devoir maison 5 - Collège Eugène Varlin

Collège Eugène Varlin
Mathématiques
3ème
DEVOIR MAISON 5
La conjecture de Goldbach
2016/2017
À rendre le :
mardi 28 février 2017
La conjecture de Goldbach a été énoncée par le mathématicien russe Christian Goldbach (1690 - 1764)
dans une lettre qu’il adressa en 1742 au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) :
Tout nombre entier pair supérieur à 4 est la somme de deux nombres premiers.
Cet énoncé reste à l’état de conjecture à l’heure actuelle car il n’a toujours pas été démontré.
Exercice 1 Introduction au problème : calcul littéral.
1Justier que les nombres pairs s’écrivent, en toute généralité : 2×noù nest un nombre entier.
On pourra s’appuyer sur la division euclidienne.
La division euclidienne par 2d’un nombre s’écrit : 2×n+roù nest le quotient entier et rest le reste
de la division euclidienne (0≤r<b).
Mais les nombres pairs sont par dénition divisibles par 2, cela signie que le reste de la division
euclidienne vaut 0, d’où l’écriture 2×n+0=2×noù nest bien un entier.
2On rappelle que les nombres impairs s’écrivent, en toute généralité : 2×m+1où mest un nombre
entier.
Démontrer que la somme de deux nombres impairs, notés 2×q+1et 2×q′+1, est un nombre pair.
Calculons la somme de 2×q+1et 2×q′+1:
(2×q+1)+(2×q′+1)=(2q+1)+(2q′+1)
=2q+1+2q′+1; associativité de l’addition
=2q+2q′+1+1
=2(q+q′)+2; factorisation par 2 des termes en qet q′
=2(q+q′)+2×1
=2[(q+q′)+1]; factorisation encore par 2
D’où (2×q+1)+(2×q′+1)=2[(q+q′)+1]qui se s’écrire 2×Qoù Qest un entier.
Ainsi, (2×q+1)+(2×q′+1)est bien un nombre pair.
3Quel est la parité de la majorité des nombres premiers ? Argumenter.
Les nombres premiers sont les nombres qui admettent exactement 2 divisieurs : 1et eux-même ; aussi,
0(innité de divisieurs) et 1(un seul diviseur) ne sont pas premiers.
2est premier et donc tous ses multiples (les nombres pairs) ne le sont pas. Il ne reste donc que des
nombres impairs ; d’où la réponse à la question.
4Justier alors pourquoi Goldbach est cohérent avec la question 1.2..Goldbach est cohérent car les
nombres premiers sont (sauf un seul) impairs et on a vu (question 1.2.) que la somme de deux nombres
impairs était paire.
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Exercice 2 Quelques tests.
Pour cet exercice, on peut bien sûr utiliser le CRIBLE D’ERATOSTHÈNE étudié en début d’année. Les
nombres en rouge sont les nombres premiers inféreiurs à 100.
1Trouver deux décompositions de Goldbach diérentes pour le nombre 24.Il en existe en fait trois :
1ère décomposition :
24 =5+19
2ème décomposition :
24 =7+17
3ème décomposition :
24 =11 +13
2Même question pour 88, mais une seule décomposition sura. Il en existe quatre :
1ère décomposition : 88 =5+83
2ème décomposition : 88 =17 +71
3ème décomposition : 88 =29 +59
4ème décomposition : 88 =41 +47
Exercice 3 Avec des probabilités.
On met dans un sac opaque tous les nombres entiers, de 1 à 100 inclus, inscrits sur des jetons indiscer-
nables au toucher.
On considère l’expérience aléatoire qui consiste à piocher successivement des jetons dans le sac, sans
remettre le précédent.
L’objectif de l’exercice est de trouver la probabilité d’obtenir un duo de nombres premiers, qui pourrait
constitué une décomposition de Goldbach.
1Quelle est la probabilité P(premier)de tirer un nombre premier lors du premier tirage ? Justi-
er. P(premier)=25
100 =1 4car il y a dans l’urne au total 100 jetons et 25 portent des numéros premiers.
2Les événements “Tirer un nombre premier” et “Tirer un nombre non premier” sont-ils équipro-
bables ? Justier. NON, car ils n’ont pas la même probabilité : en eet, P(premier)=1
4et donc
P(non premier)=3
4car si un quart des nombres sont premiers, c’est que trois quarts (le reste en fait)
des nombres ne le sont pas.
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3Modéliser l’expérience aléatoire par un arbre de probabilité.
On pourra s’inspirer des questions précédentes pour limiter les issues de chaque tirage.
ATTENTION, le tirage est successif et sans remise, d’où des probabilités diérentes entre les premier
et deuxième tirages pour des événements similaires.
4Répondre au problème et donner le résultat sous la forme d’un pourcentage arrondi à l’unité.
D’après l’arbre précédent, l’issue nale qui satisfait le problème est (premier ; premier) dont la probabilité
se calcule en multipliant les probabilités rencontrées sur le chemin :
P(premier ;premier)=25
100 ×24 99 =2 33 ≈0,06
D’où en pourcentage : 0,06 ×100 =6, c’est-à-dire P(premier ;premier)=2
33 ≈6%.
Exercice 4 Répartition grossière des nombres premiers.
On considère la fonction Pdénie par : P∶xz→
1
9×x.
Cette fonction donne une approximation du nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.
On rappelle ce schéma : fonction P: antécédent xz→ image P(x)
1 Premier exemple.
1.1. Calculer l’image de 8 766. 8766 est donc l’antécédent donc on veut calculer l’image : P(8766)=
1
9×8766 =974.
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1.2. Interpréter le résultat. Cela signie qu’il y a environ 974 nombres premiers inférieurs ou égaux à
8766.
2 Deuxième exemple.
2.1. Trouver xvériant P(x)=900.On pourra exprimer P(x)sous la forme d’une seule fraction.
En suivant l’indication, on a : P(x)=1
9×x=x 9; d’où xvérie : x 9=900 que l’on peut écrire 900 1.
Ainsi, avec le produit en croix, x
9=900 1donne x=9×900 1=8100.
2.2. Interpréter le résultat. Cela signie que les 900 premiers nombres premiers sont à peu près
inférieurs à 8100.
☀Bonus Extension : la forme faible de la conjecture.
Cet exercice est optionnel, mais toute trace pertinente de recherche sera valorisée lors de l’évaluation.
Il existe une ”forme faible“ de la conjecture de Goldbach qui a été démontrée par le mathématicien
péruvien Harald Helfgott (1977-) en 2013 :
Tout nombre entier impair supérieur à 8 est la somme de trois nombres premiers.
Ainsi cet énoncé, plus faible (moins exigeant) que la conjecture n’est plus une conjecture puisqu’il a été
démontré.
La forme forte de la conjecture est l’énoncé non encore démontré.
1 Calcul littéral.
1.1. Démontrer que la somme de 3 nombres impairs est encore un nombre impair.
(2q+1)+(2q′+1)+(2q′′ +1)=2q+2q′+2q′′ +1+1+1
=2(q+q′+q′′ )+2+1
=2Q+2+1; avec Q=q+q′+q′′ qui est un nombre entier
=2(Q+1)+1
=2Q′+1; où Q′=Q+1est un nombre entier
1.2. Donner deux décompositions diérentes de 29 en une somme de trois nombres premiers. Il en
existe sept :
29 =3+3+23
29 =3+7+19
29 =3+13 +13
29 =5+5+19
29 =5+7+17
29 =5+11 +13
29 =7+11 +11
2 Probabilités.
Dans les conditions de l’expérience aléatoire étudiée à l’Exercice 4, déterminer la probabilité d’obte-
nir un trio de nombres premiers. En reconstruisant identiquement avec trois épreuves un arbre similaire
à celui de l’exercice 4, on obtient le calcul de probabilité suivant :
P(premier ;premier ;premier)=25
100 ×24 99 ×23 98 =23 1617 ≈0,014 ≈1,4%
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