TD Thermo1 - Physique en PCSI

PCSI
Physique
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Physique
TD Thermo1 : DU GPM AUX FLUIDES REELS
Exercices
ET PHASES CONDENSEES
Applications directes du cours
1.
Du néon ( M ( Ne ) = 20g.mol
1.
2.
3.
2.
−1
)
6 : Pression exercée par la pluie sur une vitre. (**)
occupe un volume V sous une pression P à température uniforme T = 273K .
Quelle est la pression du gaz si la densité moléculaire (= densité particulaire) est de 1,34.1020 m −3 ?
Quelle est la vitesse quadratique moyenne u (dont on rappellera la définition) des molécules de néon ?
Quelle est l’énergie interne moléculaire puis molaire de ce gaz ?
Fuite de l’atmosphère.
1. Calculer numériquement pour une température de 300K, la vitesse quadratique moyenne du dihydrogène et du
diazote.
2. On donne les vitesses de libération d’un corps au voisinage de la Terre, vl ,T = 1,1.104 m.s −1 , et au voisinage de la
Lune, vl , L = 2,3.103 m.s −1 . Comparer aux vitesses précédemment calculées et commenter.
3.
Quelle devrait être l’ordre de grandeur de la température pour que le diazote, constituant majoritaire de
l’atmosphère terrestre, échappe quantitativement à l’attraction terrestre ? Commenter.
4. Question subsidiaire : Déterminer les vitesses de libération données en 2..
Données : G = 6, 67.10−11 S.I. ; RT = 6, 4.106 m ; RL = 1,8.106 m ; M T = 6, 0.1024 kg ; M L = 7, 4.1022 kg ; M ( N ) = 14g.mol −1
3.
On note v le volume massique en m 3 .kg −1 d’un gaz parfait de masse molaire M .
1.
2.
Montrer que l’équation d’état de ce gaz peut s’écrire Pv = rT . Préciser l’expression de r et son unité.
On donne : M ( O ) = 16g.mol−1 ; R = 8,31S.I. (unités à déterminer). Calculer la valeur de r pour le dioxygène.
3.
En déduire le volume massique du dioxygène à 300 K et 1 bar.
Des gouttes de pluie, de masse m = 0,1g et de vitesse v = 2m.s −1 , frappent la surface d’une vitre
verticale de surface S = 2m 2 , en formant un angle α = 30° par rapport à la verticale en arrivant sur
la vitre. La densité de gouttes est de n* = 800gouttes.m −3 . On suppose que lors de leur choc sur la
vitre, les gouttes rebondissent de manière parfaite.
1. Combien de gouttes δ N frappent la vitre pendant la durée δ t = 1s ?
2. Exprimer la variation de la quantité de mouvement δ p de ces δ N gouttes au cours de leur
rebond.
3. Déterminer la force δ F exercée sur la vitre pendant δ t .
4. En déduire la pression P exercée par ces gouttes sur la vitre. La calculer.
7 : Température et énergie cinétique d’un GP.(*)
Exprimer le produit PV d’un gaz supposé parfait en fonction du nombre de molécules, puis du nombre de moles
de molécules et enfin en fonction de l’énergie cinétique de translation.
2. Calculer l’énergie cinétique d’agitation thermique d’une mole de diazote dans les conditions normales.
3. Calculer la vitesse quadratique moyenne du diazote dans les conditions normales.
4. On met en contact thermique deux réservoirs, l’un contenant du dioxygène sous une pression de 2 bar, l’autre de
l’argon sous une pression de 10 bar. Au bout d’un temps suffisant, la température est identique pour les deux gaz.
Calculer le rapport des vitesses quadratiques moyennes.
Données : M ( N ) = 14, 0 g.mol-1 , M (O) = 16, 0 g.mol-1 , M (Ar ) = 39,9 g.mol-1
1.
8 : Indications d’une bouteille.(**)
4.
Gonflage d’un pneu. Dans cet exercice, l’air est assimilé à un gaz parfait.
a. Un pneu sans chambre, de volume supposé constant, est gonflé à froid, à la température θ1 = 20°C , sous la pression
b.
P1 = 2,1bar . Après avoir roulé un certain temps, le pneu affiche une pression P2 = 2,3 bar . Quelle est alors sa
température ?
Une bouteille d’acier, munie d’un détendeur, contient dans un volume V1 = 60L , de l’air comprimé sous
c.
P1 = 15 bar . En ouvrant le détendeur à la pression atmosphérique, quel volume d’air peut-on extraire à température
constante ?
Un pneu de volume VP = 50L est gonflé au moyen d'air comprimé contenu dans une bouteille de volume V0 = 80L
sous P0 = 15 bar . Les opérations se passent à température constante.
i. Si la pression initiale dans le pneu est nulle et la pression finale PP = 2, 6 bar , déterminer la pression P1 dans
la bouteille à la fin du gonflage d’un pneu.
ii. Combien de pneus peut-on gonfler avec cette bouteille ?
5.
Coefficients thermoélastiques :
a T −T − k P − P
a. L’équation d’état d’un fluide peut s’écrire : V = V0 e ( 0 ) ( 0 )
i. Calculer le coefficient de dilatation isobare α de ce fluide.
ii. Que représente le coefficient k ?
b. L’eau liquide à t0 = 20°C , sous P0 = 1bar , a un coefficient de compressibilité isotherme de 4, 4.10−10 Pa −1 . On
suppose que ce coefficient est constant dans le domaine de pression envisagé.
i. Comparer cette valeur à celle du coefficient de compressibilité isotherme de l’air assimilé à un gaz parfait
dans les mêmes conditions.
ii. Calculer la variation de pression ∆ P nécessaire pour créer dans chaque cas, à la température constante de
t0 = 20°C , une variation relative de volume de 1% ? Conclure.
iii. Utiliser la définition de χT pour établir l’expression générale de V en fonction de P, P0 ,V0 sous t0
Sur une bouteille en acier de hauteur H = 1,6 m, le fabricant porte les indications suivantes : argon ; 10 m3 ; 200 bars à la
température de 20 °C. La bouteille est équipée d’un détendeur pour délivrer de l’argon à la pression atmosphérique
supposée égale à 1 bar, à la même température.
1. Quel est le volume interne de la bouteille ?
2. Quel est le volume utile de l’argon ?
3. A quelle quantité de gaz correspond ce volume d’argon ?
9 : Vidange d’un réservoir.(**)
Un réservoir de volume V = 100L contient de l’air comprimé sous la pression P0 = 10bar
et à la température t0 = 20°C . Ce réservoir est fermé par un robinet R. Sur l’embout de ce
robinet, on fixe un récipient de volume v = 10L contenant de l’air ambiant, à la température
t0 et à la pression p = 1bar . Ce récipient est muni d’une soupape S initialement fermée.
On ouvre le robinet. Que se passe-t-il ? Exprimer puis calculer la pression P1
obtenue dans le réservoir.
Le robinet est ensuite refermé, puis la soupape ouverte et enfin on referme la soupape.
2. On ouvre à nouveau le robinet. Exprimer puis calculer la pression P2 obtenue dans le réservoir.
La suite de manipulations précédente est à nouveau effectuée.
3. Exprimer la relation entre les pressions Pn +1 et Pn . En déduire la limite P∞ atteinte dans le réservoir.
1.
10 : Calculs de volumes.(**)
1.
Quel est le volume V0 occupé par 4g de dibrome ( Br2 ) à la température t0 = 600°C sous la pression normale en
assimilant la vapeur de dibrome à un gaz parfait ? On donne la masse molaire atomique du brome ( 80g.mol−1 ) et
on signale qu’à cette température, on peut négliger la dissociation du dibrome.
Que deviendrait ce volume noté V1 à la température t1 = 1600°C , toujours sous la pression normale, en supposant
que l’on puisse encore négliger la dissociation ?
L’expérience montre que ce volume est en fait V '1 = 4, 780dm3 . Montrer que ce résultat peut s’expliquer en
c.
On donne χT , Hg = 38.10−12 Pa −1 . On compresse V0 = 1L de mercure liquide de 1bar à 1000 bar de manière
2.
d.
isotherme. Calculer la variation de volume obtenue puis la variation relative correspondante. Commenter.
Un morceau de métal est pris à t0 = 20°C sous une pression de P0 = 1bar . Déterminer la pression qu’il faut exercer
3.
sur ce morceau de métal pour que sa température passe à 30°C , son volume étant resté constant.
On donne : α = 5.10−5 K −1 et χT = 7.10−12 Pa −1 .
TD Thermo 1
1
2007-2008
admettant qu’une partie des molécules de dibrome s’est dissociée en atomes de brome : Br2 2 Br . Calculer le
coefficient de dissociation.
TD Thermo 1
2
2007-2008
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Physique
PTSI
11 : Energie interne de la vapeur d’eau.(***)
Le tableau ci-dessous donne avec trois chiffres significatifs exacts, le volume molaire Vm ( en m3 .mol−1 ) et l’énergie interne
1
6,43.10– 2
10
6,37.10– 3
20
3,17.10– 3
40
1,56.10– 3
70
8,68.10– 4
100
5,90.10– 4
Um
56,33
56,23
56,08
55,77
55,47
54,78
1.
2.
1.
Exprimer PA et PB , les pressions des compartiments A et B à l’état final, en fonction de P0 ,l et a .
2.
Quelle force Fop doit exercer l’opérateur pour maintenir le piston dans cette position ? On exprimera Fop en
molaire U m ( en kJ.mol −1 ) de la vapeur d’eau à la température t = 500°C pour différentes valeurs de la pression (en bar).
P
Vm
Physique
fonction de P0 , S , l , a et i . Calculer Fop .
3.
4.
Justifier sans calcul à partir des données ci-dessus que la vapeur d’eau ne se comporte pas comme un gaz parfait.
On se propose d’adopter le modèle de Van der Waals pour lequel on a :
a
a
( P + 2 )(V − b) = RT
et
U (V , T ) = f (T ) −
V
V
a. Calculer le coefficient a en utilisant les énergies internes des états à P = 1bar et P = 100 bar . En déduire b en
Exprimer la quantité de matière n ' à enlever à l’un des compartiments (que l’on précisera) pour que le piston
reste dans la position précédente sans que l’opérateur n’ait plus besoin de l’y maintenir, en fonction de
P0 , T0 , R, S , l et a . Calculer n ' .
En réalité, on enlève 2 n ' moles de gaz de ce compartiment. Exprimer le déplacement x supplémentaire du piston
en fonction de l et a . Calculer x .
utilisant l’équation d’état à P = 100 bar .
b. Quelle valeur obtient-on alors pour U à P = 40 bar ? Quelle température obtient-on alors d’après l’équation
d’état avec P = 40 bar et V = 1,56.10−3 m3 .mol−1 ? Conclure sur la validité du modèle.
Réponses ou éléments de réponses :
3RT
1 M ( Ne) 2
1
1 : a. P = 0,50Pa ; b. u =
; u = 580 m.s -1 . c. U n =
u ; U m = M ( Ne) u 2 U m = 3, 4kJ.mol−1 .
2
2 NA
M ( Ne)
12 : Modélisation d’un gaz réel en gaz de Joule.(**)
Le dihydrogène, dans le domaine des pressions peu élevées, peut être modélisé par un gaz de Joule d’équation d’état :
P (Vm − b ) = RT .
1.
2.
3.
4.
3RT
: u ( H 2 ) = 1,9.103 m.s -1 , u ( N 2 ) = 5, 2.102 m.s -1 . 3. T de l’ordre de 105K.
M
R
3 : a. Pv = rT ; r =
. b. r ( O2 ) = 260J.kg −1 .K −1 . c. v ( O2 ) = 0, 780m3 .kg −1 .
M
P

P
PV
4 : a. T2 = T1 2 : θ 2 = 48°C . b. Vu =  1 −1V1 : Vu = 830L . c. P1 = P0 − P P : P1 = 13, 4 bar . d. 7 pneus.
 P2
P1
V0

2 : a. u =
Donner le sens physique de b et ses unités.
Tracer l’allure des isothermes d’un gaz de Joule en coordonnées d’Amagat. Conclure sur la compressibilité du
dihydrogène comparée à celle du gaz parfait.
Comparer cette équation à celle de Van der Waals. Que peut on en conclure sur l’énergie interne du diydrogène ?
Calculer les coefficients thermoélastiques de dilatation isobare et de compressibilité isotherme pour un gaz de
Joule. Que deviennent-ils si b = 0 ?
5 : a. α = a , k = χT. b. χTGP =
13 : Transvasement.(**)
Deux réservoirs de même volume V0 contenant initialement de l'air sous pression P0 et de température T0 sont en
communication avec une pompe dont le corps a un volume maximum V et un volume résiduel négligeable.
Des valves n'autorisent que l'aspiration de l'air par la pompe dans le premier réservoir et son refoulement dans le second.
Initialement le piston est dans la position où le corps de pompe est de volume nul. Il exécute, extrêmement lentement, des
aller-retour de sorte que l'on pourra considérer qu'il y a équilibre mécanique et thermique entre les volumes communicants
et l'air extérieur à T0 .
6:
α
(T '− T ) : P ' = 715bar .
χT
1. δ N = n * Sv sin αδ t . 2. δ p = −2n * mSv 2 sin 2 α δ t ex . 3. δ F = 2n * mSv 2 sin 2 α ex . 4. P = 2n * mv 2 sin 2 α : P = 0,16Pa .
7:
1. PV = NkBT = nRT =
8:
1. Vb =
V = V0 e
Calculer les pressions P1, n et P2, n dans les réservoirs 1 et 2 au bout de n allers-retours du piston en admettant que l'air est
9:
l
Un cylindre de section S et de longueur 2l comporte un piston mobile sans
frottement qui est initialement placé au milieu de sa longueur. Il délimite ainsi
deux compartiments contenant une même quantité de matière n0 d’hélium,
Données : l = 1, 0m ; S = 10cm 2 ; a = 20cm ; P0 = 1bar ; T0 = 300 K ;
l+a
TD Thermo 1
3
2 Ec
5
3RT
u (O 2 )
M (Ar )
. 2. Ec = nRT = 5, 67.103 J . 3. u =
= 493 m.s -1 . 4.
=
= 1,12 .
2
3
M (N2 )
u (Ar )
M (O 2 )
PV
PV
0 0
= 5, 0.10−2 m3 . 2. Vu = V0 −Vb = 9,95 m3 . 3. nu = 0 u = 408 mol .
Pb
RT
l
1. P1 =
11 : a = 0,923J.m3 .mol−2 ; b = 8, 20.10−5 m3 .mol−1 ; U m ,40 = 55, 75 kJ.mol−1 et T = 779K (1%), modèle satisfaisant.
considéré comme un gaz parfait, sous P0 et T0 .
Un opérateur déplace lentement le piston d’une distance a , et le
maintient dans cette position. La température est maintenue
constante, égale à T0 .
. c. ∆V = −χT V ( P '− P) : ∆V = −4 cm3 . d. P ' = P +
P0V + pv
P V + pv
PV + pv
. 2. P2 = 1
. 3. Pn +1 = n
, P∞ = p .
V +v
V +v
V +v
m0 RT0
m0 RT1
V '−V1
10 : 1. V0 =
= 23 % .
= 1,80 dm3 . 2. V1 =
= 3,90 dm3 . 3. α = 1
V1
M (Br2 ) P0
M ( Br2 ) P0
un gaz parfait.
14 : Cylindre.(**)
− χt0 ( P − P0 )
χ
1
1 (V '−V )
; eau = 4, 4.10−5 ; ∆P = −
: ∆Peau = 230bar , ∆Pair = 0, 010bar ;
P
χT
χ air
V
12 : 2. H2 est moins compressible que le GP. 3. U ( H 2 ) = U GP . 4. α =
A
B
P0 ,T0 ,n0
P0 ,T0 ,n0
Si b = 0 , α = αGP =
n
l–a
A
B
PA ,T0 ,n0
PB ,T0 ,n0
i
2007-2008
R
1 RT
, χT =
.
RT + bP
P RT + bP
1
1
; χT = χTGP = .
T
P
n
 V 
 V 
13 : P1, n = P0  0  et P2, n = 2 P0 − P0  0  .
 V0 + V 
 V0 + V 
2alSP0
Pl
l+a
2alP S 14 : 1. PA = P0l et PB = 0 .2. Fop = 2 0 2 i : Fop = 41, 6 N .3. n ' =
: n ' = 0, 013 mol .4. x = 
 a : x = 30 cm .
l −a
(l − a )
( l + a ) RT0
l −a 
(l + a)
TD Thermo 1
4
2005-2006