir une notion plus subtile qui prend en compte ces
deux phénomènes.
Pour les transports d’électrons, c’est le quasi niveau de Fermi EFn des électrons. Il est repéré
par rapport à la bande de conduction, et prend en compte les propriétés du matériau et la
concentration locale d’électrons n(y) :
( E ( y ) − EF n ( y )
n( y ) = N c .exp[− c
]
kT
généralisation de la relation qui gère la concentration d’électrons dans un matériau neutre :
E − EF
n = N c .exp[− c
]
kT
La densité de courant globale s’écrit :
dn
dp
J n = qDn
+ qnµ n E
[pour les trous, on aurait : J p = − qD p
+ qpµ p E ]
dy
dy
Compte tenu de Dn = (kT q ) µ n , et de E = − dψ dx elle devient :
kT dn n dψ
J n = qµ n n[
−
]
q dy
dy
Or, d’après la définition du quasi niveau de Fermi des électrons, en différentiant le
logarithme :
dn
kT
= − dEc ( y ) + dEF n ( y ) = qdψ ( y ) + dEF n ( y )
n
qui, reporté dans l’expression du courant conduit finalement à l’expression très simple:
dE ( y )
J n = µ n n Fn
dy
ou encore en associant un potentiel φn au quasi niveau de Fermi :
dφ ( y )
J n = −qµ n n n
dy
Une relation semblable pourrait être écrite pour J p : J p = µ p n dEFp ( y ) dy
Une conséquence importante est que, dans un conducteur ou un SC (n non nul), si le courant
est nul, le quasi niveau de Fermi est constant.
Toute la difficulté du calcul des courants dans les diodes, et donc aussi dans les transistors, est
que l’on suppose des distributions exponentielles de porteurs dans les traversées de zones
désertées, par exemple pour les électrons dans la bande de conduction [d’énergie Ec(y)]. Ceci
impose un quasi niveau de Fermi constant (voir la définition du quasi niveau de Fermi). Or
s’il est constant le courant est nul, et c’est justement lui que l’on veut calculer ! En fait, dans
la traversée d’une zone désertée, la variation de EFn est faible, de l’ordre de kT.
118
Champ et potentiel le long du canal
Source
Canal
L
00
V( y )
) ⋅V( y )
y
2
=
L (V − V − VD ) ⋅V
T
D
G
2
(VG − VT −
Pen
t
V D/2
Drain
y
Remarque:
Ψs(y) = 2Ψb +V(y)
Comparer V(y) à Ψs(y)
de la figure
De la source au drain
eV
D /L
VD
V(y)
V
V −V − D
VD G T 2
.
L VG−VT −VD
|E(y)|
VD
E=
VD VG − VT − 2
.
L VG − VT − V( y )
VD/L
V
V −V − D
VD G T 2
.
L
VG−VT
0
0
L
y
119
Annexe TMOS: Champ et potentiel le long du canal.
Le canal n’étant pas homogène de la source au drain, il est certain que le champ électrique ne sera pas constant.
Une manière simple d’explorer E(y) et V(y) consiste à repartir de l’expression classique du courant ohmique :
I = − µn
V
W ε ox
(VG − VT − D )VD
L eox
2
Cette relation s’écrit aussi :
I L = − µn W
ε ox
eox
(VG − VT −
VD
) VD
2
Elle résulte en fait de l’intégration de y de 0 à L (à gauche) et de V de 0 à VD (à droite) de l’équation
différentielle:
I dy = − µ n
W ε ox
(VG − VT − V( y ) ) dV( y )
L eox
qui est la loi d’ohm locale au point y.
Pour trouver V(y), il suffit d’arrêter l’intégration en un point y ou le potentiel est égal à V(y) :
I y = − µn
V
W ε ox
(VG − VT − ( y ) ) V( y )
L eox
2
En effectuant le rapport entre cette dernière équation et la deuxième de ce paragraphe nous sommes conduits à
une relation qui lie le potentiel à la position y.
(VG − VT −
V( y )
) V( y )
y
2
=
V
L
(VG − VT − D ) VD .
2
Pour le calcul du champ, nous utilisons le résultat démontré dans ce chapitre qui stipule que Ψs(y)=2Ψb+V(y).
Donc le champ électrique est donné indifféremment par dΨs/dy ou dV/dy : le courant étant un courant de
conduction, le quasi niveau de Fermi est parallèle au potentiel électrostatique.
La différenciation de y(V) donne donc le champ électrique :
VD
V
2
E=− D.
L VG − VT − V( y )
VG − VT −
Et la figure Champ et potentiel le long du canal donne l’allure de ces variations.
Attention : ne pas utiliser ces relations pour un transistor en saturation. En effet, dans ce modèle, la charge de
porteurs est alors nulle au point de saturation, ce qui implique un champ infini pour assurer le courant ! Il
faudrait reprendre le problème, et utiliser la relation toujours valable J = qnv , en supposant que la vitesse v
est proche de la vitesse limite
vl (environ 100km/s dans les SC) pour estimer la concentration de porteurs. Cette
approche est aussi utilisée pour calculer le courant de diffusion dans la base d’un transistor bipolaire, où, côté
collecteur, l’approche classique suppose une concentration quasi nulle de porteurs.
120
Tension VDSAT: exacte et approximation
QAsc
2Ψb+VDSAT
exact
2Ψ b
2Ψb+VDSAT
approximation
ψs
VT
VG
Approximation
/e ox
ε ox
Triangles identiques
=>
VG – (2Ψb + VDSAT) = VT - 2Ψb
/e ox
x
εo
Soit
VDSAT = VG - VT
Approximation:
QZD constante au lieu
d’être en racine carrée
Courant ohmique: approximation
I = µn
QAsc
Approximation:
charge QZD constante
2Ψb
VT
QZD réelle
W
L
AQψ
VG - VT
VG
ψs
B
A
AQψ
E
ε ox eox
εo
/e ox
x
AQψ
/ e ox
VD
ε ox
D
VD
C
AQΨ = rectangle ABCD - triangle CDE (*)
AQψ = VD
I = µn
ε ox
eox
1
ε ox
2
eox
(VG − VT ) − VD
VD
W ε ox
V
(VG − VT − D )VD
L eox
2
(*) Ce triangle représente la diminution de la charge
due à l’application de la tension drain
121
Annexe TMOS: approximation charge de zone désertée constante
En supposant une charge de zone désertée constante et égale à cette qui existe côté source,
Qψ proposé nous ramène aux expressions élémentaires classiquement utilisées.
Tension
le graphe
VDSAT
La figure Tension VDSAT exacte et approximation rappelle que la détermination de
VDSAT nécessite de résoudre
l’équation :
VG = [ 2ψ b + VDsat ] +
2ε sc qN a (2ψ b + VDsat )
ε ox eox
Equation du second degré en VDSAT.
En supposant une charge de zone désertée constante de la source au drain, cette figure montre que la tension de
saturation répond à la relation élémentaire :
VDSAT = VG − VT .
Cette valeur approchée de
VDSAT est une valeur par excès.
NB :
Bien que ce ne soit pas classique, on pourrait parler de VGSAT comme de VDSAT : en fait les couples de valeur VD
et VG qui vérifient (en première approximation)
VD = VG − VT
conduisent au pincement du canal côté drain.
Il est plus simple encore une fois de consulter le graphe
Courant
La formulation la plus complète, fournie par le graphe
Qψ qui montre parfaitement le couplage de VG et VD .
Qψ nous avait conduit à la relation :


3 

3

W ε ox 
V 
2 2ε sc qN a 
 VG − 2ψ b − D  VD −
I = µn
VD + 2ψ b ) 2 − 2ψ b 2 
(

ε ox
L eox 
2 
3




eox
En supposant encore une fois une charge de zone désertée constante, il est très facile d’établir à partir de ce
même graphe (cf. Figure Courant ohmique : approximation) l'expression beaucoup plus usitée:
I = µn
W ε ox
V
(VG − VT − D ) VD
L eox
2
Un seul coup d’œil sur cette figure permet de visualiser l’erreur liée à cette approximation, qui surestime le
courant.
Rappelons qu’un développement limité permet d’opérer cette transformation. L’intérêt du graphe Qψ est d’en
expliciter la raison physique.
122
Diode : équilibre
Energie
Jmétal->SC = JSC->Métal
Courant global nul
 −
 4π m  
= [ q ]  2   ( kT )  e
 h  

Charge
Densité
d’état 2D
(électrons bloqués
dans une dimension)
q .Φ
kT
   kT 
  
   h 
Emax
Fenêtre Probabilité Fréquence
d’essai
d’énergie de sauter
la barrière
depuis Fermi
qφ
EF
EC
EF
−E
∞
∫
qφ
e kT dE
qΦ
4π mk 2T 2 −
=q
e
h3
J m → SC = J SC → m
qΦ
kT
M
SC
Courant global nul
Diode : polarisation
Jmétal->SC : Inchangé par rapport à l’équilibre
4π mk T
h3
2
q
2
I
Energie
qΦ
−
e kT
h
Inc
an
gé
JSC-> Métal : Barrière diminuée de qV
q
J =q
4π mk 2T 2 − q ( ΦkT−V )
e
h3
4π mk 2T 2 −
e
h3
qΦ
kT
 qV

 e kT − 1 


Un petit bémol, puisqu’il y a un courant,
ceci signifie que le niveau de Fermi dans le SC est pas constant,
et donc que la loi exponentielle de répartition des électrons n’est pas valable.
En fait il est possible de montrer que, dans une grande partie
de la zone de charge d’espace du SC la variation de ce niveau de Fermi est de
l’ordre de kT, ce qui ne perturbe pas fondamentalement leur distribution énergétique.
Ceci est peu ou pas du tout signalé dans le littérature qui calcule un courant
en faisant l’hypothèse d’un niveau de Fermi constant … qui suppose un courant nul.
Emax
q(φ−V)
qφ
qV
EF
M
EF
SC
V
Ici, polarisation directe (- sur SC type n)
J(V) reste valable en inverse
123
Annexe TMOS: Courant dans une diode
Les figures Diode : Equilibre et Diode : Polarisation reconstituent l'expression du courant à partir de
considérations simples: concentration d'électrons, probabilité de saut d'une barrière et fréquence d'essai.
Une précision sur un point: on pourrait s'attendre à ce que la probabilité de passage des électrons de la bande de
conductions soit en exponentielle de la hauteur de la barrière qui les sépare du métal, moins élevée que qφ . En
fait, la probabilité de saut est bien en
e
−
qφ
kT
car la probabilité pour qu'ils soient dans la bande de conduction fait
déjà intervenir l'exponentielle de probabilité de présence des électrons dans la bande de conduction,
Donc :
e
−
EC − EF
kT
e
−
Emax − EC
kT
=e
−
EMax − EF
kT
=e
−
e
−
EC − EF
kT
.
qΦ
kT
A noter : la fameuse tension seuil d’une diode n’existe pas. La variation du courant en fonction de la tension
appliquée est parfaitement monotone, il n’y a qu’à tracer
ln J en fonction de V en direct pour s’en convaincre :
c’est une droite dès que V dépasse qq. kT/q. Cependant un tracé en coordonnées linéaires fait apparaître un
courant qui évolue rapidement en fonction de la tension V appliquée. En partant à l’envers, depuis le courant
maximum que peut supporter la diode, le courant diminue rapidement lorsque V décroit et on peut se fixer une
valeur "seuil" par exemple 5% du courant maximum, pour une tension qui serait inférieure de 3kT/q à la tension
maximum tolérée.