Corrigé

Le vent solaire
Corrigé de l’épreuve de physique MPI 2008
Le lecteur intéressé pourra consulter cette bibliographie introductive sur laquelle le sujet s’est
en partie appuyé :
– « How does the solar wind blow ? a simple kinetic model », Nicole Meyer-Vernet, Eur. J.
Phys. 20, 167 (1999)
– « Basics of the solar wind », Nicole Meyer-Vernet (Cambridge University Press, 2007)
– « Physics of space plasmas : an introduction », George K. Parks (Boulder, 2004)
– « Physics of the space environment », Tamas I. Gombosi (Cambridge University Press, 1998)
1 Généralités sur les plasmas rencontrés en astrophysique
1.1 Plasma cinétique ou plasma collisionnel
1. Ec≈kBTsi on suppose l’équilibre thermique.
2. La distance moyenne est de l’ordre de n−1/3
e.
3. Ep≈e2/(4πε0n−1/3
e).
4. On a Γ = e2n1/3
e
4πε0kBT.
Les plasmas spatiaux (vent solaire, couronne solaire
et ionosphère) sont des plasmas cinétiques (gaz par-
fait chargé), ce qui ne veut pas dire que les interac-
tions coulombiennes ne jouent pas de rôle, comme on
va le voir avec les phénomènes d’écrantage ci-dessous
(interactions longues portées). L’intérieur stellaire est
marginalement cinétique alors que les électrons dans
un métal forment un plasma collisionnel.
Plasma Γ
Vent solaire à 1 UA 2 ×10−8
Couronne solaire 2×10−6
Ionosphère 2×10−4
Intérieur stellaire 2×10−1
Métal 9×102
Dans un plasma cinétique, l’énergie cinétique domine alors que dans un plasma collisionnel,
l’énergie potentiel domine (leur comportement est contrôlé par les interactions courtes
portées).
1.2 Écrantage électrique dans la couronne solaire
1.2.1 Situation d’équilibre
5. On reconnaît un facteur de Boltzmann pour l’équilibre thermique. La neutralité électrique
est bien assurée pour V(r) = 0 (n0représente la densité pour r→ ∞, c’est donc la valeur
donnée dans les différents tableaux).
6. L’équation de Poisson s’écrit ∆V(r) + ρ(r)/ε0= 0 avec ρ(r) = −ene(r) + enp(r). À l’aide
du Laplacien en coordonnées sphériques, on obtient :
1

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d2
dr2(rV(r)) = 2ren0 ε0
sh µeV(r)
kBT¶.
7. Dans un plasma cinétique, eV(r)¿kBT, donc on peut développer le sh et l’équation
précédente se ramène à une EDL d’ordre 2 sur rV(r). Seule la solution en exponentiel
décroissante est valable pour éviter la divergence en r→ ∞. Pour r→0, le potentiel
est dominé par celui créé par l’ion de référence, ce qui permet de déterminer la constante
d’intégration. On se retrouve avec un potentiel du type Yukawa fournit dans l’énoncé, où :
λD=rε0kBT
2n0e2.
8. La longueur de Debye est l’échelle spatiale caractérisant l’hypothèse de quasi neutralité
car si V(r)=0, alors ne=np=n0d’après les équations (1) et (2). On a un phénomène
d’écrantage, le champ électrique est nul sur une distance plus grande que λD. La figure
ci-dessous représente le potentiel de Yukawa (courbe du bas) ainsi que le potentiel de
Coulomb (courbe du haut). Le potentiel de Yukawa décroît beaucoup plus vite vers zéro.
r
V
9. On trouve λD≈6,6 m , c’est donc petit devant les échelles spatiales qui sont de l’ordre de
l’unité astronomique (ou au moins du rayon solaire). Par contre, cela peut intervenir pour
l’environnement immédiat des satellites qu’on envoie dans l’espace (c’est en particulier une
des raisons pour laquelle ceux-ci se chargent).
1.2.2 Ondes acoustiques dans un plasma cinétique
10. L’équation de Poisson permet de calculer npen fonction de neet du potentiel V(x, t)
∂2V(x, t)
∂x2+e(np(x, t)−ne(x, t)) ε0
= 0 .
Donc np(x, t) = −ε0
e
∂2V(x, t)
∂x2+n0exp µeV(x, t) kBT¶
On développe ensuite l’exponentielle avec l’hypothèse de plasma cinétique Γ¿1. Il nous
reste à vérifier qu’on peut négliger le terme ε0
e
∂2V(x, t)
∂x2devant n0eV(x, t) kBT, ce qui est
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le cas puisque le rapport entre les deux termes est de l’ordre de (λD/L)2¿1, où Lest
une distance caractéristique liée à l’onde (par exemple la longueur d’onde) qui est grande
devant la longueur de Debye par hypothèse.
11. On fait un bilan de conservation du nombre de protons sur un tranche d’épaisseur dxen
l’absence puis déformé par la présence de l’onde :
n0×dx=np×(dx+ dξ),
d’où le résultat en utilisant la question 10.
12. Avec le PFD, cela donne finalement :
∂2ξ(x, t)
∂t2=−e mp
∂V(x, t)
∂x ,
∂ξ(x, t)
∂x =−eV(x, t) kBT.
13. On obtient immédiatement l’équation de d’Alembert :
∂2ξ(x, t)
∂x2−mp kBT
∂2ξ(x, t)
∂t2= 0 .
14. On a cs=skBT
mp
. L’onde acoustique n’est pas créée par des chocs protons-protons, mais
par l’intermédiaire du champ électrique (collision « longue portée »).
15. L’application numérique donne cs≈34 km.s−1. On a cs< vSN, donc le vent solaire est
supersonique.
1.3 Écrantage magnétique
16. L’induction implique qu’un champ électrique doit se créer, qui satisfait à l’équation de
Maxwell-Faraday −→ rot −→ E = −∂t−→ B. Avec les invariances selon yet z, on déduit de l’équation
de Maxwell-Faraday que Ezest constant, donc nul. De plus, avec div −→ E = 0 car le plasma
est neutre, on déduit aussi que Exest constant donc nul.
1.3.1 Cas d’un plasma collisionnel (ΓÀ1)
17. On a −→ j=γ−→ E.
18. Les équations de Maxwell fournissent les relations suivantes :
∂E(x, t)
∂x =−∂B(x, t) ∂t ,
∂B(x, t)
∂x =−µ0j(x, t) = −µ0γE(x, t).
En éliminant le champ électrique, on a :
∂2B(x, t)
∂x2=µ0γ∂B(x, t) ∂t .
Donc le coefficient de diffusion s’écrit D = 1/(µ0γ). Le champ magnétique pénètre de
façon diffusive dans le plasma, contrairement au cas du plasma sans collision (cf 1.3.2).
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19. La longueur de pénétration Lau bout d’un temps τs’écrit qualitativement L≈√D×τ
donc τ≈R2
¯µ0γ= 4 ×1018 s! La diffusion est très lente car γest très grand.
1.3.2 Cas d’un plasma cinétique (Γ¿1)
20. L’hypothèse est valable pour un mouvement non relativiste des électrons. Avec la tem-
pérature qui est donnée pour le vent solaire à 1 UA, on obtient une vitesse quadratique
moyenne de l’ordre de :
(hv2
e)1/2i ≈ 2,5×106m.s−1≈c/122 ,
donc on est bien dans une situation non relativiste.
21. Les équations de Maxwell et le PFD nous donnent :
∂E(x, t)
∂x =−∂B(x, t) ∂t ,
∂B(x, t)
∂x =µ0neeve(x, t),
∂ve(x, t)
∂t =−e me
E(x, t).
22. On résout le système précédent en B(x, t) = B0(t) exp µ−x
λpl ¶.
Avec λpl =rme
µ0nee2.
23. On observe un écrantage magnétique sur une distance de l’ordre de la longueur plasma λpl,
zone d’interface entre des parties magnétisées et des parties non magnétisées du plasma.
Le champ magnétique ne pénètre pas dans les zones de champ non magnétisés. L’ordre de
grandeur pour les plasmas spatiaux est de λpl ≈2 km .
24. La causalité est violée. On a négligé le terme de déplacement dans Maxwell-Ampère, alors
que c’est lui qui fait justement la propagation. Si on en tient compte, on n’a plus ce dé-
couplage entre le temps tet la position xet donc le problème de causalité disparaît. Notre
modèle n’est valable que si le champ magnétique évolue à une fréquence plus petite que
c/λpl, donc qualitativement
¯¯¯¯
1
B0
dB0
dt¯¯¯¯¿c λpl
.
1.3.3 Ondes d’Alfvén dans un plasma cinétique avec champ magnétique
25. Les électrons éliminent rapidement le champ électrique qu’ils voient (condition de conducteur
parfait), donc dans le référentiel de leur mouvement d’ensemble :
−→
E
0
=−→ 0 = −→ E + −→ ve∧−→ B.
Autrement dit, la force de Lorentz qui agit sur eux est constamment nulle :
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me
d−→ ve
dt= 0 .
26. D’après le choix de la forme du champ magnétique et l’hypothèse d’ARQS, on voit que
−→
rot −→ Best porté seulement par −→ ey, or −→ vpest selon −→ excar on cherche des solutions d’oscil-
lations protoniques unidirectionnelles. Attention à l’erreur dans l’énoncé, on doit déduire
de cette question que (−→ je+−→ jp)·−→ ex= 0.
27. On peut écrire le système d’équations suivant :
div −→ E = e(np−ne)
ε0
= 0 ,
div −→ B = 0 ,
−→
rot −→ E = −∂−→
B
∂t ,
−→
rot −→ B = −µ0ene−→ ve+µ0enp−→ vp,
mp
d−→ vp
dt=e(−→
E + −→ vp∧−→ B ) .
L’équation du mouvement projeté sur −→ ex,−→ eyet −→ ezdonne :
mp
∂vp(z, t)
∂t =eEx,
Ey=vp(z, t)B0,
Ez= 0 .
Puis l’équation de Maxwell Faraday donne :
∂tB(z, t) = ∂zEy,
∂zEx=∂xEz,
∂xEy=∂yEx.
D’où on en déduit :
∂tB(z, t) = B0∂zvp(z, t)⇒∂2B(z, t)
∂t2= B0
∂
∂z
∂vp(z, t)
∂t =B0e mp
∂Ex
∂z .
L’équation de Maxwell-Ampère projetée sur −→ eydonne :
∂zB(z, t) = −µ0neeve,y .
Donc en utilisant −→ E + −→ ve∧−→ B = −→ 0, cela donne, projeté sur −→ ex:
Ex=−ve,yB0=B0
µ0nee∂zB(z, t).
On obtient bien ce qu’il faut en remplaçant :
∂2B(z, t)
∂z2−1
v2
A
∂2B(z, t)
∂t2= 0 .
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