Variétés, algèbres associatives, homologies et cohomologies usuelles

Introduction à
l’homologie et la cohomologie
avec exemples
Version du 11 décembre 2002
Thierry MASSON
Laboratoire de Physique Théorique1
Université Paris XI, Bâtiment 210
91 405 Orsay Cedex, France
Courriel : [email protected]
LPTHE-Orsay 98/62
1Laboratoire associé au Centre National de la Recherche Scientifique - UMR-8627

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Table des matières
Introduction 5
1 Rappels géométriques et algébriques 7
1.1 Algèbres associatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Généralités sur les algèbres associatives . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Constructions courantes d’algèbres associatives . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Modules................................. 12
1.2 Variétés, formes, fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Géométrie des groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.4 Fibrés et connexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.5 Variétés quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Exemples d’algèbres associatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1 Algèbre de matrices ou d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2 Les algèbres de fonctions et des formes différentielles sur une variété 31
1.3.3 L’algèbre tensorielle d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.4 L’algèbre extérieure sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.5 L’algèbre symétrique sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.6 L’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . 34
1.4 Exemplesdevariétés .............................. 35
1.4.1 Variétés courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.2 Fibrés associées à une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Homologies et cohomologies 41
2.1 Définitions.................................... 41
2.1.1 Homologie d’espaces vectoriels différentiels . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2 Complexes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3 Algèbres différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.4 Algèbres différentielles graduées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.5 Bicomplexes............................... 44
2.2 Propriétésgénérales............................... 45
2.2.1 Suitesexactes.............................. 45
2.2.2 Homotopies ............................... 47
2.2.3 Complexe adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.4 Produit tensoriel de complexes différentiels . . . . . . . . . . . . . . 48

2
2.2.5 Augmentation d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.6 Le lemme « Tic-Tac-Toe » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Homologies, cohomologies et topologie 53
3.1 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Simplexes de RN............................ 53
3.1.2 Complexe simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Complexe singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2 Propriétés de l’homologie singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 L’algèbre différentielle Ω∗(M)..................... 61
3.3.2 Le lemme de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3 La suite de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.4 Couplage à l’homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.5 La formule de Künneth et le polynôme de Poincaré . . . . . . . . . 65
3.4 Variété compacte, orientée et sans bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 Les groupes d’homologie et de cohomologie de plus haut degré . . . 66
3.4.2 Dualité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.3 L’application de Hodge, la codifférentielle et le laplacien . . . . . . 68
3.5 Cohomologies à supports compacts et à décroissance rapide . . . . . . . . . 69
3.5.1 Cohomologie à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.2 Suite de Mayer-Vietoris à support compact . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.3 Cohomologie à décroissance rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.4 Classe de Thom d’un fibré vectoriel réel orienté . . . . . . . . . . . 71
3.6 CohomologiedeČech.............................. 71
3.6.1 Le complexe de Čech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.2 La cohomologie de Čech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6.3 Relation avec la cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.4 Cohomologie de Čech à valeurs dans des faisceaux . . . . . . . . . . 76
3.6.5 Application aux fibrés en droites complexes . . . . . . . . . . . . . 78
4 Homologies, cohomologies et structures algébriques 81
4.1 (Co)homologies d’algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.1 Homologie d’algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.2 Cohomologie d’algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.3 Algèbres de Lie réductives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.4 Extensions d’algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.5 Déformation d’un crochet de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 (Co)homologies de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.1 Homologie de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.2 Cohomologie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.3 Extensions de groupes par un groupe abélien . . . . . . . . . . . . . 89

3
4.2.4 Représentations projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 (Co)homologies de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.1 Homologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.2 Cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.3 Cohomologie de Hochschild à valeurs dans les scalaires . . . . . . . 93
4.3.4 Cohomologie de Hochschild à valeurs dans l’algèbre . . . . . . . . . 93
4.3.5 Déformation d’algèbres associatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.6 Cohomologie cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Calculsdifférentiels............................... 97
4.4.1 L’algèbre TAet le calcul différentiel universel . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2 Calcul différentiel de Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.3 Calcul différentiel basé sur les dérivations . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Cohomologies et actions de groupes 103
5.1 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.1 Opérations de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.2 Connections et courbures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.3 L’algèbre des formes sur un fibré principal . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.4 Les opérations de ALie sur TA,ΩU(A)et C∗(A,A)........ 106
5.1.5 L’opération de gsur Vg∗........................ 108
5.2 L’algèbredeWeil................................ 110
5.2.1 Construction de l’algèbre de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.2 Propriété universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.3 Calcul des cohomologies associées à W(g).............. 112
5.2.4 Transgressions.............................. 114
5.2.5 Le morphisme de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3 Fibrés et classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.1 Fibré universel classifiant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.2 Construction de fibrés classifiants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.3 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.4 Connexions et classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.5 Classes caractéristiques et algèbre de Weil . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.6 La classe d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Cohomologie équivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.1 L’approche topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.2 Le modèle de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4.3 Le modèle de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A Résultats d’homologies et de cohomologies 129
A.1 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.2 Groupes ..................................... 131
A.3 Algèbres associatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132