PDF - 190.2 ko - Collège Henri Barnier

BREVET BLANC DE MATHÉMATIQUES - CORRIGE
ACTIVITES NUMERIQUES (12 POINTS)
EXERCICE 1 : (3 points)
1. L’image de 2 par f est 3 car
2. 0 a pour image 3 par f car
3. 9 a deux antécédents -1 et 3 car
.
.
et
EXERCICE 2 : (4 points)
Pour que les lots soient identiques, leur nombre doit un diviseur de 378 et 270. De plus, pour faire un maximum de lots, ce
nombre doit être le plus grand possible, il faut donc choisir le PGCD des deux nombres.
Calculons le PGCD en utilisant l’algorithme d’Euclide (on pourrait utiliser aussi la méthode des soustractions successives)
Etapes
Dividende
diviseur
Reste
1
378
270
108
2
270
108
54
3
108
54
0
Le PGCD est 54.
Le comité des fêtes peut faire 54 lots.
Quelle sera la composition de chaque lot ?
378
54 = 7 ; 270
54 = 5 ;
Chaque lot comprend 7 billes et 5 calots.
EXERCICE 3 : (5 points)
Soit f une fonction. Traduire chaque expression par une égalité de la forme f(a) = b.
1. L’image de 5 par f est 2 correspond à l’égalité f (5)= 2.
2. -5 est solution de l’équation f (x)= 2 correspond à l’égalité f (-5)= 2.
3. 1 est l’image de 2 par la fonction f correspond à l’égalité f (2)= 1.
4. 4 est un antécédent de -1 par f correspond à l’égalité f (4)= -1.
5. Le point A(1 ; 5) est sur la courbe représentative de f correspond à l’égalité f (1)= 5.
ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 POINTS)
EXERCICE 1 : (6 points)
1.
soit
arrondir au cm² près.
2.
soit
arrondir au cm3 près.
3. Notons VL le volume de l’espace laissé libre
VL = L × l × h - 2×V
VL 8 cm × 4 cm × 4 cm - 2 × 34 cm3 128 cm3 – 68 cm3 60 cm3
Le volume de l’espace laissé libre par les deux boules est égal à 60 cm3 arrondir au cm3 près.
EXERCICE 2 : (6 points)
2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore un triangle est rectangle si le carré du plus grand côté est égal à la somme
des carrés des deux autres.
JK² = (8cm)² = 64 cm² ; IJ² + KI² = (4,8 cm)² + (6,4 cm)² = 23,04 cm² + 40,96 cm² = 64 cm²
On sait que JK² = IJ² + KI².
D’après la réciproque de Pythagore, on conclut que le triangle IJK est rectangle en I.
3. IJK étant un triangle rectangle dont on connait toutes les longueurs, on peut utiliser le sinus, le cosinus ou la tangente pour
calculer l’angle
. Choisissons le sinus,
cos
=
donc
= cos-1 (
= cos -1 (
arrondi au degré le plus proche.
PROBLEME (12 POINTS)
Première partie (7 points)
1) Les droites (IE) et (BA) sont deux perpendiculaires à (HB) et donc sont parallèles. Le quadrilatère BAEI qui a un angle
droit en B est donc un rectangle et IB = AE = 2.
I étant situé entre H et B, nous avons HI + IB = HB ou HI = HB - IB = 5 - 2 = 3.
2) BAEI étant un rectangle, IE = AB = 2,25.
On sait que le triangle HIE est rectangle en I.
D’après le théorème de Pythagore, on conclut que
HE² = HI² + IE² = 3² + 2,25² = 9 + 5,0625 = 14,0625 d’où HE =
donc HE = 3,75.
3) On sait que le triangle HIE est rectangle en I. J’utilise le cosinus de l’angle aigu
et cos -1(0,8)
.
Cette valeur correspond à un angle de 37° à un degré près.
Deuxième partie (3 points)
Si l'angle
mesure 45°, le triangle HIE est isocèle rectangle en I et HI = IE = 2,25.
Nous pouvons en déduire que IB = HB - HI = 5 - 2,25 = 2,75. AE qui est le côté opposé à BI dans le rectangle AEIB a la
même mesure que IB. Donc AE = 2,75.
Troisième partie (2 points)
En consultant le graphique, on peut constater que lorsque AE
mesure entre 3 et 3,5 m (zone foncée horizontale du
graphique), la mesure de l'angle en degrés est à peu près
comprise entre 48° et 56° (zone foncée verticale du
graphique).
On peut, par exemple choisir
= 50°.