corrigé CE vision 5
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corrigé des fiches reproductibles Page 1 Soutien 5.1 1. a) La somme des mesures des angles intérieurs du triangle est 180°. b) L’angle ACB mesure 80°, soit 180 ⫺ 40 ⫺ 60. c) Les angles ABC et ACB sont isométriques car, dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques. Chacun mesure 70°, soit (180 ⫺ 40) ⫼ 2. d) Les angles d’un triangle équilatéral sont isométriques et chacun mesure 60°, soit 180° ⫼ 3. e) La somme des mesures des angles intérieurs d’un quadrilatère est 360°. De plus, les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques. L’angle ADC mesure donc 70° et les angles DAB et BCD mesurent chacun 110°, soit (360° ⫺ 140°) ⫼ 2. f ) La somme des mesures des angles intérieurs d’un quadrilatère est 360°. L’angle D mesure donc 135°, soit 180° ⫺ 90° ⫺ 90° ⫺ 45°. On peut affirmer que les angles non droits d’un trapèze rectangle sont supplémentaires. 5 BC 苶 étant une droite qui coupe ces deux droites parallèles, les angles correspondants alors formés sont isométriques. Ainsi, l’angle BEA mesure 45°. L’angle ABE étant droit, par hypothèse, l’angle BAE mesure donc également 45°, soit 180° ⫺ 90° ⫺ 45°. Le triangle ABE est donc rectangle et isocèle, car il est aussi isoangle. Page 3 2. a) À la condition que les angles soient opposés par le sommet ou, autrement dit, que les points D, B et E soient alignés, de même que les points A, B et C. b) À la condition que les droites d2 et d3 soient parallèles. Page 2 Soutien 5.1 (suite) 3. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : La somme des mesures des angles a et b vaut la mesure de l’angle d. b) La somme de leurs mesures est 180°, soit m ∠ a ⫹ m ∠ b ⫹ m ∠ c ⫽ 180°. c) La somme de leurs mesures est 180°, soit m ∠ c ⫹ m ∠ d ⫽ 180°. d) On peut dire que m ∠ a ⫹ m ∠ b ⫽ m ∠ d ; autrement dit, la mesure d’un angle extérieur d’un triangle est égale à la somme des mesures des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. 4. Tout d’abord, AE 苶 兾兾 DC 苶 (par la construction). A B 32 D 45° E C Vision 5 ■ Corrigé des fiches reproductibles © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée corrigé des fiches reproductibles Pour que les segments ED et BC soient les bases d’un trapèze, ils doivent être parallèles. Pour ce faire, les angles AED et ACB ainsi que les angles ADE et ABC doivent être isométriques, car des angles alternes-internes isométriques sont formés par une sécante qui coupe des droites parallèles. Ainsi, le triangle ABC doit être isocèle, car il est aussi isoangle. Donc, les côtés AB et AC doivent être isométriques. Conjecture : La somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone convexe est 360°. d i e a) Par ACA. ∠ ABD ⬵ ∠ CDB ∠ ADB ⬵ ∠ CBD BD 苶 ⬵ DB 苶 d) Par CCC. BM 苶 ⬵ CM 苶 AM 苶 ⬵ DM 苶 AB 苶 ⬵ DC 苶 (par le théorème de Pythagore). 2. a) Oui, par la condition minimale d’isométrie ACA (les deux angles aigus des triangles sont isométriques). b) Non, les hypothèses sont insuffisantes pour conclure que les triangles sont isométriques. c h g Page 8 Soutien 5.2 (suite) b Peu importe la forme du polygone convexe, chaque angle intérieur est le supplément de l’angle extérieur adjacent. Autrement dit, l’angle extérieur et l’angle intérieur qui ont le même sommet forment un angle plat, c’est-à-dire un angle de 180°. Ainsi, m ∠ a ⫹ m ∠ f ⫽ 180°, m ∠ b ⫹ m ∠ g ⫽ 180°, m ∠ c ⫹ m ∠ h ⫽ 180°, m ∠ d ⫹ m ∠ i ⫽ 180° et m ∠ e ⫹ m ∠ j ⫽ 180°. Pour déterminer la somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone convexe, on doit soustraire la somme des mesures des angles intérieurs de la somme des mesures des angles plats que l’on peut former avec les angles intérieurs et les angles extérieurs de ce polygone. On sait que la somme des angles intérieurs d’un polygone à n côtés est (n ⫺ 2) ⫻ 180° (il s’agit de la somme des mesures des angles intérieurs des triangles que l’on peut former en traçant toutes les diagonales issues d’un même sommet). On peut affirmer qu’un polygone à n côtés contient n angles plats. La somme des mesures des angles plats ainsi formés avec les angles intérieurs et les angles extérieurs de ce polygone est n ⫻ 180°. On obtient donc : Somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone à n côtés ⫽ n ⫻ 180° ⫺ (n ⫺ 2) ⫻ 180° ⫽ [n ⫺ (n ⫺ 2)] ⫻ 180° ⫽ 2 ⫻ 180° ⫽ 360° 34 1. a) Par CAC. AB 苶 ⬵ EB 苶 CB 苶 ⬵ DB 苶 ∠ ABC ⬵ ∠ EBD c) Par CCC. AD 苶 ⬵ AB 苶 CD 苶 ⬵ CB 苶 AC 苶 ⬵ AC 苶 j f a Page 7 Soutien 5.2 Page 6 Enrichissement 5.1 5 Vision 5 ■ Corrigé des fiches reproductibles 3. a) AB BC AC 苶 : CD 苶 苶 : DA 苶 苶 : CA 苶 b) Parce que les côtés homologues de triangles isométriques sont isométriques. 4. a) Par CCC. Car AE 苶 ⬵ CE 苶 et AB 苶 ⬵ CD 苶 par hypothèse. Par le théorème de Pythagore, on a : m BE 苶 ⫽ 兹(m AB 苶)2 ⫺ (m AE 苶)2 ⫽ 苶)2 ⫺ (m CE 苶)2 ⫽ m DE 苶 兹(m CD b) Parce que les angles homologues de triangles isométriques sont isométriques. c) Oui, car ∠ A et ∠ C sont des angles alternesinternes isométriques relativement aux droites AB et CD. 5. Δ ABD ⬵ Δ CBD par la condition minimale d’isométrie CAC. En effet : 1. AB 苶 ⬵ CB 苶, par hypothèse ; 2. ∠ ABD ⬵ ∠ CBD, car BD 苶 est la bissectrice de l’angle ABC ; 3. BD 苶 ⬵ BD 苶, car tout segment est isométrique à lui-même. Page 9 Consolidation 5.2 1. Hypothèses : • AD 苶 ⊥ BC 苶 • Le point D est le point milieu de BC 苶. Conclusion : AB 苶 ⬵ AC 苶 B Δ ABD ⬵ Δ ACD par la condition minimale d’isométrie CAC. En effet : A D C © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée 5 corrigé des fiches reproductibles Par le théorème de Pythagore, on a : m AB 苶 ⫽ 兹(m BE 苶 )2 ⫹ (m AE 苶 )2 ⫽ 61 兹苶 冑冢 兹苶 冣 ⫹ 2 ⫽ 3 5 2 2 2 ⬇ 3,9 Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. Le périmètre est donc 2 冢 冣 de 2 ⫻ 7 ⫹ 兹苶 ⫽ 14 ⫹ 兹苶 61 ⬇ 21,8. 2 61 Page 12 Enrichissement 5.2 A 1. a) Hypothèses : • BE 苶 ⬵ CD 苶 • CD ⊥ AB 苶 苶 • BE 苶 ⊥ AC 苶 Conclusion : Δ ABC est isocèle D E Δ ACD ⬵ Δ ABE, car ce sont deux triangles rectangles B C ayant un angle aigu et des côtés homologues isométriques, soit l’angle A, qui est commun aux deux triangles, et les côtés CD et BE, qui sont isométriques par hypothèse. AC 苶 ⬵ AB 苶, car les côtés homologues de triangles isométriques sont isométriques. b) Soit A, l’aire du triangle. On peut exprimer l’aire de deux façons. m AB 苶 ⫻ m CD 苶 m AC 苶 ⫻ m BE 苶 A⫽ et A ⫽ 2 2 Donc m AB 苶 ⫻ m CD 苶 ⫽ m AC 苶 ⫻ m BE 苶. Cette équation se réduit à m AB 苶 ⫽ m AC 苶 puisque BE 苶 ⬵ CD 苶 par hypothèse. Le Δ ABC est donc isocèle, car il a deux côtés congrus. 2. Il suffit de démontrer A D que les diagonales se coupent en leur milieu. E Sachant que les côtés opposés d’un parallélogramme sont B C isométriques, on peut affirmer que les triangles ABE et CDE sont isométriques par la condition minimale d’isométrie ACA. En effet : 1. ∠ ABE ⬵ ∠ CDE, car ce sont des angles alternes-internes relativement aux parallèles AB et CD et à la sécante BD ; 2. ∠ BAE ⬵ ∠ DCE, car ce sont des angles alternes-internes relativement aux parallèles AB et CD et à la sécante AC ; 3. AB 苶 ⬵ CD 苶, car ce sont des côtés opposés du parallélogramme. Ces triangles étant isométriques, leurs côtés homologues le sont également. On a donc deux points AE 苶 et BE 苶 ⬵ DE 苶. 苶 ⬵ CE 36 Vision 5 ■ Corrigé des fiches reproductibles En d’autres mots, le point E est le point milieu des deux diagonales. Les triangles ABE et ADE ont la même hauteur issue du sommet A, et leurs bases BE et DE sont isométriques. Par conséquent, ces deux triangles ont la même aire. Il en est de même des triangles ABE et BCE (la même hauteur issue du sommet B et leurs bases AE et CE sont isométriques) ainsi que des triangles BCE et CDE (la même hauteur issue du sommet C et leurs bases BE et DE sont isométriques). Page 13 Soutien 5.3 1. a) Δ AED ⬃ Δ CEB par le cas de similitude des triangles AA (m ∠ AED ⫽ m ∠ CEB et m ∠ DAE ⫽ m ∠ BCE). b) Δ ABC ⬃ Δ DBE par le cas de similitude des triangles CAC 苶 m EB 苶 ⫽ . 冢m ∠ ABC ⫽ m ∠ DBE et mm DB AB 苶 m CB 苶冣 c) Δ ABC ~ Δ DEF par le cas de similitude des triangles CCC DF 苶 m AB 苶 m BC 苶 ⫽ ⫽ . 冢 mm AC 苶 m DE 苶 m EF 苶冣 Page 14 Soutien 5.3 (suite) A 2. m CE 苶 ⫽ 3,125 unités. m DE 苶 ⫽ 1,875 unité. Le périmètre du triangle 3 DEC est de 7,5 unités. B 2,5 D 2,5 C E 4 3. Hypothèse : AN 苶 兾兾 BC 苶 Conclusion : m NQ 苶 m MQ 苶 ⫽ m AQ 苶 m CQ 苶 AFFIRMATION JUSTIFICATION 1. ∠ AQN ⬵ ∠ CQM 1. Angle commun. 2. ∠ NAQ ⬵ ∠ MCQ 2. Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles correspondants sont isométriques. 3. Δ ANQ ⬃ Δ CMQ 3. Par AAA. 苶 m AQ 苶 4. m NQ m苶 MQ ⫽ m CQ 苶 4. Le rapport des mesures des côtés homologues de deux triangles semblables est constant. Page 15 Soutien 5.3 (suite) 4. a) ⬇ 5,4 cm b) ⬇ 3,5 cm © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée corrigé des fiches reproductibles 5. En doublant les dimensions de leurs côtés. 5 Page 19 Enrichissement 5.3 a) La situation peut être représentée par le développement du cube suivant. 10 cm Page 16 Consolidation 5.3 A 1. a) La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 180°. b) Lorsqu’une droite coupe deux droites parallèles, les angles correspondants sont isométriques. b) ⬇ 4,13 cm c) 3,6 cm Page 17 Consolidation 5.3 (suite) Conclusion : Δ ABC ⬃ Δ FED AFFIRMATION JUSTIFICATION 1. ∠ FDE ⬵ ∠ ABC 1. Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques. 1 2 1 2 1 1 2. m ED 苶 ⬵ m DC 苶 ⬵ m AB 苶 2. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. 3. m DF 苶 ⬵ 2 m DA 苶 ⬵ 2 m BC 苶 3. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. 4. Δ ABC ⬃ Δ FED 4. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). 4. La largeur de la rivière est de 108 m. 5. La hauteur de la tour est environ de 16,32 m. 6. La hauteur de la falaise est de 36 m. © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée 10 cm G 10 cm H 10 cm D La fourmi est plus près du point E lorsqu’elle se trouve au point C. En effet, les triangles AFB et AGD sont semblables par le cas de similitude des triangles AA (m ∠ AFB ⫽ m ∠ AGD ⫽ 90° et m ∠ ABF ⫽ m ∠ ADG, car ce sont des angles correspondants isométriques). On peut donc établir la proportion suivante : m AF 苶 ⫽ m FB 苶 m GD 苶 , d’où m FB 苶 ⫽ 7,5. Par conséquent, le point B est situé à 2,5 cm du point E. D’autre part, les triangles AFB et CEB sont semblables par le cas de similitude des triangles AA (m ∠ AFB ⫽ m ∠ CEB ⫽ 90° et m ∠ ABF ⫽ m ∠ CBE, car ce sont des angles opposés par le sommet). On peut donc établir la proportion suivante : m AF 苶 m CE 苶 ⫽ m FB 苶 m EB 苶 , d’où m CE 苶 ⫽ 2. Ainsi, le point C est situé plus près du point E que le point B. b) La fourmi a parcouru 12,8 cm dans la dernière partie de son parcours. Les triangles BEC et BID sont semblables par le cas de similitude des triangles AA (m ∠ BEC ⫽ m ∠ BID ⫽ 90° et m ∠ CBE ⫽ m ∠ DBI, car il s’agit d’angles communs aux deux triangles). On peut donc établir la proportion suivante. m BE 苶 Page 18 I C m BI 苶 Consolidation 5.3 (suite) 10 cm B 10 cm m AG 苶 3. Hypothèses : • Le polygone ABCD est un parallélogramme. • DF 苶 ⬵ FA 苶 • ED 苶 ⬵ EC 苶 E F c) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). 2. a) ⬇ 6,82 cm 10 cm 6 cm ⫽ m BC 苶 m BD 苶 À l’aide de la relation de Pythagore, on peut déterminer la mesure du segment BC, soit environ 3,2 cm. De la proportion précédente, on peut déduire la mesure du segment BD, soit 16 cm. Ainsi, la distance du point C au point D est environ de 12,8 cm, soit 16 cm ⫺ 3,2 cm. Vision 5 ■ Corrigé des fiches reproductibles 37 5 corrigé des fiches reproductibles Page 20 Soutien 5.4 1. a) a) 10 cm 2) Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes (relation de Pythagore). b) 6,72 cm Dans un triangle rectangle, le produit des mesures de l’hypoténuse par la hauteur correspondante égale le produit des mesures des côtés de l’angle droit. 1) 2) c) 4 cm Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière. 1) 2) d) 6 cm Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. 1) 2) 2. a) 7,2 cm b) 8 cm c) 27 cm Page 23 Consolidation 5.4 (suite) Sommet 4. a) Béatrice 1,5 m 54° 36° 245 m Sol 125 m b) La hauteur de la tour est de 176,5 m. c) Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. 5. a) Le support central BF mesure 1,46 m. b) Le renfort DF mesure environ 1,13 m. c) Le renfort EF mesure environ 0,94 m. Page 24 Consolidation 5.4 (suite) 6. a) La distance est de 1,96 cm. b) La longueur totale des quatre pliures est de 61,44 cm. 7. Le périmètre du 2e lot est de 267 m et celui du 3e lot, de 318 m. d) 11,08 cm Page 25 Enrichissement 5.4 Page 21 Soutien 5.4 (suite) b) 12 cm c) 7,2 cm d) 9,6 cm B E C G Hypothèses : • Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. • Le point E est le milieu de BC 苶. 2 5. x ⫽ 26 3 ; y ⫽ 57,6 Page 22 Consolidation 5.4 1. a) 53 cm b) 12 cm c) 8 cm d) 14 cm Mesure des segments (en cm) m AB 苶 m BC 苶 m苶 AC m BD 苶 m AD 苶 m CD 苶 18 24 30 14,4 10,8 19,2 15 20 25 12 12 16 20 9,6 9 16 7,2 12,8 3. Le centre du trou doit être percé à 5,36 cm de la base du nichoir. 38 D F 4. 兹苶 48 cm ou ⬇ 6,93 cm. 2. 1. Plusieurs démonstrations possibles. Exemple : A 3. a) 20 cm Tina Vision 5 ■ Corrigé des fiches reproductibles Ce qu’il faut démontrer : m BF 苶 m BD 苶 1 ⫽ 3. On trace une parallèle au segment AE qui passe par le point D. Cette parallèle coupe le prolongement du segment BC au point G. 1. Le quadrilatère AEGD est un parallélogramme, car ses côtés opposés sont parallèles. 2. m EG 苶 ⫽ m AD 苶 ⫽ m BC 苶, car les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. 3. m BC 苶 ⫽ 2 ⫻ m BE 苶, car le point E est le milieu par hypothèse. de BC 苶, 4. Par les affirmations 3 et 4, on a m EG 苶 ⫽ 2 ⫻ m BE 苶, ce qui permet d’affirmer que m BG 苶 ⫽ m BE 苶 ⫽ m BE 苶 ⫹ m EG 苶⫹2⫻ m BE 苶 ⫽ 3 ⫻ m BE 苶. © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée 5 corrigé du supplément Page 1 Renforcement 5.1 1. a) Une définition. c) Un axiome. e) Un axiome. b) Une conjecture. d) Une définition. f ) Une conjecture. 2. a) Faux. Un losange respecte 12 cm cette condition, mais n’est pas un carré. Exemple : 4. Énoncé : La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 180° Hypothèse : AB DF Conclusion : m ∠ 1 m ∠ 2 m ∠ 3 180° 12 cm 12 cm Page 3 Renforcement 5.1 (suite) AFFIRMATION JUSTIFICATION 17 Les angles alternes-internes formés par une droite sécante entre deux parallèles sont isométriques. 24 Les angles alternes-internes formés par une droite sécante entre deux parallèles sont isométriques.. Les angles 3, 4 et 7 forment un angle plat. Les points D, C et F sont alignés. m3m4 m 7 180° La mesure d’un angle plat est de 180°. Donc m 1 m 2 m 3 180° Par la substitution de mesures égales. 12 cm b) Vrai. La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 180°. Puisque le triangle a un angle droit, la somme des mesures des deux autres angles est 90° et, par conséquent, la mesure de chacun de ces angles est inférieure à 90°. De plus, on sait que dans un triangle, au plus grand angle s’oppose le plus grand côté. Le côté opposé à l’angle droit est donc toujours le plus grand. c) Faux Deux droites parallèles superposées se touchent toujours. d) Vrai. On trace une perpendiculaire d à partir du point milieu M d’un des côtés du triangle équilatéral. Puisque m BM m CM, A m BA m CA et que les angles ABM et ACM sont égaux, alors la droite d est un axe de symétrie du triangle équilatéral et passe par le point A. Il s’agit donc de la hauteur du triangle. C B On peut démontrer dans la figure que ∠ 2 ∠ 4, car ces angles sont des angles alternes-internes formés entre les parallèles AB et DF par le côté CB du triangle. De la même façon, on peut démontrer que ∠ 1 ∠ 7. Les points D, C et F étant alignés, les angles 3, 4 et 7 forment un angle plat dont la mesure est de 180°. Puisque m ∠ 1 m ∠ 7 et que m ∠ 2 m ∠ 4, on trouve par la substitution de mesures égales que la somme des mesures des angles dans un triangle est 180°. M Page 4 Renforcement 5.1 (suite) Page 2 Renforcement 5.1 (suite) 3. a) D E C O N T R c) M O d) D E F I N S T e) R E C I P R A f) T I g) C O N - I E X E M P L T I O N O Q U E E b) A X I O M H E O R E M E 5. a) Diagonale : droite reliant deux sommets non consécutifs d’un polygone. b) Hauteur d’un triangle : droite issue du sommet d’un triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé. c) Apothème : droite reliant les milieux des côtés d’un polygone à son centre. 6. Énoncé : dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30° est égale à la moitié de la mesure de l’hypoténuse. Hypothèses : • m ∠ ACB 30° A • m ∠ ABC 90° 1 Conclusion : m AB 2 m AC B N J 30° E C T U R E © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée A' Corrigé du supplément ■ Vision 5 37 C corrigé du supplément La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle étant 180, on peut en déduire que la mesure de l’angle CAB est de 60°, soit 180° 90° 30°. En traçant l’image du triangle ABC par une réflexion d’axe BC, on obtient le triangle ACA'. Puisque la réflexion conserve la mesure des côtés et la mesure des angles, on en en déduit que l’angle A' vaut 60° et que l’angle A'CB vaut 30°. L’angle ACA' étant la somme des mesures des angles ACB et A'CB, sa mesure est de 60°. Les trois angles du triangle ACA' étant isométriques, ce triangle est équiangle et, par le fait même, équilatéral. Puisque m AB m BA et que m AB m BA' m AC on peut conclure que 1 2 m AB m AC ou, encore, que m AB 2 m AC . 5 5. a) AFFIRMATION CD Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. BC DA Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. AC CA Un segment est isométrique à lui-même. Δ ABC Δ ACD Page 5 AB 3. D , par la condition d’isométrie ACA. 4. a) ABD CDB b) Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont isométriques. c) AB BC d) Un côté commun. e) Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). 38 Vision 5 ■ Corrigé du supplément CD B BC JUSTIFICATION Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. D Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques. DA Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. Δ ABC Δ ACD Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : AFFIRMATION 2. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). Page 6 Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : 1. a) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). b) Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). c) Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). d) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). Renforcement 5.2 (suite) JUSTIFICATION AB AFFIRMATION Renforcement 5.2 Page 7 Renforcement 5.2 (suite) BAC AC ACD CA ACB JUSTIFICATION Lorsqu’une droite coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes sont isométriques. Un segment est isométrique à lui-même. CAD Δ ABC Δ ACD Lorsqu’une droite coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes sont isométriques. Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). 6. AFFIRMATION JUSTIFICATION BE CE Le point E est le point milieu du segment BC (par hypothèse). BC Lorsqu’une droite coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes sont isométriques. EB EC Les angles opposés par leur sommet sont isométriques. Δ ABE Δ CDE Par la condition minimale d’isométrie ACA. © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée corrigé du supplément 5 Page 7 Renforcement 5.2 (suite) 5. a) AFFIRMATION JUSTIFICATION AB CD Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. BC DA Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. AC CA Un segment est isométrique à lui-même. Δ ABC Δ ACD Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : AFFIRMATION Renforcement 5.2 Page 5 AB 1. a) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). b) Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). c) Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). d) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). B BC 3. D Page 6 , par la condition d’isométrie ACA. 4. a) ABD CDB b) Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont isométriques. c) AB BC d) Un côté commun. e) Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). 38 Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. D Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques. DA Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. Δ ABC Δ ACD Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : AFFIRMATION 2. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). Renforcement 5.2 (suite) CD JUSTIFICATION BAC AC ACD CA ACB JUSTIFICATION Lorsqu’une droite coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes sont isométriques. Un segment est isométrique à lui-même. CAD Δ ABC Δ ACD Lorsqu’une droite coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes sont isométriques. Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). 6. AFFIRMATION JUSTIFICATION BE CE Le point E est le point milieu du segment BC (par hypothèse). BC Lorsqu’une droite coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes sont isométriques. EB EC Les angles opposés par leur sommet sont isométriques. Δ ABE Δ CDE Par la condition minimale d’isométrie ACA. 5 corrigé du supplément Page 8 Renforcement 5.2 (suite) 7. 8. AFFIRMATION JUSTIFICATION XZ XY Triangle isocèle (par hypothèse). ZO YO Tous les rayons d’un cercle sont isométriques. XO XO Un même côté. XYO XZO Par la condition minimale d’isométrie ACA. AFFIRMATION JUSTIFICATION m ACB 60° Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. ACB EDF Lorsqu’une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-externes sont isométriques. 4. a) b) c) d) m AE m EB Par hypothèse, m AE m EB . Un angle est isométrique à lui-même. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). 5. Les triangles ABC et ADE sont semblables par la condition AA. En effet, ∠ B et ∠ D valent 90° et l’angle A est commun aux deux triangles. Ainsi, si ces triangles sont semblables, alors tous leurs côtés homologues sont proportionnels. Ainsi, m CB m BA m DE m DA 22 3,3 x , où x est le diamètre du cercle. 17,6 x m EFD 30° Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. m AB 32,91 cm Par la relation de Pythagore. m AB m EF Par hypothèse. DEF CAB Par hypothèse. Renforcement 5.3 (suite) ABC EFD Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). 6. a) AD // BC Page 9 Renforcement 5.3 1. a) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). b) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). c) Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC). d) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). 2. a) 31° b) 2,04 cm 22x 17,6(3,3 x), d’où x 13,2. Le cercle a un diamètre de 13,2 m. b) m AE m EC Page 12 m DE m EB c) Deux angles opposés par le sommet sont isométriques. d) Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques. e) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables. f ) Les angles homologues des figures planes ou des solides semblables sont isométriques et les mesures des côtés homologues sont proportionnelles. 7. La hauteur de la tour est environ de 17,9 m. En supposant que tous les rayons du soleil sont parallèles entre eux et en négligeant la courbure de la surface de la Terre, on arrive à la représentation ci-dessous comprenant deux triangles. Rayons du soleil Page 10 Renforcement 5.3 (suite) 3. a) Triangles semblables b) Les triangles ne sont semblables. c) Triangles semblables d) Les triangles ne sont Page 11 Renforcement 5.3 (suite) par CAC. pas nécessairement par AA. pas semblables. © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Rayons du soleil Tour Ingénieure Ombre de l’ingénieure Corrigé du supplément ■ Ombre de la tour Vision 5 39 5 corrigé du supplément Page 9 Renforcement 5.3 1. a) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). b) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). c) Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC). d) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). 2. a) 31° 3. a) Triangles semblables b) Les triangles ne sont semblables. c) Triangles semblables d) Les triangles ne sont Page 10 par CAC. pas nécessairement par AA. pas semblables. 4. a) b) c) d) m AE m EB Par hypothèse, m AE m EB . Un angle est isométrique à lui-même. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). 5. Les triangles ABC et ADE sont semblables par la condition AA. En effet, ∠ B et ∠ D valent 90° et l’angle A est commun aux deux triangles. Ainsi, si ces triangles sont semblables, alors tous leurs côtés homologues sont proportionnels. Ainsi, m CB m BA m DE m DA 22 3,3 x , où x est le diamètre du cercle. 17,6 x b) 2,04 cm Renforcement 5.3 (suite) Page 11 Renforcement 5.3 (suite) 22x 17,6(3,3 x), d’où x 13,2. Le cercle a un diamètre de 13,2 m. Page 12 Renforcement 5.3 (suite) 6. a) AD // BC b) m AE m EC m DE m EB c) Deux angles opposés par le sommet sont isométriques. d) Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques. e) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables. f ) Les angles homologues des figures planes ou des solides semblables sont isométriques et les mesures des côtés homologues sont proportionnelles. 7. La hauteur de la tour est environ de 17,9 m. En supposant que tous les rayons du soleil sont parallèles entre eux et en négligeant la courbure de la surface de la Terre, on arrive à la représentation ci-dessous comprenant deux triangles. Rayons du soleil Rayons du soleil Tour Ingénieure Ombre de l’ingénieure © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Corrigé du supplément ■ Ombre de la tour Vision 5 39 corrigé du supplément On peut conclure que les deux triangles représentés sont semblables par la condition minimale AA. En effet, les mesures des angles au sol de la tour et de l’ingénieure sont de 90°. De plus, les angles formés par l’ombre et les rayons du soleil sont isométriques, car ce sont des angles correspondants formés par les parallèles et la sécante (le sol). Ainsi, si ces triangles sont semblables, alors les côtés homologues sont proportionnels. ombre de la tour hauteur de la tour Donc : ombre de l’ingénieure hauteur de l’ingénieure 12,80 x 1,75 1,25 x 17,92 Page 13 Renforcement 5.4 1. a) b) c) d) e) f) a b a a a a g) a 26, h 9,23, d 3,85, e 22,15 80 , c 20 , d 8, h 4 24, b 432 , e 6, h 108 5, b 20 , c 5, e 1 26, b 364 , c 312 , h 168 6, b 18 , c 18 , h 3 40 3 ,c 20 3 , d 300 , e 10 3 Ainsi, en utilisant les relations métriques dans les triangles rectangles, on pose que m CD 2 m AD m BD . Donc (m CD )2 4 20 (m CD )2 80 cm 7. 7,2 unités. Page 17 Révision 1. a) Fausse. La médiane issue d’un sommet d’un triangle isocèle partage ce triangle en deux triangles équivalents, mais ces triangles ne sont pas nécessairement isométriques. Contre-exemple : b) Fausse. Les angles de ces triangles ne sont pas nécessairement isométriques, et leurs côtés ne sont pas nécessairement de longueurs proportionnelles. Contre-exemple : h) b 78 , c 91 , e 7, h 42 Renforcement 5.4 (suite) 5 Page 14 2. La hauteur du mât du voilier est 16,45 m. 3. Le sandwich au fromage orange mesure 9 cm sur 12 cm. Le sandwich au fromage blanc mesure 12 cm sur 16 cm. Renforcement 5.4 (suite) Page 15 4. Par le théorème de Thalès, m CD 64,8 cm et m EF 30 cm. 5. Le périmètre du triangle ABC est environ de 47,5 cm. Renforcement 5.4 (suite) Page 16 6. Le segment AO est le rayon du cercle, il fait donc 12 cm. Le segment OD est le double du segment AD donc le segment AD 4 cm, le segment OD 8 cm et le segment BD 20 cm. 40 Vision 5 ■ Corrigé du supplément 2. a) Les triangles sont semblables. Deux triangles qui ont des angles isométriques compris entre deux côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). b) Les triangles sont isométriques. Deux triangles qui ont des côtés isométriques compris entre deux angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). c) Rien ne permet d’affirmer que les triangles sont semblables ou isométriques. d) Les triangles sont semblables. Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC). © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée corrigé du supplément On peut conclure que les deux triangles représentés sont semblables par la condition minimale AA. En effet, les mesures des angles au sol de la tour et de l’ingénieure sont de 90°. De plus, les angles formés par l’ombre et les rayons du soleil sont isométriques, car ce sont des angles correspondants formés par les parallèles et la sécante (le sol). Ainsi, si ces triangles sont semblables, alors les côtés homologues sont proportionnels. hauteur de la tour ombre de la tour Donc : hauteur de l’ingénieure 12,80 1,75 1,25 5 x Page 13 Renforcement 5.4 1. a) b) c) d) e) f) a 26, h 9,23, d 3,85, e 22,15 b 80 , c 20 , d 8, h 4 a 24, b 432 , e 6, h 108 a 5, b 20 , c 5, e 1 a 26, b 364 , c 312 , h 168 a 6, b 18 , c 18 , h 3 g) a 40 3 ,c 20 3 , d 300 , e 10 3 h) b 78 , c 91 , e 7, h 42 x 17,92 Page 14 Renforcement 5.4 (suite) 2. La hauteur du mât du voilier est 16,45 m. 3. Le sandwich au fromage orange mesure 9 cm sur 12 cm. Le sandwich au fromage blanc mesure 12 cm sur 16 cm. Page 15 Renforcement 5.4 (suite) 4. Par le théorème de Thalès, m CD 64,8 cm et m EF 30 cm. 5. Le périmètre du triangle ABC est environ de 47,5 cm. Page 16 Renforcement 5.4 (suite) 6. Le segment AO est le rayon du cercle, il fait donc 12 cm. Le segment OD est le double du segment AD donc le segment AD 4 cm, le segment OD 8 cm et le segment BD 20 cm. Ainsi, en utilisant les relations métriques dans les triangles rectangles, on pose que m CD 2 m AD m BD . Donc (m CD )2 4 20 (m CD )2 80 cm 7. 7,2 unités. ombre de l’ingénieure 40 Vision 5 ■ Corrigé du supplément © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Section 5.1 Page 1 Section 5.1 (suite) Page 3 1. a) Hypothèses : 1) ABC et CBD sont adjacents. 2) Les demi-droites BA et BD sont en ligne droite. b) Conclusion : m ABC m CBD 180°. 2. a) Hypothèses : AOB et COD sont opposés par le sommet. Conclusion : AOB COD. b) Hypothèses : DEF est isocèle ; DE FE. Conclusion : D F. c) Hypothèses : Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Conclusion : BC AD et AB DC. 3. Ils sont supplémentaires. Section 5.1 (suite) 4. Page 4 m 6 38°. Les angles opposés par le sommet sont congrus. m 7 142°. Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires. m 8 142°. Les angles opposés par le sommet sont congrus. m 4 38°. Les angles alternes-internes formés par une sécante et des parallèles sont congrus. m 3 90°. Les angles opposés par le sommet sont congrus. m 5 52°. Les angles adjacents dont les côtés extérieurs forment un angle droit sont complémentaires. m 2 52°. Les angles opposés par le sommet sont congrus. m 1 38°. Les angles opposés par le sommet sont congrus. 5. Hypothèses : AB // CD et GE // HF . Conclusion : 1 4. Justifications : 1° Les angles correspondants formés d’une sécante à deux parallèles sont congrus. 2° Les angles opposés par le sommet sont congrus. 3° Les angles correspondants formés d’une sécante à deux parallèles sont congrus. TS, 2e année du 2e cycle Des figures isométriques aux figures semblables Section 2.2 Page 6 1. a) m DF 16 m DE 10 m EF 22 b) m BC 3,5 m DF 28 m DE 12 c) m AB 18 m BC 24 m AC 8 m EF 36 2. a 12, b 15 et e 10 3. Hypothèse : m BC 12, m CD 15 et m AB 16 Conclusion : DAC ABC Affirmations 1° 20 2° ACD m AB m AC 3° mBC mCD 16 12 20 15 Justifications 1° ... est égal à la somme des carrés des cathètes. 2° Car les deux angles sont droits. ... est égal au produit des moyens. 3° ... CAC © 2009, Les Éditions CEC • Reproduction autorisée VISION 2 • Corrigé Regards/Réflexions mathématiques 41 TS, 2e année du 2e Des figures isométriques aux figures semblables cycle 4. (Autres réponses possibles.) Hypothèse : CAB EAD Conclusion : ABC ADE Les rapports de similitude sont égaux. m AC 6 2 9 3 m AE CAB EAD car c’est un angle commun aux deux triangles. Les rapports de similitude sont égaux. m AB 4,8 2 m AD 7,2 3 ABC ADE CAC, deux triangles ayant un angle homologues isométriques compris entre deux côtés homologues de longueur proportionnelle sont semblables. 5. 5,33 (5, 3 ) 6. 11,2 7. 8. On utilise le cas de similitude CAC. 9. On utilise le cas de similitude AA et la proportionnalité des mesures des côtés homologues. 10. a) 24 m b) 4 m 11. a) 6,82 cm b)3,66 cm © 2009, Les Éditions CEC • Reproduction autorisée c) 3,46 cm d) 9,28 cm VISION 2 • Corrigé Regards/Réflexions mathématiques 42 TS, 2e année du 2e cycle Des figures isométriques aux figures semblables 12. Hypothèse: AF EF ED DC ABCE est un parallélogramme Conclusion : ABC FED m AB 2 2 m ED 1 Car le point D est le milieu du segment EC et dans un parallélogramme les côtés opposés sont isométriques. E B m BC 2 2 m EF 1 Dans un parallélogramme, les angles non-consécutifs sont congrus. ABC FED Deux triangles ayant un angle homologue isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables. Car le point F est le milieu du segment AE et dans un parallélogramme les côtés opposés sont isométriques. 13. 10,8 m 14. 16,32 m 15. m © 2009, Les Éditions CEC • Reproduction autorisée VISION 2 • Corrigé Regards/Réflexions mathématiques 43
