Description des systèmes thermodynamiques

Sup PCSI1 - Exercices de physique Description des systèmes thermodynamiques
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Description des systèmes thermodynamiques
Gaz Parfaits
1. Masse d’air dans une pièce :
1°) Calculer la masse d’air m contenue dans une pièce de 25 m², de hauteur h = 2,50 m. La
température de la pièce est de 20°C et la pression vaut 1,013.10
5
Pa. On donne la masse molaire
moyenne de l’air M = 28,96 g/mol.
2°) La température augmente à 28°C et la pression passe à 0,970.10
5
Pa. Que vaut m ? Quelle est la
variation relative de la masse volumique de l’air ?
Réponse : 1°) 75 kg ; 2°) 70 kg ; ∆ρ / ρ = -6,7 %.
2. Gonflage d’un pneu à l’aide d’air comprimé :
a) Un pneu sans chambre, (de volume supposé constant), est gonflé à froid (t = 20°C) sous une
pression de 2,1 bars. Après avoir roulé un certain temps, le pneu affiche désormais une pression de
2,3 bars. Justifier et déterminer le paramètre manquant.
b) Une bouteille d’acier, munie d’un détendeur, contient dans un volume V
b
= 60 L de l’air comprimé
sous la pression P
b
= 15 bars. En ouvrant le détendeur à la pression atmosphérique, quel volume d’air
V
a
peut-on extraire à température constante ?
c) Un pneu de volume V
p
= 50 L est gonflé au moyen d’air comprimé contenu dans la bouteille
précédente. La pression initiale P
i
dans le pneu est de 1 bar, et la pression finale souhaitée est de P
f
=
2,6 bars, l’opération se déroule à température constante. Déterminer la pression P
1
dans la bouteille
après avoir gonflé un pneu. Quel est le nombre de pneus qu’il est possible de gonfler dans ces
conditions ?
Réponse : a) pneu échauffé à t
f
= 48 °C ; b) V
a
= 840 L ; c) faire un bilan des moles d’air. P
1
= 13,7
bar ; 9 pneus
3. Gonflage isotherme d’un pneu de vélo :
Le pneu est supposé de volume constant V
p
(son enveloppe
caoutchoutée est armée de fibres textiles très peu extensibles) et l’air
est assimilé à un gaz parfait pour lequel γ = C
p
/ C
v
est constant. A la fin
du n
ième
coup de pompe, la pression y vaut P
n
.
La pompe comporte un corps cylindrique, de longueur utile L (course
du piston) et de section S.
Une valve V
1
fixée sur le pneu, ne s’ouvre que si la pression dans la pompe excède celle du pneu. La
position du piston est repérée par son abscisse z à partir du plan de V
1
.
Une autre valve V
2
, solidaire du piston, s’ouvre lorsque le piston va vers les z > 0, remplissant alors la
pompe d’air à la pression atmosphérique P
o
et température T
o
et se ferme dès qu’il va vers les z < 0
puisque alors la pression dans la pompe devient supérieure à la pression ambiante.
On fait l’hypothèse d’un pompage isotherme : On suppose que l’on opère avec une pompe dont le
corps est métallique, bonne conductrice de la chaleur, et suffisamment lentement pour que les
échanges thermiques aient le temps de s’effectuer complètement.
1°) On donne le n
ième
coup de pompe (la pression initiale dans le pneu est donc P
n-1
). Pour quelle
position du piston, décrite par z
n
, la valve V
1
s’ouvre-t-elle ?
pompe pneu
z
piston
V
1
V
2

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2°) On achève, jusqu’à z = 0 le coup de pompe ; que vaut la pression P
n
à l’issue de ce n
ième
coup de
pompe ? On établira une relation de récurrence entre P
n
et P
n-1
, puis on donnera l’expression de P
n
en
fonction du nombre n de coups déjà donnés.
3°) Combien de coups de pompe faut-il, partant de P
o
pour arriver à la pression finale P
f
?
A.N. : S = 3 cm² ; L = 30 cm ; le volume du pneu est celui d’un tore (anneau) à section circulaire dont le
diamètre D = 2,5 cm est faible devant le rayon moyen R = 34 cm ; P
o
= 1 bar ; P
f
= 4 bar.
Réponse : 1°) z
n
= p
o
L / p
n-1
. ; 2°) p
n
= p
i
+ n(p
o
SL/V
p
) ;
3°) n
f
= Partie Entière[(p
f
/p
o
– 1)V
p
/SL]+1. V
p
= 2 π R. π D²/4 ; n
f
= 35.
4. Thermomètre différentiel à gaz :
Un tel thermomètre, destiné à mesurer de faibles différences de température, est constitué de deux
réservoirs à gaz parfaits identiques reliés par un tube de jonction de faible section s.
Le tube est horizontal et cylindrique. Un index de mercure en son milieu isole un même volume V
o
de
gaz parfait sous la pression P
o
et la température T
o
dans chaque réservoir.
On porte le gaz de gauche à la température T et le gaz de droite à T’, légèrement inférieur à T. L’index
se déplace alors vers la droite d’une petite longueur x (avec xs << V
o
).
Déterminer T – T’ en fonction de V
o
, s, x et T.
Réponse : Utiliser l’équation d’état du gaz parfait, et écrire l’équilibre mécanique de l’index de
mercure. Par approximation, avec x.s << V
o
on tire T – T’ = 2sxT/V
o
.
5. Compression isotherme et compression poly-tropique :
n moles d’un gaz parfait sont enfermées dans un cylindre de volume initial V
o
et de section S, fermé
par un piston de masse négligeable. L’expérience est conduite dans l’atmosphère extérieure, de
pression P
o
et de température T
o
constantes. La température initiale du gaz est T
o
, il est supposé en
équilibre thermique avec le cylindre qui le contient.
1. Le cylindre est disposé verticalement. On impose une surcharge au piston en y déposant une
masse m. On note g l’intensité du champ de pesanteur. La transformation se réalise de façon
monotherme, les parois du cylindre étant supposée diathermes.
Calculer la hauteur initiale et la hauteur finale du piston.
A.N. : P
o
= 1,0 bar ; n = 0,20 ; R = 8,314 J.K
-1
.mol
-1
; V
o
= 4,5 L ; S = 50 cm² ;
g = 9,8 m.s
-2
; m = 50 kg.
2. L’expérience est renouvelée de même façon, mais en modifiant les propriétés thermiques des
parois. En emballant le cylindre dans un isolant, on obtient des parois athermanes.
On modélise la situation en supposant que la transformation se fera en suivant une loi d’évolution de
la pression du gaz parfait en fonction du volume dite poly-tropique, décrite par la relation :
P.V
k
= Cste où k = 1,2.
Déterminer la hauteur initiale et la hauteur finale du piston, ainsi que la température atteinte par le
gaz en fin de processus.
Réponse : 1. Utiliser l’équation d’état du gaz parfait, et écrire l’équilibre mécanique du piston. La
condition d’équilibre thermique impose T
f
= T
o
.
2. Même démarche, mais il n’y a pas de condition d’équilibre thermique.
L’évolution se fait en suivant la loi poly-tropique. Cste = P
o
V
ok
; T
f
≠ T
o
.

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Approche microscopique des gaz :
6. Vitesse quadratique moyenne :
a) (1) La pression cinétique est proportionnelle à la température absolue T ; (2) la vitesse quadratique
moyenne d’un gaz parfait monoatomique est proportionnelle à la température absolue T.
De ces deux affirmations, une seule est vraie, laquelle ?
b) A la température T, un récipient renferme 2 moles de dioxygène (M
O2
= 32 g/mol) et 5 moles
d’hélium (M
He
= 4 g/mol). L’énergie cinétique moyenne de translation des molécules de dioxygène
vaut e
c
= (3/2)kT, à laquelle s’ajoute des termes d’énergie de rotation, amenant une énergie moyenne
par molécule u = (5/2)kT. La vitesse quadratique moyenne du dioxygène est v
*O2
= 450 m/s.
Calculer la vitesse quadratique moyenne de l’hélium. Calculer l'énergie interne du mélange.
On donne N
A
= 6,02.10
23
et k = 1,38.10
-23
J.K
-1
.
Réponse : a) (1) vraie ; (2) fausse.
b) la vitesse quadratique
3
RT
u
M
∗
= répond à la même expression littérale pour tous les GP.
v
He*
=
2
O
He
M
v
M
∗
A.N. : v
*He
= 1270 m/s.
5 3
2. . 5. .
2 2
A A
U N kT N kT
= + avec
2
²
3
O
M v
T
R
∗
= = 260 K.
Autres fluides :
7. Comportement d’un gaz réel, exploitation de tables thermodynamiques, :
1°) Le tableau ci-dessous donne avec trois chiffres significatifs le volume molaire V
m
, en m
3
.mol
-1
, et
l'énergie interne molaire U
m
, en kJ.mol
-1
, de la vapeur d'eau à la température de
t = 500 °C pour différentes valeur de pression, en bars. On donne R = 8,314 J.K
-1
mol
-1
.
P 1,00 10,0 20,0 40,0 70,0 100
V
m
6,43.10
-
2
6,37.10
-
3
3,17.10
-
3
1,56.10
-
3
8,68.10
-
4
5,90.10
-
4
U
m
56,33 56,23 56,08 55,77 55,47 54,78
Justifier sans calcul que la vapeur d'eau ne se comporte pas comme un gaz parfait.
2°) On réalise une détente isochore, c'est à dire à volume constant, d'une mole de vapeur d'eau de
l'état initial (1) (T1 = 500 °C, P1 = 100 bar) à l'état final (2) (T2 = ?, P2 = 70 bar). Le tableau ci-dessous
donne le volume molaire V, en m
3
.mol
-1
, et l'énergie interne molaire U, en kJ.mol
-1
, de la vapeur
d'eau sous P = 70 bar pour différentes valeurs de température t en °C.
t 300 320 340 360 380 400
V 5,31.10
-
4
5,77.10
-
4
6,18.10
-
4
6,54.10
-
4
6,87.10
-
4
7,20.10
-
4
U 47,30 48,38 49,32 50,17 50,96 51,73
Déterminer la température finale T2 et la variation d'énergie interne U2 - U1 subie dans la détente.
On donnera des valeurs les plus précises possibles en procédant à une interpolation linéaire.
Réponse : 1°) U varie avec T... D’autre part P.V
m
n’est pas constant.
2°) V
i
= V
f
= 5,90.10
-4
m
3
/mol. Sur le tableau fourni : 5,77.10
-4
< V
f
< 6,18.10
-4
; par interpolation
linéaire, ayant 320 °C < T
f
< 340 °C on trouve T
f
= 326 °C, et de même

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U
f
= 48,66 kJ/mol.
8. Equation d'état d'un liquide :
L'eau à l’état liquide est caractérisée par son équation d'état v = V/m = f(P, T) reliant son volume
massique à sa température et sa pression, selon la relation : v = A.exp [α.(T – T
o
) - (P – P
o
).χ
T
]
Cette relation reste valide dans un certain domaine de température et de pressions autour de l'état
(0) où Po = 1,00 bar, To = 293 K et vo = 1,00.10
-3
m
3
, où α et χ
T
sont respectivement le coefficient de
dilatation isobare α = 3,00.10
-4
K
-1
et le coefficient de compressibilité isotherme χT = 5,00.10
-10
Pa
-1
,
supposés constants.
a) Déterminer A. Comment tend à varier v
o
quand la température augmente ? la pression
augmente ? Calculer le volume massique de l’eau à l’état liquide sous la pression P = 2 bar et à la
température T = 40°C selon ce modèle.
b) Calculer le volume massique de l’eau sous P = 1000 bars à T = 293 K. Commenter.
c) Un kilogramme d'eau liquide est enfermé dans une bouteille métallique de volume Vo constant.
Par suite d'un incendie, la température passe de To = 293 K à T = 586 K. Calculer la pression P dans le
récipient. Reprendre le calcul pour un gaz parfait. Commenter.
Réponse : a) A = V
o
; V = 1,006.10
-3
b) Pour p = 1000 bar à 293 K, v = 0,95.10
-3
m
3
; c) P = 1800 bar.
Pour un GP on aurait P = 2,00 bar.
9. Mélange idéal de gaz parfaits :
3 récipients contiennent respectivement H
2
, O
2
et N
2
dans les conditions suivantes :
- pour H
2
: V = 2,25 L, P = 3,33.10
-1
bar, t = 20,0°C (M
H2
= 2,0 g/mol)
- pour O
2
: V = 5,50 L, P = 3,33.10
-1
bar, t = 20,0°C (M
O2
= 32,0 g/mol)
- pour H
2
: V = 1,40 L, P = 1,013 bar, t = 0,0°C (M
N2
= 28,0 g/mol)
On donne : 1 bar = 10
5
Pa.
1°) Calculer la masse de chaque gaz en les supposant parfaits.
2°) On mélange ces gaz dans un même récipient, de volume 18,5 L, à la température de 0°C. On
suppose le mélange idéal : les pressions partielles des gaz sont proportionnelles aux fractions
molaires dans le mélange.
Calculer, pour chaque gaz, sa fraction massique, sa fraction molaire et sa pression partielle. Que vaut
la pression totale ?
Réponse : 1°) attention : conversions d’unités. 2°) fraction molaires : x
H2m
= 0,015 ; x
H2
= 0,18 ;
x
O2m
= 0,570 ; fractions massiques : x
O2
= 0,446 ; x
N2m
= 0,415 ; x
N2
= 0,371.
P
tot
= 0,207.10
5
Pa. P
i
= x
i
.P
tot
pour chaque constituant.