rayonnement et antennes

LABORATOIRE D’ELECTROMAGNETISME ET D’ACOUSTIQUE
INSTITUT "TRANSMISSION ONDES ET PHOTONIQUE"
(LEMA– ITOP –EPFL)
Prof. Juan R. Mosig
"RAYONNEMENT ET ANTENNES"
Électriciens, SEL-EPFL, 3e année Bachelor
RAYONNEMENT [Rejonmã]. n.m. (1 558 de rayon, XIIIe ; lat.
radius). → 1o Littér. Lumière rayonnante, clarté. → 2o Emission et
propagation d’un ensemble de radiations avec transport d’énergie et
émission de corpuscules. ♦ Occult. Fluide. → 3o Phys. Ensemble
de radiations de nature similaire ou voisine, mais dont les longueurs
d’onde et les énergies peuvent être diﬀérentes : rayonnements électromagnétiques. → 4o Fig. (1 869). Inﬂuence heureuse, éclat excitant
l’admiration.
ANTENNE [ãtεn]. n.f. (Antaine, XIIIe ; lat. antenna). → 1o Mar.
Vergue longue et mince des voiles latines. → 2o (1 712). Appendice
sensoriel à l’avant de la tête de certains arthropodes dits Antennifères.
Fig. Avoir des antennes, une sensibilité très aiguë, de l’intuition. →
3o Par anal. Conducteur (ou ensemble de conducteurs) aérien destiné
à rayonner ou à capter les ondes électromagnétiques. V. Aérien. Antenne de télévision. → 4o Par ext. Antenne chirurgicale, unité avancée
du service de santé militaire. Tout poste avancé en liaison avec un
centre.
EPFL — Station 11
Hiver 2007-2008
Table des matières
1 INTRODUCTION
1.1 Le rayonnement électromagnétique . . . . . . . .
1.1.1 Longueur d’onde, fréquence et vitesse . . .
1.1.2 Le spectre électromagnétique . . . . . . .
1.2 Le concept d’antenne . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Une antenne est également un ﬁltre spatial
1.3 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Modèle intuitif d’une antenne à ﬁl conducteur . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 CALCUL DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
2.1 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 La forme des équations de Maxwell . . . . . . . . . .
2.1.2 Conditions aux limites, puissances, énergies (rappel) .
2.2 Les courants sources et les courants induits . . . . . . . . . .
2.3 Solution des équations de Maxwell : les potentiels . . . . . .
2.4 Les champs et la densité de puissance rayonnés . . . . . . .
2.5 Un exemple : le dipôle de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
3
3
4
4
6
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
11
12
15
16
18
3 PARAMETRES CARACTERISTIQUES D’UNE ANTENNE
3.1 Diagrammes de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Diagramme en champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Diagramme en puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Paramètres caractéristiques d’un diagramme de rayonnement
en puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Puissance totale rayonnée et directivité . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Résistance de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Application au dipôle de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
21
21
21
23
23
24
26
26
TABLE DES MATIÈRES
4 ETUDE D’ANTENNES IDEALES
4.1 Théorème de réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Réciprocité en terme de circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Equivalence des diagrammes à l’émission et à la réception . . .
4.4 Circuit équivalent d’un système émetteur – récepteur . . . . .
4.5 L’hypothèse unilatérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Réciprocité des puissances dans l’hypothèse unilatérale
4.5.2 Puissances dans un système émetteur-récepteur idéal .
4.6 Surface de captation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Application au dipôle de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Rapport surface de captation / directivité . . . . . . . . . . .
4.9 Formule de transmission de FRIIS . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Equation du radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
31
32
33
34
35
36
36
37
38
39
39
5 LES ANTENNES RÉELLES : DÉVIATIONS PAR RAPPORT
AU CAS IDÉAL
41
5.1 RENDEMENT ET GAIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 DESADAPTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1 Antenne réelle à l’émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.2 Antenne réelle à la réception . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 POLARISATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 FORMULE DE TRANSMISSION DE FRIIS POUR DES ANTENNES
RÉELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 LES ANTENNES A OUVERTURE
51
6.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 LE CONCEPT DE COURANT MAGNÉTIQUE . . . . . . . . . . 52
6.2.1 Asymétrie des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.2 Un univers parallèle : l’Antimonde . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 LE PRINCIPE DE DUALITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.4 LE THÉORÈME D’ÉQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 THEORIE DES IMAGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.6 RAYONNEMENT D’UNE OUVERTURE DANS UN PLAN CONDUCTEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.7 LE RAYONNEMENT D’UNE FENTE MINCE : LA DIFFRACTION 61
7 THÉORIE DES RÉSEAUX
7.1 COURANTS DANS LE RÉSEAU : COUPLAGE MUTUEL . .
7.2 LE FACTEUR DU RÉSEAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 LES RÉSEAUX LINÉAIRES A ÉLÉMENTS ÉQUIDISTANTS
7.3.1 Réseaux à déphasage linéaire . . . . . . . . . . . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
65
65
67
68
70
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, TABLE DES MATIÈRES
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
I
ANNEXE I
7.9
II
7.3.2 Réseaux équiamplitude à déphasage linéaire . . . . . . . . .
7.3.3 Méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RÉSEAUX A POINTAGE VARIABLE : CAS BROADSIDE ET
ENDFIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SYNTHÈSE DE SCHELKUNOFF . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LE RÉSEAU BINOMIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RÉSEAUX SYMÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Cas pair N = 2M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Cas impair N = 2M + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.3 Remarque générale sur les réseaux symétriques . . . . . . . .
SYNTHÈSE DE DOLPH-TCHEBICHEFF POUR RÉSEAUX SYMÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
71
72
73
75
76
76
77
77
77
79
L’EVOLUTION DE L’ELECTROMAGNETISME . . . . . . . . . . 80
ANNEXE II
86
7.10 UN EXEMPLE ANALYTIQUE SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . 87
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, iii
Chapitre 1
INTRODUCTION
1.1
Le rayonnement électromagnétique
Le mot "rayonnement" a plusieurs sens dans le dictionnaire (voir la déﬁnition
du Petit Robert en page de garde). Nous nous restreindrons dans ce cours au
cas du rayonnement électromagnétique, que le dictionnaire déﬁnit comme "une
émission et propagation d’énergie sous forme d’un ensemble d’ondes électromagnétiques à travers un milieu matériel". Toutefois, cette déﬁnition – introduite en
1874 – est inexacte de nos jours, car nous acceptons maintenant que les ondes
électromagnétiques n’ont pas besoin d’un support matériel pour se propager. Ce
fait les distingue nettement d’autres ondes, également présentes dans les sciences
de l’ingénieur comme les ondes acoustiques et les ondes élastiques.
Aussi, il existe une diﬀérence technique très importante entre la propagation et
le rayonnement d’ondes électromagnétiques, qui est bien marquée dans la plupart
des ouvrages spécialisés. Le mot propagation est réservé et se dit dans le cas
où l’acheminement des ondes est guidé par une structure matérielle (câble, guide
d’onde, ﬁbre optique, couche atmosphérique. . .) qui déﬁnit une direction privilégiée
dans l’espace, tandis que le mot rayonnement est réservé et se dit dans le cas d’une
émission et d’une propagation libre dans un espace souvent vide et théoriquement
inﬁni. Toutefois, la frontière entre propagation et rayonnement n’est pas très précise
et de nombreuses situations hybrides existent dans la vie réelle.
1.1.1
Longueur d’onde, fréquence et vitesse
Le Petit Robert introduit aussi le concept de longueur d’onde comme indissolublement lié au rayonnement. En eﬀet, longueur d’onde λ, fréquence f et vitesse de
propagation v sont trois grandeurs essentielles dans tout phénomène ondulatoire.
Rappelons (Traité, vol.3) que dans un cas simple unidimensionnel, une onde dépend de la coordonnée spatiale x et du temps t à travers la combinaison algébrique
1
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
x − vt. Symboliquement :
Onde = f onction(x − vt).
Par conséquent, les phénomènes ayant lieu à l’instant t1 au point x1 , se retrouvent à l’instant t2 en x2 ; si x1 − vt1 = x2 − vt2 alors nous avons la relation :
v=
x2 − x1
t2 − t1
Donc, la quantité v, qui a forcément les dimensions d’une vitesse, représente réellement la vitesse de propagation de l’onde (plus précisément la vitesse de phase
ou du front d’onde, ce dernier étant le lieu géométrique des points x − vt = cste).
Pour une onde monochromatique sinusoïdale de fréquence f = ω/2π, la longueur d’onde λ est déﬁnie comme étant la distance parcourue par le front d’onde
dans une période T = 1/f . Cette distance vaut λ = vT et nous avons la relation
fondamentale suivante :
λ · f = v (longueur d’onde x fréquence = vitesse)
En théorie, des ondes électromagnétiques peuvent être générées à n’importe
quelle fréquence. Toutefois, on ne construit pratiquement pas d’antennes fonctionnant à très basse fréquence (en dessous du kilohertz) suite à des considérations
pratiques concernant la taille et le rendement à ces fréquences. En eﬀet, on verra
par la suite que des dimensions de l’antenne comparables ou supérieures à la longueur d’onde sont souhaitables pour un bon rendement.
1.1.2
Le spectre électromagnétique
Le spectre électromagnétique est l’ensemble de toutes les fréquences entre zéro
et l’inﬁni. Il est traditionnellement divisé en bandes dont l’ampleur est d’une décade. Donc, dans chaque bande, la fréquence limite supérieure est dix fois la valeur
de la limite inférieure. Ces fréquences limites sont choisies de telle façon que les
longueurs d’onde associées soient toujours une puissance décimale du mètre.
Les bandes les plus utilisées sont :
2
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 1.2. LE CONCEPT D’ANTENNE
Bande
VLF
Very Low Frequency
LF
Low Frequency
MF
Medium Frequency
HF
High Frequency
VHF
Very High Freqency
UHF
Ultra High Frequency
SHF
Supra
High Frequency
EHF
Extremely
High Frequency
Fréquence
3 – 30 KHz
Longueur d’onde
100 – 10 Km
Applications
Navigation, sonar
30 – 300 KHz
10 – 1 Km
Ondes longues, radio
300 KHz – 3 MHz
1 Km – 10O m
3 – 30 MHz
100 – 10 m
30 – 300 MHz
10 – 1 m
300 MHz – 3 GHz
1 m – 10 cm
3 – 30 GHz
10 – 1 cm
30 – 300 GHz
10 – 1 mm
Goniométrie,
radio AM
CB, ondes courtes,
traﬁc aérien
Radio FM, TV, radar
communic. mobiles
Natel, Satellite, TV,
chauﬀage, radar
Satellite, faisceaux
hertziens,
radioastronomie
Satellite, radar,
radioastronomie,
millimétriques
La plage 300 MHz – 300 GHz est considérée comme le domaine des hyperfréquences (micro-ondes) caractérisé par le fait que les circuits et appareillages utilisés
ont des dimensions comparables à la longueur d’onde.
A titre de comparaison, la longueur d’onde vaut 6 000 Km ( !) à la fréquence
du réseau (50 Hz) tandis qu’elle est de l’ordre de 600 nanomètres aux fréquences
optiques visibles qui correspondent aux fréquences de 500 000 GHz ( !).
1.2
1.2.1
Le concept d’antenne
Définition
La déﬁnition d’antenne, telle qu’on la trouve dans le Petit Robert a été reprise
en page de garde. Une déﬁnition un peu plus précise du point de vue technique
que celle du Petit Robert est la suivante :
Une antenne est un transducteur servant à transformer une
énergie électromagnétique guidée en énergie électromagnétique
rayonnée et réciproquement.
Autrement dit, une antenne peut accepter une puissance électrique fournie par
un générateur sous forme tension/courant et l’émettre dans l’espace environnant
sous forme d’onde électromagnétique (Émission). Mais elle peut également capter
des ondes électromagnétiques et fournir une puissance électrique à une charge
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 3
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
(Réception). Cet aspect dual ou réciproque des antennes, qui n’a pas échappé
au Petit Robert, est d’une plus grande importance.
Dans la plupart des applications actuelles, le rôle de l’antenne est de transmettre une information. Les mots énergie/puissance peuvent alors être remplacés
dans les déﬁnitions précédentes par le mot signal. Il y a toutefois des applications énergétiques où la densité de puissance électromagnétique de l’onde émise ou
captée est aussi importante que l’information transportée.
Par exemple, au sens de la déﬁnition précédente, les panneaux solaires photovoltaïques, peuvent être considérés comme des antennes à la réception fonctionnant
à très haute fréquence.
1.2.2
Une antenne est également un filtre spatial
A l’émission, elle distribue une puissance dans l’espace en privilégiant certaines
directions par rapport à d’autres. A la réception, elle est beaucoup plus sensible
aux ondes électromagnétiques en provenance de ces mêmes directions privilégiées.
L’aspect "transducteur " se reﬂète dans certaines grandeurs caractéristiques
comme l’impédance d’entrée, la résistance de rayonnement ou encore le rendement de l’antenne. Tandis que l’aspect "ﬁltre spatial " apparaît nettement dans le
diagramme de rayonnement.
L’étude des antennes a comme partie essentielle le développement de méthodes
de calcul et de mesure de ces grandeurs caractéristiques.
Le Petit Robert demeure trop classique quand il déﬁnit les antennes comme
des conducteurs aériens. En eﬀet, on peut fabriquer des antennes avec des matériaux non-conducteurs (par exemple des barreaux diélectriques) et on peut les faire
rayonner dans des milieux autres que l’air (l’eau, pour les antennes sous-marines).
Toutefois, il est vrai que les antennes formées par un ensemble de conducteurs
rayonnant dans l’air ont été les premières connues et demeurent les plus courantes.
Par ailleurs, elles constituent un très bon point de départ pour l’étude théorique
des propriétés générales des antennes.
1.3
Historique
Comme souvent dans les phénomènes électromagnétiques, l’histoire des antennes commence en 1868, date à laquelle l’écossais James Clerk Maxwell publie ses équations reliant les quatre vecteurs associés au champ électromagnétique
→ −
−
→ →
− −
→
→
−
E , D , H , B aux densités de charge (ρ, scalaire) et de courant ( J , vecteur) :
→
−
− −
→
→
∂B
∇×E =−
∂t
4
− −
→
→
∇·D =ρ
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 1.3. HISTORIQUE
→
−
− −
→
→ −
→ ∂D
∇×H = J +
∂t
− −
→
→
∇·B =0
Charges et courants (charges en mouvement) sont les sources des phénomènes
électromagnétiques. Ceux-ci se manifestent et interagissent avec la matière à tra→ −
−
→ →
− −
→
vers les quatre champs E , D , H , B . En général, toute composante scalaire des
champs et des sources est une fonction réelle des trois coordonnées spatiales
x, y, z (r = f (x, y, z)) et du temps t. A partir de ces équations, on peut dériver
(cf. cours d’Électromagnétisme) les équations d’onde ou d’Alembert pour les quatre
vecteur-champs. La prédiction théorique des ondes électromagnétiques était déjà
contenue dans les équations de Maxwell. Malheureusement, le pauvre James ne vivra pas assez longtemps pour voir ses prédictions conﬁrmées. En eﬀet, la première
observation d’une onde électromagnétique en laboratoire est le fait de l’allemand
Heinrich Hertz en 1888, neuf ans après la mort de Maxwell. Chienne de vie !
En 1901, Guglielmo Marconi, italien émigré en Grande-Bretagne, sort les ondes
électromagnétiques des laboratoires universitaires pour réaliser la première transmission sans ﬁl au-dessus de l’Atlantique. L’antenne utilisée par Marconi était un
long mât vertical supportant un ﬁl conducteur. En 1909, Arnold J.W. Sommerfeld
commence l’étude théorique des eﬀets de la terre et de la mer sur la propagation des ondes électromagnétiques. En même temps il découvre les phénomènes de
réﬂexion dans l’ionosphère. Le rêve de la communication directe et presque instantanée entre deux points quelconques du globe devient réalité grâce aux réﬂexions
multiples des ondes radio entre la surface de la Terre et l’ionosphère.
En envoyant des bribes d’information du Vieux au Nouveau Monde, Marconi
accomplit, sans le savoir, un geste prémonitoire : après la Grande Guerre de 1914 –
1918, le poids de la recherche est transféré aux États-Unis, qui réussissent à attirer
les plus brillants chercheurs. Dans les décades suivantes, presque la totalité des
nouvelles innovations et découvertes sont sorties de ce pays.
Du temps de Marconi, les générateurs et les ampliﬁcateurs disponibles n’allaient guère au-delà de quelques KHz. Il était donc impossible de construire des
antennes de taille comparable à la longueur d’onde. Or de très petites antennes par
rapport à la longueur d’onde ont un très mauvais rendement dans la transformation de l’énergie guidée en énergie rayonnée. Ces problèmes ont été résolus en 1920
avec l’invention du triode par l’américain Lee de Forest. Le triode, premier tube
ampliﬁcateur, permet de disposer de puissances raisonnables à 1 MHz (λ = 300 m).
Ce qui a donné la possibilité de construire de grandes antennes-mâts de longueur
λ/4 et λ/2.
Peu après, le professeur R.W. P. King à Harvard conçoit et étudie des antennes rhomboïdales et des antennes à boucle dans les années 1920 – 1930. A la
même époque John Kraus construit dans l’Ohio des antennes à hélice – encore
très courantes de nos jours – et les premiers réﬂecteurs. Les eﬀorts théoriques pour
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 5
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
la compréhension des antennes à ﬁl conducteur culminent dans les années 1930 –
1940 avec les travaux de Stratton, Chu et Schelkunoﬀ. Des géométries ellipsoïdales
et biconiques incluant le ﬁl cylindrique de longueur ﬁnie comme cas limite, sont
étudiées. Les techniques pour le groupement d’antennes en réseaux se sont également développées. Dans les années 1940, en pleine guerre mondiale, les recherches
sur le radar entraînent l’introduction de nouveaux types d’antennes fonctionnant
à de très hautes fréquences (hyperfréquences ou micro-ondes, autour de 1 GHz).
De nouveaux tubes ampliﬁcateurs (klystron, magnétron . . . ) fournissant la
puissance requise ont également vu le jour. Les laboratoires Bell et le M.I.T. sont
particulièrement actifs dans ces domaines. Des tuyaux conducteurs creux (guides
d’ondes) remplacent les câbles traditionnels pour véhiculer l’énergie. En pratiquant des ouvertures sur ces mêmes tuyaux, une nouvelle génération d’antennes
s’est développé : les antennes à fente, à ouverture et les cornets.
Avec le développement de la TV commerciale vers la ﬁn des années cinquante,
le besoin d’une antenne domestique robuste et bon marché se fait pressant. Le
choix se porte sur l’antenne Yagi-Uda. Cette antenne avait été proposée en 1926
par un professeur japonais, Yagi, et son assistant Uda dans un obscur journal
technique de Tokyo et aussitôt oubliée. Cinquante ans plus tard elle est devenue
partie intégrante du paysage urbain, et hante encore les cauchemars des urbanistes.
Dans les années 1950 J.B. Keller introduit la théorie géométrique de la diﬀraction (GTD) pour l’étude de structures aux dimensions très grandes par rapport à
la longueur d’onde. Le calcul précis d’antennes paraboliques, de lentilles électromagnétiques, et de réﬂecteurs devient alors possible. L’avènement de l’ordinateur
fait naître des méthodes numériques puissantes comme la méthode des moments
(MoM) développée par R.F. Harrington vers la ﬁn des années soixante. Ces techniques sont toujours utilisées pour l’étude de petites antennes en termes de longueur d’onde. Des nos jours la tendance vers les hautes fréquences continue avec les
ondes millimétriques. Des antennes miniaturisées en technologie circuit imprimé
(antennes microruban) connaissent un grand essor. Dans leur sillage apparaissent de nouvelles antennes (antennes diélectriques, à ondes de fuite, antennes
actives intégrées) avec à la clé des méthodes numériques puissantes permettant
leur analyse. En parallèle, de nouvelles méthodes pour la synthèse de groupement
d’antennes conduisant à des réseaux adaptatifs "intelligents" voient le jour.
1.4
Modèle intuitif d’une antenne à fil conducteur
Considérons une ligne de transmission biﬁlaire de longueur L ﬁnie en circuit
ouvert (Figure 1.1a). La ligne est connectée à un générateur de fréquence f = ω/π
dont la nature précise est pour l’instant sans importance.
D’après la théorie des lignes de transmission (cf. Cours d’Électromagnétisme)
6
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 1.4. MODÈLE INTUITIF D’UNE ANTENNE À FIL
CONDUCTEUR
(a)
(b)
(c)
Figure 1.1: La transformation d’une ligne de transmission en antenne ﬁlaire
la distribution de courant sur les ﬁls est toujours donnée par une combinaison de
deux ondes guidées, incidente et réﬂéchie :
I(z) = A cos(ωt − βz) − B cos(ωt + βz)
Rappelons que β est la constante de propagation sur la ligne (appelée aussi déphasage linéique) qui dépend du type de ligne de transmission employée. Aussi, la
vitesse de propagation des ondes sur la ligne est v = ω/β et la longueur d’onde guidée vaut : λg = 2π/β. Revenant à notre ligne particulière, les conditions aux limites
dans les extrémités (générateur en z = 0 et circuit ouvert en z = L) permettent
d’écrire le courant sur chacun des ﬁls comme :
I1 (z) = −I2 (z) = I(z) = C cos(ωt) sin(β(z − L))
où C est une constante de proportionnalité. Le terme sin(β(z − L)), typique
d’une onde stationnaire, est forcé par le circuit ouvert.
Maintenant, on sait que n’importe quel courant alternatif est susceptible de
créer un rayonnement électromagnétique, puisqu’il est constitué d’électrons accélérés. Toutefois, les courants dans les ﬁls de notre ligne sont de même amplitude
mais de sens opposé. Donc les champs rayonnés par les deux brins de ﬁl ont tendance à s’annuler. Ce cas arrive surtout quand la distance entre les ﬁls est petite
par rapport à la longueur d’onde et qu’on observe le champ à grande distance.
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Imaginons maintenant qu’on "ouvre" la ligne en redressant les ﬁls (Figure 1.1b
et Figure 1.1c). On peut admettre, en première approximation, que les courants
dans les ﬁls demeurent inchangés. Néanmoins, si la situation n’a pratiquement pas
changé du point de vue circuit, elle est tout autre du point de vue électromagnétique. En eﬀet, les courants dans les ﬁls ont maintenant le même sens et leur
rayonnement se renforce : nous venons de fabriquer une antenne.
Signalons ﬁnalement que le rayonnement de cette antenne se décrit aussi en
termes d’ondes électromagnétiques rayonnées. Cependant, on verra par la suite
que ces ondes sont bien diﬀérentes des ondes guidées existant originairement sur la
ligne. En particulier, bien que la fréquence des ondes guidées et des ondes rayonnées
soit la même, leurs vitesses, leurs exposants de propagation et leurs longueurs
d’onde peuvent être diﬀérentes.
Du point de vue impédance d’entrée, la théorie des lignes prédit pour la conﬁguration de la Figure 1.1a une valeur purement imaginaire :
ZIN = −jZc cot(βL)
où Zc est l’impédance caractéristique de la ligne. Pour l’antenne de la Figure 1.1c
on peut s’attendre à une impédance dont la partie imaginaire suivra essentiellement la loi ci-dessus. Mais la structure ainsi obtenue rayonne et envoie une certaine puissance dans l’espace. Ceci ajoute à l’impédance d’entrée une partie réelle
même si l’on admet que les ﬁls conducteurs sont parfaits, sans résistance ohmique.
Beaucoup d’antennes sont conçues pour que cette partie réelle, dite résistance de
rayonnement, devienne la partie dominante de l’impédance d’entrée.
8
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, Chapitre 2
CALCUL DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
2.1
Les équations de Maxwell
2.1.1
La forme des équations de Maxwell
La forme la plus générale des équations de Maxwell a été rappelée au paragraphe 1.3. On les reproduit ici en termes de l’opérateur vectoriel "nabla" utilisé
couramment pour représenter les opérations "rot", "div" ou "grad" :
→
−
− −
→
→
∂B
∇×E =−
∂t
(2.1)
→
−
− −
→
→ −
→ ∂D
∇×H = J +
∂t
→ −
−
→
∇·D =ρ
(2.3)
− −
→
→
∇·B =0
(2.4)
(2.2)
En outre, les charges et les courants sont liés, en général, par l’équation de continuité :
→ ∂ρ
− −
→
=0
∇· J +
∂t
(2.5)
En théorie des antennes, on travaille le plus souvent en régime sinusoïdal permanent. En eﬀet, même les phénomènes transitoires sont souvent étudiés par décomposition de l’onde temporelle en spectre de fréquences (transformation de Fourier)
9
CHAPITRE 2. CALCUL DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
et par analyse sur chaque fréquence, suivie d’une transformation inverse. En régime sinusoïdal de pulsation ω = 2πf , on peut donc admettre une dépendance
temporelle du type cos(ωt + φ) et écrire :
√
√
A jφ jωt
jφ jωt
= 2e(Ae ejφ ejωt ) (2.6)
A cos(ωt + φ) = e(Ae e ) = 2e √ e e
2
√
A est ici la valeur crête et Ae = A/ 2 la valeur eﬃcace.
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
On remplace alors les vraies grandeurs physiques E (t), D (t), H (t), B (t), J (t),
ρ(t) – quantités réelles et fonction du temps – par de nouvelles grandeurs associées
E, D, H, B, J, ρ qui seront des quantités complexes mais indépendantes du temps
(phaseurs). Par souci de simplicité on retiendra les mêmes symboles. La relation
générale permettant de retrouver la grandeur physique f (r, t) à partir du phaseur
associé f (r) est :
f (r, t) =
√
2e f (r) · ejωt
(2.7)
√
Le facteur 2 est introduit dans la déﬁnition pour que le module du phaseur
corresponde à la valeur eﬃcace du signal sinusoïdal, conformément à la convention
adoptée dans le traité d’Electricité.
√
Remarque : Dans la plupart des textes anglo-saxons, le facteur 2 n’est pas
présent dans la déﬁnition des phaseurs. La norme du phaseur est alors la valeur
crête et un facteur supplémentaire 1/2 apparaît dans les formules associées aux
énergies et aux puissances. Nous
√ suivrons la convention adoptée au traité d’Electricité et garderons le facteur 2. En revanche, et dans un souci de simplicité,
nous ne soulignerons pas les phaseurs.
L’introduction des phaseurs permet aussi de remplacer les dérivées temporelles
par des facteurs jω. Finalement, les équations de Maxwell en termes de vecteursphaseurs s’écrivent :
− −
→
→
→
−
∇ × E = −jω B
− −
→
→ −
→
→
−
∇ × H = J + jω D
→ −
−
→
∇·D =ρ
→ −
−
→
∇·B =0
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
plus l’équation de continuité
− −
→
→
∇ · J + jωρ = 0
10
(2.12)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 2.1. LES ÉQUATIONS DE MAXWELL
Nous allons nous restreindre dans ce cours à l’étude de milieux linéaires. En eﬀet,
la plupart des milieux (par exemple l’air ou l’eau) qui véhiculent le rayonnement
électromagnétique sont linéaires pour les niveaux usuels de puissance. On peut
alors relier les deux vecteurs électriques et les deux vecteurs magnétiques entre
eux par des relations simples :
→
−
→
−
D = εE
(2.13)
−
→
→
−
B = μH
(2.14)
où ε et μ sont deux constantes du milieu qui peuvent, en général, prendre des
valeurs complexes (Traité d’Electricité, vol. III) :
ε = ε − jε
(2.15)
μ = μ − jμ
(2.16)
−
→
→
−
→
−
Les parties imaginaires introduisent un déphasage entre D et E ou entre B et
→
−
H et correspondent physiquement à l’existence de pertes dans le milieu. Si on est
dans l’espace libre (l’air en est une bonne approximation), alors on a des valeurs
purement réelles : ε = ε0 = 8, 854·10−12 [farad/m] et μ = μ0 = 4π ·10−7 [henry/m].
On peut ﬁnalement écrire les équations de Maxwell sous la forme qu’on utilisera
dans ce cours :
→ −
−
→
→
−
∇ × E = −jωμ H
(2.17)
− −
→
→ −
→
→
−
∇ × H = J + jωε E
→ −
−
→ ρ
∇·E =
ε
→ −
−
→
∇·H =0
2.1.2
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Conditions aux limites, puissances, énergies (rappel)
En présence d’une surface séparant deux milieux #1 et #2 de nature diﬀérente,
les équations de Maxwell doivent être complétées par les conditions aux limites
suivantes (Figure 2.1) :
−
→ −
→
→
−
−
→
n × (E2 − E1 ) = 0
(2.21)
→
→
−
−
→ −
→
−−
n × (H 2 − H 1 ) = J s
(2.22)
→
où −
n est le vecteur unitaire normal traversant la surface de séparation du milieu
→
−
#1 vers le milieu #2 et Js [A/m] est un éventuel courant pouvant exister sur la
surface.
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 11
CHAPITRE 2. CALCUL DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
#2
n
#1
Figure 2.1: Conditions aux limites
Les déﬁnitions suivantes sont aussi valables en régime sinusoïdal (phaseurs) :
→ −
−
→
1. we = (1/2) · ε E · E [J/m3 ] : Valeur moyenne de la densité d’énergie
électrique ;
→ −
−
→
2. wm = (1/2) · μ H · H [J/m3 ] : Valeur moyenne de la densité d’énergie
magnétique ;
→ −
−
→ −
→
3. S = E × H ∗ [W/m2 ] : Valeur moyenne du ﬂux de puissance (Vecteur de
Poynting).
Il s’agit, bien sûr, de moyennes temporelles (voir Traité, vol. III). L’intégration
des équations de Maxwell sur un volume v entouré par une surface s donne alors
le théorème de Poynting :
→ −
−
→ −
−
→
→
S · n ds + jω (We + Wm )dv = − J · E dv
[W]
(2.23)
s
v
v
→
où −
n est le vecteur unitaire normal à s et dirigé vers l’extérieur de v. Le premier
terme de gauche est le ﬂux du vecteur de Poynting, c’est à dire la puissance
s’échappant du volume à travers la surface s (rayonnement). Le deuxième terme
de gauche correspond à la puissance réactive emmagasinée dans le volume v. La
somme de ces deux puissances est égale à celle fournie par les sources de courant
(terme de droite).
2.2
Les courants sources et les courants induits
Dans tout problème d’électromagnétisme, on admet l’existence des courants
→
−
sources J src qui ne sont pas susceptible d’être modiﬁés ni par les champs qu’ils
génèrent ni par un autre champ quelconque. Ces courants sources génèrent des
champs électromagnétiques d’excitation. Si un objet quelconque est placé au voisinage des sources, ces champs d’excitation produisent sur l’objet des courants
→
−
induits J ind . A leur tour, ces courants induits dans l’objet génèrent des champs
diﬀractés. Le champ total est la somme des champs d’excitation et des champs
12
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 2.2. LES COURANTS SOURCES ET LES COURANTS
INDUITS
diﬀractés, crées par ces deux types de courant. Il n’y a presqu’aucune diﬀérence
physique entre ces deux courants (dans les deux cas, ce sont essentiellement des
électrons en mouvement). On doit toutefois établir une diﬀérence conceptuelle,
subtile mais essentielle.
→
−
J src est un courant connu et imposé. Il n’est pas aﬀecté par le champ existant.
C’est le courant source, donnée du problème ;
→
−
J ind est un courant le plus souvent inconnu qui est "induit" dans les objects
environnant la source et qui dépend du champ total.
→ −
−
→
→
−
→
−
→
−
Dans l’équation de Maxwell ∇ × H = J + jωε E le courant J est une valeur
→ −
−
→ −
→
→ −
−
→
totale, et donc J = J src + J ind ( E , H ). On aimerait isoler la partie du courant
→
−
total indépendante des champs, J src , qui jouera le rôle mathématique de terme
inhomogène dans l’équation diﬀérentielle. Ce souhait est facile à réaliser pour des
objets composés de matériaux linéaires non magnétiques car le courant induit est
→
−
→
−
lié exclusivement au champ électrique total par la loi d’Ohm : J ind = σ E . On
peut donc écrire :
→ −
−
→
→ −
−
→
→
−
→ −
−
→
→ −
→
σ −
jωε E + J = jωε E + J src + J ind = (jωε+σ) E + J src = jω(ε+ ) E + J src (2.24)
jω
et le tour de passe-passe est joué en introduisant une permittivité globale
εT = ε +
σ
jω
(2.25)
ce qui permet d’écrire comme nouvelle équation de Maxwell :
→
− −
→
→ −
−
→
∇ × H = jωεT E + J src
(2.26)
Toutefois, pour ne pas alourdir la notation, on continuera à écrire la forme originale
→
−
→
−
de l’équation. Mais désormais, J ne contiendra que la partie "source" J src et ε
(qui pourrait déjà être complexe au départ) inclura une partie imaginaire négative
supplémentaire −jσ/ω.
La séparation entre ces deux types de courant est souvent matière de convenance et les courants qui jouent le rôle de courants induits dans un problème donné
peuvent être assimilés à des courants sources dans un problème ultérieur plus compliqué. Par exemple, considérons une antenne ﬁlaire excitée par un générateur de
courant. Ici, la formulation la plus évidente est de prendre comme courant source
→
−
connu le courant du générateur J gen et comme courant induit inconnu le courant
→
−
sur l’antenne J ant0 (Figure 2.2a).
Donc :
→
−
→
−
→
−
→
−
J src = J gen et J ind = J ant0
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 13
CHAPITRE 2. CALCUL DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
(a) Antenne isolée
(b) Antenne plus obstacle
(c) Approximation pour (b)
Figure 2.2: Courants sources et courants induits
Une fois les courants sur l’antenne calculés, on place un objet métallique au voisinage de l’antenne (Figure 2.2b). Sur cet objet vont apparaître de nouveaux
→
−
courants inconnus J obs tandis que les courants dans l’antenne changent (inﬂuen→
−
cés par la présence de l’objet) et deviennent J ant . Dans la nouvelle situation, on
a en principe :
→
−
−
→
J src = J gen
et
−
→
→
−
→
−
J ind = J ant + J obs
→
−
La solution des équations de Maxwell nous fournirait alors les valeurs de J ant et
→
−
J obs . Mais, si on peut admettre à priori que la présence de l’objet ne modiﬁe pas
→
−
→
−
de façon sensible les courants de l’antenne ( J ant = J ant0 ), on peut formuler un
problème plus simple (Figure 2.2c) en considérant que les courants dans l’antenne
→
−
sont aussi des sources connues, dont la valeur J ant0 a été trouvée lors d’un calcul
préalable. Cette façon de raisonner permettra d’obtenir une estimation raisonnable
→
−
J obs0 des courants dans l’objet avec la décomposition :
→
−
→
−
−
→
J src = J gen + J ant0
14
et
−
→
→
−
J ind = J obs0
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 2.3. SOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL : LES
POTENTIELS
2.3
Solution des équations de Maxwell : les potentiels
Le problème de base en théorie des antennes est de trouver par résolution des
→
−
équations de Maxwell, des expressions donnant les champs électromagnétiques E
→
−
→
−
et H en fonction des sources J et ρ. Pour faciliter les calculs mathématiques, il
est de tradition d’introduire deux quantités auxiliaires intermédiaires appelées po→
−
tentiel vecteur A et potentiel scalaire V . Les potentiels sont liés aux champs
par les relations (cours d’Électromagnétisme) :
→ −
−
→ −
→
μH = ∇ × A
(2.27)
−
→
→ −
−
→
E = −jω A − ∇V
(2.28)
En plus, ils sont liés entre eux par la relation, dite jauge de Lorentz :
→ −
→
− −
→
→
1 −
∇·A
∇ · A + jωμεV = 0 ⇔ V = −
jωμε
(2.29)
→
−
Il est à remarquer que, suite à cette relation, la connaissance de A seule suﬃt à
déterminer les champs car on peut écrire :
→−
−
→ −
→
→
−
→ ∇( ∇ · A )
−
(2.30)
E = −jω A +
jωμε
En remplaçant dans les équations de Maxwell les champs par leurs expressions en
termes des potentiels on arrive à :
→
−
→
−
→
−
∇2 A + k 2 A = −μ J
(2.31)
∇2 V + k 2 V = −
ρ
ε
(2.32)
où k 2 = ω 2 με.
Ces deux dernières équations sont des équations d’onde ou de Helmholtz.
Elles montrent que l’on peut attacher le potentiel vecteur aux courants et le poten→ −
−
→
tiel scalaire aux charges. On peut montrer aussi que les champs E et H satisfont
aussi une équation d’onde du même type, bien que les termes indépendants soient
plus compliqués.
D’après les propriétés de l’équation d’onde, les potentiels et les champs vont se
propager avec une vitesse c = ω/k = (με)−1/2 . Pour le vide on obtient simplement
c = c0 = 299 800 Km/s, la vitesse de la lumière.
Considérons maintenant un volume v qui contient une distribution arbitraire
→
−
de courant J (r ) et de charge ρ(r ) (Figure 2.3).
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 15
CHAPITRE 2. CALCUL DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
Figure 2.3: Potentiels d’une distribution de courant et de charge
Ces sources sont entourées par un milieu homogène inﬁni. Les potentiels en un
point r sont obtenus par intégration des équations de Helmholtz en coordonnées
sphériques avec le résultat :
−
→
μ
A (r) =
4π
1
V (r) =
4πε
− e−jk|r−r | →
J (r )
dv
|r − r |
v
v
(2.33)
ρ(r )
e−jk|r−r | dv
|r − r |
(2.34)
Donc on peut dire que les potentiels sont donnés par une superposition (inté√
grale) d’ondes sphériques ayant une constante de propagation k = ω με et une
longueur d’onde λ = 2π/k. Dans les expressions ci-dessus le vecteur radial r représente un point quelconque qui peut se trouver loin, près et même à l’intérieur des
sources. Une fois les potentiels connus, le calcul des champs est immédiat à partir
des équations Equation (2.27) et Equation (2.30).
2.4
Les champs et la densité de puissance rayonnés
Pour le calcul du rayonnement d’une antenne, on s’intéresse aux points d’observation r très éloignés (champ lointain) car, en général la distance source-observateur
est bien plus grande que les dimensions linéaires de l’antenne.
La distance source — observateur |r − r | apparaît dans les formules dans
deux rôles diﬀérents : soit comme dénominateur (amplitude) soit à l’intérieur de
l’exponentielle (phase). Si |r | << |r| on peut remplacer l’expression exacte de
cette distance par un développement limité. Pour l’amplitude, le terme dominant
|r − r | ≈ |r| = r suﬃt. Par contre on doit être plus précis dans l’estimation de
la phase et prendre un terme supplémentaire en faisant l’approximation suivante
16
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 2.4. LES CHAMPS ET LA DENSITÉ DE PUISSANCE
RAYONNÉS
dans l’exponentiel :
|r − r | ≈ r − er · r = r − x sin(θ) cos(ϕ) − y sin(θ) sin(ϕ) − z cos(θ) (2.35)
Ces relations approchées sont évidentes du point de vue géométrique quand on
considère que les vecteurs (r − r ) et r sont pratiquement parallèles. Ces approxi→
−
mations introduisent une simpliﬁcation notable dans le calcul de A et des champs
→ −
−
→
E , H . En eﬀet, on trouve aisément :
−
→
μ e−jkr f (θ, ϕ)
A (r) =
4π r
avec
− jker ·r →
dv
J (r )e
f(θ, ϕ) =
(2.36)
(2.37)
v
L’intégrale vectorielle (également appelée intégrale de rayonnement) f donnant
la dépendance angulaire, joue un rôle essentiel dans la théorie des antennes.
Le calcul des expressions approchées pour les champs se fait alors en calculant
→
−
le rotationnel et la divergence de A et en négligeant les termes à décroissance plus
rapide que 1/r. Le résultat ﬁnal est :
−
→
jω −
→
H =
(2.38)
A × er
Zc
→
−
→
−
→
−
(2.39)
E = −jω[ A − er · (er · A )]
où Zc = μ/ε est une constante appelée impédance caractéristique du milieu. En
utilisant l’identité er · er = 1 on peut aussi écrire le champ électrique comme un
double produit vectoriel :
→
−
→
−
(2.40)
E = jωer × (er × A )
A partir de ces relations, ou en partant directement des équations de Maxwell, on
peut montrer que les champs rayonnés satisfont entre eux la relation simple :
−
→
→
−
1
H = er × E
Zc
→
−
→
−
E = Zc H × er
(2.41)
(2.42)
En déﬁnitive, le calcul du champ électromagnétique lointain se réduit à celui du potentiel vecteur à travers l’évaluation de l’intégrale de l’équation Equation (2.36).
Puis les composantes du champ en coordonnées sphériques sont données par :
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
E θ = −jω A θ , E ϕ = −jω A ϕ , H θ = − E ϕ /Zc, H ϕ = E θ /Zc, E r = H r = 0
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 17
CHAPITRE 2. CALCUL DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
En terme de l’intégrale angulaire, on trouve pour les composantes du champ électrique :
Eθ (r, θ, ϕ) = −
jZc e−jkr
eθ · f(θ, ϕ)
2λ r
(2.43)
jZc e−jkr
ϕ)
eϕ · f(θ,
(2.44)
2λ r
Les champs rayonnés par une antenne dépendent bien sûr des trois coordonnées
sphériques du point de vue calcul. Tandis que l’intégrale f donne la dépendance
angulaire du champ par rapport à θ et à ϕ, la fonction universelle e−jkr /r quant à
elle donne la dépendance par rapport à la coordonnée radiale r.
Dans la région du champ lointain, le vecteur de Poynting est purement radial
et réel :
Eϕ (r, θ, ϕ) = −
→ −
→
→
1 −
=−
S
E × H ∗ = | E |2er
Zc
(2.45)
Cette composante radiale donne la densité de puissance rayonnée vers l’extérieur
que l’on peut écrire sous la forme :
→2
→
→
−
1 −
· er = 1 |−
E | = (| E θ |2 + | E ϕ |2 )
p(r, θ, ϕ) = S
Zc
Zc
[W/m2 ]
(2.46)
où en terme des composantes de l’intégrale vectorielle f :
p(r, θ, ϕ) =
Zc 1
(|fθ |2 + |fϕ |2 )
4λ2 r 2
[W/m2 ]
(2.47)
A l’instar des champs, la densité de puissance dépend des trois coordonnées sphériques mais la dépendance par rapport à la coordonnée radiale est toujours la même
(inversement proportionnel au carré de la distance). On déﬁnit alors l’intensité de
rayonnement U comme :
U(θ, ϕ) = r 2 p(r, θ, ϕ) =
Zc
(|fθ |2 + |fϕ |2 )
4λ2
[W/stéradians]
(2.48)
Cette intensité de rayonnement correspond à la puissance par unité d’angle solide
et ne dépend pas de la distance r.
2.5
Un exemple : le dipôle de Hertz
L’antenne la plus simple possible est le dipôle de Hertz, appelé aussi doublet.
Il s’agit d’un ﬁlament de courant de petite longueur l parcouru par un courant
18
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 2.5. UN EXEMPLE : LE DIPÔLE DE HERTZ
√
I (de valeur temporelle i(t) = 2I cos(ωt)). Dans un sens strict, le doublet n’a
qu’une utilité mathématique : il est la source élémentaire que l’on intègre pour
obtenir les champs d’une antenne de dimensions ﬁnies. Sa longueur est alors une
vraie quantité diﬀérentielle dl.
Mais en pratique, le dipôle de Hertz peut être un bon modèle mathématique
pour des antennes à ﬁl, petites par rapport à la longueur d’onde et dont le courant I est pratiquement indépendant de la position à l’intérieur du ﬁl. Sous ces
hypothèses, on donnera alors des valeurs ﬁnies à la longueur du dipôle l.
Considérons maintenant un tel dipôle placé à l’origine de coordonnées et dirigé
suivant une direction arbitraire déﬁnie par le vecteur unitaire el . Si s est la
→
−
section du dipôle, la densité de courant vaut J = el I/s et l’élément de volume
vaut dv = s · dl . L’intégrale angulaire vaut (Equation (2.37)) :
l
f(θ, ϕ) = el
Idl = Ilel
(2.49)
0
avec :
→
fθ = −Il sin(θ), fϕ = 0 et el = −
ez
Le potentiel vecteur peut alors être écrit comme :
−
→
μIl e−jkr
A (r) =
el
4π
r
et le champ électrique rayonné est donné par :
(2.50)
−
→
e−jkr
jZc
Il
er × (er × el )
(2.51)
E =
2λ
r
ou, en composantes sphériques par (Equation (2.43) et Equation (2.44)) :
e−jkr
jZc
Il
sin(θ)
2λ
r
Eϕ (r, θ, ϕ) = 0
Eθ (r, θ, ϕ) =
(2.52)
(2.53)
Si nécessaire, le champ magnétique se déduit alors facilement :
−
→
e−jkr
j
Il
el × er
H =
2λ
r
et en composantes sphériques :
e−jkr
j
Il
sin(θ)
Hϕ (r, θ, ϕ) =
2λ
r
Hθ (r, θ, ϕ) = 0
(2.54)
(2.55)
(2.56)
Quant à l’intensité du rayonnement (équation Equation (2.48)), elle vaut :
Zc
(2.57)
U(θ, ϕ) = 2 (Il)2 sin2 (θ)
4λ
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 19
Chapitre 3
PARAMETRES
CARACTERISTIQUES D’UNE
ANTENNE
3.1
Diagrammes de rayonnement
Pour représenter les caractéristiques angulaires du rayonnement électromagnétique d’une antenne on utilise les diagrammes de rayonnement. La dépendance par
rapport à la coordonnée radiale (c’est à dire la distance par rapport à la source)
des champs et de la densité de puissance est toujours la même et n’est donc jamais
incluse dans ces diagrammes.
3.1.1
Diagramme en champ
Un diagramme de rayonnement en champ est une représentation graphique des deux composantes de l’intégrale angulaire (intégrale de rayonnement)
fθ (associée à Eθ et à Hϕ ) et fϕ (associée à Eϕ et à Hθ ).
Il ne faut pas oublier que l’on travaille avec des phaseurs. Donc, les composantes
du champ sont en général des valeurs complexes et il en va de même pour les
composantes de l’intégrale angulaire f. Dans la plupart des problèmes d’antennes,
on s’intéresse surtout à l’amplitude du champ rayonné. La seule information à
retenir est alors celle contenue dans les normes |fθ (θ, ϕ)| et |fϕ (θ, ϕ)|.
Le plus souvent, on travaille avec des diagrammes normalisés et on dessine la
fonction appelée diagramme en champ normalisé (normalized ﬁeld pattern).
Pour la composante θ, il est donné par :
DEθ (θ, ϕ) =
|fθ (θ, ϕ)|
|Eθ (θ, ϕ)|
=
|Eθ (θ0 , ϕ0 )|
|fθ (θ0 , ϕ0 )|
21
(3.1)
CHAPITRE 3. PARAMETRES CARACTERISTIQUES D’UNE
ANTENNE
où la direction (θ0 , ϕ0 ) correspond à la valeur maximale de |Eθ | :
(3.2)
Eθ (θ0 , ϕ0 ) = max [Eθ (θ, ϕ)]
(θ,ϕ)
Une normalisation similaire est utilisée pour la composante Eϕ et on déﬁnit un
deuxième diagramme en champ normalisé :
DEϕ (θ, ϕ) =
|Eϕ (θ, ϕ)|
|fϕ (θ, ϕ)|
=
|Eϕ (θ0 , ϕ0 )|
|fϕ (θ0 , ϕ0 )|
(3.3)
Mais, attention : les angles θ0 et ϕ0 ne sont pas forcément les mêmes pour les
composantes Eθ et Eϕ !
Rappelons que ces diagrammes en champ représentent aussi bien des champs
électriques que des champs magnétiques. Les composantes Hθ et Hϕ ayant la même
dépendance angulaire que Eϕ et Eθ respectivement.
Les diagrammes de rayonnement ainsi déﬁnis ont des valeurs toujours comprises
entre 0 et 1 et atteignent la valeur unité dans la direction où le champ est maximal.
Pour les diagrammes de rayonnement d’amplitude, on utilise souvent des
valeurs en décibels données par les relations standards :
DEθ (dB) = 20 log10 |DEθ |
(3.4)
DEϕ (dB) = 20 log10 |DEϕ |
(3.5)
Les valeurs possibles s’échelonnent alors entre −∞ (champ nul) et 0 dB (champ
maximal), mais évidemment on tronque la représentation en dessous d’une valeur
minimale (par exemple −40 dB, correspondant à 1% du champ maximal).
Les diagrammes de rayonnement sont des fonctions de deux variables qui
exigent une représentation graphique tridimensionnelle ou par des lignes de niveau. Souvent, on essaie de choisir les axes de coordonnées de telle façon que les
directions où l’on veut étudier le rayonnement se trouvent dans les plans ϕ = 0˚
ou ϕ = 90˚, appelés plans principaux. On peut alors représenter – souvent en coordonnées polaires – le diagramme de rayonnement comme une fonction de la seule
coordonnée angulaire θ.
Il faut ﬁnalement remarquer qu’en normalisant chaque composante par rapport
à sa valeur maximal, on perd l’information concernant le rapport d’amplitude entre
les composantes suivant θ et ϕ. C’est pour cela qu’on utilise souvent le même
facteur de normalisation pour les deux composantes. Ce facteur peut être par
exemple le "maximum des maximums" : max(|Eθ |max , |Eϕ |max ) — ou encore la
valeur maximale du module du champ :
√
E · E∗
= max
Eθ · Eθ∗ + Eϕ · Eϕ∗
max
(θ,ϕ)
Avec ces normalisations les diagrammes de rayonnement n’atteignent pas forcément la valeur maximale unité (0 dB).
22
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 3.1. DIAGRAMMES DE RAYONNEMENT
3.1.2
Diagramme en puissance
Le diagramme de rayonnement en puissance (normalized power pattern) est une représentation graphique de la densité de puissance p(r, θ, ϕ) ou
de l’intensité (puissance par unité d’angle solide) U(θ, ϕ) = r 2 p, en fonction des
angles θ et ϕ.
Dans la région du champ lointain, la densité de puissance p est un scalaire réel.
Donc il ne faut pas distinguer de composantes ou séparer amplitude et phase. Ici,
la normalisation est unique et on représente la quantité appelée diagramme de
puissance DP comme :
DP (θ, ϕ) =
U(θ, ϕ)
p(θ, ϕ)
=
p(θ0 , ϕ0 )
U(θ0 , ϕ0 )
(3.6)
où les valeurs maximales de p et de U sont atteintes pour une certaine direction
donnée par des angles θ0 et ϕ0 .
(3.7)
U(θ0 , ϕ0 ) = max [U(θ, ϕ)]
(θ,ϕ)
Pour les diagrammes de rayonnement en puissance, on utilise souvent
des valeurs en décibels, données par la relation standard :
DP (dB) = 10 log10 |DP |
(3.8)
Il est important de rappeler que la densité de puissance p est donnée, à une
constante près, par le carré de la norme du champ électrique : |Eθ |2 + |Eϕ |2 .
Donc, si une des composantes θ ou ϕ du champ est nulle, le diagramme de
rayonnement de puissance et celui de la composante non nulle sont strictement
identiques quand ils sont exprimés en décibels.
3.1.3
Paramètres caractéristiques d’un diagramme de rayonnement en puissance
En général, un diagramme de rayonnement présente plusieurs lobes séparés
par des directions où le rayonnement est nul (mais certaines antennes simples
donnent un rayonnement presque omnidirectionnel – sans aucune direction où le
champ s’annule – donnant ainsi un lobe unique de forme patatoïde). La Figure 3.1
présente une coupe à ϕ = cste d’un diagramme typique en échelle linéaire.
On appelle lobe principal ou majeur (main lobe) le lobe contenant la direction
de rayonnement maximal. Les autres lobes sont des lobes secondaires ou encore
mineurs (minor lobe). Un lobe latéral (side lobe) est un lobe dans une direction
autre que celle souhaitée pour le rayonnement de l’antenne. Dans la plupart des
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 23
CHAPITRE 3. PARAMETRES CARACTERISTIQUES D’UNE
ANTENNE
Figure 3.1: Diagramme de rayonnement en puissance
cas, l’antenne est conçue pour exploiter son rayonnement dans la direction du lobe
principal et donc tous les lobes latéraux sont secondaires et vice versa.
La largeur du lobe principal ou largeur du faisceau (beamwidth, θBW ) est
l’angle formé par les deux directions du champ nul entourant le lobe principal. Si
la position des nuls n’est pas bien déﬁnie, on prendra la largeur du faisceau
à moitié puissance (half power beamwidth, θHPBW ) qui est l’angle entre deux
directions où la densité de puissance est la moitié de la valeur maximale.
L’importance des lobes latéraux peut se chiﬀrer en considérant la direction
appartenant à ceux-ci où l’intensité est maximale. On déﬁnit alors le niveau des
lobes latéraux (side lobe level, SLL) comme :
SLL = 10 log10
Pmax (lobe principal)
Pmax (lobes latéraux)
(3.9)
En général, après une normalisation, on a Pmax (lobe principal) = 1. Ceci implique
que :
SLL = −10Pmax (lobes latéraux)
3.2
(3.10)
Puissance totale rayonnée et directivité
La puissance totale rayonnée ou émise Prad par une antenne est obtenue par
intégration de la densité de puissance sur une surface sphérique de rayon r. Avec
24
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 3.2. PUISSANCE TOTALE RAYONNÉE ET DIRECTIVITÉ
ds = r 2 sin(θ)dθdϕ on obtient :
2π
dϕ
Prad = p(r, θ, ϕ)ds =
s
2π
dϕ
=
0
2
0
π
r 2 sin(θ)p(r, θ, ϕ)dθ
0
π
(3.11)
sin(θ)U(θ, ϕ)dθ
0
Le terme r du diﬀérentiel surfacique compense la dépendance 1/r 2 de la densité
de puissance et permet d’exprimer la puissance comme une intégrale de l’intensité U. On peut dire que la puissance totale rayonnée Prad demeure indépendante
du rayon r mais, en s’éloignant de l’antenne, elle se distribue sur des surfaces
sphériques de plus en plus grandes donnant lieu à une décroissance de la densité.
La densité de puissance p(r, θ, ϕ) peut varier fortement avec la direction. On
obtient sa valeur moyenne en divisant la puissance totale rayonnée à travers une
surface sphérique par la surface de cette sphère. Cette valeur moyenne est appelée
densité de puissance isotropique :
Prad
(3.12)
4πr 2
Une antenne qui émettrait réellement cette densité de puissance indépendante
de la direction serait appelée antenne isotrope ou omnidirectionnelle. Une telle
antenne est irréalisable en pratique, mais constitue un concept très utile pour la
caractérisation des antennes réelles.
Le quotient D(θ, ϕ) de la densité de puissance par sa valeur moyenne est une
grandeur adimensionnelle, une fonction de la direction, mais pas de la distance,
appelée gain de directivité ou tout simplement directivité. On trouve :
< p >= piso =
D(θ, ϕ) =
4πr 2 p(r, θ, ϕ)
4πr 2p(r, θ, ϕ)
p(r, θ, ϕ)
(3.13)
=
= 2π
π
piso
Prad
dϕ r 2 sin(θ)p(r, θ, ϕ)dθ
0
0
On peut donc imaginer la directivité comme une "intensité de rayonnement
normalisée". Aussi, la directivité donne le rapport entre la densité de puissance
d’une antenne réelle et celle d’une antenne ﬁctive rayonnant la même puissance
totale mais de façon isotropique. Des valeurs de la directivité supérieure à l’unité
indiquent des directions "favorisées" où l’antenne concentre son rayonnement.
La directivité peut être calculée à partir du diagramme de rayonnement. Elle
est couramment exprimée en dB :
D(θ, ϕ)dB = 10 log10 (D(θ, ϕ))
(3.14)
En pratique, on s’intéresse surtout à la valeur maximale de la directivité atteinte
pour une direction (θ0 , ϕ0 ) :
Dmax = max[D(θ, ϕ)] = D(θ0 , ϕ0 ) ≥ 1
(3.15)
(θ,ϕ)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 25
CHAPITRE 3. PARAMETRES CARACTERISTIQUES D’UNE
ANTENNE
ou
Dmax (dB) = 10 log10 (Dmax ) ≥ 0
(3.16)
On voit facilement qu’un diagramme de directivité est simplement un diagramme de rayonnement de puissance multiplié par la valeur Dmax (ou augmenté
d’une valeur constante 10 log10 (Dmax ) si l’on travaille en dBs).
Une antenne est un élément passif. Elle peut concentrer le rayonnement dans
certaines directions privilégiées par rapport aux autres. Si l’on calcule la valeur
moyenne de la directivité sur toutes les directions de l’espace, on obtient forcément
l’unité :
2π
π
1
< D(θ, ϕ) >=
dϕ
sin(θ)D(θ, ϕ)dθ = 1
(3.17)
4π 0
0
3.3
Résistance de rayonnement
Du point de vue de la théorie des circuits, une antenne à l’émission correspond
à un élément passif linéaire dissipatif, possédant une impédance d’entrée complexe
Zin qui est une fonction de la fréquence. Si cet antenne est excitée par un courant
de valeur eﬃcace I, la puissance fournie à l’antenne est :
Pf = I 2 e(Zin )
(3.18)
Si l’on admet que l’antenne est faite en matériaux idéaux sans pertes, la conservation de l’énergie implique que cette puissance soit égale à la puissance électromagnétique rayonnée Prad . On peut donc obtenir la partie réelle de l’impédance
d’entrée d’une antenne idéale, dite résistance de rayonnement Rrad , comme :
Rrad = e(Zin ) =
Prad
I2
(3.19)
En revanche, le calcul de la partie imaginaire de l’impédance d’entrée est beaucoup plus délicat. La réactance n’est pas liée au rayonnement mais plutôt au champ
proche. Elle est très sensible à la géométrie et à la façon dont l’antenne est connectée au générateur. Sauf pour des antennes à géométrie très simple, des calculs
numériques à l’ordinateur sont nécessaires pour son évaluation. Mais souvent, on
se contente d’une estimation empirique approchée.
3.4
Application au dipôle de Hertz
Pour un dipôle de Hertz, le diagramme de rayonnement en puissance normalisé
est indépendant de la coordonnée ϕ (symétrie de révolution) et il est donné par la
26
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 3.4. APPLICATION AU DIPÔLE DE HERTZ
fonction :
DP (θ) = sin2 (θ)
(3.20)
en échelle linéaire ou :
DP (dB) = 10 log10 (sin2 (θ)) = 20 log10 (sin(θ))
(3.21)
en échelle logarithmique.
Donc un diagramme à deux dimensions est suﬃsant. Le rayonnement maximal
se produit pour θ = 90˚où DP = 1, et comme sin2 (θ) = 0 pour θ = 0˚et θ = 180˚
et sin2 (θ) = 0.5 pour θ = 45˚ et θ = 135˚. On trouve : θBW = 180 − 0 = 180˚ et
θHPBW = 135 − 45 = 90˚.
Il est bien entendu que ce diagramme ne comporte pas de lobes secondaires.
Comme Eϕ = 0, les diagrammes en décibels pour la puissance (DP ) et pour le
champ (DEθ ) sont les mêmes.
La puissance totale rayonnée est :
2
π
2π
l
2
2
Prad = 2π
r sin(θ)p(r, θ, ϕ)dθ =
(3.22)
Zc I
3
λ
0
Le calcul de la directivité est alors immédiat et l’on obtient :
D(θ, ϕ) =
3 2
sin (θ)
2
(3.23)
et une valeur maximale : Dmax = 1.5 = 1.76 dB. Quant à la résistance de rayonnement, on obtient :
2
2
l
2π
l
2
Zc I
≈ 800
[Ω]
(3.24)
Rrad =
3
λ
λ
Pour une longueur donnée, la résistance de rayonnement est proportionnelle au
carré de la fréquence. Par exemple, un ﬁl de cuivre de 1 mètre de longueur a une
résistance de rayonnement de 0.0088 Ω à 1 MHz, 0.88 Ω à 10 MHz, et 88 Ω à 100
MHz.
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 27
Chapitre 4
ETUDE D’ANTENNES IDEALES
Une antenne idéale est essentiellement une antenne construite avec des matériaux sans pertes. L’antenne idéale ne produit pas de la chaleur par eﬀet joule
quand elle fonctionne en émission ou en réception ! A l’émission, toute la puissance
fournie par le générateur est rayonnée. A la réception, toute la puissance reçue
est transmise à la charge. Pour étudier le comportement des antennes idéales,
et en particulier d’un couple d’antennes idéales constituant un système émetteurrécepteur, il nous faut encore aller plus en profondeur dans le contenu des équations
de Maxwell, en développant les théorèmes de réciprocité.
4.1
Théorème de réciprocité
Un système émetteur-récepteur formé par deux antennes quelconques possède
un ensemble de propriétés générales qui découlent directement des équations de
Maxwell. Parmi elles, les plus importantes sont rattachées au théorème de réciprocité, dont nous discuterons dans ce qui suit.
EA
JA
EB
HA
HB
JB
(a) Problème A
(b) Problème B
Figure 4.1: Théorème de réciprocité
29
CHAPITRE 4. ETUDE D’ANTENNES IDEALES
→
−
Considérons un problème A où des sources J A occupant un volume vA pro→
−
→
−
duisent des champs E A et H A en tout point de l’espace. Le milieu environnant
les sources est linéaire, isotrope mais peut être inhomogène (Figure 4.1a). Les
équations de Maxwell pour ce problème sont :
→ −
−
→
→
−
∇ × E A = −jωμ H A
(4.1)
→ −
−
→
→
−
→
−
∇ × H A = J A + jωε E A
(4.2)
Sans changer de fréquence, on considère maintenant le même milieu mais avec
→
−
un ensemble diﬀérent de sources J B occupant un volume vB et produisant en tout
→
−
→
−
point des champs E B et H B . C’est le problème B (Figure 4.1b), obéissant aux
équations :
→
−
→ −
−
→
(4.3)
∇ × E B = −jωμ H B
→ −
−
→
→
−
→
−
∇ × H B = J B + jωε E B
(4.4)
Construisons maintenant un vecteur assez "capricieux "
→ −
−
→
→
−
→
−
→
−
X = EA × HB − EB × HA
(4.5)
qui mélange les champs des deux problèmes. Prenant alors la divergence de ce
vecteur et faisant usage des équations de Maxwell (équations Equation (4.1) —
Equation (4.4)) on obtient :
→
→ −
−
→
→ −
−
→ −
→ −
(4.6)
∇ · X = J A · EB − J B · EA
Si maintenant, on intègre cette divergence sur un volume arbitraire v et on fait
usage du théorème de la divergence, on arrive au résultat :
→
−
→
−
→
−
→
−
→ −
−
→
→ −
−
→
( E A × H B − E B × H A ) · ds = ( J A · E B − J B · E A )dv
(4.7)
s
v
où s est la surface fermée entourant le volume v. Cette égalité est l’expression
classique du théorème de réciprocité.
Un cas particulier très intéressant est obtenu quand on laisse le volume v remplir
tout l’espace. La surface s est alors à l’inﬁni et donc dans le champ lointain des
sources qui occupent toujours des volumes ﬁnis vA , vB . Les champs sur la surface
satisfont alors les relations (chapitre 2) :
→
−
→
−
(4.8)
E A = −Zcer × H A
→
−
→
−
(4.9)
E B = −Zcer × H B
On peut montrer qu’avec ces relations l’intégrale de surface dans l’équation Equation (4.7)
s’annule, et on obtient comme expression particulière du théorème de réciprocité :
→
→
→ −
−
→ −
−
(4.10)
J A · E B dv =
J B · E A dv
vA
30
vB
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 4.2. RÉCIPROCITÉ EN TERME DE CIRCUIT
Figure 4.2: Réciprocité en terme de circuit
4.2
Réciprocité en terme de circuit
Prenons une paire d’antennes quelconques #1 et #2. On appliquera le théorème
de réciprocité sous la forme de l’équation Equation (4.10) aux deux situations
suivantes (Figure 4.2) :
A : #1 est l’émetteur connecté à un générateur idéal de courant I1 et #2 est le
récepteur laissé en circuit ouvert et ayant une tension V2open entre ses bornes ;
B : #2 est l’émetteur connecté à un générateur idéal de courant I2 et #1 est le
récepteur laissé en circuit ouvert et ayant une tension V1open entre ses bornes.
On applique à ces deux situations la réciprocité en se rappelant qu’ici les sources
sont les courants des générateurs et que, par conséquent, le volume occupé par les
sources se trouve à l’extérieur des antennes et se réduit à l’ensemble générateur
idéal + ﬁls de connexion reliant les bornes des antennes. Ces considérations nous
permettent d’écrire pour l’antenne #1 (Figure 4.2) :
→
−
−
→
J A dv = I 1 dl
(4.11)
→
−
avec dv = s dl et J = el I1 /s et l’intégrale de volume comme :
→
→
→ −
−
→ −
−
J A · E B dv = I1
E B · dl
VA
(4.12)
LA
où :
−
→
dl = el dl
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 31
CHAPITRE 4. ETUDE D’ANTENNES IDEALES
Figure 4.3: Equivalence des diagrammes
→
−
Mais E B est le champ créé par l’antenne #2 dans la situation "B" et l’intégrale curviligne est évaluée entre les bornes de l’antenne #1. On conclut que cette
intégrale donne la tension en circuit ouvert aux bornes de l’antenne #1 quand
l’antenne #2 est excitée par un courant I2 . On appellera cette tension V1open (I2 ).
Finalement, le théorème de réciprocité Equation (4.10) donne en termes de circuit :
I1 V1open (I2 ) = I2 V2open (I1 )
(4.13)
En particulier, si les courants d’excitation ont la même valeur numérique (par
exemple 1 A) on trouve :
V1open (I2 = 1 A) = V2open (I1 = 1 A)
(4.14)
C’est à dire : "à égalité de courant d’excitation, la tension détectée
par #1 quand #2 émet est la même que celle détectée par #2 quand
l’émetteur est #1".
4.3
Equivalence des diagrammes à l’émission et à
la réception
Le dernier résultat de la section précédente est de la plus haute importance,
car il implique l’identité entre les diagrammes de rayonnement à l’émission et à
la réception. En eﬀet, considérons une situation où l’antenne #1, alimentée par
un courant unité, est stationnaire et joue le rôle d’émetteur. Autour d’elle on
fait tourner une antenne sonde #2 sur une surface sphérique de rayon r >> l
(champ lointain), l étant la distance maximale entre deux points distincts de
l’antenne. En chaque point de la surface sphérique, on oriente l’antenne #2 pour
obtenir toujours une réception optimale (Figure 4.3a). La tension V2open détectée
par l’antenne #2 donne clairement une mesure du diagramme de rayonnement à
l’émission de l’antenne #1.
32
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 4.4. CIRCUIT ÉQUIVALENT D’UN SYSTÈME ÉMETTEUR –
RÉCEPTEUR
(b) Circuit en T
(a) Biporte
Figure 4.4: Circuits équivalents
Maintenant (Figure 4.3b), on fait émettre #2 (toujours en mouvement) avec
un courant unité et on capte une tension dans #1 (qui demeure stationnaire).
Comme précédemment, on oriente #2 en chaque point de la surface sphérique pour
une réception optimale dans #1. La tension captée est une mesure du diagramme
de rayonnement à la réception de l’antenne #1. Or, d’après l’équation Equation (4.14),
ces tensions sont égales. On conclut donc à l’équivalence des diagrammes de rayonnement à l’émission et à la réception d’une antenne donnée : "Les directions
privilégiées par une antenne à l’émission sont aussi celles où l’antenne
se montrera être la plus sensible à la réception".
4.4
Circuit équivalent d’un système émetteur – récepteur
Un système émetteur-récepteur formé par un couple d’antennes est équivalent
à une biporte linéaire passive (Figure 4.4a). Du point de vue de la théorie des
circuits, on doit donc pouvoir le représenter avec une matrice impédance [Z] avec
les relations classiques :
V1 = Z11 I1 + Z12 I2
(4.15)
V2 = Z21 I1 + Z22 I2
(4.16)
On constate tout de suite que :
V1
V1open
Z12 =
=
I2 I1 =0
I2
(4.17)
et
Z21
V2
=
I1
=
I2 =0
V2open
I1
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, (4.18)
33
CHAPITRE 4. ETUDE D’ANTENNES IDEALES
I1
Ug
Zg
V1
Z11
Z22 I
2
UT
V2
ZL
Zin,#1
(a) Schéma du système
(b) Circuit équivalent
Figure 4.5: Hypothèse unilatérale
Or, d’après le théorème de réciprocité ces valeurs sont identiques : donc la
matrice impédance est réciproque (Z12 = Z21 ). "La réciprocité électromagnétique
implique la réciprocité au niveau de la circuiterie". On arrive ainsi au circuit équivalent en T de la Figure 4.4b. On introduira la notation Z12 = Z21 = Zm (impédance mutuelle).
Si les antennes émettrice et réceptrice sont identiques, la symétrie du problème
exige en plus que Z11 = Z22 .
Une représentation en termes d’admittances combinée avec un circuit équivalent en T et un générateur de Norton est aussi possible.
Considérons maintenant que l’antenne #1 est l’émetteur excité par un générateur de tension Ug et d’impédance interne Zg . L’antenne #2 est le récepteur
chargé par une impédance ZL . L’impédance d’entrée de l’antenne #1 est, d’après
le circuit équivalent (Figure 4.4b) :
Zin,#1 = Z11 − Zm + Zm
Z22 − Zm + ZL
Z22 + ZL
(4.19)
Elle est donc aﬀecté par l’antenne #2 et même par l’impédance de charge de cette
antenne.
4.5
L’hypothèse unilatérale
Dans la plupart des cas pratiques (Figure 4.5a), on peut admettre que la densité de puissance p produite par l’antenne émettrice au voisinage de l’antenne réceptrice est la même que celle qui existerait dans cette région de l’espace en absence
du récepteur. Autrement dit, l’existence du récepteur n’altère aucune des caractéristiques de l’émetteur : densité de puissance, impédance d’entrée, diagramme
de rayonnement. . . (l’émetteur de la radio locale ne se rend pas compte du fait
que vous enclenchez votre poste récepteur à la maison). D’un point de vue circuit
équivalent, on peut alors remplacer les équations générales de la biporte par des
34
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 4.5. L’HYPOTHÈSE UNILATÉRALE
relations approchées où le terme Z12 I2 est négligé et le terme Z21 I1 est transformé
en générateur dépendant de tension UT = Z21 I1 (Figure 4.5b). On a alors :
V1 = Z11 I1
(4.20)
V2 = UT + Z22 I2
(4.21)
Ce qui donne d’après le circuit équivalent de la Figure 4.5b :
(4.22)
Zin,#1 = Z11
L’impédance d’entrée de l’émetteur est indépendante des paramètres du récepteur.
Le circuit équivalent approché tiré de l’hypothèse unilatérale établit une diﬀérence
claire entre le coté émetteur et le coté récepteur. Tandis que dans le circuit général
en T on peut échanger les rôles entre émetteur et récepteur, l’hypothèse unilatérale
exige un circuit équivalent diﬀérent de celui de la Figure 4.5b si l’antenne #2 est
l’émetteur.
Si l’on considère un système formé par deux antennes identiques, les équations
ci-dessus permettent d’aﬃrmer qu’une antenne à la réception est équivalente à
un générateur dont l’impédance interne est identique à l’impédance d’entrée de la
même antenne à l’émission.
4.5.1
Réciprocité des puissances dans l’hypothèse unilatérale
Considérons maintenant une situation où l’hypothèse unilatérale est acceptée
et où l’émetteur (antenne #1) et le récepteur (antenne #2) sont connectés, respectivement à un générateur et à une charge. On suppose d’autre part qu’on a une
∗
parfaite adaptation d’impédance en entrée (Z11 = Zg∗ ) et en sortie (ZL = Z22
). La
puissance rayonnée par l’émetteur est :
Prad−1 =
|Ug |2
4e(Z11 )
(4.23)
tandis que la puissance disponible au niveau du récepteur est donnée par :
Pav−r2 =
|Zm I1 |2
|UT |2
=
4e(Z22 )
4e(Z22 )
(4.24)
Comme |Ug | = 2e(Z11 )|I1 |, le rapport entre ces deux puissances vaut :
|Zm |2
Pav−r2
=
Prad−1
4e(Z11 )e(Z22 )
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, (4.25)
35
CHAPITRE 4. ETUDE D’ANTENNES IDEALES
Cette relation demeure inchangée si on échange les rôles entre émetteur et
récepteur (autrement dit, si on échange les indices 1 et 2). On obtient donc la
relation de réciprocité entre puissances :
Pav−r2
Pav−r1
=
Prad−1
Prad−2
(4.26)
En résumé, si les quelques centaines de watts fournis à votre émetteur radio
préférée produisent quelques milliwatts dans votre transistor, vous êtes en droit
d’attendre une perturbation de quelques milliwatts dans le studio central si vous
réussissez à fournir à votre transistor des centaines de watt et qui sont ensuite entièrement émises par ce dernier (et si l’hypothèse unilatérale demeure acceptable).
4.5.2
Puissances dans un système émetteur-récepteur idéal
Considérons maintenant un couple d’antennes idéales formant un système
émetteur-récepteur. En admettant la validité de l’HYPOTHESE UNILATÉRALE,
prenons un cas où la ligne de visée entre émetteur et récepteur correspond à la
direction (θ1 , ϕ1 ) dans le système de coordonnées rattaché à l’antenne #1 (émetteur) et à la direction (θ2 , ϕ2 ) par rapport à l’antenne #2 (récepteur). On
a alors la relation suivante entre la puissance rayonnée par un émetteur et la
puissance disponible dans le récepteur situé à une distance r :
Pav−r2 = Ae2 (θ2 , ϕ2 )p = Ae2 (θ2 , ϕ2 )pisoD1 (θ1 , ϕ1 )
Prad−1
(4.27)
4πr 2
où, en plus de considérer des antennes idéales, on a admis que le récepteur est
capable d’accepter intégralement la densité de puissance incidente.
= Ae2 (θ2 , ϕ2 )D1 (θ1 , ϕ1 )
4.6
Surface de captation
Considérons une antenne à la réception située dans le champ lointain d’un
émetteur. Si les dimensions de l’antenne-récepteur sont petites en comparaison
avec sa distance de l’émetteur, l’antenne-récepteur peut être considérée comme
excitée par une onde plane de densité de puissance constante p.
Du point de vue de la théorie des circuits, l’antenne à la réception peut être
considérée comme un générateur dépendant de tension ou de courant selon que l’on
utilise l’équivalent de Thévenin ou de Norton. On a vu que l’impédance interne de
ce générateur est la même impédance Zin de l’antenne à l’émission.
La puissance maximale disponible (available) à la réception Pav−r est la puissance que l’antenne réceptrice fournit quand on la connecte sur une impédance
36
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 4.7. APPLICATION AU DIPÔLE DE HERTZ
de charge qui est égale à la valeur complexe conjuguée de l’impédance interne de
∗
l’antenne (Zload = Zin
, adaptation conjuguée).
On déﬁnit alors la surface de captation équivalente Ae (eﬀective aperture)
d’une antenne à la réception comme le rapport entre la puissance maximale disponible à la réception et la densité de puissance incidente.
Ae2 (θ, ϕ) =
Pav−r
p
[m2 ]
(4.28)
Cette surface de captation dépend bien sûr de l’orientation de l’antenne réceptrice
par rapport à l’onde incidente. En pratique, on s’intéresse souvent à sa valeur
maximale, lorsque l’orientation de l’antenne est telle qu’elle capte un maximum de
puissance.
La surface de captation équivalente maximale Ae max est atteinte pour une direction (θ0 , ϕ0 ) et vaut donc :
Ae max = max[Ae (θ, ϕ)] = Ae (θ0 , ϕ0 )
(θ,ϕ)
(4.29)
Comme pour la directivité, quand on parle dans la littérature technique de
"surface de captation" on se réfère le plus souvent à sa valeur maximale. La
quantité Ae mérite bien le nom de surface de captation car, outre sa relation
évidente avec les propriétés réceptrices de l’antenne, elle a les dimensions d’une
surface. Toutefois, il faut remarquer qu’aucune surface géométrique n’est intervenue dans sa déﬁnition. Pour certaines antennes comme les paraboles et les cornets,
la surface de captation est directement liée à la surface géométrique interceptée
par l’onde plane. Dans d’autres cas, comme les antennes à ﬁl, on ne peut rattacher
Ae à aucune surface géométrique.
4.7
Application au dipôle de Hertz
En utilisant un schéma équivalent de Thévenin, un dipôle de Hertz à la réception est équivalent à un générateur de tension dont la valeur est obtenue en
mesurant la tension induite entre les extrémités du dipôle en circuit ouvert.
On sait que la densité de puissance de l’onde incidente est liée au champ élec→
−
trique E par la relation :
p=
E2
Zc
(4.30)
avec :
→
−
E = |E |
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 37
CHAPITRE 4. ETUDE D’ANTENNES IDEALES
La tension induite dans le dipôle de Hertz sera simplement le produit de la longueur
du dipôle par la composante tangentielle du champ (ou bien le produit de la norme
du champ par la valeur de la longueur "eﬀective" oﬀerte par le dipôle) :
Vop = El sin(θ) = Zc p l sin(θ)
(4.31)
La puissance disponible à la réception est alors (équation Equation (4.24)) :
Pav−r
2
Vop
=
4e(Zin )
(4.32)
[W]
et la surface de captation vaut :
Ae =
2
Vop
Pav−r
1
=
p
p 4e(Zin )
[m2 ]
(4.33)
En admettant un dipôle idéal où e(Zin ) = Rrad , et en utilisant la valeur
désormais connue de cette résistance de rayonnement (équation Equation (3.24)),
on trouve pour la surface de captation d’un dipôle de Hertz :
Ae =
3λ2 sin2 (θ)
8π
(4.34)
Elle est indépendante des dimensions du dipôle mais plutôt fonction seulement de
la fréquence ! Sa valeur maximale est :
Ae(max) =
4.8
3λ2
8π
(4.35)
Rapport surface de captation / directivité
La réciprocité des puissances que nous venons de démontrer a une conséquence
analytique importante. En eﬀet, si l’antenne #1 est l’émetteur et l’antenne #2 le
récepteur, on sait que le rapport entre la puissance disponible à l’émission et celle
disponible à la réception est donnée par :
Pav−r2
Ae (θ2 , ϕ2 )D1 (θ1 , ϕ1 )
= 2
Prad−1
4πr 2
(4.36)
Si maintenant on fait émettre l’antenne #2 et l’antenne #1 devenant le récepteur,
on trouve :
Pav−r1
Ae (θ1 , ϕ1 )D2 (θ2 , ϕ2 )
= 1
Prad−2
4πr 2
38
(4.37)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 4.9. FORMULE DE TRANSMISSION DE FRIIS
La relation de réciprocité entre puissances implique alors que :
Ae1 (θ1 , ϕ1 )
Ae (θ2 , ϕ2 )
= 2
D1 (θ1 , ϕ1 )
D2 (θ2 , ϕ2 )
(4.38)
Comme aucune hypothèse n’a été faite concernant la nature des antennes et les
angles de visée, il faut en conclure que "le rapport surface de captation / directivité est une constante indépendante du type et de l’orientation des antennes".
La valeur de ce rapport peut alors être obtenue à partir des résultats connus
pour un système formé par deux dipôles de Hertz orientés pour une transmission
optimale. A partir des valeurs maximales connues pour la directivité (équation
Equation (3.23)) et la surface de captation (équation Equation (4.34)) d’un
dipôle de Hertz on trouve :
Ae
λ2
=
(4.39)
D
4π
Cette relation, fort utile, permet de calculer la surface de captation à partir de la
directivité et vice versa.
Par exemple, pour une antenne à réﬂecteur parabolique, on peut estimer que
la surface de captation eﬃcace maximale est proche de la surface de l’ouverture
circulaire sous-tendue par la paraboloïde. Si R est le rayon de ce cercle, on obtient
alors comme estimation raisonnable de la directivité maximale d’une antenne
parabolique :
2
2πR
Dmax =
(4.40)
λ
4.9
Formule de transmission de FRIIS
On peut maintenant exprimer la relation entre puissance disponible à la réception et puissance rayonnée par l’émetteur en termes des directivités des deux
antennes comme :
2
λ
Prad
(4.41)
Pav−r = D1 D2
4πr
Cet expression est connue comme formule de transmission de Friis pour deux
antennes idéales.
4.10
Equation du radar
Considérons un émetteur #1 qui illumine une cible avec une densité de puissance incidente pi (Figure 4.6). La cible renvoie un écho et une certaine densité
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 39
CHAPITRE 4. ETUDE D’ANTENNES IDEALES
Emetteur
R1
e
Ond
R2
e
nd
Récepteur
nte
Cible
ide
inc
di
ée
ct
a
ffr
O
Figure 4.6: Equation du radar
de puissance diﬀractée pd qui arrive sur un récepteur #2. La cible se trouve à une
distance R1 de l’antenne #1 et à une distance R2 de l’antenne #2. Le pouvoir
réﬂéchissant de la cible est quantiﬁé par le paramètre "surface eﬀective radar,
SER" (en anglais "radar cross section, RCS ") déﬁni par :
SER =
4πR22 pd
pi
(4.42)
C’est à dire, on admet que la cible absorbe une puissance (pi ·SER) et la re-rayonne
intégralement de façon isotrope sur une sphère de rayon R2 .
La puissance disponible dans le récepteur est Pav−r2 = Ae1 pd , tandis que la
puissance totale rayonnée par l’émetteur est Prad1 = 4πR12 pi /D1 . On peut combiner
toutes ces relations et obtenir le résultat :
Pav−r2
λ2 D1 D2 SER
=
Prad1
(4π)3 R12 R22
(4.43)
connu comme équation du radar. Quand la même antenne joue le rôle d’émetteur
et de récepteur, (#1 et #2 confondues) le radar est dit monostatique. Autrement,
il est appelé bistatique.
40
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, Chapitre 5
LES ANTENNES RÉELLES :
DÉVIATIONS PAR RAPPORT AU
CAS IDÉAL
5.1
RENDEMENT ET GAIN
Toute antenne réelle est construite avec des matériaux non idéaux exhibant
des pertes. Ces pertes se traduisent par une dissipation de chaleur dans l’antenne
(eﬀet Joule). Pour les antennes auxquelles on peut associer un modèle équivalent
en ligne de transmission, on pourra alors parler des pertes ohmiques dues à la
résistivité non nulle des conducteurs réelles et des pertes diélectriques dues à des
isolants imparfaits. Du point de vue circuit équivalent, on verra apparaître respectivement une résistance série et une conductance parallèle à ajouter à la résistance
de rayonnement. Dans tous les cas, pour une antenne réelle la puissance fournie à
l’antenne Pf = I 2 e(Zin ) ne se transforme pas intégralement en puissance rayonnée
Prad (obtenue par intégration du diagramme de rayonnement). Une partie de la
puissance fournie est dissipée par eﬀet Joule dans l’antenne. On a donc Prad < Pf
et on peut déﬁnir un rendement η comme :
Prad
≤1
(5.1)
Pf
Le rendement est une mesure, souvent empirique, de la qualité des matériaux
faisant partie de l’antenne. Une version plus réaliste de la directivité est obtenue
quand on remplace dans sa déﬁnition la puissance totale rayonnée par la puissance
fournie à l’antenne. On obtient alors le gain en puissance, ou gain tout court
G(θ, ϕ), qui est déﬁni comme :
η=
G(θ, ϕ) = 4π
U(θ, ϕ)
= ηD(θ, ϕ)
Pf
(5.2)
41
CHAPITRE 5. LES ANTENNES RÉELLES : DÉVIATIONS
PAR RAPPORT AU CAS IDÉAL
Figure 5.1: Schéma équivalent de l’antenne à l’émission et à la réception
On peut considérer le gain comme une directivité pratique qui inclut l’eﬀet
des pertes par eﬀet joule la directivité comme la limite théorique supérieure pour
le gain et vice versa,. On a vu que la directivité peut être calculée à partir du
diagramme de rayonnement. En revanche, il est clair que le calcul du gain exige
la connaissance du rendement et de la puissance fournie. Comme la directivité, le
Gain est couramment exprimé en dB :
(5.3)
G(θ, ϕ)dB = 10 log10 (G(θ, ϕ))
APPLICATION AU DIPÔLE DE HERTZ
Nous avons vu que la puissance totale rayonnée, obtenue par intégration du
vecteur de Poynting était :
2
π
2π
Δl
2
Zc I
U(r, θ, ϕ) sin(θ)dθ =
(5.4)
Prad = 2π
3
λ
0
Ce qui correspondait à une résistance de rayonnement :
2
2
Δl
2π
Δl
Zc
Rrad =
≈ 800
[ohms]
3
λ
λ
(5.5)
Quand on prend en compte les pertes, nous pouvons considérer qu’un dipôle de
Hertz réel consiste essentiellement en un ﬁl métallique de longueur Δl. Il aura alors
une résistance ohmique, qui en haute fréquence est surtout due à l’eﬀet pelliculaire
et est donnée par :
Δl μπf
(5.6)
Rloss =
2πa
σ
où μ et σ sont respectivement la perméabilité et la conductivité électrique du
matériau du ﬁl.
Le même courant qui produit le rayonnement cause aussi les pertes. Du point
de vue circuit équivalent, dans une antenne réelle à ﬁls conducteurs, la résistance
42
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 5.2. DESADAPTATION
ohmique Rloss doit être ajoutée en série avec l’impédance d’entrée idéale et on peut
écrire :
(5.7)
Zin = Rloss + Rrad + jX
En termes de circuit équivalent, le rendement est donc donné par :
η=
Prad
Rrad
=
Pf
Rrad + Rloss
(5.8)
Nous devons remarquer que, pour une longueur donnée, la résistance de rayonnement est proportionnelle au carré de la fréquence. Un ﬁl de cuivre de 1 mètre de
longueur a une résistance de rayonnement de 0.0088 Ω à 1 MHz, 0.88 Ω à 10 MHz
et 88 Ω à 100 MHz. En revanche, la résistance de pertes, due à l’eﬀet pelliculaire,
augmente seulement avec la racine carrée de la fréquence. On peut alors trouver
les résultats de la Table 5.1 pour un ﬁl de cuivre (σ = 5.7 107 S/m) de longueur
L = 1 m et de rayon a = 0.4 mm : ce qui nous permet de voir clairement l’intérêt
des hautes fréquences.
Table 5.1: Tableau récapitulatif
f (MHz) Rrad (ohms) Rloss (ohms)
η
1
0.0088
0.1
8%
10
0.88
0.3
73%
100
88
1
98.9%
5.2
DESADAPTATION
La puissance fournie Pf n’est souvent pas la puissance maximum disponible
dans le générateur Pav−e . Considérons, pour simpliﬁer, un générateur de tension
U et d’impédance interne réelle Rg. Ce générateur a une puissance maximale disponible U 2 /4Rg. Malheureusement, cette puissance ne sera fournie à l’antenne que
si son impédance d’entrée est aussi Rg. Un calcul simple sur le circuit équivalent
montre que la puissance fournie vaut en réalité :
Pf = (1 − |Γ2g |)Pav−e
(5.9)
où :
Γg =
Zin − Rg
est le coeﬃcient de réﬂexion entre générateur et antenne-émetteur.
Zin + Rg
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 43
CHAPITRE 5. LES ANTENNES RÉELLES : DÉVIATIONS
PAR RAPPORT AU CAS IDÉAL
Figure 5.2: Schéma équivalent de l’antenne à l’émission et à la réception
Le terme |Γ2g |Pav−e donne la puissance perdue par désadaptation et renvoyée vers
le générateur. Remarquons ici que le gain aurait pu être déﬁni par rapport à la
puissance disponible et non à la puissance fournie. On aurait ainsi tenu compte des
pertes par désadaptation. Telle n’est pas la pratique courante, car l’on considère
que, contrairement aux pertes ohmiques, les pertes par désadaptation ne sont pas
intrinsèques à l’antenne et peuvent être facilement éliminées avec un circuit externe
d’adaptation.
5.2.1
Antenne réelle à l’émission
En combinant les eﬀets de la désadaptation et des pertes ohmiques, on trouve
que pour une antenne réelle la puissance rayonnée Prad par une antenne-émettrice
#1, vaut :
Prad = η1 Pf = η1 (1 − |Γ2g |)Pav−e
44
(5.10)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 5.3. POLARISATION
au lieu d’avoir, comme dans le cas idéal, tout simplement
Prad = Pav−e
5.2.2
(5.11)
Antenne réelle à la réception
Les mêmes considérations sont valables pour une antenne réceptrice. La puissance délivrée à la charge Pload n’est pas égale en réalité à la puissance disponible
à la réception Pav−r . En général, on a, à cause des pertes et d’une désadaptation
éventuelle :
Pload = η2 (1 − |Γ2L |)Pav−r
(5.12)
au lieu de (cas idéal) :
Pload = Pav−r
(5.13)
Ici
ΓL =
5.3
Zin − RL
est le coeﬃcient de réﬂexion de la charge.
Zin + RL
POLARISATION
En plus des pertes ohmiques et par désadaptation, un facteur additionnel peut
réduire la puissance reçue dans une antenne-réceptrice, même idéale. Il s’agit là du
phénomène des pertes par dépolarisation , lié à la nature vectorielle des champs
électromagnétiques. Considérons une antenne où l’on fait coïncider la direction
en étude du rayonnement avec l’axe (oz). Les seules composantes possibles des
champs rayonnés sont transverses et se trouvent alors selon les axes (ox) et (oy) :
−
→
E = Exex + Eyey
(5.14)
→
−
Ici, E est un vecteur-phaseur et ses composantes sont des nombres complexes
(phaseurs) :
Ex = E0x ejϕx
(5.15)
Ey = E0y ejϕy
(5.16)
qui représentent des grandeurs en fonction du temps :
√
Ex (t) = 2E0x cos(ωt + ϕx )
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, (5.17)
45
CHAPITRE 5. LES ANTENNES RÉELLES : DÉVIATIONS
PAR RAPPORT AU CAS IDÉAL
Figure 5.3: Polarisation
Ey (t) =
√
(5.18)
2E0y cos(ωt + ϕy )
→
−
La courbe décrite par l’extrémité du vecteur E (t) en fonction du temps donne
la polarisation du champ (cours d’Électromagnétisme). On peut connaître cette
courbe sans passer par le domaine temporel. En eﬀet, si l’on sépare les partie réelle
→
−
et imaginaire du vecteur-phaseur E , on peut écrire :
−
→
→
−
→
−
E = Er + jEi
(5.19)
et on vériﬁe aisément les équivalences :
√ −
→
→
−
E (ωt = 0) = 2 E r
√ −
→
→
−
E (ωt = π/2) = − 2 E i
(5.20)
(5.21)
Il suﬃra donc d’examiner ces deux vecteurs :
– s’ils sont colinéaires, la polarisation est linéaire ;
– s’ils sont perpendiculaires et de même amplitude, la polarisation est circulaire ;
– dans tous les autres cas, la polarisation est elliptique.
Les axes de l’ellipse peuvent être trouvés en calculant les valeurs maximale et
→
−
minimale de la norme du vecteur E (t).
46
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 5.3. POLARISATION
ÉTAT DE POLARISATION
La polarisation d’une antenne peut être déﬁnie par un vecteur-phaseur e dit
état de polarisation et déﬁni comme le champ électrique normalisé de l’antenne :
−
→
→
−
E
E
e = −
→ = →
− −
→
|E |
E · E∗
(5.22)
Prenons alors deux antennes #1 et #2 avec des états de polarisation e1 et e2 .
Si l’on construit avec elles un système émetteur-récepteur et on déﬁnit l’axe (oz)
comme allant de #1 à #2, l’antenne #2 pointe vers les z négatives. De ce fait, il
faut utiliser dans les calculs qui s’ensuivent le complexe conjugué de e2 . Du champ
→
−
E 1 rayonné par l’émetteur, le récepteur ne peut utiliser que la projection sur e2∗ ,
→
−
c’est à dire : E 1 · e2∗ . Les pertes de puissance par rapport à une situation optimale
sont alors données par le Facteur DéPolarisant (FDP) :
2
−
→
∗
E
·
e
puti
1 2 (5.23)
F DP = −
= |e1 · e2∗ | =
→
E1 p
qui relie la densité de puissance p existante aux points occupés par le récepteur à
la partie puti qui peut être réellement utilisée.
Figure 5.4: Obtention d’une polarisation circulaire
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 47
CHAPITRE 5. LES ANTENNES RÉELLES : DÉVIATIONS
PAR RAPPORT AU CAS IDÉAL
EXEMPLE
Figure 5.5: Facteur Dépolarisant
Suivant le schéma ci-dessus, nous avons :
−
→
E 1 = C1 · ex Linéaire
→
−
E 2 = C2 · (ex + jey ) Circulaire
En normalisant les vecteurs directeurs de chaque champ, nous avons :
e1 = ex
ex + jey
√
2
En calculant le facteur dépolarisant nous obtenons :
e2 =
1
F DP = |e1 · e2∗ | = √ = 50%
2
Nous remarquons la perte de la moitié de la puissance existante.
5.4
FORMULE DE TRANSMISSION DE FRIIS
POUR DES ANTENNES RÉELLES
Avec les considérations des paragraphes précédentes, on peut modiﬁer la formule de Friis pour établir, dans le cas d’un système émetteur-récepteur réel, la
relation entre puissance disponible à l’émission et puissance délivrée à la charge
du récepteur. On trouve facilement :
2
λ
2
2
Pav−e
Pload = F DP · (1 − |Γg | )(1 − |ΓL | )η1 η2 · D1 D2
4πr
48
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 5.4. FORMULE DE TRANSMISSION DE FRIIS POUR DES
ANTENNES RÉELLES
= F DP · (1 − |Γg | )(1 − |ΓL | )G1 G2
2
2
λ
4πr
2
Pav−e
(5.24)
formule à utiliser pour tous les systèmes réels.
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 49
Chapitre 6
LES ANTENNES A OUVERTURE
6.1
INTRODUCTION
Plusieurs types d’antennes parmi les plus utilisées (cornets, guides d’ondes ouverts, antennes à fentes...) appartiennent à une famille caractérisée par la présence
de surfaces métalliques dans lesquelles on a pratiqué une ou plusieurs ouvertures
(anglais : aperture antenna) : voir par exemple le guide d’onde débouchant sur un
cornet dans la Figure 6.1.
Figure 6.1: Le cornet : une antenne à ouverture typique.
Du point de vue physique, le rayonnement électromagnétique de ces antennes
est toujours produit par les courants électriques J circulant sur les parties métalliques de l’antenne. On a cependant l’impression intuitive que le rayonnement sort
par l’ouverture et que celle-ci est l’élément essentiel de ces antennes. Par ailleurs,
le rayonnement est très sensiblement modiﬁé par un objet bloquant l’ouverture et
51
CHAPITRE 6. LES ANTENNES A OUVERTURE
ce phénomène contribue à notre perception intuitive d’un ﬂux électromagnétique
s’échappant par l’ouverture.
L’analyse mathématique directe de ces antennes à partir des courants électriques dans les parois est malaisée, surtout à cause de l’énorme diﬃculté à calculer la valeur exacte de ces courants en réponse à une excitation connue, comme
la sonde coaxiale de la Figure 6.1. Ce calcul peut être fait, mais demande des
méthodes numériques sophistiquées (éléments ﬁnis) et un puissant ordinateur.
Historiquement, l’étude et le développement de plusieurs de ces antennes à
ouverture à précédé de quelques décennies l’apparition des ordinateurs. On avait
alors introduit des modèles intuitifs qui voyaient dans l’ouverture l’élément générateur du rayonnement. Ces modèles débouchent sur un traitement analytique
facilement transformable en prédictions quantitatives et dont la précision est, encore de nos jours, suﬃsante pour la plupart des applications. En revanche, ces
modèles exigent l’introduction de quelques concepts relativement sophistiqués qui
ont pour nom : courants magnétiques, principe de dualité, théorème d’équivalence,
théorie des images...etc.
Nous donnerons par la suite un aperçu de ces concepts sans chercher une trop
grande rigueur dans le développement. L’eﬀort investi à maîtriser ces concepts
sera largement récompensé par l’établissement au bout du compte d’une méthode
simple pour l’analyse du rayonnement des antennes à ouverture.
Le modèle ainsi développé suﬃt pour des prédictions raisonnables du rayonnement dans des directions pas très éloignés de l’axe perpendiculaire à l’ouverture
et vers l’avant. Lorsqu’on souhaite un calcul du rayonnement dans des directions
proches du plan de l’ouverture ou vers l’arrière, on doit recourir à l’étude rigoureuse
des courants sur les parois métalliques.
Il faut ﬁnalement remarquer que le modèle est aussi applicable à d’autres types
pratiques d’antennes comme les réﬂecteurs paraboliques.
6.2
LE CONCEPT DE COURANT MAGNÉTIQUE
6.2.1
Asymétrie des équations de Maxwell
Les équations de Maxwell :
− −
→
→
→
−
∇ × E = −jωμ H
− −
→
→ −
→
→
−
∇ × H = J + jωε E
→ −
−
→ ρ
∇·E =
ε
52
(6.1)
(6.2)
(6.3)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 6.2. LE CONCEPT DE COURANT MAGNÉTIQUE
− −
→
→
∇·H =0
(6.4)
mettent en évidence une forte asymétrie entre le champ électrique et le champ
magnétique. En eﬀet, contrairement au champ électrique, le champ magnétique
a une divergence nulle, relation mathématique qui traduit le fait que des charges
magnétiques isolées ne semblent pas exister dans la Nature.
Cette absence de charges magnétiques se manifeste clairement dans le fait qu’on
ne peut pas séparer les deux pôles d’un aimant. Depuis l’époque de Maxwell, la
communauté scientiﬁque a cherché et cherche toujours le fameux monopôle magnétique, qui serait la preuve de l’existence de charges magnétiques. Ces recherches se
sont avérées jusqu’à maintenant infructueuses nonobstant les moyens très considérables engagés et malgré quelques fausses alertes.
L’inexistence de charges magnétiques entraîne forcément l’absence dans notre
univers d’éventuels courants magnétiques (qui seraient des charges magnétiques
en mouvement). Donc, il n’y a pas de terme équivalent à la densité de courant
électrique J dans l’équation pour le rotationnel du champ électrique.
Également, on remarque une asymétrie dans les conditions aux limites associées
aux équations de Maxwell, quand on a aﬀaire aux valeurs des composantes tangentielles des champs d’un coté et d’autre part d’une surface donnée. Tandis qu’une
discontinuité peut apparaître pour le champ magnétique , traduisant la présence
d’éventuels courants de surface Js , le champ électrique tangentiel est lui toujours
continu. Ceci s’exprime mathématiquement avec les conditions aux limites bien
connues :
→
−
→
−
−n × ( E 2 − E 1 ) = 0
(6.5)
→
−
→
−
→
−
n × ( H 2 − H 1 ) = J s
(6.6)
6.2.2
Un univers parallèle : l’Antimonde
Imaginons pour un instant qu’il existe un univers parallèle au notre, l’Antimonde,
où les charges magnétiques sont monnaie courante et donnent lieu à des densités
−
→
de charge magnétique ρm et à des densités de courant magnétique M . En revanche,
personne n’a jamais vu dans l’Antimonde une charge électrique isolée. Les densi→
−
tés de charge électrique ρ et de courant électrique J n’existent donc pas dans ce
monde.
Nous pouvons être surs que tôt ou tard, un certain Monsieur Anti-Maxwell
aurait trouvé là-bas que les champs électrique et magnétique sont liés dans l’Antimonde par les équations suivantes :
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 53
CHAPITRE 6. LES ANTENNES A OUVERTURE
→ −
−
→ −
→
→
−
− ∇ × E = M + jωμ H
(6.7)
− −
→
→
→
−
∇ × H = jωε E
→ −
−
→
∇·E =0
→ −
−
→ ρm
∇·H =
μ
(6.8)
(6.9)
(6.10)
et les conditions aux limites associées s’écriraient dans l’antimonde :
→
−
−
→
→
−
−n × ( E 2 − E 1 ) = M s
(6.11)
→
−
→
−
(6.12)
n × ( H 2 − H 1 ) = 0
−
→
où M s est une densité de surface de courant magnétique. Remarquons, en
−
→
passant, qu’une densité de courant magnétique M a les mêmes dimensions que le
rotationnel d’un champ électrique et de ce fait se mesure en [V /m2 ]. La densité de
−
→
courant magnétique de surface M s s’exprime donc en [V /m] et un éventuel courant
→
−
magnétique I m circulant dans un ﬁl aurait comme dimension [V ] (les courants
magnétiques se mesurent en volts ! !).
Ce qui est maintenant très intéressant est le fait que nous pouvons prédire le
rayonnement d’une source magnétique sans besoin de refaire des développements
à partir des équations d’Anti-maxwell. On peut tout simplement appliquer au
résultat obtenu pour la source électrique correspondante le soi-disant principe de
dualité.
6.3
LE PRINCIPE DE DUALITÉ
Les deux ensembles d’équations, de Maxwell et d’Anti-maxwell, sont formellement identiques du point de vue mathématique. En fait on peut déduire un
ensemble à partir de l’autre ensemble à l’aide des correspondances suivantes (at→ −
−
→
tention au signe négatif dans le couple ( H , − E )) :
Table 6.1: Tableau de correspondance au niveau des sources
→
−
→ −
−
→
ρ E
ε μ Notre univers
J
H
−
→
→
−
→
−
M ρm H − E μ ε L’Anti-monde
54
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 6.3. LE PRINCIPE DE DUALITÉ
Cette correspondance formelle reçoit le nom de Principe de Dualité. Pour
la compléter, on peut aﬃrmer que les coordonnées spatiales et temporelles sont
les mêmes dans les deux ensembles d’équations (Notre monde et l’Antimonde
partagent le même espace-temps...). Donc la fréquence et la longueur d’onde demeurent invariables en changeant de monde. Une quantité composite comme
√
√
k = ω εμ se transforme en ω εμ , c’est à dire en elle-même. En revanche, notre
=
μ/ε devient dans l’Antimonde une admittance
impédance caractéristique
Z
c
caractéristique Yc = ε/μ. On complète alors le tableau de la façon suivante :
Table 6.2: Tableau de correspondance au niveau des caractéristiques
→
−
A
f λ k Zc I
Notre univers
→
−
f λ k Yc Im A m L’Anti-monde
Avec le principe de dualité le calcul des champs dus à une source magnétique
devient immédiat si l’on possède le résultat pour la source électrique correspon→
−
→
−
dante. En eﬀet, on déﬁnit l’équivalent du potentiel vecteur A m (souvent noté F )
comme :
ε e−jkr f(θ, ϕ)
Am (r) =
4π r
avec :
−
→ M(r )ejker ·r dv f(θ, ϕ) =
(6.13)
(6.14)
v
et les champs sont donnés par :
→
−
→
−
− E = jωZc A m × er
(6.15)
−
→
→
−
H = jωer × (er × A m )
(6.16)
EXEMPLE : LE DIPÔLE MAGNETIQUE
Par exemple, on a trouvé qu’un ﬁlament de longueur élémentaire dl placé à
l’origine des coordonnées, dirigé suivant el et parcouru par un courant électrique
I (dipôle de Hertz) produit un champ rayonné (section 2.5) :
−
→
e−jkr
jZc
Il
er × (er × el )
E =
2λ
r
(6.17)
−
→
e−jkr
j
Il
el × er
H =
2λ
r
(6.18)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 55
CHAPITRE 6. LES ANTENNES A OUVERTURE
Donc, les champs d’un dipôle magnétique de moment Im Δl seront, par dualité :
−
→
H =
e−jkr
j
Im l
er × (er × el )
2λZc
r
(6.19)
→
−
e−jkr
j
Im l
el × er
(6.20)
−E =
2λ
r
Dans le cas particulier d’un dipôle magnétique orienté suivant l’axe (oz), on
obtient en composantes sphériques :
−
→
H θ (r, θ, ϕ) =
j
e−jkr
sin(θ)
Im l
2λZc
r
−
→
H ϕ (r, θ, ϕ) = 0
(6.22)
→
−
j
e−jkr
− E ϕ (r, θ, ϕ) =
Im l
sin(θ)
2λ
r
→
−
E θ (r, θ, ϕ) = 0
6.4
(6.21)
(6.23)
(6.24)
LE THÉORÈME D’ÉQUIVALENCE
Après l’introduction des sources magnétiques et du principe de dualité, l’outil
mathématique suivant, nécessaire pour l’étude des antennes à ouverture, est le
théorème d’équivalence. Les théorèmes d’équivalence en Électromagnétisme sont
une conséquence directe de l’unicité de la solution des équations de Maxwell, une
fois que l’ensemble des conditions aux limites et la nature des milieux matériels
intervenant dans un problème donné ont été parfaitement spéciﬁés.
La version particulière qui nous intéresse ici fait référence à un problème où
l’on considère deux demi espaces inﬁnis. Celui de gauche comporte un ensemble
→
−
bien déﬁni de sources J 1 et ρ1 , tandis que dans le demi espace de droite il existe
→ −
−
→
une distribution de matière quelconque où l’on détermine les champs E 1 , H 1 . En
particulier, les composantes tangentielles de ces champs prennent dans le plan z =
→
−
→
−
0 (plan séparant les deux demi espaces) les valeurs E TAN1 , H TAN1 (Figure 6.2).
→
−
Admettons maintenant que l’on remplace les sources J 1 et ρ1 par un ensemble
→
−
nouveau J 2 et ρ2 . Le théorème d’équivalence aﬃrme alors que si on ajuste ces
nouvelles sources aﬁn que les champs tangentielles en z = 0 demeurent inchangés
→
−
→
−
→
−
→
−
( E TAN1 = E TAN2 et H TAN1 = H TAN2 ) alors on peut assurer que les champs seront
→
−
→
−
→
−
→
−
identiques partout dans le demi espace de droite ( E 1 = E 2 et H 1 = H 2 ) si l’on
56
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 6.5. THEORIE DES IMAGES
Figure 6.2: Illustration du théorème d’équivalence.
ne touche pas à la distribution de la matière. Des preuves mathématiques de ce
théorème à partir des équations de Maxwell et des théorèmes vectoriels de Green se
trouvent dans la plupart de textes avancés sur la théorie des Antennes (cf Balanis).
6.5
THEORIE DES IMAGES
Un dipôle magnétique crée un champ électrique azimutal qui tourne autour
de l’axe du dipôle. On comprend alors aisément que lorsqu’on place un tel dipôle
parallèlement à un plan conducteur, l’image du dipôle représentant l’eﬀet du plan
conducteur a le même sens que le dipôle original, aﬁn de produire un champ
électrique tangentiel nul dans tous les points du plan. En ce qui concerne les images
remplaçant l’eﬀet d’un plan conducteur, dipôles électriques et magnétiques ont un
comportement opposé ! La Figure 6.3 résume les diﬀérentes situations possibles.
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 57
CHAPITRE 6. LES ANTENNES A OUVERTURE
Figure 6.3: Théorie des images pour des dipôles au-dessus d’un plan de masse
6.6
RAYONNEMENT D’UNE OUVERTURE DANS
UN PLAN CONDUCTEUR
Considérons maintenant un plan conducteur inﬁni z = 0 dans lequel on a
pratiqué une ouverture S. A gauche de ce plan nous avons une excitation connue
(par exemple une onde plane qui arrive de z = −∞ ou un guide d’ondes connecté
à l’ouverture. On souhaite déterminer les champs rayonnés vers le demi espace de
droite (Figure 6.4.a). On remarque que la valeur du champ électrique tangentiel
sur le plan z = 0 est :
−
→
E tan (z = 0) =
→
−
E ap dans l’ouverture S
0
ailleurs
(6.25)
→
−
En toute rigueur, la valeur du champ dans l’ouverture E ap (en anglais : aperture) n’est pas connue. Toutefois, on admet souvent en pratique que ce champ est
celui qui existerait en ces mêmes points du plan z = 0 en absence du plan conducteur : il serait le champ de l’onde plane non perturbée ou celui du guide d’onde
inﬁni dans les deux types d’excitation mentionnés plus haut. Cette approximation
équivaut à négliger la réaction du plan conducteur sur les champs d’excitation.
Elle fournit souvent des résultats raisonnables et, de toutes les façons, si on ne l’a
58
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 6.6. RAYONNEMENT D’UNE OUVERTURE DANS UN PLAN
CONDUCTEUR
Figure 6.4: Principe d’équivalence
→
−
pas fait et qu’on traite E ap comme une inconnue, on est bon pour une thèse de
doctorat.
Nous allons maintenant considérer un problème ﬁctif équivalent où l’écran
conducteur n’aurait pas d’ouverture (Figure 6.4.b). Comme l’écran est continu,
on a de toute évidence :
−
→
E tan (z = 0) = 0 Partout dans le plan
(6.26)
Pour recréer artiﬁciellement les conditions aux limites de départ on peut placer
aux points où se trouve l’ouverture dans le problème réel, une densité ﬁctive de
courant magnétique de surface qui vaut exactement :
−
→
→
−
M s = −ez × E ap
(6.27)
car d’après la condition aux limites on a :
→
−
→
−
−
→
ez × E tan (z = 0+ ) = ez × E tan (z = 0− ) − M s
(6.28)
→
−
et comme E tan (z = 0− ) = 0 (plan conducteur) on récupère directement les
conditions aux limites de l’Equation (6.25). On peut alors aﬃrmer, grâce au
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 59
CHAPITRE 6. LES ANTENNES A OUVERTURE
théorème d’équivalence, que le plan métallique percé, qui est un objet physique réel
(Figure 6.4.a), produit dans le demi espace de droite les mêmes champs qu’un
objet mathématique formé par un plan conducteur continu avec une distribution en
surface de courant magnétique (Figure 6.4.b). Nous venons de montrer l’intérêt
des courants magnétiques, même si elles ne correspondent pas directement à un
phénomène physique !
Il va de soi que si l’on fait un tel eﬀort en remplaçant l’objet physique par
un objet mathématique équivalent c’est parce que l’étude du nouvel objet est
beaucoup plus simple. En eﬀet, du fait que le plan conducteur soit continu, on
peut appliquer la théorie des images et remplacer ce plan par la distribution de
courant magnétique image. Comme les courants originaux sont à une distance nulle
du plan et leurs images ont le même sens, l’eﬀet du plan métallique est de doubler
les courants magnétiques.
On arrive ainsi à la conclusion suivante :
"un plan métallique avec une ouverture où le champ électrique tangentiel vaut
→
−
E ap est équivalent à une distribution de courant magnétique de surface de valeur
→
−
−
→
M s = −2n × E ap , où n est le vecteur unitaire normal à l’ouverture et orienté
vers la région de calcul".
Aussi surprenante qu’elle paraisse, cette conclusion est absolument correcte et
permet de réduire l’étude du rayonnement des ouvertures dans des plans métalliques à un calcul trivial des champs rayonnés par des courants magnétiques.
L’emploi des images justiﬁe aussi le fait de ne jamais s’être préoccupés des
champs magnétiques tangentiels dans les deux situations avec ou sans ouverture.
En eﬀet la diﬀérence entre deux valeurs distinctes d’un champ magnétique tan→
−
gentiel peut être eﬀacée par introduction d’un courant électrique de surface J s et,
indépendamment de sa valeur, ce courant s’annulera toujours avec son image.
Les expressions pour les champs rayonnés par une ouverture sont maintenant
immédiates par application des équations (6.13) à (6.16). En eﬀet, on a :
(6.29)
r = x ex + y ey
k · r · er = kx x + ky y
(6.30)
où :
kx = k sin(θ) cos(ϕ)
ky = k sin(θ) sin(ϕ)
Le résultat ﬁnal peut s’écrire :
60
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 6.7. LE RAYONNEMENT D’UNE FENTE MINCE : LA
DIFFRACTION
−
→
−
→
j e−jkr
E rad =
er × F [M s ]
2λ r
(6.31)
où F est une transformée de Fourier vectorielle bidimensionelle :
−
→
F[V ] =
− jkxx +jky y →
V (x , y )e
dx dy
(6.32)
L’Equation (6.32) montre que la dépendance angulaire du champ rayonné
produit du courant magnétique dans l’ouverture par la transformée de Fourier en
utilisant kx et ky comme variables dans le plan transformé. Ce résultat, qui résume
la théorie des ouvertures, est général et valable pour toute ouverture dans un plan
conducteur inﬁni.
6.7
LE RAYONNEMENT D’UNE FENTE MINCE :
LA DIFFRACTION
Un phénomène électromagnétique de la plus haute importance est celui de la
transmission d’une onde plane à travers une rainure rectangulaire pratiquée dans
un plan conducteur. Ce problème a été étudié au XIX e siècle pour la lumière
visible (Fresnel, Young) et les phénomènes de diﬀraction qui s’y rattachent ont
été un des arguments de poids en faveur d’une théorie ondulatoire de la lumière.
Le phénomène de diﬀraction existe bien sûr à d’autres fréquences et est utilisé
dans la conception d’antennes à fentes en hyperfréquences. Aussi, la transmission
d’une onde électromagnétique à travers une fente dans un plan métallique est un
phénomène très important à caractériser dans le cadre de la compatibilité électromagnétique. Considérons alors une onde plane se propageant dans la direction z +
et dont le champ électrique est donné par :
−
→
E ONDE (z ≤ 0) = E0 e−jkzex
(6.33)
On place dans le chemin de cette onde et dans le plan z = 0 un écran conducteur
dans lequel on a pratiqué une fente rectangulaire dans la région −a < x < +a et
−b < y < +b. Les dimensions de cette fente sont donc 2a suivant x et 2b suivant
y. On accepte, tel que nous l’avons montré dans la section précédente, que le
champ dans l’ouverture est celui qui existait là avant l’introduction de l’écran,
→
−
→
−
soit : E AP = E ONDE(z = 0) = E0ex . Le rayonnement dans la région z > 0 est
alors celui d’un courant magnétique de surface :
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 61
CHAPITRE 6. LES ANTENNES A OUVERTURE
Figure 6.5: Fente mince
→
−
−
→
M S = −2ez × E AP = −2E0ey
(6.34)
dirigé selon y. Dans le cas de notre fente, la transformée de Fourier se calcule
facilement avec le résultat ﬁnal pour le champ rayonné :
j e−jkr
−
→
4abE0 cos(θ) sin(ϕ)eϕ ± cos(ϕ)eθ sinc(kx a)sinc(ky b) (6.35)
E rad = −
2λ r
En particulier dans le plan (xz)(ϕ = 0) nous avons :
−
→
j e−jkr
4abE0 sinc(ka sin(θ))eθ
E rad =
2λ r
(6.36)
Ce résultat montre clairement le phénomène de diﬀraction. Le champ dans le
plan xz est fonction de la largeur 2a de la fente suivant x, mais pas en fonction de la
longueur 2b suivant y (la réciproque est vraie dans le plan (yz)). Le champ rayonné
est maximum dans la direction normale à la fente, mais ne décroît pas de façon
monotone lorsque l’angle θ augmente. Bien au contraire, l’amplitude du champ
oscille avec l’angle suivant une fonction sinus cardinal et s’annule par exemple
pour un angle :
θnull = arcsin(π/ka)
62
(6.37)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 6.7. LE RAYONNEMENT D’UNE FENTE MINCE : LA
DIFFRACTION
Donc, des fentes larges par rapport à la longueur d’onde produisent beaucoup
de lobes très minces (pour autant que l’hypothèse de départ d’un champ constant
dans l’ouverture soit respectée). En revanche, des fentes étroites (ka < π) ne
donnent pas lieu à des angles à rayonnement nul.
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 63
Chapitre 7
THÉORIE DES RÉSEAUX
On peut déﬁnir un réseau d’antennes comme un ensemble d’antennes identiques
et possédant la même orientation. Chaque antenne du réseau est appelée élément du
réseau ; tous les éléments d’un réseau doivent pouvoir être obtenus par translation
dans l’espace d’un élément quelconque.
Le terme réseau, utilisé au sens strict, exclut donc les groupements d’antennes
où les éléments seraient identiques mais possèderaient des orientations diﬀérentes
dans l’espace.
7.1
COURANTS DANS LE RÉSEAU : COUPLAGE
MUTUEL
Considérons un réseau de N antennes. Ces antennes sont, bien sûr, identiques
et repérées par les vecteurs de position dn (n = 1, 2...N) caractéristique de chaque
élément.
Un point quelconque de l’antenne #n est repéré par le vecteur r . On introduit
pour chaque antenne des vecteurs de position locaux pn , dont les composantes
correspondent aux cordonnées locales ayant comme origine l’extrémité de dn . Donc,
au sein de l’antenne #n on a :
r = dn + pn
(7.1)
→
−
La densité de courant dans l’antenne #n s’écrit alors J (dn + pn ) ou, dans une no→
−
tation locale, J n (pn ). La question qu’on se pose tout de suite quant à la nature de
ces densités de courants est la suivante : Puisque tous les éléments d’un réseau sont
identiques, peut-on aﬃrmer par exemple que si tous les éléments sont excités de
façon identique, on obtiendra la même distribution de courant dans chacun de ces
éléments ? La réponse précise est négative. Considérons par exemple trois sphères
65
CHAPITRE 7. THÉORIE DES RÉSEAUX
Figure 7.1: Le Réseau générique
métalliques alignées. On introduit en trois points équivalents de ces antennes (par
exemple leurs trois pôles Sud ) des courants identiques en amplitude et en phase.
Figure 7.2: Exemple
On comprend aisément que la densité de courant dans le pôle Nord de la sphère
du centre n’est sûrement pas la même que dans le pôle Nord de la sphère de gauche
ou de droite. C’est une aﬀaire de position relative : l’environnement géométrique
n’est pas le même pour une antenne placée au centre d’un réseau et pour une
antenne à l’extrémité du réseau. L’inﬂuence d’un élément du réseau sur un autre
dépend de leur position relative.
Cette inﬂuence entre éléments est connue sous le nom générique de couplage
mutuel. Le couplage mutuel a été longtemps le cauchemar des ingénieurs, car il est
diﬃcile à inclure dans des modèles théoriques simples pour prédire son importance.
Il est vrai que dans beaucoup de situations pratiques on constate a posteriori que
le couplage mutuel est un eﬀet de deuxième ordre. Dans ce chapitre, on négligera
systématiquement l’existence du couplage mutuel entre éléments. Pour en tenir
compte, il faudrait des modèles bien plus compliqués, qui font largement appel à
l’ordinateur et où les résultats purement analytiques sont presque inexistants.
Hypothèse "couplage mutuel nul"
→ −
Soit J (p ) la distribution de courant existant dans un élément du réseau quand
66
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.2. LE FACTEUR DU RÉSEAU
Figure 7.3: Elément isolé de reférence
on le considère isolé dans l’espace et excité par un courant unité. Si maintenant
chaque élément du réseau est excité par un courant complexe I n , on peut en
première approximation écrire :
− →
→ −
→
−
J (dn + pn ) = J n (pn ) = I n J (
pn )
(7.2)
−
→
J n (pn )
In
=
→
−
Im
pm )
J m (
(7.3)
où :
ce qui peut s’exprimer en aﬃrmant qu’en absence de couplage, "le rapport entre
les densités de courant dans deux éléments quelconques est égal à celui existant
entre les courants d’excitation respectifs".
7.2
LE FACTEUR DU RÉSEAU
Quant on néglige le couplage mutuel, on peut alors calculer aisément le champ
rayonné par le réseau en un point lointain r à partir du potentiel vecteur et de
Comme le volume du réseau est formé par l’union
l’intégrale vectorielle associée f.
des volumes vn de chaque élément, l’intégrale f aura comme expression (section
2.4) :
→
− jker ·r dv
f(θ, ϕ) =
J (r )e
(7.4)
vn
n
ou bien, en introduisant les coordonnées locales :
f(θ, ϕ) =
n
jker ·dn
e
− →
J (dn + pn )ejker ·pn dv (7.5)
vn
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 67
CHAPITRE 7. THÉORIE DES RÉSEAUX
et en se référant à la densité de courant d’un élément isolé avec une excitation
unité :
− jker ·p →
J (p )e
dv
f(θ, ϕ) =
ve
jker ·dn
In e
(7.6)
n
où ve est le volume de l’élément de référence et l’intégrale a pu être extraite de
l’intérieur de la somme.
On remarque que f(θ, ϕ) est le produit de deux quantités bien distinctes, et on
écrit symboliquement :
f(θ, ϕ) = fe (θ, ϕ) · AF (θ, ϕ)
où :
AF (θ, ϕ) =
In ejker ·dn
(7.7)
(7.8)
n
est une quantité appelée facteur du réseau (Array Factor). Comme la dépendance angulaire des champs rayonnés est directement donnée par l’intégrale f(θ, ϕ),
on peut aﬃrmer que : "Le diagramme de rayonnement d’un réseau est le produit
du diagramme de rayonnement d’un élément isolé par le facteur du réseau".
Le facteur du réseau traduit l’eﬀet de la position relative et de l’excitation des
ϕ)| = |AF (θ, ϕ)|. Le facteur du réseau est
éléments. Si |fe (θ, ϕ)| = 1 , alors |f(θ,
donc le diagramme de rayonnement qu’on obtiendrait si tous les éléments du réseau étaient des sources isotropes. En pratique on construit souvent des réseaux
avec des éléments dont le rayonnement a une dépendance angulaire peu marquée
(quasi-isotropes). La forme du diagramme de rayonnement est alors contrôlée essentiellement par le facteur du réseau AF (θ, ϕ).
Le facteur du réseau n’est pas inﬂuencé par la nature des antennes et chaque
élément peut être assimilé à un point en ce qui concerne le calcul du facteur du
réseau. On doit ﬁnalement remarquer que le facteur du réseau est une quantité
scalaire complexe. Il ne comporte donc aucune information sur la polarisation des
champs rayonnés, mais agit sur leur amplitude et sur leur phase.
7.3
LES RÉSEAUX LINÉAIRES A ÉLÉMENTS
ÉQUIDISTANTS
On appelle réseau linéaire celui dont les éléments sont alignés le long d’une
ligne droite. De plus, les éléments sont fréquemment séparés par un écart constant
68
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.3. LES RÉSEAUX LINÉAIRES A ÉLÉMENTS
ÉQUIDISTANTS
d . On peut alors développer une théorie simple pour le calcul des facteurs du
réseau.
Figure 7.4: Réseau linéaire
Traditionnellement, on fait coïncider l’axe des coordonnés z avec l’axe du réseau
et on numérote les éléments depuis n = 0 jusqu’à n = N − 1 (un total de N
éléments). Le premier élément déﬁnit l’origine de coordonnées et on a alors :
dn = ndez
et
er · dn = nd cos(θ)
Le facteur du réseau possède alors une symétrie de révolution autour de l’axe
z et dépend donc de l’angle sphérique θ mais pas de ϕ. On l’écrit :
AF (θ) =
N−1
In ejnkd cos(θ)
(7.9)
n=0
Les courants d’excitation In sont des phaseurs complexes possédant une amplitude An et une phase αn . On a alors In = An ej(nkd cos(θ)+αn ) et on peut écrire :
AF (θ) =
N−1
An ej(nkd cos(θ)+αn )
(7.10)
n=0
Les expressions des équations (7.9) et (7.10) seront à la base de tous les calculs
successifs dans la théorie des réseaux linéaires équidistants.
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 69
CHAPITRE 7. THÉORIE DES RÉSEAUX
7.3.1
Réseaux à déphasage linéaire
Une excitation assez courante en pratique consiste en une distribution de courants An ejαn à déphasage linéaire (αn = nα ), incluant le cas equiphase α = 0 .
En eﬀet, il est relativement aisé d’introduire un déphasage en contrôlant simplement la longueur des lignes de transmission amenant la puissance aux antennes.
De plus, on verra que les diagrammes de rayonnement résultants présentent des
caractéristiques intéressantes et facilement modiﬁables. Nous avons dans ce cas
comme facteur du réseau :
AF (θ) =
N−1
An ejnψ
(7.11)
n=0
avec :
ψ = kd cos(θ) + α
La variable auxiliaire ψ joue un rôle très important dans la théorie des réseaux.
Elle inclut notamment l’eﬀet de :
– la fréquence (k) ;
– la distance entre éléments (d) ;
– l’angle de pointage (θ) ;
– le déphasage entre excitations successives (α).
Le facteur du réseau est une fonction périodique de la variable ψ qui a les
dimensions d’un angle mais qui ne doit pas être confondue avec l’angle géométrique
θ. On peut dire qu’à l’ensemble des directions physiques possibles θ ∈ [−π, π]
correspond une plage de valeurs de ψ[−kd + α, kd + α] qui constitue la région dite
visible de ψ. Si kd < π, la plage de valeurs visibles de ψ ne remplit pas une période
2π . On peut alors envisager des valeurs de ψ à l’extérieur de la région visible qui
correspondent à des valeurs imaginaires de l’angle géométrique θ et on parle donc
de région invisible. Ces concepts de région visible et invisible en ψ sont très utiles
dans la synthèse de réseaux linéaires.
7.3.2
Réseaux équiamplitude à déphasage linéaire
Si toutes les amplitudes des excitations sont identiques (An = 1) le facteur du
réseau est une progression géométrique facilement sommable :
AF (θ) = A
N−1
n=0
70
ejnψ =
ejN ψ − 1
sin(Nψ/2) j(N −1)ψ/2
=
e
jψ
e −1
sin(ψ/2)
(7.12)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.3. LES RÉSEAUX LINÉAIRES A ÉLÉMENTS
ÉQUIDISTANTS
En pratique, on ne s’intéresse souvent qu’à l’amplitude des champs rayonnés
et non pas à la phase. On prend alors la norme du facteur du réseau et on trouve :
sin(Nψ/2) |AF (θ)| = sin(ψ/2) (7.13)
Aussi, ce qui importe souvent est le niveau relatif des champs quand la direction
θ change. On utilise alors un facteur de réseau normalisé NAF (Normalized Array
Factor) dont la valeur ne dépasse pas l’unité. On a NAF = |AF |/max|AF | et
dans notre cas d’un réseau équiamplitude à déphasage linéaire :
sin(Nψ/2) NAF (θ) = N sin(ψ/2) (7.14)
Dans l’écriture courante on se passe souvent des barres du module, mais il est
sous-entendu qu’un "NAF " ne comporte que des valeurs réelles positives.
On voit facilement dans le NAF que le faisceau principal de l’antenne est
compris entre les directions de rayonnement nul Nψ/2 = π. Donc la largeur du
faisceau est 4π/N, en termes de variable ψ, ce qui veut dire qu’un faisceau mince
demande un nombre d’éléments élevé. Pour N grand, le lobe latéral atteint son
maximum approximativement pour Nψ/2 = 3π/2 . Cette valeur maximale est
alors 1/(N sin(3π/2N)). Le niveau du lobe secondaire tend alors vers la valeur
limite de 2/(3 π) soit environ −13.3 dB, lorsque N augmente indéﬁniment. Ces
données sont facilement transformables en termes d’angle géométrique θ.
7.3.3
Méthode graphique
Une méthode graphique traditionnelle permet l’esquisse rapide du diagramme
de rayonnement d’un réseau équiamplitude à déphasage linéaire. Il s’agit de dessiner la fonction universelle NAF pour un nombre d’éléments donné N en fonction
de la variable auxiliaire ψ. D’autre part, on reconnaît aisément que l’équation
ψ = kd cos(θ) + α correspond à un cercle de coordonnées (ψ, θ) en coordonnées
polaires. Ceci permet l’esquisse directe en coordonnées polaires du diagramme de
rayonnement (cf Stutzman, section 3.1)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 71
CHAPITRE 7. THÉORIE DES RÉSEAUX
Figure 7.5: Méthode graphique
7.4
RÉSEAUX A POINTAGE VARIABLE : CAS
BROADSIDE ET ENDFIRE
Il est évident qu’un réseau équiamplitude à déphasage linéaire émet un rayonnement maximum pour ψ = 0, c’est à dire dans la direction θmax solution de :
kd cos(θmax ) + α = 0
72
(7.15)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.5. SYNTHÈSE DE SCHELKUNOFF
Ceci implique qu’on peut pointer le réseau vers n’importe quelle direction en
introduisant un déphasage entre éléments α = −kd cos(θmax ). Ceci est le principe
même des antennes à pointage électronique variable où il est possible d’orienter le
faisceau sans faire tourner mécaniquement l’antenne. Mais, attention !, contrairement au pointage purement mécanique, le pointage électronique déforme le diagramme de rayonnement et par exemple le niveau des lobes secondaires peut monter fortement quand on force l’antenne à pointer dans certaines directions par
contrôle du déphasage.
Si les éléments du réseau sont alimentés avec la même amplitude et la même
phase (α = 0), le réseau émet un rayonnement maximum pour θ = π/2 et ceci pour
toute valeur de kd. On a aﬀaire à un réseau rayonnant essentiellement perpendiculairement à son axe. Ce cas est connu sous le nom broadside dans la littérature.
Si l’on souhaite un rayonnement maximum dans l’axe du réseau (conﬁguration
endﬁre) il faut alors que θmax = 0, et donc α = ±kd.
On remarquera ﬁnalement que la condition du rayonnement maximum n’est
pas seulement liée à la valeur ψ = 0 mais en réalité aussi à tous les multiples
ψ = 2nπ. Si kd > π(d > λ/2), il se pourait qu’une où plusieurs de ces valeurs multiples tombe dans la région visible de ψ. La conséquence est que ces réseaux, où
l’espacement entre les éléments est supérieur à la demi-longueur d’onde, peuvent
montrer plusieurs directions θmax de rayonnement maximum. On parle alors souvent de lobes d’ambiguïté (anglais : grating lobes).
7.5
SYNTHÈSE DE SCHELKUNOFF
Le problème générale de la synthèse des réseaux est analogue à celui de la
synthèse des ﬁltres en théorie des circuits linéaires, avec l’angle θ remplaçant la
fréquence. Il faut remarquer que si le réseau n’a pas de symétrie de révolution,
il faut deux angles θ et ϕ pour déﬁnir chaque direction de pointage, et alors le
problème devient plus compliqué. Mais on se cantonnera ici aux réseaux à symétrie
de révolution.
En principe, on se donne un ensemble de spéciﬁcations relatives au comportement du facteur du réseau en fonction de l’angle (un gabarit) et le problème
mathématique consiste à synthétiser une fonction AF (θ) obéissant à ce gabarit.
Une des possibilités de synthèse, partielle mais très utile, fut déjà introduite
dans les années quarante par Serguei A. Schelkunoﬀ.
L’idée de Schelkunoﬀ repose sur un constat mathématique simple : avec la
variable complexe auxiliaire w = ejkd cos(θ) , le facteur du réseau dans le cas linéaire
équidistant (Equation (7.9)) devient un polynôme de la variable complexe w où
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 73
CHAPITRE 7. THÉORIE DES RÉSEAUX
les coeﬃcients complexes sont les excitations des éléments :
AF (θ) =
N−1
In w n
(7.16)
n=0
Donc, d’après le théorème générale de l’algèbre, ce polynôme aura N −1 racines
complexes wn et pourra s’écrire :
AF (θ) = IN−1 (w − w1 )(w − w2 )......(w − wN−1 )
(7.17)
Schelkunoﬀ reconnût immédiatement une possibilité de synthèse : pour tout
réseau linéaire à N éléments équidistants on peut ﬁxer à l’avance N − 1 directions
θn pour lesquelles on aura un rayonnement nul (AF (θ) = 0). En eﬀet, il suﬃt
de choisir les racines du polynôme wn = ejkd cos θn , construire le polynôme selon
l’équation (7.17) et calculer les excitations en revenant à la forme donnée par
l’équation (7.16).
Les N − 1 directions ne doivent pas nécessairement être diﬀérentes. On peut
répéter des racines wn , ou les choisir dans la région invisible, c’est à dire les faire
correspondre à des directions imaginaires θn . Pour cela il suﬃt de prendre |wn | =
1, ou encore dans le cas kd < π, |wn| = 1 mais avec arg(wn) en dehors de la
plage [−kd, +kd]. Ceci donne des possibilités très intéressantes à la synthèse de
Schelkunoﬀ. Mais il ne faut pas oublier qu’il s’agit d’une synthèse très partielle où
seulement sont contrôlées les directions de rayonnement nul. On n’a aucun contrôle
sur le comportement du AF entre les zéros et on ne sait même pas où se trouvera
le lobe principale et donc la direction du rayonnement maximum.
EXEMPLE
On souhaite avec un réseau à N = 5 éléments avec un espacement d = λ/4 et
qui puisse garantir un rayonnement nul dans les directions θ = 60◦ , 90◦ et 120◦.
Solution :
L’espacement correspondant à kd = π/2, on choisit :
√
◦
w1 = ejπ/2 cos(60 ) = (1 + j)/ 2
◦
w2 = ejπ/2 cos(90 ) = 1
√
◦
w3 = ejπ/2 cos(120 ) = (1 − j)/ 2
On a le choix de la quatrième racine. Si on ne souhaite pas créer une direction
supplémentaire de rayonnement nul, on peut répéter une racine ou bien la prendre
dans la région invisible, par exemple w4 = −1. Donc une solution possible est :
74
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.6. LE RÉSEAU BINOMIAL
√
√
AF (θ) = (w − 1)(w + 1)(w − (1 + j)/ 2)(w − (1 − j)/ 2)
c’est à dire :
AF (θ) = w 4 −
√
2w 3 +
√
2w − 1
√
(I
=
1,
I
=
−
2, I2 = 0,
d’où
l’on
obtient
directement
les
excitations
I
n
4
3
√
I1 = 2, I0 = −1). Remarquons que I2 = 0. On n’a donc pas besoin dans ce cas
de l’élément central et en réalité le réseau ne comporte que 4 éléments (mais ils ne
sont plus équidistants). Des surprises semblables sont courantes dans la synthèse
de Schelkunoﬀ.
7.6
LE RÉSEAU BINOMIAL
On a vu que dans le cas d’un réseau equiamplitude, l’apparition de lobes secondaires est inévitable quand le nombre N d’éléments augmente. De plus le niveau de
ces lobes ne descend jamais en-dessous de la valeur limite de −13.3dB. On peut se
poser la question de savoir si on peut éliminer les lobes secondaires en utilisant une
loi diﬀérente pour les amplitudes des courants d’excitation. L’excitation binomiale
répond à cette question. Commençons avec le cas trivial N = 2 avec excitation
équiamplitude. On sait que (Equation (7.11)) :
AF (θ) = 1 + ejψ = 1 + w
(7.18)
où on a généralisé la notation de Schelkunoﬀ avec la nouvelle variable complexe :
w = ejψ = ej(kd cos(θ)+α)
(7.19)
On voit que le polynôme complexe 1 + w ne s’annule que si w = −1, c’est à
dire si kd cos(θ) + α) = ±π.
Par exemple, dans le cas où le déphasage est nul (α = 0), il n’y aura pas de
directions à rayonnement nul si kd < π et dans le cas limite kd = π les nuls ne
peuvent apparaître que pour θ = 0, π.
Maintenant, on sait que si une fonction n’est pas nulle pour une certaine valeur
de la variable, les puissances successives de cette fonction sont toujours non nulles.
L’idée est alors d’essayer de synthétiser un diagramme de rayonnement donné par :
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 75
CHAPITRE 7. THÉORIE DES RÉSEAUX
AF (θ) = (1 + w)
N −1
=
N
−1 n=0
N −1
n
wn
(7.20)
La réponse est donc de donner aux éléments des amplitudes d’excitation An
correspondant aux coeﬃcients du binôme de Newton. On sait alors que les seules
directions de rayonnement nul sont celles du réseau initial à deux éléments et on
peut alors contrôler l’existence des lobes secondaires.
Par exemple, un réseau à N = 5 éléments equiphase avec d = λ/2 et avec une
loi d’amplitudes 1, 4, 6, 4, 1 ne possède pas de lobes secondaires et le lobe principal
pointe vers θmax = 90◦ avec une directivité Dmax = 3.66 et une largeur de faisceau
à puissance moitié θHPBW = 30.3◦ .
Pour comparaison, le même réseau avec une loi équiamplitude 1, 1, 1, 1, 1 a un
lobe principal toujours pointé vers θmax = 90◦ et plus étroit (θHPBW = 20.8◦ ) ce
qui se traduit par une directivité supérieure (Dmax = 5). Mais en revanche il y
a des lobes secondaires avec un niveau SLL = −12 dB (voir Stutzman, figure
3.23, pages 148 − 149).
7.7
RÉSEAUX SYMÉTRIQUES
Très souvent, les réseaux linéaires équidistants et à déphasage linéaire ont une
loi d’excitation symétrique, avec A0 = AN−1 , A1 = AN−2 , etc. Une façon plus
pratique pour étudier ces réseaux consiste alors à prendre l’origine de coordonnées
au centre géométrique du réseau plutôt que sur son premier élément. On distingue
alors deux possibilités.
7.7.1
Cas pair N = 2M
On numérote les éléments du réseau −M, −M + 1, ..., −1, 1, ..., M −1, M. L’origine des coordonnées se trouve entre les éléments # − 1 et #1. On trouve alors
comme facteur du réseau :
AF (θ) = 2
M
An cos[(n − 1/2)ψ]
(7.21)
n=1
où ψ = kd cos(θ) + α.
76
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.8. SYNTHÈSE DE DOLPH-TCHEBICHEFF POUR
RÉSEAUX SYMÉTRIQUES
7.7.2
Cas impair N = 2M + 1
On numérote les éléments du réseau −M, −M + 1, ..., −1, 0, 1, ..., M − 1, M.
L’origine de coordonnées se trouve à l’élément #0. On trouve alors comme facteur
du réseau :
AF (θ) = A0 + 2
M
(7.22)
An cos(nψ)
n=1
où ψ = kd cos(θ) + α.
7.7.3
Remarque générale sur les réseaux symétriques
On constate au vue des équations (7.21) et (7.22) qu’un réseau symétrique
possède un facteur qui peut toujours s’exprimer comme un polynôme en puissances
de la variable auxiliaire u = cos(ψ/2). Par ailleurs, la direction du rayonnement
maximum correspond toujours à ψ = 0 et donc à u = 1. Dans le cas de l’excitation
à déphasage nul (α = 0) ceci équivaut à la direction θ = 90◦ (cas broadside)
7.8
SYNTHÈSE DE DOLPH-TCHEBICHEFF POUR
RÉSEAUX SYMÉTRIQUES
La synthèse de Dolph-Tchebicheﬀ correspond en théorie des réseaux à la synthèse de Tchebicheﬀ pour les ﬁltres. Elle garantit un niveau des lobes secondaires
SLL pré-établi. On peut la considérer comme un compromis pratique entre le
cas binomial où SLL = −∞ dB (pas de lobes du tout) et le cas equiamplitude
(SLL > −13.3 dB). La synthèse se base sur les propriétés bien connues des polynômes de Tchebicheﬀ dont on rappelle ici les plus importantes. Ces polynômes
sont déﬁnis par la relation de récurrence :
T0 (x) = 1
T1 (x) = x
Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x)
(7.23)
ou par la formule générale :
⎧
⎨ (−1)n cosh(n arcosh(x))
cos(n arccos(x))
Tn (x) =
⎩
cosh(n arcosh(x))
si x < −1
si − 1 < x < 1
si x > 1
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, (7.24)
77
CHAPITRE 7. THÉORIE DES RÉSEAUX
On montre facilement que ces polynômes oscillent à l’intérieur de l’intervalle
−1 < x < 1 sans jamais dépasser les limites −1 < Tn (x) < 1. Au delà de la
valeur critique |Tn (|x| = 1)| = 1, la valeur absolue |T n| croît très rapidement pour
|x| > 1.
D’autre part, on sait que le facteur d’un réseau symétrique (équations (7.21 et
(7.22)) peut toujours s’écrire comme un polynôme en puissance de la variable auxiliaire u = cos(ψ/2). L’idée intuitive est alors d’assimiler les valeurs du polynôme
TN−1 au facteur d’un réseau à N éléments en introduisant une correspondance linéaire entre la variable x du polynôme de Tchebicheﬀ et la variable auxiliaire u,
de telle façon à ce que la direction de rayonnement maximum u = 1 corresponde
à une valeur |x| > 1.
En pratique, on réalise souvent la synthèse dans le cas excitation à déphasage
nul (α = 0) et on procède de la façon suivante :
1. On se donne le nombre d’éléments N et le niveau des lobes secondaires
souhaités en décibels (SLLdB ).
2. On traduit le SLL en échelle linéaire : SLLdB = −20 log(R) et donc R =
10−SLLdB /20 .
3. On calcule une valeur xmax > 0, telle que |TN−1 (xmax )| = R.
4. On établit la correspondance u ⇔ x comme : u = cos(ψ/2) = cos[(kd cos(θ))/2] =
x/xmax .
5. On remarque que les valeurs possibles de la variable x s’étalent entre x =
xmax , correspondant à la direction de rayonnement maximum donnée par
l’équation θmax = 90◦ et x = xmin = xmax cos(kd/2) pour l’angle θ = 0◦ , 180◦ .
Il faut absolument que cette valeur xmin tombe dans l’intervalle [−1, 1].
Souvent on choisit un espacement kd = π ce qui donne automatiquement
xmin = 0.
6. On écrit le facteur du réseau comme AF = TN−1 (x = xmax cos(ψ/2)) et on
identiﬁe avec les équations (7.21) et (7.22) pour trouver les coeﬃcients An .
Exemple
On souhaite avec un réseau à N = 5 éléments équidistants de (d = λ/2) obtenir
une direction de rayonnement maximum pour θ = 90◦ et des lobes sécondaires à
−20 dB.
78
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, Première partie
ANNEXE I
79
7.9
L’EVOLUTION DE L’ELECTROMAGNETISME
L'EVOLUTION DE L'ELECTROMAGNETISME (1)
ELECTROSTATIQUE
MAGNETOSTATIQUE
POLES
MAGNETIQUES
CHARGES
ELECTRIQUES
r
P
Thalès (-550)
de Coulomb (1 785)
FORCE
ELECTRIQUE
Tite Live (-60)
Gilbert (1 600)
FORCE
MAGNETIQUE
L'EVOLUTION DE L'ELECTROMAGNETISME (2)
ELECTROSTATIQUE
CHARGES
ELECTRIQUES
r
Gauss, Green
Laplace, Poisson
(1 800 - 1 830)
80
MAGNETOSTATIQUE
Mouvement
des charges
POLES
MAGNETIQUES
Volta 1 800
P
Oersted, Biot
Savart, Ampère
(1 820 - 1 830)
CHAMPS
ELECTRIQUES
CHAMPS
MAGNETIQUES
E, D
B, H
Tite Live (-60)
Gilbert (1 600)
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.9. L’EVOLUTION DE L’ELECTROMAGNETISME
L'EVOLUTION DE L'ELECTROMAGNETISME (3) :
L'apport de Faraday
CHARGES
ELECTRIQUES
r
Mouvement
des charges
Volta 1 796
Gauss, Green
Laplace, Poisson
(1 800 - 1 830)
Oersted, Biot
Savart, Ampère
(1 820 - 1 825)
CHAMPS
ELECTRIQUES
Variation
temporelle
E, D
Faraday
Henry
1 832
CHAMPS
MAGNETIQUES
B, H
QUASI-STATIQUE :
INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE
L'EVOLUTION DE L'ELECTROMAGNETISME (4) :
La situation avant Maxwell
CHARGES
ELECTRIQUES
r
J = rv
xE = 0
D=r
xH = J
B=0
ELECTROMECANIQUE
DYNAMOS
MOTEURS
CHAMPS
ELECTRIQUES
E, D
xE = -
CHAMPS
MAGNETIQUES
B
t
QUASI-STATIQUE :
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, t
B, H
= 0
81
L'EVOLUTION DE L'ELECTROMAGNETISME (5) :
L'analyse de Maxwell
CHARGES
ELECTRIQUES
r
xE = 0
D=r
J = rv
!
!
OK
xH = J
B = 0 OK
OK
CHAMPS
ELECTRIQUES
E, D
xE = -
B
t
CHAMPS
MAGNETIQUES
B, H
???
L'EVOLUTION DE L'ELECTROMAGNETISME (6) :
Les équations de Maxwell (1 865)
CHARGES
ELECTRIQUES
J=-
r
t
r
xH = J + D / t
CHAMPS
ELECTROMAGNETIQUES
E, D, B, H
82
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.9. L’EVOLUTION DE L’ELECTROMAGNETISME
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 83
L'EVOLUTION DE L'ELECTROMAGNETISME (6) :
Les équations de Maxwell (1 865)
CHARGES
ELECTRIQUES
J=-
r
t
r
xH = J + D / t
CHAMPS
ELECTROMAGNETIQUES
E, D, B, H
84
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.9. L’EVOLUTION DE L’ELECTROMAGNETISME
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 85
Deuxième partie
ANNEXE II
86
7.10. UN EXEMPLE ANALYTIQUE SIMPLE
7.10
UN EXEMPLE ANALYTIQUE SIMPLE
LE CONDENSATEUR A PLAQUES PARALLELES
GEOMETRIE DU CONDENSATEUR :
P >> a
Q >> a
Région d'observation :
a, p, q << P, Q
Alors :
/ y
=
/ z=0
Problème 1 D
Condition : "infini" suivant (oy) et (oz).
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 87
88
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.10. UN EXEMPLE ANALYTIQUE SIMPLE
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 89
90
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 7.10. UN EXEMPLE ANALYTIQUE SIMPLE
c Juan Mosig, Septembre 2007
Rayonnement et Antennes, 91

rayonnement et antennes

Documents connexes

Produits

Soutien

rayonnement et antennes

Documents connexes

Ajouter ce document à la (aux) collections

Ajouter ce document à enregistré

Suggérez-nous comment améliorer StudyLib