01 - Calculer avec des nombres relatifs

Cours 4ème – Chapitre I
M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der
2014
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CALCULER AVEC DES NOMBRES RELATIFS
I. Rappel sur l’addition et la soustraction
1°) Pour additionner deux nombres de même signe :
Exemples :
 (+3,6) + (+6,4) = + (3,6 + 6,4) = + 10
 (-5,3) + (-6,4) = - (5,3 + 6,4) = - 11,7
2°) Pour additionner deux nombres de signes contraires :
Exemples :
 (+2,6) + (-3,9) = – (3,9 – 2,6) = - 1,3
 (+7,7) + (-6,6) = + (7,7 – 6,6) = +1,1
 (+3,9) + (-2,6) = + (3,9 – 2,6) = +1,3
 (-5,5) + (+1,1) = – (5,5 – 1,1) = – 4,4
Cas particulier :
Exemple : (+7) + (-7) = 0
On écrit le signe com
mun aux deux nombres ;
 On additionne les distances à zéro.
On écrit le signe
du nombre qui a la plus grande
distance à zéro ;
 On soustrait les distances à zéro
Quand on ajoute deux nombres
opposés, on obtient toujours
zéro.

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3°) Soustraction de deux nombres relatifs
Exemple :
(+3) – (+9) = (+3) + (-9) = -6
(+5) – (-9) = (+5) + (+9) = 14
(+6) – (+7) = (+6) + (-7) = -1
(-9) – (-12) = (-9) + (+12) = +3
4°) Simplification d’écritures
Afin de ne pas alourdir les calculs, on effectuera certaines règles :
→ On n’écrira plus le signe + devant le premier terme s’il est positif.
→ On ne mettra plus les parenthèses autour les nombres relatifs en appliquant la règle
des signes.
Remarques :
(-7) + (+2) = (+2) + (-7) donc –7 + 2 = 2 – 7
(-2) + (+7) = (+7) + (-2) donc –2 + 7 = 7 – 2
Règle
:
Pour soustraire un
nombre relatif, on
ajoute son opposé.
Ensuite, j’applique les
règles du paragraphe
précédent
REGLE DES SIGNES
+ et + donne +
– et – donne +
+ et – donne –
– et + donne –
Lorsqu’une
expression ne comporte plus de
parenthèses, on parle d’une
expression simplifié
e
Exemple
s
:
3 + (+5) = 3 + 5.
5 – (–7) = 5 + 7.
(+3) + (–5) = 3 – 5.
(– 5) – (+7) = – 5 – 7.

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5°) Addition et soustraction de plusieurs nombres relatifs
E = (+2) + (+6) + (-5) + (+6) + (-7) + (-8) On transforme l’expression en une SOMME.
E = 2 + 6 – 5 + 6 – 7 – 8
On supprime les parenthèses et le signe + devant pour ne garder que
l’intérieur de la parenthèse.
E = 2 + 6 – 5 + 6 – 7 – 8
E = 2 + 6 + 6 – 5 – 7 – 8
E = 14 – 20
E = – 6
II. Multiplication de deux nombres relatifs
1°) Produit d’un nombre relatif par (-1)
Propriété 1 : Le produit d’un nombre relatif par (-1) est égal à son opposé.
Ex : (-1) × 10 = -10 -10 est l’opposé de 10
(-1) × (- 4) = 4 4 est l’opposé de - 4
2°) Produit de deux nombres relatifs de signes contraires
Propriété 2 : Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre NEGATIF
qui a pour distance à zéro, le produit des distances à zéro.
Ex : 4 × (- 2) = – 4 × 2 = – 8
(- 17) × 5 = – 17 × 5 = – 85
7 × (- 11) = – 7 × 11 = – 77
3°) Produit de deux nombres relatifs de même signe
Propriété 3 : Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre POSITIF qui a
pour distance à zéro, le produit des distances à zéro.
Ex : (- 7) × (- 5) = + 35
On veut calculer l’expression : E = (+2) + (+6) + (-5) – (-6) – (+7) + (-8)
→
O
n regroupe les positifs d’abord puis les négatifs
;
→ on calcule la somme de tous les positifs et celle de
tous les négatifs ;
→ on ajoute ces deux sommes.

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(+ 12) × (+ 8) = + 96
(- 25) × (- 25) = + 625
ATTENTION :
 Il faut être en présence de multiplications.
III. Multiplication de plusieurs nombres relatifs
Lors d’une multiplication de plusieurs nombres relatifs, on regarde en tout premier lieu s’il y
a un 0 parmi ces nombres. Si OUI, le résultat est nul ( égal à 0 )
Ex : (- 3) × (- 5) × 3,14 × (-12) × 13,749 × 0 × (-4,5) × 17,75 = 0
Propriété 4 : Pour multiplier plusieurs nombres relatifs :
On compte le nombre de facteurs négatifs :
 Si ce nombre est pair, alors le produit est positif
 S’il est impair alors le produit est négatif
On multiplie les distances à zéro.
Ex :
 ( – 1 ) × ( + 2 ) × ( – 3 ) × ( + 4 ) × ( + 5 ) = + 120
Il y a 2 facteurs négatifs (pair), donc le produit est positif.
 ( – 5 ) × ( + 2 ) × ( – 8 ) × ( + 2 ) × ( – 5 ) × ( + 2 ) = – 1600
Il y a 3 facteurs négatifs (impair), donc le produit est négatif.
Remarque : Dans un produit, on peut échanger l’ordre des facteurs afin de les regrouper
astucieusement.
(– 25) × (– 37) × (– 4) = – (25 × 37 × 4) = – 100 × 37 = – 3 700
3 facteurs négatifs
IV. Division de deux nombres relatifs
Propriété 5 : Pour diviser deux nombres relatifs (le diviseur étant non nul) :
On détermine le signe du quotient de la même manière que la multiplication de deux
nombres relatifs:
 Si les deux nombres sont de même signe, alors le quotient est positif ;
 Si les deux nombres sont de signes différents, alors le quotient est négatif.
On divise les distances à zéro.

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Ex : (- 8) : (- 2) = + ( 8 : 2 ) = + 4
(- 2) : 4 = – 2 : 4 = – 0,5
2 : 4 ≠ 4 : 2
V. Priorités
Pour calculer une expression, on effectue les calculs dans l’ordre suivant:
1 Effectuer les opérations entre parenthèses
2 Effectuer les multiplications et les divisions
3 Terminer par les additions et les soustractions
Ex :
A = 3 – 3 × 4
A = 3 – 12
A = 9
B = 8 : (- 2) – (- 4) × (- 8)
B = – 4 – 32
B = – 36
C = ( 2 – 5 ) × 7 – 4 ÷ ( –2 )
C = (- 3) × 7 – 4 ÷ ( –2 )
C = – 21 + 2
C = – 19
D = 3 × [2 + (3 + 4) × (- 2)] – 2 × (3 – 4)
D = 3 × [2 + 7 × (- 2)] – 2 × (– 1)
D = 3 × [2 + (- 14)] + 2
D = 3 × (- 12) + 2
D = – 36 + 2
D = – 34