Commensurabilité

Commensurabilité
Activité :
Le salon d’Alain est une pièce rectangulaire qu’il souhaite recouvrir avec un unique modèle de dalles carrées.
Les caractéristiques d’Alain sont les suivantes : il est près de ses sous et plutôt pas très courageux.
Comment doit-il s’y prendre ?
L
l
S’il est près de ses sous, il ne doit y avoir de chutes.
S’il n’est pas très courageux, il doit y avoir le moins de dalles possible, donc les plus grandes possibles.
1. Commensurabilité___________________________________________________________
Définition : On dit que deux segments sont commensurables lorsqu’il existe une unité pour laquelle l’un et l’autre soient
mesurables en nombres entiers.
Ou encore : deux nombres sont commensurables s’ils sont dimensions d’une boîte rectangulaire que l’on peut remplir avec des
jetons carrés.
Remarques :
•
Dans ce cas, on rejoint le problème du pavage du plan où on doit choisir l’unité la plus grande possible.
•
L et l sont commensurables s’il existe une unité u telle que :
•
Si cela n’est pas possible, on dit qu’ils sont incommensurables (sans commune mesure).
L=p×u
avec p et q entiers
l=q×u
2. Nombres entiers_____________________________________________________________
Soit c le côté du carré, puisqu’il ne peut y avoir de restes, c divise à la fois L et l donc, c est un diviseur commun de L et l
Puisque les dalles carrées doivent être les plus grandes, c doit être le plus grand possible donc, c est le plus grand diviseur
commun de L et l (PGCD).
Méthodes de calcul :
•
On décompose chacun des nombres en produit de facteurs premiers, puis on extrait le PGCD.
•
On utilise l’algorithme d’Euclide.
Application : On suppose que L = 420 cm et l = 240 cm. Résolvons le problème :
•
420 = 2 2 × 3 × 5 × 7
280 = 2 3 × 5 × 7
donc : PGCD(420 ; 280) = 22 × 5 × 7 = 140.
•
420 = 280 × 1 + 140
280 = 140 × 2 + 0
donc : PGCD(420 ; 280) = 140.
Par conséquent, les dalles choisies par Alain auront un côté de 140cm (1 m 40 !).
Exercice : Ces couples de nombres sont-ils commensurables ?
1.
30 et 18
4.
119 et 70
7.
1 295 et 826
2.
45 et 30
5.
23 872 et 13 180
8.
12 et 36
3.
105 et 60
6.
49 et 21
9.
292 et 57
3. Nombres décimaux__________________________________________________________
Technique : on prend une unité pour pouvoir revenir à un problème de divisibilité donc de travail avec des entiers
Application : On suppose que L = 4,20 m et l = 2,40 m. Résolvons le problème :
On prend comme unité : u = 1 cm ou u = 1dm (et pourquoi pas u=5cm ?)
•
1er cas : u = 1 cm donc : L = 420 × u et l = 280 × u.
D’après le problème précédent, c = 140 × u donc : c = 140 × 1 cm = 140 cm = 1,20 m.
•
2ième cas : u = 1 dm donc : L = 42 × u et l = 28 × u.
PGCD (42 ; 28) = 14 donc : c = 14 × u = 14 × 1 dm = 14 dm = 1,20 m.
On retrouve heureusement le même résultat !
Exercice : Ces couples de nombres sont-ils commensurables ?
1.
6 et 3,5
3.
0,35 et 0,15
2.
4,8 et 3
4.
0,5 et 0,3
5.
11,9 et 7
4. Nombres rationnels__________________________________________________________
Technique : on prend une unité pour pouvoir revenir à un problème de divisibilité donc de travail avec des entiers.
Pour déterminer l’unité, on met les fractions au même dénominateur.
Il y a plusieurs unités possibles (plusieurs dénominateurs communs), choisir le plus grand possible (donc le plus petit
dénominateur commun) permet de rendre plus simple le calcul du PGCD.
Application : On suppose que L = 25 et l = 15.
6
4
Le plus petit dénominateur commun entre 4 et 6 est 12 (PPCM de 4 et 6).
D’où u = 1 donc : L = 50 = 50 × u et l = 45 = 45 × u
12
12
12
Or, PGCD(50 ; 45) = 5 soit : L = 10 × 5 × u = 10 × u’ et l = 9 × 5 × u = 9 × u’ avec u’ = 5 .
12
Exercice : Ces couples de nombres sont-ils commensurables ?
1.
2 et 7
5
3.
7 et 5
12 18
5.
7 et 19
31 24
2.
4 et 17
3 5
4.
19 et 5
11 16
6.
189 et 54
64 987
5. Nombres irrationnels_________________________________________________________
2 et 1 sont-ils commensurables ?
Soit u l’unité qui rendrait possible cela :
2 =p×u
avec p et q entiers premiers entre eux
1=q×u
On a alors : 2 = p
1 q
Or 2 est irrationnel et p et q sont deux entiers donc, c’est impossible.