devoir maison 5 - Collège Eugène Varlin
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Collège Eugène Varlin Mathématiques 3ème DEVOIR MAISON 5 La conjecture de Goldbach 2016/2017 À rendre le : mardi 28 février 2017 La conjecture de Goldbach a été énoncée par le mathématicien russe Christian Goldbach (1690 - 1764) dans une lettre qu’il adressa en 1742 au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) : Tout nombre entier pair supérieur à 4 est la somme de deux nombres premiers. Cet énoncé reste à l’état de conjecture à l’heure actuelle car il n’a toujours pas été démontré. Exercice 1 Introduction au problème : calcul littéral. 1 Justifier que les nombres pairs s’écrivent, en toute généralité : 2 × n où n est un nombre entier. On pourra s’appuyer sur la division euclidienne. La division euclidienne par 2 d’un nombre s’écrit : 2 × n + r où n est le quotient entier et r est le reste de la division euclidienne (0 ≤ r < b). Mais les nombres pairs sont par définition divisibles par 2, cela signifie que le reste de la division euclidienne vaut 0, d’où l’écriture 2 × n + 0 = 2 × n où n est bien un entier. 2 On rappelle que les nombres impairs s’écrivent, en toute généralité : 2 × m + 1 où m est un nombre entier. Démontrer que la somme de deux nombres impairs, notés 2 × q + 1 et 2 × q ′ + 1, est un nombre pair. Calculons la somme de 2 × q + 1 et 2 × q ′ + 1 : (2 × q + 1) + (2 × q ′ + 1) = (2q + 1) + (2q ′ + 1) = 2q + 1 + 2q ′ + 1 ; associativité de l’addition = 2q + 2q ′ + 1 + 1 = 2(q + q ′ ) + 2 ; factorisation par 2 des termes en q et q ′ = 2(q + q ′ ) + 2 × 1 = 2[(q + q ′ ) + 1] ; factorisation encore par 2 D’où (2 × q + 1) + (2 × q ′ + 1) = 2[(q + q ′ ) + 1] qui se s’écrire 2 × Q où Q est un entier. Ainsi, (2 × q + 1) + (2 × q ′ + 1) est bien un nombre pair. 3 Quel est la parité de la majorité des nombres premiers ? Argumenter. Les nombres premiers sont les nombres qui admettent exactement 2 divisieurs : 1 et eux-même ; aussi, 0 (infinité de divisieurs) et 1 (un seul diviseur) ne sont pas premiers. 2 est premier et donc tous ses multiples (les nombres pairs) ne le sont pas. Il ne reste donc que des nombres impairs ; d’où la réponse à la question. 4 Justifier alors pourquoi Goldbach est cohérent avec la question 1.2.. Goldbach est cohérent car les nombres premiers sont (sauf un seul) impairs et on a vu (question 1.2.) que la somme de deux nombres impairs était paire. 1/4 3ème DEVOIR MAISON 5 2016/2017 Exercice 2 Quelques tests. Pour cet exercice, on peut bien sûr utiliser le CRIBLE D’ERATOSTHÈNE étudié en début d’année. Les nombres en rouge sont les nombres premiers inféreiurs à 100. 1 Trouver deux décompositions de Goldbach différentes pour le nombre 24. Il en existe en fait trois : 1ère décomposition : 24 = 5 + 19 2ème décomposition : 24 = 7 + 17 3ème décomposition : 24 = 11 + 13 2 Même question pour 88, mais une seule décomposition suffira. Il en existe quatre : 1ère décomposition : 88 = 5 + 83 3ème décomposition : 88 = 29 + 59 2ème décomposition : 88 = 17 + 71 4ème décomposition : 88 = 41 + 47 Exercice 3 Avec des probabilités. On met dans un sac opaque tous les nombres entiers, de 1 à 100 inclus, inscrits sur des jetons indiscernables au toucher. On considère l’expérience aléatoire qui consiste à piocher successivement des jetons dans le sac, sans remettre le précédent. L’objectif de l’exercice est de trouver la probabilité d’obtenir un duo de nombres premiers, qui pourrait constitué une décomposition de Goldbach. 1 Quelle est la probabilité P(premier) de tirer un nombre premier lors du premier tirage ? Justi25 1 fier. P(premier) = = car il y a dans l’urne au total 100 jetons et 25 portent des numéros premiers. 100 4 2 Les événements “Tirer un nombre premier” et “Tirer un nombre non premier” sont-ils équiprobables ? Justifier. NON, car ils n’ont pas la même probabilité : en effet, P(premier) = 14 et donc P(non premier) = 34 car si un quart des nombres sont premiers, c’est que trois quarts (le reste en fait) des nombres ne le sont pas. 2/4 3ème DEVOIR MAISON 5 2016/2017 3 Modéliser l’expérience aléatoire par un arbre de probabilité. On pourra s’inspirer des questions précédentes pour limiter les issues de chaque tirage. ATTENTION, le tirage est successif et sans remise, d’où des probabilités différentes entre les premier et deuxième tirages pour des événements similaires. 4 Répondre au problème et donner le résultat sous la forme d’un pourcentage arrondi à l’unité. D’après l’arbre précédent, l’issue finale qui satisfait le problème est (premier ; premier) dont la probabilité se calcule en multipliant les probabilités rencontrées sur le chemin : P(premier ; premier) = 25 24 2 × = ≈ 0, 06 100 99 33 D’où en pourcentage : 0, 06 × 100 = 6, c’est-à-dire P(premier ; premier) = 2 33 ≈ 6%. Exercice 4 Répartition grossière des nombres premiers. On considère la fonction P définie par : P ∶ x z→ 1 × x. 9 Cette fonction donne une approximation du nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. On rappelle ce schéma : fonction P : antécédent x z→ image P (x) 1 Premier exemple. 1.1. Calculer l’image de 8 766. 8766 est donc l’antécédent donc on veut calculer l’image : P (8766) = 1 9 × 8766 = 974. 3/4 3ème DEVOIR MAISON 5 2016/2017 1.2. Interpréter le résultat. Cela signifie qu’il y a environ 974 nombres premiers inférieurs ou égaux à 8766. 2 Deuxième exemple. 2.1. Trouver x vérifiant P (x) = 900. On pourra exprimer P (x) sous la forme d’une seule fraction. En suivant l’indication, on a : P (x) = 19 × x = x9 ; d’où x vérifie : x9 = 900 que l’on peut écrire 900 1 . x 900 9×900 Ainsi, avec le produit en croix, 9 = 1 donne x = 1 = 8100. 2.2. Interpréter le résultat. Cela signifie que les 900 premiers nombres premiers sont à peu près inférieurs à 8100. ☀ Bonus Extension : la forme faible de la conjecture. Cet exercice est optionnel, mais toute trace pertinente de recherche sera valorisée lors de l’évaluation. Il existe une ”forme faible“ de la conjecture de Goldbach qui a été démontrée par le mathématicien péruvien Harald Helfgott (1977-) en 2013 : Tout nombre entier impair supérieur à 8 est la somme de trois nombres premiers. Ainsi cet énoncé, plus faible (moins exigeant) que la conjecture n’est plus une conjecture puisqu’il a été démontré. La forme forte de la conjecture est l’énoncé non encore démontré. 1 Calcul littéral. 1.1. Démontrer que la somme de 3 nombres impairs est encore un nombre impair. (2q + 1) + (2q ′ + 1) + (2q ′′ + 1) = 2q + 2q ′ + 2q ′′ + 1 + 1 + 1 = 2(q + q ′ + q ′′ ) + 2 + 1 = 2Q + 2 + 1 ; avec Q = q + q ′ + q ′′ qui est un nombre entier = 2(Q + 1) + 1 = 2Q′ + 1 ; où Q′ = Q + 1 est un nombre entier 1.2. Donner deux décompositions différentes de 29 en une somme de trois nombres premiers. Il en existe sept : 29 = 3 + 3 + 23 29 = 3 + 7 + 19 29 = 3 + 13 + 13 29 = 5 + 5 + 19 29 = 5 + 7 + 17 29 = 5 + 11 + 13 29 = 7 + 11 + 11 2 Probabilités. Dans les conditions de l’expérience aléatoire étudiée à l’Exercice 4, déterminer la probabilité d’obtenir un trio de nombres premiers. En reconstruisant identiquement avec trois épreuves un arbre similaire à celui de l’exercice 4, on obtient le calcul de probabilité suivant : P(premier ; premier ; premier) = 23 25 24 23 × × = ≈ 0, 014 ≈ 1, 4% 100 99 98 1617 4/4
