La pratique moderne des Options et des Futures

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Chapitre 1
Analyse théorique des options
Il est indispensable de comprendre comment est calculée la valeur d’une option.
La première méthode a été proposée par Black & Scholes ; la seconde par Cox & Ross.
Afin de mieux approfondir ces calculs, rappelons préalablement les notions statistiques
d’écart type et de volatilité.
Écart type et volatilité
La méthode de Black & Scholes est fondée sur la notion de volatilité. La volatilité d'une
valeur est la mesure de son élasticité, c'est-à-dire son aptitude à monter où à descendre
plus ou moins vite autour d’une moyenne. La propension des cours à fluctuer exerce une
influence directe sur les bons, les warrants et les options.
Si nous suivons un raisonnement économique journalier, la volatilité va pouvoir s'exprimer
par rapport à la rentabilité, par exemple :
t0 le 1/1/n le cours est de 100
t1 le 2/1/n le cours est de 101
t2 le 3/1/n le cours est de 103
t3 le 4/1/n le cours est de 104
On peut alors écrire que :
%1=
100
1
=
100
100101
=
1
−
r
%2
100
2
101
101103
=
2≈≈
−
r
r31%=104 103
103
−≈
Ces calculs préalables étant effectués, les rentabilités sont alors classées et l'on détermine la
fréquence des rentabilités ; dans notre exemple 2 fois 1 % et 1 fois 2 %.
Ensuite, nous pouvons dessiner un graphe à partir de cette distribution. Nous admettrons (cela
est prouvé) que les rentabilités se répartissent selon une loi de Gauss. A la fréquence la plus
élevée correspond la moyenne.
En assimilant cette distribution empirique à une loi normale centrée réduite, nous pourrons
calculer la volatilité égale à l'écart type :

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Selon la loi normale (0, σ), entre - σ et + σ ≈ 70 %
entre - 2σ et + 2σ ≈ 95 %
Si un warrant a une rentabilité moyenne annuelle de 15 % avec une volatilité de 12 %, on
estimera que le cours du warrant sera compris entre :
115 - 12 et 115 + 12 soit 103 < W < 127 avec 70 % de chance.
115 - 24 et 115 + 24 soit 91 < W < 139 avec 95 % de chance.
En bourse, on utilise des mesures annuelles. Ainsi le passage d'une rentabilité journalière à
une rentabilité annuelle implique la multiplication par le coefficient 250 (on estime à 250, le
nombre de jours de bourse) ou de 52 (car il y a 52 semaines).
Exercice d'application :
Le bon au 1/1/n vaut 1000. L'analyse des fréquences donne une rentabilité journalière
de 1 % avec un écart type de 0,3 %.
1) Quelle est la probabilité d'avoir un rendement supérieur à 10 % par an ?
2) Quelle est la volatilité annuelle du bon ?
On admettra qu'il y a 250 jours de Bourse.
Solution
Si on admet que le taux journalier suit une loi normale de moyenne x = 1 % et d'écart
type σ = 0,3 %, on peut étendre ces chiffres à l'année à l’aide des calculs suivants :
%15,81=15,811%=2501%= ××
A
x
%4,743=15,810,3=2500,3= ××
A
σ
La loi normale de la rentabilité annuelle s'écrit donc : (15,81 % ; 4,743 %).
En l'assimilant à une loi normale centrée réduite π (t),
nous écrirons que 743,4 81,15x
=
x
=−−
σ
x
t
15,81 +4,743t=x

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P (x ≥10) ≈+≥π(, , )4 743 1581 10 t
≈≥− ≥− ≥−πππ(, , ) ( ,
,)4743 581 581 4743
t = = (t 1,225)t
≈≥−π(,)t 1225
La symétrie du graphique ci-dessus montre que π (t ≥ - 1,225) est égale à π (t) ≤ 1,225.
Grâce à cette dernière présentation, nous pouvons lire la table intégrale de π (t).
Il vient π (t) ≤ 1,225 pour t = 0,8944.
Nous avons donc 89,44 % de chance de dépasser une rentabilité de 10 %. Si telle est
notre limite, nous devons prendre le risque et acquérir le bon.
Attention : il s'agit là d'un véritable risque parce que l'effet de levier joue dans le bon
et le mauvais sens, de telle sorte qu'il est possible de perdre 80 % de sa fortune en
très peu de temps. Le gain peut être très élevé, la perte aussi !

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1 - CALCUL STATISTIQUE DE LA VALEUR D’UNE OPTION
Deux procédés sont traditionnellement utilisés :
- la formule de Black & Scholes ;
- la méthode binomiale définie par la formule de Cox & Ross.
Nous étudierons ensuite le théorème de la parité Put/Call
La formule de Black & Scholes
Peu d’ouvrages français expliquent clairement la formule de Black & Scholes de telle sorte
qu’il est difficile de comprendre comment est calculée une option. La formulation de Black &
Scholes est elle-même dissuasive par son ésotérisme et les auteurs nous noient dans des
démonstrations mathématiques complexes.
Nous allons voir ensemble comment ce calcul peut être expliqué assez simplement et
démontrer la juste valeur d’une option.
Black & Scholes fondent leur raisonnement sur le principe d’une loi logonormale. Ceci est
fort simple mais encore faut-il savoir ce qu’est une loi logonormale, ce qu’est une loi normale
et pourquoi la première plutôt que la seconde.
Une loi normale est une loi statistique qui est définie par sa moyenne et son écart type. Si le
cours d’une action suit une loi normale, de moyenne 150 avec un écart type de 20, on écrira
que ce cours suit une loi normale : (150,20).
150 représente la moyenne des cours sur une période fixée et 20 son écart type.
Le cours varie en général entre 150 et 170 au-dessus, et entre 150 et 130 en dessous et en
moyenne l’écart est de 20. On l’appelle écart type et on le désigne par
σ
(sigma minuscule).

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Cette loi est représentée par la fameuse courbe en forme de cloche :
La zone hachurée, limitée par + et - l’écart-type
σ
= 20, représente une surface égale à 68,3 %
de la surface incluse entre la courbe et l’axe des x. On dira que le cours a 68,3 % de chance
d’être compris entre 130 et 170 si l’on se fonde sur l’historique de sa courbe.
Si on écarte les bornes à σσ− 2 +et 2 (110 - 190), la surface (et donc la probabilité) passe à
95,4 %.
Le raisonnement illustré par le graphique précédent est un raisonnement absolu qui implique
que la valeur des cours, ou des éléments composant la série, ne sont pas liés entre eux.
Cela serait vrai si l’on retenait, par exemple, un échantillon sur la taille d’une population
d’individus (tailles prélevées par exemple sur un échantillon de 1000 personnes) ; on écrirait
que la taille moyenne des hommes est de 1,75 m avec un écart type de 15 cm. On en déduirait
une loi statistique de forme normale. Mais une grande différence apparaîtrait : la taille de
l’individu n° 325 sur les 1000 individus sélectionnés est indépendante de celle de l’individu
n° 326 ; la taille du n° 325 ne conditionne pas celle du n° 326 et inversement.
Si l’on revient à l’analyse du cours d’une action, toutes les valeurs vont être liées entre elles
(contrairement à l’exemple des tailles) puisque précisément le dénominateur commun de ces
chiffres est la valeur de l’action et de l’entreprise qu’elle représente renforcée par la valeur de
l’indice sur actions du pays (S&P500, NIKKEI, DAX, CAC40, etc.). Ces derniers vont
fluctuer selon les nouvelles économiques. Si celles-ci sont mauvaises, les indices entraineront
dans leur chute la plus grande partie des entreprises qui les composent.
Pour les cours, la relativité existe !
Si le cours d’une action est aujourd’hui de 120 euros, il passera peut-être demain à 122 ou se
réduira à 119, mais il n’y aura jamais de série telle que sur 5 séances, les cours s’échelonnent
comme suit : 120, 146, 101, 160, 80. Un tel chaos ne peut être trouvé sur les cours car les
valeurs sont liées et de ce fait la seule façon de les suivre est de les estimer relativement. C’est
là que la loi logonormale va faire son apparition. Désormais nous allons raisonner sur des
variations exprimées en pourcentage.
La valeur d’une action est de 100, puis elle passe à 110 :
l’augmentation est de 10 % puisque CA
CD=Cours d'arrivée Cours de départ = 110 100 = 1,10
Si cette action, qui vaut 110, baisse de 10 %, sa nouvelle valeur est-elle de 100 ou de 99 ?
Si on écrit C
CA
D= X
110 = 0,9 on obtient X = 0,9 × 110 = 99
Ainsi + 10 % nous élève de 100 à 110 et – 10 % nous réduit de 110 à 99.