TD 5

TD 5 de physique des plasmas
Mouvements collectifs - Echelles spatiales caractéristiques
M1 Physique fondamentale 2014-2015
On notera ε0 et µ 0 la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique absolues du vide,
e et m la charge et la masse de l’électron.
Exercice 1 – Réponse d’un plasma à une perturbation électrique et longueur de Debye
On considère un plasma d’hydrogène, à l’équilibre thermodynamique, caractérisé par une
densité d’électrons ne(x) et une densité d’ions ni(x) de charge Z = 1. Loin de toute
perturbation, ne = ni = n0. Ces deux populations sont maintenues à une température moyenne
T. Le plasma est infini, globalement neutre et le potentiel électrique Φ étant uniforme peut
être pris égal à zéro. En x = 0, on introduit une électrode plane, infinie, parallèle au plan yOz,
et portée au potentiel constant positif Φ0. On suppose que le potentiel et le champ électrique
restent nuls à l’infini. Le plasma est considéré comme cinétique et non collisionnel.
1. En appliquant l’équation de dynamique des fluides en régime stationnaire à chacune
des populations, montrer que l’équilibre s’écrit pour chacune d’elles :
 eΦ 
n e = n 0 exp

 kT 
et
 eΦ 
n i = n 0 exp −

 kT 
2. Ecrire l’équation de poisson vérifiée par ne, ni et Φ(x).
3. En tenant compte des hypothèses, donner l’équation différentielle du 2ème ordre
vérifiée par Φ(x).
4. En tenant compte des conditions limites, montrer que la solution à cette équation
s’écrit :
Φ (x ) = Φ 0 exp − 2 x λ D
(
)
Exprimer λD en fonction des paramètres plasma et discuter sa signification physique.
Exercice 2 – Ecrantage magnétique d’un plasma collisionnel
On s’intéresse à l’interaction d’un plasma considéré comme collisionnel (électrons-neutres)
avec un champ magnétique variable. Cette situation se rencontre lorsque l’on étudie des
procédés de dépôt et de gravure par plasma en microélectronique où des champs alternatifs
transfèrent de la puissance à un gaz et permettent de créer des ions réactifs. On considère donc
un plasma globalement neutre de densité électronique homogène ne occupant le demi-espace
x > 0. Le plasma étant collisionnel, on propose d’y appliquer la loi d’Ohm locale j = σE avec
σ la conductivité électrique supposée constante. A l’interface x = 0, un champ magnétique
B0(t) uniforme et variable dans le temps est appliqué selon Oz. Les effets de bord le long des
directions y et z sont négligés. On se placera dans l’approximation quasi-stationnaire pour
décrire la dynamique des champs. Les ions, de charge élémentaire +e, sont considérés comme
immobiles.
1. Etablir les trois équations régissant la dynamique du plasma.
2. En déduire l’équation vérifiée par B(x,t) à l’intérieur du plasma. Comment appelle-ton ce type d’équation ? Donner la dimension du coefficient 1/µ 0σ.
3. On applique un champ magnétique alternatif de pulsation ω, s’exprimant en notation
complexe B0(t) = B0.eiωt. On suppose que le champ magnétique dans le plasma est de
la forme :
B(x,t) = B(x).eiωt
En résolvant l’équation différentielle précédente, exprimer B(x).
4. Montrer alors que le champ magnétique pénètre dans le plasma sur une longueur
caractéristique λK à déterminer en fonction de µ 0, σ et ω.
5. En considérant l’expression de la conductivité σ = nee2/mν, où ν désigne la fréquence
moyenne de collision, estimer la longueur λK pour un plasma d’argon de densité ne =
1011 cm-3 excité à une fréquence de 13,6 MHz. La fréquence de collision des électrons
sur les atomes d’argon peut être estimée à 10 MHz.
6. Exprimer le rapport de la longueur caractéristique λK sur la longueur de London λP en
fonction de ω et ν. En déduire un critère de pertinence de l’approche collisionnelle.