corrigé CE vision 5

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32
Soutien 5.1
1. a) La somme des mesures des angles intérieurs
du triangle est 180°.
b) L’angle ACB mesure 80°, soit 180 ⫺40 ⫺60.
c) Les angles ABC et ACB sont isométriques car,
dans tout triangle isocèle, les angles opposés
aux côtés isométriques sont isométriques.
Chacun mesure 70°, soit (180 ⫺40) ⫼2.
d) Les angles d’un triangle équilatéral sont
isométriques et chacun mesure 60°,
soit 180° ⫼3.
e) La somme des mesures des angles intérieurs
d’un quadrilatère est 360°. De plus, les angles
opposés d’un parallélogramme sont
isométriques. L’angle ADC mesure donc 70°
et les angles DAB et BCD mesurent chacun
110°, soit (360° ⫺140°) ⫼2.
f) La somme des mesures des angles intérieurs
d’un quadrilatère est 360°. L’angle D mesure
donc 135°, soit 180° ⫺90° ⫺90° ⫺45°.
On peut affirmer que les angles non droits
d’un trapèze rectangle sont supplémentaires.
2. a) À la condition que les angles soient opposés
par le sommet ou, autrement dit, que
les points D, B et E soient alignés, de même
que les points A, B et C.
b) À la condition que les droites d2et d3soient
parallèles.
Soutien 5.1 (suite)
3. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :
La somme des mesures des angles aet bvaut
la mesure de l’angle d.
b) La somme de leurs mesures est 180°,
soit m ∠a⫹m∠b⫹m∠c⫽180°.
c) La somme de leurs mesures est 180°,
soit m ∠c⫹m∠d⫽180°.
d) On peut dire que m ∠a⫹m∠b⫽m∠d;
autrement dit, la mesure d’un angle extérieur
d’un triangle est égale à la somme des mesures
des angles intérieurs qui ne lui sont pas
adjacents.
4. Tout d’abord, AE
苶
兾兾 DC
苶
(par la construction).
BC
AD
45°
E
Page 2
Page 1 BC
苶
étant une droite qui coupe ces deux droites
parallèles, les angles correspondants alors formés
sont isométriques. Ainsi, l’angle BEA mesure 45°.
L’angle ABE étant droit, par hypothèse,
l’angle BAE mesure donc également 45°,
soit 180° ⫺90° ⫺45°.
Le triangle ABE est donc rectangle et isocèle,
car il est aussi isoangle.
Page 3
32
corrigé des fiches reproductibles 5

Vision 5 ■ Corrigé des fiches reproductibles © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
34
Pour que les segments ED et BC soient les bases
d’un trapèze, ils doivent être parallèles. Pour
ce faire, les angles AED et ACB ainsi que les angles
ADE et ABC doivent être isométriques, car des
angles alternes-internes isométriques sont formés
par une sécante qui coupe des droites parallèles.
Ainsi, le triangle ABC doit être isocèle, car il est
aussi isoangle. Donc, les côtés AB et AC doivent
être isométriques.
Enrichissement 5.1
Conjecture : La somme des mesures des angles
extérieurs d’un polygone convexe
est 360°.
Peu importe la forme du polygone convexe, chaque
angle intérieur est le supplément de l’angle extérieur
adjacent. Autrement dit, l’angle extérieur et l’angle
intérieur qui ont le même sommet forment un angle
plat, c’est-à-dire un angle de 180°.
Ainsi, m ∠a⫹m∠f⫽180°, m ∠b⫹m∠g⫽180°,
m∠c⫹m∠h⫽180°, m ∠d⫹m∠i⫽180°
et m ∠e⫹m∠j⫽180°.
Pour déterminer la somme des mesures des angles
extérieurs d’un polygone convexe, on doit soustraire
la somme des mesures des angles intérieurs de
la somme des mesures des angles plats que l’on peut
former avec les angles intérieurs et les angles
extérieurs de ce polygone.
On sait que la somme des angles intérieurs
d’un polygone à ncôtés est (n⫺2)⫻180° (il s’agit
de la somme des mesures des angles intérieurs
des triangles que l’on peut former en traçant toutes
les diagonales issues d’un même sommet).
On peut affirmer qu’un polygone à ncôtés contient
nangles plats. La somme des mesures des angles
plats ainsi formés avec les angles intérieurs et
les angles extérieurs de ce polygone est n⫻180°.
On obtient donc :
Somme des mesures des angles extérieurs d’un
polygone à ncôtés ⫽n⫻180° ⫺(n⫺2) ⫻180°
⫽[n⫺(n⫺2)] ⫻180°
⫽2⫻180°
⫽360°
a
c
e
b
d
g
i
f
h
j
Page 6
Soutien 5.2
1. a) Par CAC. a) Par ACA.
AB
苶⬵EB 苶
∠ABD ⬵∠CDB
CB
苶
⬵DB
苶
∠ADB ⬵∠CBD
∠ABC ⬵∠EBD BD
苶
⬵DB
苶
c) Par CCC. d) Par CCC.
AD
苶
⬵AB
苶BM 苶
⬵CM
苶
CD
苶
⬵CB
苶
AM
苶
⬵DM
苶
AC
苶
⬵AC
苶
AB
苶⬵DC 苶
(par le théorème
de Pythagore).
2. a) Oui, par la condition minimale d’isométrie ACA
(les deux angles aigus des triangles sont
isométriques).
b) Non, les hypothèses sont insuffisantes pour
conclure que les triangles sont isométriques.
Soutien 5.2 (suite)
3. a) AB
苶:CD 苶
BC
苶
:DA
苶
AC
苶
:CA
苶
b) Parce que les côtés homologues de triangles
isométriques sont isométriques.
4. a) Par CCC.
Car AE
苶⬵CE 苶
et AB
苶⬵CD 苶
par hypothèse.
Par le théorème de Pythagore, on a :
m BE
苶⫽(m AB 苶)2⫺(m AE 苶)2⫽
(m CD
苶
)2⫺(m CE
苶
)2⫽m DE
苶
b) Parce que les angles homologues de triangles
isométriques sont isométriques.
c) Oui, car ∠A et ∠C sont des angles alternes-
internes isométriques relativement aux droites
AB et CD.
5. ΔABD ⬵ΔCBD par la condition minimale
d’isométrie CAC. En effet :
1. AB
苶⬵CB 苶
, par hypothèse;
2. ∠ABD ⬵∠CBD, car BD
苶
est la bissectrice
de l’angle ABC;
3. BD
苶
⬵BD
苶
, car tout segment est isométrique
à lui-même.
Consolidation 5.2
1. Hypothèses : • AD
苶
⊥BC
苶
• Le point D est
le point
milieu de BC
苶
.
Conclusion : AB
苶⬵AC 苶
ΔABD ⬵ΔACD par
la condition minimale
d’isométrie CAC. En effet :
Page 9
兹兹
Page 8
Page 7
34
corrigé des fiches reproductibles 5
BC
A
D

Vision 5 ■ Corrigé des fiches reproductibles © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
36
Par le théorème de Pythagore, on a :
m AB
苶⫽
( m BE
苶
)
2⫹
( m AE
苶
)
2⫽冢冣
2⫹22⫽
⬇3,9
Les côtés opposés d’un parallélogramme
sont isométriques. Le périmètre est donc
de 2 ⫻冢7⫹冣⫽14 ⫹
兹 苶
61 ⬇21,8.
Enrichissement 5.2
1. a) Hypothèses : • BE
苶⬵CD 苶
• CD
苶
⊥AB
苶
• BE
苶⊥AC 苶
Conclusion : ΔABC est isocèle
ΔACD ⬵ΔABE, car ce sont
deux triangles rectangles
ayant un angle aigu et
des côtés homologues isométriques,
soit l’angle A, qui est commun aux deux
triangles, et les côtés CD et BE, qui sont
isométriques par hypothèse.
AC
苶
⬵AB
苶, car les côtés homologues de triangles
isométriques sont isométriques.
b) Soit A, l’aire du triangle. On peut exprimer
l’aire de deux façons.
A⫽et A⫽
Donc m AB
苶⫻m CD 苶
⫽m AC
苶
⫻m BE
苶.
Cette équation se réduit à m AB
苶⫽m AC 苶
puisque BE
苶⬵CD 苶
par hypothèse. Le ΔABC est
donc isocèle, car il a deux côtés congrus.
2. Il suffit de démontrer
que les diagonales
se coupent en leur milieu.
Sachant que les côtés
opposés d’un
parallélogramme sont
isométriques, on peut
affirmer que les triangles ABE et CDE sont
isométriques par la condition minimale
d’isométrie ACA. En effet :
1. ∠ABE ⬵∠CDE, car ce sont des angles
alternes-internes relativement aux parallèles AB
et CD et à la sécante BD;
2. ∠BAE ⬵∠DCE, car ce sont des angles
alternes-internes relativement aux parallèles AB
et CD et à la sécante AC;
3. AB
苶⬵CD 苶
, car ce sont des côtés opposés
du parallélogramme.
Ces triangles étant isométriques, leurs côtés
homologues le sont également. On a donc deux
points AE
苶⬵CE
苶
et BE
苶⬵DE 苶
.
m AC 苶 ⫻m BE 苶
2
m AB 苶 ⫻m CD 苶
2
Page 12
兹 苶
61
2
兹 苶
61
2
3
兹 苶
5
2
冑
兹
En d’autres mots, le point E est le point milieu
des deux diagonales.
Les triangles ABE et ADE ont la même hauteur
issue du sommet A, et leurs bases BE et DE sont
isométriques. Par conséquent, ces deux triangles
ont la même aire.
Il en est de même des triangles ABE et BCE
(la même hauteur issue du sommet B et leurs
bases AE et CE sont isométriques) ainsi que des
triangles BCE et CDE (la même hauteur issue
du sommet C et leurs bases BE et DE sont
isométriques).
Soutien 5.3
1. a) ΔAED ⬃ΔCEB par le cas de similitude
des triangles AA (m ∠AED ⫽m∠CEB
et m ∠DAE ⫽m∠BCE).
b) ΔABC ⬃ΔDBE par le cas
de similitude des triangles CAC
冢m∠ABC ⫽m∠DBE et ⫽冣.
c) ΔABC ~ ΔDEF par le cas de similitude
des triangles CCC 冢⫽⫽
冣.
Soutien 5.3 (suite)
2. m CE
苶
⫽3,125 unités.
m DE
苶
⫽1,875 unité.
Le périmètre du triangle
DEC est de 7,5 unités.
3. Hypothèse : AN
苶
兾兾 BC
苶
Conclusion : ⫽
Soutien 5.3 (suite)
4. a) ⬇5,4 cm b) ⬇3,5 cm
Page 15
m AQ 苶
m CQ 苶
m NQ 苶
m MQ 苶
Page 14
m BC 苶
m EF 苶
m AB苶
m DE 苶
m DF 苶
m AC 苶
m EB苶
m CB 苶
m DB 苶
m AB 苶
Page 13
36
corrigé des fiches reproductibles 5
AFFIRMATION JUSTIFICATION
1. ∠AQN ⬵∠CQM 1. Angle commun.
2. ∠NAQ ⬵∠MCQ 2. Si une droite coupe deux droites parallèles, alors
les angles correspondants sont isométriques.
3. ΔANQ ⬃ΔCMQ 3. Par AAA.
4. ⫽4. Le rapport des mesures des côtés homologues
de deux triangles semblables est constant.
m AQ
苶
m CQ
苶
m NQ
苶
m MQ
苶
A
C
D
B
E
A
BC
D
E
A
BC
D
E
4
3
2,5
2,5

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 5 ■ Corrigé des fiches reproductibles 37
5. En doublant les dimensions de leurs côtés.
Consolidation 5.3
1. a) La somme des mesures des angles intérieurs
d’un triangle est 180°.
b) Lorsqu’une droite coupe deux droites
parallèles, les angles correspondants sont
isométriques.
c) Deux triangles qui ont deux angles
homologues isométriques sont semblables
(AA).
2. a) ⬇6,82 cm b) ⬇4,13 cm
c) 3,6 cm
Consolidation 5.3 (suite)
3. Hypothèses : • Le polygone ABCD est
un parallélogramme.
• DF
苶
⬵FA
苶
• ED
苶
⬵EC
苶
Conclusion : ΔABC ⬃ΔFED
4. La largeur de la rivière est de 108 m.
Consolidation 5.3 (suite)
5. La hauteur de la tour est environ de 16,32 m.
6. La hauteur de la falaise est de 36 m.
Page 18
Page 17
Page 16
Enrichissement 5.3
a) La situation peut être représentée par
le développement du cube suivant.
La fourmi est plus près du point E lorsqu’elle
se trouve au point C.
En effet, les triangles AFB et AGD sont
semblables par le cas de similitude des triangles
AA (m ∠AFB ⫽m∠AGD ⫽90° et m ∠ABF ⫽
m∠ADG, car ce sont des angles correspondants
isométriques). On peut donc établir la proportion
suivante :
⫽, d’où m FB
苶
⫽7,5.
Par conséquent, le point B est situé à 2,5 cm
du point E.
D’autre part, les triangles AFB et CEB sont
semblables par le cas de similitude des triangles AA
(m ∠AFB ⫽m∠CEB ⫽90° et m ∠ABF ⫽
m∠CBE, car ce sont des angles opposés par
le sommet). On peut donc établir la proportion
suivante :
⫽, d’où m CE
苶
⫽2.
Ainsi, le point C est situé plus près du point E que
le point B.
b) La fourmi a parcouru 12,8 cm dans la dernière
partie de son parcours.
Les triangles BEC et BID sont semblables par
le cas de similitude des triangles AA
(m ∠BEC ⫽m∠BID ⫽90° et m ∠CBE ⫽
m∠DBI, car il s’agit d’angles communs aux deux
triangles). On peut donc établir la proportion
suivante.
⫽
À l’aide de la relation de Pythagore, on peut
déterminer la mesure du segment BC, soit environ
3,2 cm.
De la proportion précédente, on peut déduire
la mesure du segment BD, soit 16 cm.
Ainsi, la distance du point C au point D est
environ de 12,8 cm, soit 16 cm ⫺3,2 cm.
m BC 苶
m BD 苶
m BE苶
m BI 苶
m FB 苶
m EB 苶
m AF苶
m CE 苶
m FB 苶
m GD 苶
m AF苶
m AG 苶
10 cm
10 cm 10 cm
10 cm
10 cm 10 cm
6 cm
10 cm
A
B
C
D
E
F
GH
I
Page 19
corrigé des fiches reproductibles 5
AFFIRMATION JUSTIFICATION
1. ∠FDE ⬵∠ABC 1. Les angles opposés d’un parallélogramme
sont isométriques.
2. m ED
苶⬵m DC 苶⬵m AB 苶2. Les côtés opposés d’un parallélogramme
sont isométriques.
3. m DF
苶⬵m DA 苶
⬵m BC
苶3. Les côtés opposés d’un parallélogramme
sont isométriques.
4. ΔABC ⬃ΔFED 4. Deux triangles qui ont un angle
isométrique compris entre des côtés
homologues de longueurs proportionnelles
sont semblables (CAC).
1
2
1
2
1
2
1
2

Vision 5 ■ Corrigé des fiches reproductibles © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
38
Soutien 5.4
1. a) a) 10 cm
2) Dans un triangle rectangle, le carré
de la mesure de l’hypoténuse est égal
à la somme des carrés des mesures
des cathètes (relation de Pythagore).
b) 1) 6,72 cm
2) Dans un triangle rectangle, le produit
des mesures de l’hypoténuse par la hauteur
correspondante égale le produit
des mesures des côtés de l’angle droit.
c) 1) 4 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure
de chaque côté de l’angle droit
est moyenne proportionnelle entre
la mesure de sa projection sur l’hypoténuse
et celle de l’hypoténuse entière.
d) 1) 6 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure de
la hauteur issue du sommet de l’angle droit
est moyenne proportionnelle entre
les mesures des deux segments qu’elle
détermine sur l’hypoténuse.
2. a) 7,2 cm b) 8 cm
c) 27 cm d) 11,08 cm
Soutien 5.4 (suite)
3. a) 20 cm b) 12 cm
c) 7,2 cm d) 9,6 cm
4.
兹 苶
48 cm ou ⬇6,93 cm.
5. x⫽26 ; y⫽57,6
Consolidation 5.4
1. a) 53 cm b) 12 cm
c) 8 cm d) 14 cm
2.
3. Le centre du trou doit être percé à 5,36 cm
de la base du nichoir.
Page 22
2
3
Page 21
Page 20 Consolidation 5.4 (suite)
4. a)
b) La hauteur de la tour est de 176,5 m.
c) Dans un triangle rectangle, la mesure
de la hauteur issue du sommet de l’angle droit
est moyenne proportionnelle entre les mesures
des deux segments qu’elle détermine
sur l’hypoténuse.
5. a) Le support central BF mesure 1,46 m.
b) Le renfort DF mesure environ 1,13 m.
c) Le renfort EF mesure environ 0,94 m.
Consolidation 5.4 (suite)
6. a) La distance est de 1,96 cm.
b) La longueur totale des quatre pliures est
de 61,44 cm.
7. Le périmètre du 2elot est de 267 m et celui
du 3elot, de 318 m.
Enrichissement 5.4
1. Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :
Hypothèses : • Le quadrilatère ABCD est
un parallélogramme.
• Le point E est le milieu de BC
苶
.
Ce qu’il faut démontrer : ⫽.
On trace une parallèle au segment AE qui passe
par le point D. Cette parallèle coupe
le prolongement du segment BC au point G.
1. Le quadrilatère AEGD est un parallélogramme,
car ses côtés opposés sont parallèles.
2. m EG
苶
⫽m AD
苶
⫽m BC
苶
, car les côtés opposés
d’un parallélogramme sont isométriques.
3. m BC
苶
⫽2⫻m BE
苶, car le point E est le milieu
de BC
苶
, par hypothèse.
4. Par les affirmations 3 et 4, on a
m EG
苶
⫽2⫻mBE
苶, ce qui permet d’affirmer
que m BG
苶
⫽m BE
苶⫹m EG
苶
⫽m BE
苶⫹2⫻
mBE
苶⫽3⫻m BE 苶.
1
3
m BF 苶
m BD 苶
A
BC
D
EG
F
Page 25
Page 24
1,5 m
Béatrice Tina
Sommet
Sol
245 m 125 m
36°54°
Page 23
38
corrigé des fiches reproductibles 5
Mesure des segments (en cm)
m AB
苶m BC 苶m AC 苶m BD 苶m AD 苶m CD 苶
18 24 30 14,4 10,8 19,2
15 20 25 12 916
12 16 20 9,6 7,2 12,8