Chapitre 1 Mécanique Quantique ondulatoire

Chapitre 1
Mécanique Quantique ondulatoire
1.1
Dualité ondes-corpuscules
Relation de de Broglie (1923)
association particules - ondes de matieres
p~ = h̄~k
avec ~k le vecteur d'onde.
→ ~k = 2π
λ
donc p = h̄k =
→λ=
2πh̄
λ
=
h
λ
h
p
Avec la relation d'Einstein
E = hν = h̄ω
sachant que h̄ =
h
2π
(cste de Planck réduite)
ou p est la quantité de mouvement (impulsion)
avec T =
2π
ω
=
1
ν
Cette association ondes-corpuscules est vériée par l'experience des
Fentes de Young (1927) :
Les électrons sont envoyés un par un
Les impacts sont ponctuels (corpusculaire)
Les impacts sont aléatoires bien que l'on ai les mêmes conditions
initiales
Reconstitution d'une gure d'interférence (ondulatoire)
Loi de probabilité du type intensité lumineuse
P (z) ∝ I ∝ |A|2
La mesure perturbe le système
→ on obtient une gure de diraction
Abandon de la notion de trajectoire
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1.2
Equation de Schrödinger (1926)
Equation de la mécanique quantique ondulatoire :
Ondulatoire I = |A|2
probabiliste A = amplitude de probabilité
équation d'onde :
∂Ψ
−h̄2
∆Ψ(~r, t) + V (~r, t)Ψ(~r, t) = ih̄
(~r, t)
2m
∂t
2
2
2
∂
∂
∂
∆ = Laplacien = ∂x
2 + ∂y 2 + ∂z 2
V (~r, t) = potentiel (énergie)
Ψ(~r, t) = fonction d'onde complexe
Sens physique
dP (~r, t) = |Ψ(~r, t)|2 d3 r
→ probabilité de présence de particule dans le volume
élémentaire d3 r autour de ~r a l'instant t.
Donc Ψ(~r, t) = amplitude de probabilité
7→ caracterise l'état quantique de la particule
L'équation de Scrödinger :
c'est un postulat, mais jamais remis en cause. Elle ne marche que pour
les particules non relativistes.
régit l'évolution de l'état quantique dans le temps (dérivée première en t).
équation linéaire
On peut appliquer le principe de superposition. Donc si Ψ1 et Ψ2 sont
solutions de l'équation de Schrödinger, alors αΨ1 + βΨ2 sera aussi
solution de l'équation de Schrödinger.
→ C'est le phénomène d'interference.
I = |A1 + A2 |2 6= |A1 |2 + |A2 |2
La distribution suit la loi de probabilité |Ψ(~r, t)|2
Ensemble de N particules (N >> 1) toutes préparées dans le même état
quantique.
Alors
Z +∞
< x >=
x|Ψ(x, t)|2 dx
−∞
√
∆x = < x2 > − < x >2
permet de décrire un objet ponctuel si la précision des mesures δx > ∆x
Ψ(~r, t) déni à une phase près.
Ψ(~r, t) et eiθ Ψ(~r, t) dénissent le même état quantique car ils ont le
même module au carré.
cas particulier des potentiels indépendants du temps : V (~r)
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On peut montrer que les solutions de l'ES sont de la forme
Ψ(~r, t) = ϕ(~r)e−
iEt
h̄
avec ϕ solution de l'ES indépendante du temps :
−h̄2
∆ϕ(~r) + V (~r)ϕ(~r) = Eϕ(~r)
2m
avec E = énergie de la particule dans l'état Ψ(~r, t)
→ |Ψ(~r, t)| = |ϕ(~r)| indépendant de t.
On est alors dans le cas d'états stationnaires.
cas particulier des potentiels 1D V (x)
rappels :
ϕ est continue partout.
ϕ0 continue partout sauf aux discontinuités innies de V.
ϕ = 0 si V = ∞
E < V (x)∀x
→ solutions ϕ pas physiquement acceptables.
normalisation :
Z +∞
|ϕ(x)|2 dx = 1
2
2
−∞
ϕ ne doit pas diverger a l'inni.
si V (x) est pair, on peut chercher les solutions parmis les solutions
paires et impaires.
→ quantications des énergies pour des états liés tels que ϕ = 0 à l'inni.
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