2014 Cours 4ème – Chapitre I CALCULER AVEC DES NOMBRES RELATIFS I. Rappel sur l’addition et la soustraction 1°) Pour additionner deux nombres de même signe : On écrit le signe commun aux deux nombres ; On additionne les distances à zéro. Exemples : (+3,6) + (+6,4) = + (3,6 + 6,4) = + 10 (-5,3) + (-6,4) = - (5,3 + 6,4) = - 11,7 2°) Pour additionner deux nombres de signes contraires : On écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; On soustrait les distances à zéro Exemples : (+2,6) + (-3,9) = – (3,9 – 2,6) = - 1,3 (+7,7) + (-6,6) = + (7,7 – 6,6) = +1,1 (+3,9) + (-2,6) = + (3,9 – 2,6) = +1,3 (-5,5) + (+1,1) = – (5,5 – 1,1) = – 4,4 Cas particulier : Quand on ajoute deux nombres opposés, on obtient toujours zéro. Exemple : (+7) + (-7) = 0 M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der 1 2014 Cours 4ème – Chapitre I 3°) Soustraction de deux nombres relatifs Règle : Pour nombre soustraire un relatif, on ajoute son opposé. Exemple : Ensuite, j’applique les (+3) – (+9) = (+3) + (-9) = -6 règles du paragraphe (+5) – (-9) = (+5) + (+9) = 14 précédent (+6) – (+7) = (+6) + (-7) = -1 (-9) – (-12) = (-9) + (+12) = +3 4°) Simplification d’écritures Afin de ne pas alourdir les calculs, on effectuera certaines règles : → On n’écrira plus le signe + devant le premier terme s’il est positif. → On ne mettra plus les parenthèses autour les nombres relatifs en appliquant la règle des signes. REGLE DES SIGNES Exemples : + et + donne + 3 + (+5) = 3 + 5. – et – donne + 5 – (–7) = 5 + 7. + et – donne – (+3) + (–5) = 3 – 5. – et + donne – (– 5) – (+7) = – 5 – 7. Lorsqu’une expression ne comporte plus de parenthèses, on parle d’une expression simplifiée Remarques : (-7) + (+2) = (+2) + (-7) donc –7 + 2 = 2 – 7 (-2) + (+7) = (+7) + (-2) donc –2 + 7 = 7 – 2 M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der 2 2014 Cours 4ème – Chapitre I 5°) Addition et soustraction de plusieurs nombres relatifs On veut calculer l’expression : E = (+2) + (+6) + (-5) – (-6) – (+7) + (-8) E = (+2) + (+6) + (-5) + (+6) + (-7) + (-8) On transforme l’expression en une SOMME. E=2+6–5+6–7–8 On supprime les parenthèses et le signe + devant pour ne garder que l’intérieur de la parenthèse. E=2+6–5+6–7–8 → On regroupe les positifs d’abord puis les négatifs ; E=2+6+6–5–7–8 → on calcule la somme de tous les positifs et celle de E = 14 – 20 tous les négatifs ; → on ajoute ces deux sommes. E =–6 II. Multiplication de deux nombres relatifs 1°) Produit d’un nombre relatif par (-1) Propriété 1 : Le produit d’un nombre relatif par (-1) est égal à son opposé. Ex : (-1) × 10 = -10 (-1) × (- 4) = 4 -10 est l’opposé de 10 4 est l’opposé de - 4 2°) Produit de deux nombres relatifs de signes contraires Propriété 2 : Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre NEGATIF qui a pour distance à zéro, le produit des distances à zéro. Ex : 4 × (- 2) = – 4 × 2 = – 8 (- 17) × 5 = – 17 × 5 = – 85 7 × (- 11) = – 7 × 11 = – 77 3°) Produit de deux nombres relatifs de même signe Propriété 3 : Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre POSITIF qui a pour distance à zéro, le produit des distances à zéro. Ex : (- 7) × (- 5) = + 35 M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der 3 Cours 4ème – Chapitre I 2014 (+ 12) × (+ 8) = + 96 (- 25) × (- 25) = + 625 ATTENTION : Il faut être en présence de multiplications. III. Multiplication de plusieurs nombres relatifs Lors d’une multiplication de plusieurs nombres relatifs, on regarde en tout premier lieu s’il y a un 0 parmi ces nombres. Si OUI, le résultat est nul ( égal à 0 ) Ex : (- 3) × (- 5) × 3,14 × (-12) × 13,749 × 0 × (-4,5) × 17,75 = 0 Propriété 4 : Pour multiplier plusieurs nombres relatifs : On compte le nombre de facteurs négatifs : Si ce nombre est pair, alors le produit est positif S’il est impair alors le produit est négatif On multiplie les distances à zéro. Ex : ( – 1 ) × ( + 2 ) × ( – 3 ) × ( + 4 ) × ( + 5 ) = + 120 Il y a 2 facteurs négatifs (pair), donc le produit est positif. ( – 5 ) × ( + 2 ) × ( – 8 ) × ( + 2 ) × ( – 5 ) × ( + 2 ) = – 1600 Il y a 3 facteurs négatifs (impair), donc le produit est négatif. Remarque : Dans un produit, on peut échanger l’ordre des facteurs afin de les regrouper astucieusement. (– 25) × (– 37) × (– 4) = – (25 × 37 × 4) = – 100 × 37 = – 3 700 3 facteurs négatifs IV. Division de deux nombres relatifs Propriété 5 : Pour diviser deux nombres relatifs (le diviseur étant non nul) : On détermine le signe du quotient de la même manière que la multiplication de deux nombres relatifs: Si les deux nombres sont de même signe, alors le quotient est positif ; Si les deux nombres sont de signes différents, alors le quotient est négatif. On divise les distances à zéro. M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der 4 Cours 4ème – Chapitre I 2014 Ex : (- 8) : (- 2) = + ( 8 : 2 ) = + 4 (- 2) : 4 = – 2 : 4 = – 0,5 2:4≠4:2 V. Priorités Pour calculer une expression, on effectue les calculs dans l’ordre suivant: 1 Effectuer les opérations entre parenthèses 2 Effectuer les multiplications et les divisions 3 Terminer par les additions et les soustractions Ex : A=3–3×4 A = 3 – 12 A=9 B = 8 : (- 2) – (- 4) × (- 8) B = – 4 – 32 B = – 36 C = ( 2 – 5 ) × 7 – 4 ÷ ( –2 ) C = (- 3) × 7 – 4 ÷ ( –2 ) C = – 21 + 2 C = – 19 D = 3 × [2 + (3 + 4) × (- 2)] – 2 × (3 – 4) D = 3 × [2 + 7 × (- 2)] – 2 × (– 1) D = 3 × [2 + (- 14)] + 2 D = 3 × (- 12) + 2 D = – 36 + 2 D = – 34 M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der 5