La pratique moderne des Options et des Futures

Chapitre 1
Analyse théorique des options
Il est indispensable de comprendre comment est calculée la valeur d’une option.
La première méthode a été proposée par Black & Scholes ; la seconde par Cox & Ross.
Afin de mieux approfondir ces calculs, rappelons préalablement les notions statistiques
d’écart type et de volatilité.
Écart type et volatilité
La méthode de Black & Scholes est fondée sur la notion de volatilité. La volatilité d'une
valeur est la mesure de son élasticité, c'est-à-dire son aptitude à monter où à descendre
plus ou moins vite autour d’une moyenne. La propension des cours à fluctuer exerce une
influence directe sur les bons, les warrants et les options.
Si nous suivons un raisonnement économique journalier, la volatilité va pouvoir s'exprimer
par rapport à la rentabilité, par exemple :
t 0 le 1/1/n
t 1 le 2/1/n
t 2 le 3/1/n
t 3 le 4/1/n
le cours est de 100
le cours est de 101
le cours est de 103
le cours est de 104
On peut alors écrire que :
101 − 100
1
=
r1 =
=1%
100
100
103 − 101
2
r2 =
≈
≈2%
101
100
r3 =
104 − 103
≈ 1%
103
Ces calculs préalables étant effectués, les rentabilités sont alors classées et l'on détermine la
fréquence des rentabilités ; dans notre exemple 2 fois 1 % et 1 fois 2 %.
Ensuite, nous pouvons dessiner un graphe à partir de cette distribution. Nous admettrons (cela
est prouvé) que les rentabilités se répartissent selon une loi de Gauss. A la fréquence la plus
élevée correspond la moyenne.
En assimilant cette distribution empirique à une loi normale centrée réduite, nous pourrons
calculer la volatilité égale à l'écart type :
~ 11 ~
Selon la loi normale
(0, σ), entre - σ et + σ ≈ 70 %
entre - 2σ et + 2σ ≈ 95 %
Si un warrant a une rentabilité moyenne annuelle de 15 % avec une volatilité de 12 %, on
estimera que le cours du warrant sera compris entre :
115 - 12 et 115 + 12 soit 103 < W < 127 avec 70 % de chance.
115 - 24 et 115 + 24 soit 91 < W < 139 avec 95 % de chance.
En bourse, on utilise des mesures annuelles. Ainsi le passage d'une rentabilité journalière à
une rentabilité annuelle implique la multiplication par le coefficient 250 (on estime à 250, le
nombre de jours de bourse) ou de 52 (car il y a 52 semaines).
Exercice d'application :
Le bon au 1/1/n vaut 1000. L'analyse des fréquences donne une rentabilité journalière
de 1 % avec un écart type de 0,3 %.
1) Quelle est la probabilité d'avoir un rendement supérieur à 10 % par an ?
2) Quelle est la volatilité annuelle du bon ?
On admettra qu'il y a 250 jours de Bourse.
Solution
Si on admet que le taux journalier suit une loi normale de moyenne x = 1 % et d'écart
type σ = 0,3 %, on peut étendre ces chiffres à l'année à l’aide des calculs suivants :
x A = 1% × 250 = 1% × 15,81 = 15,81 %
σ A = 0,3 × 250 = 0,3 × 15,81 = 4,743 %
La loi normale de la rentabilité annuelle s'écrit donc :
En l'assimilant à une loi normale centrée réduite π (t),
nous écrirons que t =
x−x
σ
=
x − 15,81
4,743
x = 4,743t + 15,81
~ 12 ~
(15,81 % ; 4,743 %).
P (x ≥10) ≈ π( 4,743 t + 15,81 ≥ 10)
≈ π (4,743 t ≥ −5,81) = π ( t ≥ −
5,81
) = π (t ≥ −1,225)
4,743
≈ π( t ≥ −1,225)
La symétrie du graphique ci-dessus montre que π (t ≥ - 1,225) est égale à π (t) ≤ 1,225.
Grâce à cette dernière présentation, nous pouvons lire la table intégrale de π (t).
Il vient π (t) ≤ 1,225 pour t = 0,8944.
Nous avons donc 89,44 % de chance de dépasser une rentabilité de 10 %. Si telle est
notre limite, nous devons prendre le risque et acquérir le bon.
Attention : il s'agit là d'un véritable risque parce que l'effet de levier joue dans le bon
et le mauvais sens, de telle sorte qu'il est possible de perdre 80 % de sa fortune en
très peu de temps. Le gain peut être très élevé, la perte aussi !
~ 13 ~
1 - CALCUL STATISTIQUE DE LA VALEUR D’UNE OPTION
Deux procédés sont traditionnellement utilisés :
- la formule de Black & Scholes ;
- la méthode binomiale définie par la formule de Cox & Ross.
Nous étudierons ensuite le théorème de la parité Put/Call
La formule de Black & Scholes
Peu d’ouvrages français expliquent clairement la formule de Black & Scholes de telle sorte
qu’il est difficile de comprendre comment est calculée une option. La formulation de Black &
Scholes est elle-même dissuasive par son ésotérisme et les auteurs nous noient dans des
démonstrations mathématiques complexes.
Nous allons voir ensemble comment ce calcul peut être expliqué assez simplement et
démontrer la juste valeur d’une option.
Black & Scholes fondent leur raisonnement sur le principe d’une loi logonormale. Ceci est
fort simple mais encore faut-il savoir ce qu’est une loi logonormale, ce qu’est une loi normale
et pourquoi la première plutôt que la seconde.
Une loi normale est une loi statistique qui est définie par sa moyenne et son écart type. Si le
cours d’une action suit une loi normale, de moyenne 150 avec un écart type de 20, on écrira
que ce cours suit une loi normale :
(150,20).
150 représente la moyenne des cours sur une période fixée et 20 son écart type.
Le cours varie en général entre 150 et 170 au-dessus, et entre 150 et 130 en dessous et en
moyenne l’écart est de 20. On l’appelle écart type et on le désigne par σ (sigma minuscule).
~ 14 ~
Cette loi est représentée par la fameuse courbe en forme de cloche :
La zone hachurée, limitée par + et - l’écart-type σ = 20 , représente une surface égale à 68,3 %
de la surface incluse entre la courbe et l’axe des x. On dira que le cours a 68,3 % de chance
d’être compris entre 130 et 170 si l’on se fonde sur l’historique de sa courbe.
Si on écarte les bornes à − 2 σ et + 2 σ (110 - 190), la surface (et donc la probabilité) passe à
95,4 %.
Le raisonnement illustré par le graphique précédent est un raisonnement absolu qui implique
que la valeur des cours, ou des éléments composant la série, ne sont pas liés entre eux.
Cela serait vrai si l’on retenait, par exemple, un échantillon sur la taille d’une population
d’individus (tailles prélevées par exemple sur un échantillon de 1000 personnes) ; on écrirait
que la taille moyenne des hommes est de 1,75 m avec un écart type de 15 cm. On en déduirait
une loi statistique de forme normale. Mais une grande différence apparaîtrait : la taille de
l’individu n° 325 sur les 1000 individus sélectionnés est indépendante de celle de l’individu
n° 326 ; la taille du n° 325 ne conditionne pas celle du n° 326 et inversement.
Si l’on revient à l’analyse du cours d’une action, toutes les valeurs vont être liées entre elles
(contrairement à l’exemple des tailles) puisque précisément le dénominateur commun de ces
chiffres est la valeur de l’action et de l’entreprise qu’elle représente renforcée par la valeur de
l’indice sur actions du pays (S&P500, NIKKEI, DAX, CAC40, etc.). Ces derniers vont
fluctuer selon les nouvelles économiques. Si celles-ci sont mauvaises, les indices entraineront
dans leur chute la plus grande partie des entreprises qui les composent.
Pour les cours, la relativité existe !
Si le cours d’une action est aujourd’hui de 120 euros, il passera peut-être demain à 122 ou se
réduira à 119, mais il n’y aura jamais de série telle que sur 5 séances, les cours s’échelonnent
comme suit : 120, 146, 101, 160, 80. Un tel chaos ne peut être trouvé sur les cours car les
valeurs sont liées et de ce fait la seule façon de les suivre est de les estimer relativement. C’est
là que la loi logonormale va faire son apparition. Désormais nous allons raisonner sur des
variations exprimées en pourcentage.
La valeur d’une action est de 100, puis elle passe à 110 :
l’augmentation est de 10 % puisque
CA
Cours d' arrivée
110
=
=
= 1,10
C D Cours de départ
100
Si cette action, qui vaut 110, baisse de 10 %, sa nouvelle valeur est-elle de 100 ou de 99 ?
Si on écrit
CA
X
=
= 0,9 on obtient X = 0,9 × 110 = 99
CD
110
Ainsi + 10 % nous élève de 100 à 110 et – 10 % nous réduit de 110 à 99.
~ 15 ~
Conclusion : la loi normale ne s’applique pas car elle est symétrique par rapport à la
moyenne. Pour les cours, la symétrie ne s’applique pas car + 10 % et – 10 % se traduisent par
+ 10 et - 11.Le principe de multiplication doit donc se substituer à celui d’addition.
La seule façon de passer de l’un à l’autre est d’utiliser une fonction logonormale car,
lorsqu’on additionne les logarithmes de deux nombres, on obtient le logarithme de la
multiplication de ces nombres. Ainsi :
ln a + ln b = ln (a × b )
De même :
110
=
0,0953 =
9,53%
100
99
ln
=
- 0,1054 = -10,54%
110
110 99
ln
×
= 0,0101 = - 1, 01%
100 100
ln
Le taux de rentabilité x est obtenu en écrivant :
x = ln
CA
C − CD
et non pas x = A
CD
CA
Le taux s’exprime de façon relative et non plus absolue.
Désignons par St le cours à un instant t ; nous pouvons exprimer :
x = ln
S t +1
St
Si nous connaissons St, nous pouvons écrire que :
St + 1 = St × ex
Illustrons ces principes par un exemple chiffré ; le taux de rentabilité est de 10 % et St = 100,
il vient :
S t + 1 = 100 × e
+ 0,10
S t + 2 = 110,52 × e
= 110,52
- 0,10
= 100 = S t
Si le cours s’est apprécié de 10 % et ensuite s’est déprécié de 10 %, nous revenons au point de
départ, soit 100.
Selon ces principes, calculons la série obtenue au-dessus et en dessous du cours de départ 100.
Au-dessus il vient avec x = + 10 %
1
2
3
4
5
6
7
8
100 - 110,52 - 122,14 - 134,99 - 149,18 - 164,87 - 182,21 - 201,38
En dessous :
49,66 - 54,88 - 60,65 - 67,03 - 74, 08 - 81,87 - 90,48 - 100
8
7
6
5
4
3
2
1
Nous remarquons qu’à 10 %, le cours double après 8 ans et se divise par 2 si la baisse de
10 % est continue pendant 8 ans (201,38 et 49,66).
Représentons ces chiffres sur une ligne.
La dissymétrie est alors frappante :
~ 16 ~
En conclusion, les cours ne sont pas distribués selon une loi normale, mais selon une loi
logonormale, telle que :
⎛S ⎞
ln ⎜ t ⎟ est distribué selon
⎝ So ⎠
( μt, σ t)
Autrement exprimé, la rentabilité x suit une loi normale influencée par le temps (t) tandis que
cette même rentabilité se calcule à partir des cours qui, eux, suivent une loi logonormale. On
⎡ ⎛ St ⎞ ⎤
⎟ ⎥ = μt = x
⎢⎣ ⎝ S 0 ⎠ ⎥⎦
en déduit la moyenne du taux de rentabilité x telle que : E ⎢ln ⎜
S0 est le cours à l’instant 0
St est le cours à l’instant t
( x, σ ) est la loi normale
est le taux de rentabilité annuel (10% dans l’exemple précédent)
σ t est l’écart type de la rentabilité.
On peut écrire que :
μt
ln St est distribué selon ln S 0 +
( μt , σ t ) , formule dans laquelle ln S0 est le point de
( μt , σ t ) étant la distribution de ln St.
départ, donc fixe,
Mais nous ne sommes pas intéressés par ln St, mais par la distribution de St. C’est ainsi que
nous passons d’une loi normale à une loi logonormale dont la représentation graphique se
calque parfaitement bien sur la représentation linéaire des cours montrée par le graphique
précédent.
Mathématiquement, les cours seront distribués selon la formule :
St
distribué selon
S0
Nous allons maintenant simplifier l’approche mathématique. La partie gauche du texte sera
exprimée en mathématiques, pour les amateurs et spécialistes et la partie droite sera la
traduction de ces formules complexes en français.
Au cours des lignes qui suivent, j’invite les lecteurs à se concentrer davantage sur les
explications écrites en italiques que sur la formulation mathématique. Nous entendons
écrire un livre d’économie et non pas un livre de mathématiques déguisé en livre d’économie.
~ 17 ~
On démontre que le cours relatif La loi logonormale n’est pas
attendu est obtenu en écrivant que : symétrique.
σ t
Si nous avions une loi normale, tout
( μt +
)
⎛S ⎞
2
= S t (moyenne de S t )
E⎜ t ⎟ = e
serait simple car sa moyenne serait
⎝ S0 ⎠
exactement dans son milieu. Mais
Cette équation vient du fait que si x
quel est le milieu pour une loi non
est une variable aléatoire :
symétrique
comme
une
loi
ln( E(x)) = E [ ln(x)] + 0,5 VAR [ ln(x)]
logonormale ? Le milieu est obtenu
Rappelons que nous avons retenu : dès lors
μ = 10% et σ = 20% et t = 1 an
qu’en traçant la verticale à l’axe des
En appliquant ces chiffres on x, la surface entre la courbe, l’axe
obtient :
des x et la verticale est identique à
⎛S ⎞
gauche et à droite.
E⎜ t ⎟ = S = 112,75
2
⎝ S0 ⎠
car e
t
0,10 + 0,04/ 2
= 1,1275
Selon le graphique ci dessus la
frontière définie par 112,75 fait que
la surface S1 est strictement égale à
la surface S2.
À ce stade rappelons que le taux d’intérêt suit une loi normale
S
suivent une loi logonormale ln telle que t suit
S0
( μ, σ ) et que les cours
.
Remarquons que le prix moyen est plus fort que le prix de départ qui était 100. Cela est
logique car la relativité pousse la variation en dessous à se réduire de 100 à 49,61 sur 8 ans
soit presque 50, alors qu’au-dessus, nous obtenons 201,38, soit le double. La dissymétrie
évidente fait pencher la balance au dessus de 100 et fixe la moyenne de la surface de la loi
logonormale à 112,75 (car e 0,10 + 0,04/ 2 = 1,1275).
Ceci étant établi, combien vaut une option selon la logique appliquée par Black &
Scholes ?
Prenons l’exemple d’un call que nous désignerons par Ct ; nous allons déterminer sa valeur en
fonction de l’espérance mathématique qu’il a de terminer in the money.
Globalement, deux possibilités nous sont offertes par l’avenir :
- la première, le call ne finit pas in the money ; en d’autres termes, à l’échéance
le prix d’exercice est supérieur à la valeur de l’action et le call vaut zéro ;
- la seconde, le call finit in the money et dans ce cas combien vaut-il ?
Le problème est donc purement statistique, sachant que la première possibilité, qui consiste à
ne pas terminer dans la monnaie n’a pas été remplie.
~ 18 ~
Premier problème : Quelle est la probabilité pour que le call termine in the money ?
⎛ St ⎞
⎟ suit une loi normale
⎝ S0 ⎠
Nous savons que ln ⎜
( μt , σ t )
⎡
⎛ St ⎞ ⎤
⎟ ⎥ = μt ( μ est le taux de
⎝ S 0 ⎠ ⎥⎦
donc que : E ⎢ln ⎜
⎢⎣
rentabilité annuel).
⎛
Cette
probabilité
est
identique à celle qui
permet
de
dire
à
l’échéance St > X (X est le
prix d’exercice).
Représentons
par
un
graphe cette situation :
σ2 ⎞
⎟ t et σ est l’écart type de la
Et μt = ⎜⎜ r 2 ⎟⎠
⎝
rentabilité.
On veut déterminer la probabilité pour que le
sous-jacent St dépasse le prix d’exercice X
(sinon le call vaut zéro).
On écrira que :
⎛ S
S
X⎞
P(S t ⟩ X) = P ⎜ ln t ⟩ ln ⎟ avec x = ln t
S0 ⎠
S0
⎝ S0
⎛ S
X⎞
= 1 - P ⎜ ln t ⟨ ln ⎟
S0 ⎠
⎝ S0
Si nous passons par une loi normale centrée
(0,1)
réduite :
Nous pouvons écrire que pour T, π( T) étant
cette loi,
x - x
ce qui se traduit en l’occurrence
σ
S
ln t - μt
S0
on en déduit :
par T =
σ t
S
ln t = Tσ t + μt
S0
T =
⎛
et P ⎜ ln
⎝
⎛
St
X⎞
X⎞
⟨ ln ⎟ s’écrit P ⎜ Tσ t + μt < ln ⎟
S0
S0 ⎠
S0 ⎠
⎝
X
⎛
⎞
ln
- μ t⎟
⎜
S
0
⎟
soit P ⎜ T <
⎜
⎟
σ t
⎜
⎟
⎝
⎠
,
Selon le graphe ci-dessus
nous devons calculer la
probabilité pour que X soit
inférieur à Xt ; cela revient à
déterminer P(S t ⟩ X) qui est
égal à la surface hachurée
Sx. Or une surface se calcule
en déterminant la fonction
intégrale de la fonction ; et
la fonction intégrale d’une
courbe logarithmique, futelle normale ou non, est
égale à la surface bornée
entre cette courbe et l’axe
des x.
Mais
un
aspect
économique ne doit pas
être oublié. Il s’agit du
temps et donc du taux
d’intérêt
sans
risque
déclenché par le laps de
temps qui court entre
l’achat de l’option, tandis
que le sous-jacent vaut S0
et St qui est la valeur du
sous-jacent à l’échéance.
Ce temps t et ce taux
d’intérêt sans risque r vont
réduire directement la
valeur de l’option afin de
comparer
objectivement
une variable aléatoire à
une variable non aléatoire
qui croît au cours du temps
grâce au taux d’intérêt
sans risque r.
~ 19 ~
⎛
⎛
X
σ 2 ⎞ ⎞⎟
⎜
⎟t
ln
- ⎜⎜ r ⎜
S0
2 ⎟⎠ ⎟
⎝
soit P ⎜ T <
⎟
σ t
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎞
⎛
2
⎝
2 ⎠
σ
car μ t = ⎜⎜ r - ⎟⎟ t
Le résultat est obtenu en appliquant le chiffre
suivant :
S 0 = 100; X = 120; r = 0,12; σ = 0,2; t = 1 (un an)
⎛
100 ⎛
0,04 ⎞ ⎞
⎜ ln
- ⎜ 0,12 ⎟1⎟
120 ⎝
2 ⎠ ⎟
⎜
P(St ⟩120) = 1 - P T⟨
⎜
⎟
0,2 1
⎜
⎟
⎝
⎠
or 1 - π(T) = π(-T)
⎛
100 ⎛
0,04 ⎞ ⎞
⎜ ln
+ ⎜ 0,12 ⎟1⎟
120 ⎝
2 ⎠ ⎟
⎜
= P T⟨
=
⎜
⎟
0,2 1
⎜
⎟
⎝
⎠
Tous ces calculs nous
permettent d’aboutir à
la première conclusion
de Black & Scholes :
Connaissant
le
taux
d’intérêt sans risque et les
écarts que le taux de
rentabilité peut prendre à
partir de ce taux d’intérêt
sans risque, le sous-jacent
a 34 % de chance, partant
d’une valeur de 100 au
moment de l’achat du call
de dépasser 120, c’est-àdire de positionner le call
dans la monnaie à
l’échéance. Dans ce cas et
dans ce cas seul, le call va
avoir une valeur plus
grande que zéro.
π (-0,4116) = 0,34
Deuxième problème : À quel niveau fixer la valeur de l’option ?
Nous pouvons désormais diviser la courbe logonormale en deux parties.
Désormais, seule la zone Z2 nous intéresse (puisque en Z1 l’option vaut zéro étant out of the
money à l’échéance). Que doit-on chercher ?
Tout simplement la valeur moyenne que peut prendre le sous-jacent dès lors qu’il est admis
que le sous-jacent vaut automatiquement plus de 120.
Le sous-jacent peut statistiquement prendre toutes les valeurs comprises entre 120 et l’infini.
En pratique cela est faux mais ce raisonnement n’a pas besoin d’être modifié pour cela car
les market makers limiteront les valeurs d’exercice au dessus et en dessous du cours spot.
Quelle valeur prendre pour le futur sous-jacent ?
La valeur la plus probable est la valeur moyenne du sous-jacent dans cette zone noire Z2.
~ 20 ~
Où se trouve cette valeur ?
Cette valeur moyenne se trouve logiquement au point S m (S m = E(S t ) = S t ) tel que la surface
Z2 soit divisée en deux surfaces strictement égales par la perpendiculaire SmM tracée à partir
de l’axe des x. Z2 est ainsi partagée en Z’2 et Z’’2 telles que Z’2 = Z’’2. La valeur du sousjacent qui correspond à ce partage en surfaces égales est de 137,894.
Nous disposons désormais de tous les éléments pour calculer le call 120 à échéance 1 an.
Si nous étions certains qu’après un an, S t soit égal à S1 = 137,894 , nous pourrions dire que la
valeur de notre call est de 137,894 – 120, soit 17,894.
Cela ne serait cependant pas exact, car en achetant cette option, nous avons acheté aussi une
incertitude et si nous avions, avec la même somme d’argent, acheté une certitude, nous
aurions placé cet argent sur le marché sans risque (dont le taux r était par exemple de 12 %).
Il faudra donc réduire cette somme afin de la rendre comparable en annulant l’aspect
aléatoire et le call vaudra :
17,894
, soit 15,976 .
1,12
Si nous ajustons cette valeur par la simple probabilité que le call a d’être dans la monnaie
(ou que le sous-jacent soit supérieur à 120) le résultat ci-dessous doit être multiplié par 0,34.
Nous obtenons donc :
C = 15,976 x 0,34 = 5,43.
La formule de Black & Scholes nous fournit plus exactement :
C = 0,34 × e - 0,12 × (137,894 - 120) = 5,40
Ce résultat est très proche de celui obtenu empiriquement.
Black & Scholes est ainsi démystifié et repose en conclusion sur trois principes qui conduisent
à trois questions/ réponses :
1/ Quelle probabilité a le call d’être dans la monnaie à l’échéance ?
Autrement exprimé, quelle probabilité a le cours du sous-jacent d’être supérieur ou égal au
prix d’exercice : P = P(S t ⟩ X) ?
2/ Quel est le rendement d’un placement équivalent sur le marché sans risque pendant la
même période ?
e -r t est l’élément réducteur.
3/ Quelle est la valeur moyenne du sous-jacent dans la zone Z2 de profit ?
Nous obtenons alors :
C = p × e -rt × ( E(S t - X)) avec S t ⟩ X
~ 21 ~
Le partage de la zone Z2 en Z’2 et Z’’2 telles que Z’2 = Z’’2 implique le calcul intégral (ce
n’est qu’un simple calcul de surface) de la fonction P(S t ⟩ X) qui s’écrit :
P(S t ⟩ X) =
2⎞ ⎞
⎛ ⎛S ⎞ ⎛
⎜ ln ⎜ 0 ⎟ + ⎜ r − σ ⎟ t ⎟
⎜
2 ⎟⎠ ⎟
⎜ ⎝ X⎠ ⎝
⎜
⎟ =
σ t
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(d2)
Le calcul intégral de la fonction P(S t ⟩ X) =
(d2) doit se faire dans la zone partant de X
jusqu’à l’infini. Ce calcul aboutit aux résultats suivants :
S t = E (S t ) = S 0 e r t
tel que St > X
avec d1 =
σ² ⎞
⎛S ⎞
⎛
ln ⎜ 0 ⎟ + ⎜ r +
⎟t
⎝
⎝ X⎠
2⎠
σ t
et d 2 =
σ2 ⎞
⎛S ⎞ ⎛
⎟t
ln ⎜ 0 ⎟ + ⎜⎜ r −
⎝ X⎠ ⎝
2 ⎟⎠
σ t
Nous utilisons d1 et d2 car cela est plus court et évite de recopier la formule qui est
compliquée.
Que vaut le call C ?
C=
(d 1) × e -r t × (S0 e rt (
(d 1)/
(d 2) - X)
Cette formule se décompose comme suit :
(d 1) : probabilité d’être in the money (le fameux Delta).
e r t : influence du taux sans risque ( le Rhô)
S0 e rt(
(d 1)/
(d 2)) : c’est à dire St
X : prix d’exercice.
Il est à noter que le call est exercé à l’européenne, c’est-à-dire à l’échéance. La formule de
Black & Scholes ne permet pas le calcul direct d’un call exercé à l’américaine, mais il suffit
de paramétrer t pour que ce calcul puisse aboutir.
~ 22 ~