QBF et la logique intuitioniste

QBF et la logique intuitioniste
Devoir `a rendre le 8 mars. P´enalit´e de 2 points par jour de retard.
20 21 22 23 24 25 26
27 28 1234 5
6789 10 11 12
Les copies ´electroniques peuvent ˆetre envoy´ees par mail `a h[email protected]han.fri, les copies papiers
seront `a remettre le 8 mars en cours ou avant dans le casier courier du LSV.
Le but du devoir est de montrer que le probl`eme de la validit´e d’une formule de la logique intuitioniste
est ´equivalent `a celui de la validit´e d’une formule de la logique propositionnelle classique avec variables
propositionnelles quantifi´ees (en anglais quantified boolean formulas, QBF) `a des r´eductions polynomiales
pr`es.
Les parties 1 et 2 sont ind´ependantes.
D´efinitions
On se donne un ensemble infini P={p, q, . . .}de variables propositionnelles. On note F0(P) l’ensemble
des formules propositionnelles utilisant les constantes >,⊥, les variables P, et les connecteurs logiques ∧,∨,→
,¬. On consid`ere que →est associatif `a droite et que ¬est prioritaire sur →qui est prioritaire sur ∨et ∧.
Par exemple, ϕ1→ ¬ϕ2→ϕ3∨ϕ4doit se lire ϕ1→(¬ϕ2)→ϕ3∨ϕ4. La taille |ϕ|d’une formule ϕest
le nombre de noeuds de son arbre syntaxique.
Une formule QBF (pr´enexe) `a nquantificateurs est d´efinie par r´ecurrence sur n:
— si n= 0, c’est une formule de F0(P)
— une formule QBF `a n+ 1 quantificateurs est une formule de la forme Qp.ϕ o`u Q∈ {∀,∃} est un
quantificateur et ϕest une formule QBF `a nquantificateurs.
Soit ϕune formule QBF. Les ensembles fv(ϕ) et bv(ϕ) de variables propositionnelles libres (free) et li´ees
(bound) sont d´efinis par r´ecurrence sur le nombre de quantificateurs :
— si ϕ∈ F0(P), fv(ϕ) est l’ensemble des variables propositionnelles qui apparaissent au moins une fois
dans ϕ, et bv(ϕ) = ∅;
— si ϕ=Qp.ψ,fv(ϕ) = fv(ψ)\ {p}et bv(ϕ) = bv(ψ)∪ {p}.
Une formule QBF ϕest close si fv(ϕ) = ∅. La taille d’une formule QBF est le nombre de noeuds de son
arbre syntaxique. Une formule QBF ϕest bien quantifi´ee si toute sous-formule Qp.ψ de ϕv´erifie p6∈ bv(ψ).
Soit I⊆ P une interpr´etation. La relation “Isatisfait la formule QBF ϕ”, I
QBF
|=ϕ, est d´efinie par
r´ecurrence sur le nombre de quantificateurs de ϕ.
—I
QBF
|=ϕpour une formule ϕ∈ F0(P) si I
CL
|=ϕau sens de la logique propositionnelle classique.
—I
QBF
|=∀p.ψ si I∪ {p}
QBF
|=ψet I\ {p}
QBF
|=ψ.
1

—I
QBF
|=∃p.ψ si I∪ {p}
QBF
|=ψou I\ {p}
QBF
|=ψ.
Une formule QBF ϕest valide,
QBF
|=ϕ, si pour tout I⊆ P,I
QBF
|=ϕ. Une formule QBF ψest logiquement
´equivalente `a ϕsi pour tout I⊆ P, (I
QBF
|=ϕssi I
QBF
|=ψ).
Dans la seconde partie, il sera autoris´e d’utiliser, par commodit´e, des formules QBF non pr´enexes. Une
formule QBF non pr´enexe est soit une formule de F0(P), soit une formule Qp.ϕ o`u Q∈ {∀,∃} et ϕest une
formule QBF non pr´enexe, soit une combinaison Bool´eene de formules QBF non pr´enexes. Dans la premi`ere
partie, toutes les formules QBF sont implicitement pr´enexes.
1 De QBF `a la logique intuitioniste
Question 1
Montrer que toute formule QBF est logiquement ´equivalente `a une formule QBF bien quantifi´ee.
On montre par r´ecurrence sur le nombre nde quantificateurs de ϕqu’il existe ϕ0´equivalente `a ϕ, bien
quantifi´ee, et telle que bv(ϕ0)⊆bv(ϕ) et fv(ϕ0) = fv(ϕ).
— Si n= 0, il suffit de prendre ϕ.
— Sinon, ϕ=Qp.ψ, et par r´ecurrence il existe ψ0´equivalente `a ψtelle que bv(ψ0)⊆bv(ψ) et
fv(ψ0) = fv(ψ). Si p∈bv(ψ), alors ϕest logiquement ´equivalente `a ψ, donc ψ0convient. Sinon,
Qp.ψ0est bien quantifi´ee et logiquement ´equivalente `a ϕ.
Pour tout mod`ele de Kripke 1K= (W,≤K, αK) et pour toute interpr´etation I⊆ P, et pour tout ensemble
S⊆ P, on dira que Kforce Isur Ssi pour tout p∈S, pour tout monde w∈ W :
— si p∈I, alors K, w
KPK
|=p
— si p6∈ I, alors K, w
KPK
|=¬p
On se donne un ensemble infini Q ⊆ P,Q={q0, q1, . . .}de variables propositionnelles, avec qi6=qjpour
i6=j.` A toute formule QBF ϕtelle que fv(ϕ)∪bv(ϕ)∩ Q =∅on associe la formule ϕ∗∈ F0(P) d´efinie
par r´ecurrence sur le nombre de quantificateurs de ϕcomme suit :
—ϕ∗=ϕsi ϕest une formule sans quantificateur
— (∀p.ϕ)∗= (p∨ ¬p)→ϕ∗
— (∃p.ϕ)∗= (ϕ∗→qn)→(p→qn)∨(¬p→qn)si ϕest une formule avec n≥0 quantificateurs.
Question 2
Montrer que pour toute formule QBF ϕbien quantifi´ee, pour tout I⊆ P, pour tout mod`ele de Kripke
K= (W,≤K, αK),
— si I
QBF
|=ϕet Kforce Isur P \ (bv(ϕ)∪ Q),
— alors pour tout w∈ W,K, w
KPK
|=ϕ∗.
On raisonne par r´ecurrence sur le nombre de quantificateurs de ϕ
Cas ϕsans quantificateur On montre par r´ecurrence sur le nombre de connecteurs logiques dans
ψque pour toute formule ψ∈ F0(P \ Q), pour tout monde w,K, w
KPK
|=ψssi I
CL
|=ψ(d´etails
omis). En particulier, K, w
KPK
|=ϕ∗=ϕ.
Cas ∀p.ϕ Supposons que K, w
KPK
|=p∨¬p, et montrons que K, w
KPK
|=ϕ∗. On a deux sous-cas possibles
1. Voir d´efinition rappel´ee en annexe.
2

sous-cas 1 K, w
KPK
|=p: soit ↑w={w0|w≤Kw0}et soit K∩ ↑ wle mod`ele Kripke induit par
Ksur ↑w. Alors I∪ {p}
QBF
|=ϕet K∩ ↑ wforce I∪ {p}sur P \ (bv(ϕ)∪ Q). Par r´ecurrence,
K∩ ↑ w, w
KPK
|=ϕ∗, et par cons´equent K, w
KPK
|=ϕ∗.
sous-cas 2 K, w
KPK
|=¬p: similaire au sous-cas 1. Soit ↑w={w0|w≤Kw0}et soit K∩ ↑ w
le mod`ele Kripke induit par Ksur ↑w. Alors I\ {p}
QBF
|=ϕet K∩ ↑ wforce I\ {p}sur
P \ (bv(ϕ)∪ Q). Par r´ecurrence, K∩ ↑ w, w
KPK
|=ϕ∗, et par cons´equent K, w
KPK
|=ϕ∗.
Cas ∃p.ϕ avec nquantificateurs dans ϕ. Soit wtel que K, w |=ϕ∗→qnet montrons que K, w |=
(p→qn)∨(¬p→qn). Par hypoth`ese, I
QBF
|=∃p.ϕ, ce qui nous am`ene `a nouveau `a deux sous-cas.
sous-cas 1 I∪ {p}
QBF
|=ϕ: montrons que K, w
KPK
|=p→qn. Soit w0≥Kwtel que K, w0KPK |=p
et montrons que K, w0KPK |=qn. On a K∩ ↑ w0force I∪ {p}sur P \ (bv(ϕ)∪ Q), puis par
r´ecurrence, K∩ ↑, w0KPK |=ϕ∗, et par cons´equent K, w0KPK |=ϕ∗. Par hypoth`ese K, w
KPK
|=ϕ∗→qn
et w0≥w, donc K, w0KPK |=qn.
sous-cas 2 I\ {p}
QBF
|=ϕ: similaire au sous-cas 1. Montrons que K, w
KPK
|=¬p→qn. Soit
w0≥Kwtel que K, w0KPK |=¬pet montrons que K, w0KPK |=qn. On a K∩ ↑ w0force I\ {p}sur
P \ (bv(ϕ)∪ Q), puis par r´ecurrence, K∩ ↑, w0KPK |=ϕ∗, et par cons´equent K, w0KPK |=ϕ∗. Par
hypoth`ese K, w
KPK
|=ϕ∗→qnet w0≥w, donc K, w0KPK |=qn.
Question 3
Montrer que pour toute formule QBF ϕbien quantifi´ee, pour tout I⊆ P, si I6
QBF
|=ϕ, alors il existe un
mod`ele de Kripke K= (W,≤K, αK) et un monde w0∈ W tels que
—Kforce Isur P \ (bv(ϕ)∪ Q), et
—K, w06
KPK
|=ϕ∗.
On raisonne par r´ecurrence sur le nombre de quantificateurs de ϕ
Cas ϕsans quantificateur On pose K= ({w0},=, α) avec α(w0) = I. Par construction, et no-
tamment du fait que w0est le seul monde de K,Kforce Isur P \ (bv(ϕ)∪ Q) = P \ Q. Pour la
mˆeme raison, on montre ais´ement par r´ecurrence sur ψque K, w
KPK
|=ψssi I
CL
|=ψ. En particulier,
K, w 6
KPK
|=ϕ.
Cas ∀p.ϕ Par d´efinition, I∪ {p} 6|=ϕou I\ {p} 6|=ϕ.
— Supposons I∪ {p} 6
QBF
|=ϕ. Par r´ecurrence, il existe un mod`ele de Kripke K= (W,≤K, αK) et
un monde w0∈ W tels que Kforce I∪ {p}sur P \ (bv(ϕ)∪ Q) et K, w06
KPK
|=ϕ∗. Montrons
que Ket w0conviennent aussi pour ∀p.ϕ et I.
1. Comme Kforce I∪ {p}sur P \ (bv(ϕ)∪ Q), Kforce Isur P \ (bv(∀p.ϕ)∪ Q).
2. Comme ϕest bien quantifi´ee, K, w0
KPK
|=p, donc K, w0
KPK
|=p∨ ¬p, et finalement K, w06
KPK
|=
(p∨ ¬p)→ϕ∗.
— Le cas I\ {p} 6
QBF
|=ϕest similaire.
3

Cas ∃p.ϕ avec nquantificateurs dans ϕ. Par d´efinition, I∪{p} 6
QBF
|=ϕet I\{p} 6
QBF
|=ϕ. Par r´ecurrence,
il existe K+= (W+,≤+, α+) et K−= (W−,≤−, α−) tels que K+force I∪{p}sur P \(bv(ϕ)∪Q),
K−force I\ {p}sur P \ (bv(ϕ)∪ Q), et il existe w+
0∈ W+et w− 0∈ W−tels que K+, w+ 06
KPK
|=ϕ∗
et K−, w−
06
KPK
|=ϕ∗. On peut supposer sans perte de g´en´eralit´e que W+∩ W−=∅. On construit
le mod`ele de Kripke K= (W+] W−] {w0},≤K, α) tel que
—w≤Kw0si w≤+w0ou w≤−w0ou w=w0
— pour tout ∈ {+,−}, pour tout w∈ W, si K, w
KPK
|=ϕ∗alors α(w) = α(w)∪ {qn}, sinon
α(w) = α(w)\ {qn}.
—α(w0) = I\(bv(∃p.ϕ)∪ Q)
Justifions bri`evement qu’il s’agit d’un mod`ele de Kripke : le fait que ≤est une relation d’ordre
se v´erifie ais´ement. La monotonie de αcontient deux subtilit´es : il faut verifier que
1. α(w)⊇α(w0) = I\(bv(∃p.ϕ)∪ Q) pour tout w∈ W+∪ W−∪ {w0}: cela d´ecoule du fait
que K+,K−forcent Isur P \ (bv(∃p.ϕ)∪ Q),
2. pour tout w≤w0, on a K, w
KPK
|=qnimplique K, w0KPK |=qn: cela d´ecoule de K, w
KPK
|=ϕ∗
implique K, w0KPK |=ϕ∗.
On a mention´e au passage K+,K−forcent Isur P \ (bv(∃p.ϕ)∪ Q), d’o`u d´ecoule que Kforce
aussi Isur P \ (bv(∃p.ϕ)∪ Q).
Montrons maintenant que K, w06
KPK
|= (ϕ∗→qn)→(p→qn)∨(¬p→qn).
Montrons que K, w0
KPK
|=ϕ∗→qn.Soit w≥w0tel que K, w
KPK
|=ϕ∗, et montrons que K, w
KPK
|=
qn. Trois cas sont possibles.
1. w∈ W+. Comme α(w)\ {qn}=α+(w)\ {qn}et qn6∈ fv(ϕ∗), K, w
KPK
|=ϕ∗entraine
K+, w
KPK
|=ϕ∗. Par d´efinition de α, on a donc K, w
KPK
|=qn.
2. w∈ W−: similaire au cas pr´ec´edent.
3. w=w0: ce cas est impossible. En effet, w0≤w+
0et K, w+ 06
KPK
|=ϕ∗, donc K, w06
KPK
|=ϕ∗, ce
qui contredit l’hypoth`ese K, w
KPK
|=ϕ∗.
Montrons que K, w06
KPK
|= (p→qn)∨(¬p→qn).K, w+
06
KPK
|=p→qnet w0≤w+
0, donc K, w06
KPK
|=
p→qn. De mˆeme, K, w−
06
KPK
|=¬p→qnet w0≤w−
0, donc K, w06
KPK
|=¬p→qn.
Question 4
En d´eduire qu’il existe une fonction calculable en temps polynomial qui `a chaque formule QBF ϕclose
associe une formule (n´ecessairement de taille polynomiale) ϕ†sans quantificateur telle que
QBF
|=ϕssi
KPK
|=ϕ†.
On pose ϕ†= (ϕ0)∗o`u ϕ0est la formule bien quantifi´ee construite `a la question 1. On montre ais´ement
par r´ecurrence sur le nombre de quantificateurs que la taille |ϕ†|de ϕ†est major´ee par 11 · |ϕ|(la
principale chose `a remarquer ´etant que pour d´efinir (Qp.ψ)∗on utilise une seule fois ψ∗). De plus, ϕ†
se calcule ais´ement en temps polynomial. Enfin, ϕ†v´erifie bien la propri´et´e demand´ee :
— Supposons que
QBF
|=ϕ. Soit K= (W,≤K, αK), et montrons que K
KPK
|=ϕ†Soit K0= (W,≤K, αK0)
avec αK0(w) = αK(w)∩(bv(ϕ)∪ Q) pour tout w∈ W. Comme fv(ϕ†)⊆bv(ϕ0)∪ Q,K
KPK
|=ϕ†ssi
4

K0KPK |=ϕ†. Montrons que K0,
KPK
|=ϕ†. Soit I=∅, Alors K0force Isur P \ (bv(ϕ0)∪ Q) et I
QBF
|=ϕ0,
donc K0KPK |=ϕ†par la question 2.
— Supposons que 6
QBF
|=ϕ, et montrons que 6
KPK
|=ϕ†. Comme 6
QBF
|=ϕ, il existe Itel que I6
QBF
|=ϕ0(en fait,
n’importe quel Iconvient puisque ϕest suppos´ee close). Par la question 3, il existe un mod`ele
de Kripke K= (W,≤K, αK) et un monde w0tel que K, w06
KPK
|=ϕ†. Autrement dit 6
KPK
|=ϕ†.
2 De la logique intuitioniste `a QBF
On appelera s´equent un jugement de la forme Γ `ϕo`u Γ est un ensemble de formules appel´ees hypoth`eses
et ϕest une formule appel´ee but. Par soucis de simplicit´e, on s’int´eresse ci-dessous au fragment implicatif,
i.e. `a des formules de F0(P) qui ne contiennent ni >, ni ⊥, et dont le seul connecteur logique est →. On
consid`ere le syst`eme LJ0
0suivant :
Γ∪ {ϕ} ` ϕ(Ax)
Γ`ϕ1Γ∪ {ϕ2} ` ψ ϕ1→ϕ2∈Γ
Γ`ψ(→L)
Γ∪ {ϕ1} ` ϕ2
Γ`ϕ1→ϕ2
(→R)
Notez que le syst`eme LJ0
0n’est pas tout `a fait le calcul des s´equents intuitioniste vu en cours. On admettra
qu’il est correct et complet pour la logique intuitioniste.
On appelle profondeur d’un arbre de preuve la longueur d’une plus longue branche. On note Γ `n
LJ0
0ϕsi
il existe une preuve de profondeur p≤nde Γ `ϕdans LJ0
0, et Γ `LJ0
0ϕsi Γ `n
LJ0
0ϕpour un certain n.
Question 5
Montrer qu’il existe un polynˆome p(n) assez simple tel que pour toute formule ϕde taille n,`LJ0
0ϕssi
`p(n)
LJ0
0ϕ.
On pose p(n) = n·(n+ 1). Pour toute preuve π, soit |π|= (a, b) o`u aest la longueur d’une plus longue
branche de πet best le nombre de branches de longueur a. Soit πune preuve de `ϕqui minimise |π|
pour l’ordre lexicographique. Montrons que toutes les branches de πsont de longueur au plus n·(n+ 1).
Soit Γ1`ϕ1,. . . ,Γk`ϕkles jugements apparaissant sur une branche de longueur maximale (en
lisant de la racine `ϕvers une feuille axiome). Par minimalit´e de |π|, les s´equents Γi`ϕisont deux `a
deux distincts (sinon on pourrait raccourcir la branche sans rallonger les autres branches). D’apr`es les
r`egles de LJ0
0, pour tout i≤jil est vrai que Γi⊆Γj, Γine contient que des sous-formules de ϕ, et ϕiest
une sous-formule de ϕ. Soit ψune sous-formule de ϕ, et soit i1<· · · < irles indices itels que ϕi=ψ.
Alors Γi1(Γi2(· · · (Γir, et en particulier Γircontient au moins r−1 sous-formules distinctes de ϕ.
Comme il y a au plus n=|ϕ|sous-formules distinctes, on obtient r≤n+ 1. On a donc au plus n+ 1
s´equents ayant ψpour but sur la branche, et comme il y a au plus nbuts distincts possibles, il y a au
plus n·(n+ 1) s´equents distincts sur la branche. Enfin, comme les s´equents apparaissant sur la branche
sont deux `a deux distincts, la branche est de longueur au plus n·(n+ 1).
On fixe une formule implicative ϕayant nsous-formules et on se donne une ´enum´eration ψ1, . . . , ψndes
sous-formules de ϕ.
5