TD 5

TD 5 de physique des plasmas
Mouvements collectifs - Echelles spatiales caractéristiques
M1 Physique fondamentale 2014-2015
On notera ε
0
et µ
0
la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique absolues du vide,
e et m la charge et la masse de l’électron.
Exercice 1 – Réponse d’un plasma à une perturbation électrique et longueur de Debye
On considère un plasma d’hydrogène, à l’équilibre thermodynamique, caractérisé par une
densité d’électrons n
e
(x) et une densité d’ions n
i
(x) de charge Z = 1. Loin de toute
perturbation, n
e
= n
i
= n
0
. Ces deux populations sont maintenues à une température moyenne
T. Le plasma est infini, globalement neutre et le potentiel électrique Φ étant uniforme peut
être pris égal à zéro. En x = 0, on introduit une électrode plane, infinie, parallèle au plan yOz,
et portée au potentiel constant positif Φ
0
. On suppose que le potentiel et le champ électrique
restent nuls à l’infini. Le plasma est considéré comme cinétique et non collisionnel.
1. En appliquant l’équation de dynamique des fluides en régime stationnaire à chacune
des populations, montrer que l’équilibre s’écrit pour chacune d’elles :
Φ
=kT
e
expnn 0e et 
Φ
−= kT
e
expnn 0i
2.
Ecrire l’équation de poisson vérifiée par n
e
, n
i
et Φ(x).
3. En tenant compte des hypothèses, donner l’équation différentielle du 2
ème
ordre
vérifiée par Φ(x).
4. En tenant compte des conditions limites, montrer que la solution à cette équation
s’écrit :
(
)
(
)
D0
x2expx λ−Φ=Φ
Exprimer λ
D
en fonction des paramètres plasma et discuter sa signification physique.
Exercice 2 – Ecrantage magnétique d’un plasma collisionnel
On s’intéresse à l’interaction d’un plasma considéré comme collisionnel (électrons-neutres)
avec un champ magnétique variable. Cette situation se rencontre lorsque l’on étudie des
procédés de dépôt et de gravure par plasma en microélectronique où des champs alternatifs
transfèrent de la puissance à un gaz et permettent de créer des ions réactifs. On considère donc
un plasma globalement neutre de densité électronique homogène n
e
occupant le demi-espace
x > 0. Le plasma étant collisionnel, on propose d’y appliquer la loi d’Ohm locale j = σE avec
σ la conductivité électrique supposée constante. A l’interface x = 0, un champ magnétique
B
0
(t) uniforme et variable dans le temps est appliqué selon Oz. Les effets de bord le long des
directions y et z sont négligés. On se placera dans l’approximation quasi-stationnaire pour

décrire la dynamique des champs. Les ions, de charge élémentaire +e, sont considérés comme
immobiles.
1.
Etablir les trois équations régissant la dynamique du plasma.
2. En déduire l’équation vérifiée par B(x,t) à l’intérieur du plasma. Comment appelle-t-
on ce type d’équation ? Donner la dimension du coefficient 1/µ
0
σ.
3.
On applique un champ magnétique alternatif de pulsation ω, s’exprimant en notation
complexe B
0
(t) = B
0
.e
iωt
. On suppose que le champ magnétique dans le plasma est de
la forme : B(x,t) = B(x).e
iωt
En résolvant l’équation différentielle précédente, exprimer B(x).
4. Montrer alors que le champ magnétique pénètre dans le plasma sur une longueur
caractéristique λ
K
à déterminer en fonction de µ
0
, σ et ω.
5.
En considérant l’expression de la conductivité σ = n
e
e
2
/mν, où ν désigne la fréquence
moyenne de collision, estimer la longueur λ
K
pour un plasma d’argon de densité n
e
=
10
11
cm
-3
excité à une fréquence de 13,6 MHz. La fréquence de collision des électrons
sur les atomes d’argon peut être estimée à 10 MHz.
6.
Exprimer le rapport de la longueur caractéristique λ
K
sur la longueur de London λ
P
en
fonction de ω et ν. En déduire un critère de pertinence de l’approche collisionnelle.