Travaux dirigés : problèmes à masse variable1

Travaux dirigés : problèmes2 à masse variable1
Loïc Le Marrec
Université de Rennes 1, L2
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Déplacement d’une fusée
Considérons une fusée possédant un masse m0 = m + δm dont une masse δm de carburant.
Nous allons étudier comment cette fusée se propulse.
Pour commencer. On considère que la fusée n’est soumise à aucune force et est au repos
quand elle éjecte le carburant à une vitesse −u (par rapport à la fusée).
Soit v la vitesse de la fusée juste après l’expulsion, évaluée par rapport au référentiel galiléen.
• Appliquez le théorème du centre de masse pour exprimez la vitesse v en fonction de u et
des masses m et injectée δm.
• Montrez que l’on a le même résultat en supposant la fusée n’est soumise à aucune force
et se propage initialement à la vitesse uniforme v0 (pas forcément colinéaire à u). On
appellera v0 + v la vitesse de la fusée après l’éjection.
Approche plus réaliste
En vérité la combustion à lieu durant une longue durée T et ce phénomène doit être pris
en compte de manière continue de t = 0 à t = T . A un instant t, la masse de la fusée est
donc m(t) (fonction décroissante dans le temps) et sa vitesse v(t). L’idée est là aussi d’exploiter
la conservation de la quantité de mouvement du système au cours du temps, mais attention le
système est alors l’ensemble (masse + fuel éjectée au cours du temps).
Equation du mouvement
• Montrez que la masse éjectée entre le temps t et t + dt est
δm = −
dm
dt
dt
• On suppose que la vitesse d’éjection −u est constante. Donnez la quantité de mouvement
de cette petite masse éjectée.
• Exprimez la quantité de mouvement de tout le fuel éjecté entre le début t = 0 et un instant
t = τ.
• Donnez la quantité de mouvement de la fusée au moment en t = τ
• Donnez la quantité de mouvement de la fusée au début (masse m0 et vitesse v0 ).
1 April
16, 2009
02 23 23 66 86, [email protected]
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• Comme la fusée n’est pas soumise à une force extérieure, la quantité de mouvement est
conservée. Montrez que l’on abouti à
Z τ
d
dm
(mv) −
(v − u)dt = 0
dt
0 dt
• Comme cette équation est valable quelque soit τ , l’intégrant est nulle. Montrez que l’on
abouti à
dm
dv
=−
u
(1)
m
dt
dt
Le terme de droite −(dm/dt)u, peut être interprété comme une force et est appellé la
poussée.
• On aurait put montrer cela directement en exploitant la conservation de la quantité de
mouvement au système fusée de masse m et fuel éjecté de masse δm. Montrez le.
Vitesse d’éjection On considère que la vitesse d’éjection est constante. Soit m1 = m(T ) et
v1 = v(T ) au moment de l’éjection de tout le fluide.
• Intégrez l’équation différentielle Eq.1. entre le temps t = 0 et t = T
• Montrez que le gain de vitesse ∆v = v1 − v0 est directement proportionnelle à u
• Supposons que l’on souhaite atteindre la vitesse 3u quelle est la proportion de fuel et de
masse à vide dans la fusée au décollage. Et pour atteindre la vitesse de 10u ?
Prise en compte de la gravité
Considérons que la vitesse de la fusée est verticale suivant ez . La fusée subit (hélas) son poids
−m(t)gez .
• Réexprimez l’équation du mouvement Eq.1.
• Intégrez cette expression afin d’avoir la vitesse au cours du temps.
• Montrez que si
dm
u < mg
dt
alors la propulsion n’est pas suffisante pour entrainer la fusée dans l’espace.
−
• Observez que la connaissance de la distance propagée ne peut être déterminée que si on
connaît l’historique de m(t).
Application numérique Pour une fusée comme Ariane 5, la masse à vide est de l’ordre de
100tonnes, la masse de combustible est de l’ordre de 1000tonnes, la vitesse d’ejection des gazes
est de l’ordre de 5000m/s. Quelle est la vitesse théoriquement atteignable par la fusée ?
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