Commensurabilité

Commensurabilité
Activité :
Le salon d’Alain est une pièce rectangulaire qu’il souhaite recouvrir avec un unique modèle de dalles carrées.
Les caractéristiques d’Alain sont les suivantes : il est près de ses sous et plutôt pas très courageux.
Comment doit-il s’y prendre ? L
l
 S’il est près de ses sous, il ne doit y avoir de chutes.
 S’il n’est pas très courageux, il doit y avoir le moins de dalles possible, donc les plus grandes possibles.
1. Commensurabilité___________________________________________________________
Définition : On dit que deux segments sont commensurables lorsqu’il existe une unité pour laquelle l’un et l’autre soient
mesurables en nombres entiers.
Ou encore : deux nombres sont commensurables s’ils sont dimensions d’une boîte rectangulaire que l’on peut remplir avec des
jetons carrés.
Remarques :
• Dans ce cas, on rejoint le problème du pavage du plan où on doit choisir l’unité la plus grande possible.
• L et l sont commensurables s’il existe une unité u telle que : L = p × u
l = q × u avec p et q entiers
• Si cela n’est pas possible, on dit qu’ils sont incommensurables (sans commune mesure).
2. Nombres entiers_____________________________________________________________
Soit c le côté du carré, puisqu’il ne peut y avoir de restes, c divise à la fois L et l donc, c est un diviseur commun de L et l
Puisque les dalles carrées doivent être les plus grandes, c doit être le plus grand possible donc, c est le plus grand diviseur
commun de L et l (PGCD).
Méthodes de calcul :
• On décompose chacun des nombres en produit de facteurs premiers, puis on extrait le PGCD.
• On utilise l’algorithme d’Euclide.
Application : On suppose que L = 420 cm et l = 240 cm. Résolvons le problème :
• 420 = 2
2
× 3 × 5 × 7 280 = 2
3
× 5 × 7 donc : PGCD(420 ; 280) = 2
2
× 5 × 7 = 140.
• 420 = 280 × 1 + 140 280 = 140 × 2 + 0 donc : PGCD(420 ; 280) = 140.
Par conséquent, les dalles choisies par Alain auront un côté de 140cm (1 m 40 !).
Exercice : Ces couples de nombres sont-ils commensurables ?
1. 30 et 18
2. 45 et 30
3. 105 et 60
4. 119 et 70
5. 23 872 et 13 180
6. 49 et 21
7. 1 295 et 826
8. 12 et 36
9. 292 et 57

3. Nombres décimaux__________________________________________________________
Technique : on prend une unité pour pouvoir revenir à un problème de divisibilité donc de travail avec des entiers
Application : On suppose que L = 4,20 m et l = 2,40 m. Résolvons le problème :
On prend comme unité : u = 1 cm ou u = 1dm (et pourquoi pas u=5cm ?)
• 1er cas : u = 1 cm donc : L = 420 × u et l = 280 × u.
D’après le problème précédent, c = 140 × u donc : c = 140 × 1 cm = 140 cm = 1,20 m.
• 2ième cas : u = 1 dm donc : L = 42 × u et l = 28 × u.
PGCD (42 ; 28) = 14 donc : c = 14 × u = 14 × 1 dm = 14 dm = 1,20 m.
On retrouve heureusement le même résultat !
Exercice : Ces couples de nombres sont-ils commensurables ?
1. 6 et 3,5
2. 4,8 et 3
3. 0,35 et 0,15
4. 0,5 et 0,3
5. 11,9 et 7
4. Nombres rationnels__________________________________________________________
Technique : on prend une unité pour pouvoir revenir à un problème de divisibilité donc de travail avec des entiers.
Pour déterminer l’unité, on met les fractions au même dénominateur.
Il y a plusieurs unités possibles (plusieurs dénominateurs communs), choisir le plus grand possible (donc le plus petit
dénominateur commun) permet de rendre plus simple le calcul du PGCD.
Application : On suppose que L = 25
6 et l = 15 4.
Le plus petit dénominateur commun entre 4 et 6 est 12 (PPCM de 4 et 6).
D’où u = 1
12 donc : L = 50 12 = 50 × u et l = 45 12 = 45 × u
Or, PGCD(50 ; 45) = 5 soit : L = 10 × 5 × u = 10 × u’ et l = 9 × 5 × u = 9 × u’ avec u’ = 5
12.
Exercice : Ces couples de nombres sont-ils commensurables ?
1. 2 et 7
5
2. 4
3 et 17 5
3. 7
12 et 5 18
4. 19
11 et 5 16
5. 7
31 et 19 24
6. 189
64 et 54 987
5. Nombres irrationnels_________________________________________________________
2 et 1 sont-ils commensurables ?
Soit u l’unité qui rendrait possible cela : 2 = p × u
1 = q × u avec p et q entiers premiers entre eux
On a alors : 2
1 = p q
Or 2 est irrationnel et p et q sont deux entiers donc, c’est impossible.