Type d`homotopie des treillis et treillis des sous

Comment. Math. Helvetici 60 (1985) 085-106
0010-2571/85/010085-22501.50 + 0.20/0
9 1985 Birkhfiuser Verlag, Basel
Type d ' h o m o t o p i e des treiHis et treillis des
sous-groupes d'un groupe fini
CHARLES KRATZER e t JACQUES THIEVENAZ
A tout ensemble (partiellement) ordonn6 L, on p e u t associer un complexe
simplicial IL I dont les n-simplexes sont les chalnes a 0 < a l < " 9 9< a~ dans L. Si E,
est un treillis fini avec 616ment minimal 0 et 616ment maximal 1, on s'int6resse aux
propri6t6s homotopiques de complexe ILl off L - - L - { 0 , 1}. Notons qu'il est
n6cessaire d'enlever 0 et 1 sinon le complexe est un c6ne, donc contractile. Soit
a ~ L un point fix6; rappelons q u ' u n compl6ment de a est un 616ment c ~ L tel que
c A a = 0 et c v a = 1. On d6montre tout d ' a b o r d (Proposition 1.8) que s'il existe
un point a sans compl6ment, alors ILl est contractile. Certains points tr~s
particuliers de L, appel6s pivots, p e r m e t t e n t de d6crire le type d ' h o m o t o p i e de
ILl. Le th6or~me principal (Th6or~me 2.4) aifirme en effet qu'on peut
entibrement connaitre ILl h homotopie pros en fonction de sous-complexes
d6termin6s par un pivot et ses compl6ments. On montre alors (Proposition 3.1)
que tout point maximal d'un treillis modulaire est un pivot, et il en r6sulte
(Th6orbme 3.4) que le complexe associ6 ~ un treiUis modulaire a l e type
d ' h o m o t o p i e d'un bouquet de sph6res de dimension n - 2, off n est la longueur du
treillis. L a version homologique de ce r6sultat est rifle ~t Folkman [F] pour les
treillis g6om&riques. En particulier, on calcule ais6ment le type d ' h o m o t o p i e du
treillis des sous-espaces d'un espace vectoriel fini et on retrouve ainsi la version
homologique de ce r6sultat, dfie h Lusztig [L].
Si m a i n t e n a n t / ~ est le treillis des sous-groupes d'un groupe fini G, on 6tudie
d ' a b o r d quelques conditions p o u r que ILl soit contractile. On montre que si N e s t
un sous-groupe de G normal ab61ien et semi-simple c o m m e •G-module (G
agissant par conjugaison sur N), alors N est un pivot (Th6orbme 4.7). ]1 en r6sulte
que si G est r6soluble, le complexe associ6 a le type d ' h o m o t o p i e d'un bouquet de
spheres de dimension n - 2, ofa n e s t la longueur d'une suite principale de G
(CoroUaire 4.10). Le n o m b r e de ces spheres (qui n'est autre que la caract6ristique
d'Euler r6duite du complexe) est facilement calculable en fonction du nombre de
compl6ments de chaque sous-groupe normal d ' u n e suite principale. On retrouve
I~ un r6sultat de notre article [ K - T ] o~ seule la fonction de M6bius du treillis 6tait
6tudi6e. E n effet, il est bien connu [R] que cette fonction coincide avec la
caract6ristique d ' E u l e r r6duite du complexe associ6.
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CHARLES KRA'IZER ET JACQUES TH~VENAZ
L e premier p a r a g r a p h e est consacr6 aux prOliminaires et ~ quelques r6sultats
gOnOraux. Le thOor~me principal est dOmontr6 au paragraphe 2. Les applications
du thOorOme aux treillis modulaires font l'objet du troisi~me paragraphe. Enfin,
dans le dernier paragraphe, nous 6tudions le complexe associ6 au treillis des
sous-groupes d'un groupe fini.
1. Pr61iminaires
Soit E un ensemble (partiellement) ordonn6 et soit [El le complexe simplicial
associO: un n-simplexe de IEI est une chalne a 0 < a l < ' " < a ~
dans E. U n e
application croissante f : E ~ F entre ensembles ordonnOs induit une application
simpliciale Ifl:lEI ~ IFI. Cette construction p e r m e t d'appliquer aux ensembles
ordonnOs des concepts topologiques. Ainsi on dira par exemple que E est
contractile si IEI l'est et que f est une 6quivalence d ' h o m o t o p i e si Ifl l'est.
Nous aUons faire un large usage des rOsultats suivants [O, w
1.1. Si E possi~de un plus grand (ou plus petit) ~l~ment a, alors [El est un cone
de s o m m e t a. E n particulier, E est contractile.
1.2. Si f, g : E --~ F sont deux applications croissantes telles que f ( x ) >- g(x) pour
tout x e E, alors Ill est homotope a Igl.
Ces deux propriOtOs impliquent la suivante:
1.3. Soit f : E - - ~ E une application croissante e t a e l ( E ) . Si x <=f (x)>--_ a pour
tout x e E, alors IEI a l e type d' homotopie d' un cone de s o m m e t a. E n particulier, E
est contractile.
On a l e mOme rOsultat en renversant les inOgalitOs.
1.4. TI-IEORI~ME A (Quillen). Soit f : E ~ F une application croissante. Pour
y ~ F, on consid~re la "fibre" f/y = {x ~ E ; f ( x ) <- y}. Si f/y est contractile pour tout
y ~ F, alors f est une Equivalence d'homotopie.
On a l e m~me rOsultat en rempla~ant dans l'Ononc6 fly par y \ f = {x ~ E ; y <-__f(x)}.
R e m a r q u e 1.5. O n utilisera ce thOor~me dans le cas d ' u n e inclusion i : E ~ F.
P o u r y ~ E, li/yl est un cone de s o m m e t y, si bien qu'il suftit, p o u r 6tre dans les
hypotheses du thOor~me, de m o n t r e r que i/y est contractile si y ~ F - E .
Type d'homotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
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Soit E un e n s e m b l e o r d o n n 6 e t a, b e E. O n d6finit les i n t e r v a l l e s [a, b] =
{x e E ; a <= x <_--b} et (a, b) = {x 9 E ; a < x < b}. Si /~ est u n e n s e m b l e o r d o n n 6
p o s s 6 d a n t un u n i q u e 616ment m i n i m a l 0 et un u n i q u e 616ment m a x i m a l 1 (si b i e n
q u e /~ = [0, 1]), o n s ' i n t 6 r e s s e r a h E = (0, 1). C e l a s ' a p p l i q u e e n p a r t i c u l i e r aux
treillis finis, c a r ils o n t n 6 c e s s a i r e m e n t un u n i q u e 616ment m i n i m a l et u n u n i q u e
616ment m a x i m a l .
P R O P O S I T I O N 1.6. S o i t / ~ = [0, 1] un ensemble ordonnE [ i n i e t E = (0, 1). Soit
A un s o u s - e n s e m b I e de E tel que (0, a) est contractile pour tout a 9 A . Alors
l'inclusion E - A
~ E est une Equivalence d'homotopie.
Preuve. Soit M l ' e n s e m b l e d e s 616ments m a x i m a u x d e A . I1 suffit d e m o n t r e r
q u e i : E - M ~ E est u n e 6 q u i v a l e n c e d ' h o m o t o p i e , p u i s d e r 6 p 6 t e r l ' o p 6 r a t i o n .
P a r le T h 6 o r ~ m e A et la R e m a r q u e 1.5, il suftit d e m o n t r e r q u e si y e M , i/y est
c o n t r a c t i l e . M a i s c o m m e d e u x 616ments d e M ne s o n t p a s c o m p a r a b l e s , t o u t x < y
appartient ~ E-M,
si b i e n q u e i/y = (0, y). L e r6sultat s ' e n s u i t c a r (0, y) est
contractile par hypoth~se. []
R e m a r q u e . D u a l e m e n t , E g a r d e le m 6 m e t y p e d ' h o m o t o p i e si o n lui enl~ve
d e s p o i n t s a p o u r lesquels (a, 1) est c o n t r a c t i l e .
D a n s la suite, /~ d 6 s i g n e r a un treillis fini, c ' e s t - h - d i r e u n e n s e m b l e fini
( p a r t i e l l e m e n t ) o r d o n n 6 L tel q u e r o u t e p a i r e d'616ments a, b p o s s ~ d e u n
s u p r e m u m , n o t 6 a v b e t un infimum, not6 a A b; n o u s n o t e r o n s 0 s o n u n i q u e
616ment m i n i m a l , 1 son u n i q u e 616ment m a x i m a l et L = (0, 1). R a p p e l o n s q u e si
a e L, u n c o m p l e m e n t d e a d a n s E, est un ~16ment c e / ~ tel q u e c A a = 0 et
cva=l.
L E M M E 1.7. Soit a, x c E tels que a v x = 1. S i c est un c o m p l e m e n t de a/x x
dans [0, x], alors c est un complErnen~ de a d a n s [0, 1] = f..
Preuve. O n a c v a > - - c v ( a A x ) = x ,
1. P a r ailleurs, c / x a = e A x A a = O .
si b i e n q u e c v a > - - x v a = 1 et d o n c c v a =
[]
D u a l e m e n t , si a / x x = 0 e t s i c est un c o m p l 6 m e n t d e a v x d a n s [x, 1], alors c
est un c o m p l 6 m e n t d e a d a n s L.
P R O P O S I T I O N 1.8. Soit L = [0, 1] un treillis fini et L = (0, 1). S'il existe a ~ L
ne possEdant pas de c o m p l e m e n t dans L,, alors L e s t contractile.
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CHARLES KRATZER ET JACQUES TI-IEVENAZ
Preuve. Soit X = {x e L ; a v x = 1}. P a r le l e m m e 1.7, s i x e X, alors a A X n ' a
p a s d e c o m p l 6 m e n t d a n s [0, x]. P a r i n d u c t i o n s u r le c a r d i n a l d e L, o n p e u t
s u p p o s e r q u e (0, x) est c o n t r a c t i l e . R e m a r q u o n s q u ' a u d 6 p a r t d e l ' i n d u c t i o n , X est
n 6 c e s s a i r e m e n t vide. P a r la P r o p o s i t i o n 1.6, L - X
~ L est alors u n e 6 q u i v a l e n c e
d ' h o m o t o p i e e t il suffit d o n c d e m o n t r e r q u e L - X est c o n t r a c t i l e . O r p o u r t o u t
yeL-X,
on a y v a e L - X
et y--<__yva>_-a. A i n s i p a r 1.3, L - X
est
contractile. [ ]
Remarque. La r 6 c i p r o q u e d e la P r o p o s i t i o n 1.8 n ' e s t p a s vraie. Soit en effet
L = (0, 1) = {a, b, c, d, e, f} a v e c a > b < c > d < e > f. A l o r s L e s t c o n t r a c t i l e et
t o u t p o i n t p o s s 6 d e u n c o m p l 6 m e n t d a n s /[. P a r aiUeurs, B j 6 r n e r d 6 m o n t r e d a n s
[B2] p a r d ' a u t r e s m 6 t h o d e s u n r 6 s u l t a t p l u s g6n6ral: p o u r q u ' u n treillis soit
n o n - c o n t r a c t i l e , il f a u t q u ' i l soit fonement c o m p l 6 m e n t 6 .
2. Pivots et type d'homotopie
Soit/_[ = [0, 1] u n treillis fini, L -- (0, 1) e t a e L. L ' e n s e m b l e d e s c o m p l 6 m e n t s
d e a d a n s / ~ est not6 a • O n s u p p o s e q u e a • est n o n v i d e s i n o n L e s t c o n t r a c t i l e
( P r o p o s i t i o n 1.8). S i c e a • o n n o t e [0, a ] c l ' i m a g e d e l ' a p p l i c a t i o n [c, 1] --* [0, a ] ;
X~---~XAa.
LEMME
2.1. [0, a ] c = { b e [ 0 , a ] ; ( b v c ) A a = b}.
Preuve. Si b e [0, a ] c, il e x i s t e x e [c, 1] tel q u e x A a = b. C o m m e b _-_x et c <_-x,
b v c _-__x et d o n c (b v c) A a _<--x A a = b. P a r ailleurs, c l a i r e m e n t b _-__(b v c) A a si
b i e n q u e (b v c) A a = b. R 6 c i p r o q u e m e n t , si b = (b v c) A a, alors v i s i b l e m e n t b e
[0, a L
[]
O n n o t e aussi (0, a ) c = [0, a ] c - { 0 , a}. R e m a r q u o n s q u e s i c e a l , alors a e c •
et d o n c [0, c] a a un sens. P o u r c e a l , o n d6finit e n c o r e les s o u s - e n s e m b l e s
suivants:
f.~={x~s
s
vx~,x,,~[O,a] ~, x , E [ O , c ] ~ } .
= {x ~ E; x = x~ vxr xo s [ o , a y , x, ~ [ 0 , c]).
L~ =f,~ A L = / ~ - { 0 ,
L'~=s
11.
=/~.'~-{0, 1}.
R a p p e l o n s q u e si X e t Y s o n t d e u x e n s e m b l e s o r d o n n 6 s , alors X • Y l ' e s t aussi
Type d'homotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
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p o u r l'ordre suivant:
(x, y) <=(x', y ')
si
x~x'
et
y<--y'.
L E M M E 2.2. a) Si x = x~ v x~ e L '~, alors xo = x/x a.
b) Si x = x ~ v x ~ ~ / ~ , alors X , = X A a et x~ = XAC.
C) Lr est isomorphe au produit [0, a ] ~ x [0, c] ~.
Preuve. a) Clairement, x~ <=xAa et il s'agit de m o n t r e r l'autre in6galit4.
C o m m e x , e [ 0 , a]% X , = Z A a Ob Z = X , VC ( L e m m e 2.1). Alors x = x , vx~<=
xa v c = z et d o n c X A a ~ Z A a = X,.
b) R6sulte de a) et de l'6change des r61es de a et c.
c) L'application [0, a ] ~ x [0, c] ~ ~ / S o ; (x~, x~) ~ x, vx~ est croissante et surjective par d6finition d e / : ~ . Elle est injective car par b), l'6criture x = x , vx~ est
unique. [ ]
R e m a r q u e 2.3. S i x = x , vx~ ~L'~, alors xc n'est pas unique. Le plus grand tel
x~ est 6gal ~ x A C.
N o t o n s e n c o r e L ' = U c ~ , L'c. O n dira que a e L est un pivot si les trois
conditions suivantes sont satisfaites:
(i) [0, a ] c n e d 4 p e n d pas de c e a I.
(ii) D e u x c o m p l 6 m e n t s distincts de a ne sont pas comparables: si c, d e a •
avec c ~ d, alors c = d.
(iii) Si xl . . . . . x , e L ' avec X l < X 2 < . . . < x , ,
alors il existe c e a I tel que
xi e L" p o u r t o u t 1 ~ i ~ n.
E n particulier, si a l = Q~, alors a est un pivot. A v a n t d ' 4 n o n c e r le th6or~me
principal, rappelons quelques concepts topologiques:
C6ne: Si X est un espace topologique, X •
1 ] / X x { 1 } est le c6ne sur X,
not6 C X .
Suspension: Si X est un espace topologique, X •
1]/Xx{O}t_JX•
est la
suspension de X, not6e ~ X. Par cons6quent, si Y = Y1 U Y2 est tel que X =
Yt fq Y2 et si c h a q u e Yi est un c6ne sur X, alors Y est la suspension de X. En
particulier, si S" d4signe la sphere de dimension n, ~ S " = S "+~.
Joint: Si X1 et X2 sont deux espaces topologiques, Ya = C X I •
Y2 =
X1 x CX2, alors Y = Y I U ~ , •
est le joint de X1 et X2, not6 X I * X 2 . E n
particulier, S " * S ' = S "+m+~. I1 est c o m m o d e de poser S - ~ = O et de d4finir le
c6ne sur Q~ c o m m e & a n t un point. Alors ~ S - 1 = S O et la formule du joint des
spheres s ' 6 t e n d ~ n, rn >- - 1 . Finalement, V ~ X~ d6signe le b o u q u e t des espaces
(point4s) Xi.
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CHARLES KRATZF,R ET JACQUF~ TIq~VENAZ
TI-IEORI~ME 2.4. Soit /2 = [0, 1] un treillis fini, L = (0, 1) e t a un pivot de L.
Alors ILl a l e type d'homotopie de V~,~ (~ (1(0, a)Cl*l(0, c)"l)).
Le premier ingr6dient pour la preuve de ce th6or~me est la proposition
suivante, qui d6crit le type d'homotopie d'un produit:
PROPOSITION 2.5. Soit E et ff deux ensembles ordonnOs poss~dant chacun un
plus petit Ol~ment 0 et un plus grand ~lOment 1. Soit E = / ~ - { 0 , 1}, F = / ~ - { 0 , 1} et
G = (E x F ) - { ( 0 , 0), (1, 1)}. Alors tGI a l e type d'homotopie de ~. (tEl * [FI).
Preuve. Soit X = {(a, b) e G; a < 1} et Y = {(a, b) e G; b < 1}. Alors IXI a l e
type d'homotopie d'un c6ne de sommet (0, 1) sur IX N YI car:
(a, b)_-<(a, 1) --- (0, 1).
De m6me, IY[ a l e type d'homotopie d'un c6ne de sommet (1, 0) sur IXN Y[. Non
seulement X U Y = G, mais on a m6me que IGI--IXlUlYI si bien que IGI a le
type d'homotopie de la suspension de IX[ n IYI -- IX n YI. n suffit donc de montrer
que IXN Y[ est 6gal h IEl*lFI.
Soit U={(a, b ) ~ X A Y ; a > 0 } et V={(a, b ) e X n Y ; b > O } . On a : U U V =
X N Y et Iululvl=lxnYI. De plus, U = E x ( F - { 1 } ) et doric I U I = I E I x C I F I .
De m~me, IVl = C [El x IFI. Finalement, IUI n lvl = IU N Vl = IE x El = IEI x IF[.
Par d6finition du joint, on a donc IX n YI = IEI* IFI. []
Remarque. Le fait que IXO YI = IEI*iF[ appara$t d6j~ darts [Q, w
C O R O L L A I R E 2.6. IL~I a le type d'homotopie de Y. (l(0, a)Cl*l(0, c)~l).
Preuve. Par le lemme 2.2, /7c ~ [ 0 , a] c x[0, c]" et la proposition pr6c6dente
d'applique. []
Ainsi, pour d6montrer le Th6or~me 2.4, il nous reste ~ voir que duns le cas off a
est un pivot, ILl a l e type d'homotopie de Vc~l ILcl.
PROPOSITION 2.7. Soit L = [0, 1] un treiUis fini, L = (0,1) et a EL. Pour
b , c ~ a l, on d~finit L'b , c ~ . { x ~ L ; x = x a v x c ,
xa~[O,a] b, Xc~[O,c]} et L bt , c -- /7~,~ -{0, 1}. Alors, l'inelusion Ub . . . . 9 L[,,~ ~ L e s t une ~quivalence d'homotopie.
Preuve de thdor~me 2.4. Si a • 0 , alors L est contractile (Proposition 1.8).
Par ailleurs, un bouquet index6 par un ensemble vide est un point. On peut donc
Type d'homotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
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s u p p o s e r a ~ ~ O . C o m m e a est un pivot, on a [0, a ] b = [0, a]" si b, c e a • et d o n c ,
L~.c = L',~ -- L~.' P a r c o n s 6 q u e n t , l ' i n c l u s i o n L ' = U ~
Lc' ~ L est u n e
6 q u i v a l e n c e d ' h o m o t o p i e ( P r o p o s i t i o n 2.7). L a t r o i s i 6 m e c o n d i t i o n d6finissant un
p i v o t afftrme e x a c t e m e n t q u e t o u t s i m p l e x e d e IL'I est c o n t e n u d a n s un IL'cl. D o n c ,
ILl = U ~ . ~ IL'[. A i n s i , p o u r c o m p l 6 t e r la p r e u v e du t h 6 o r ~ m e , il nous reste,
c o m p t e t e n u d u C o r o l l a i r e 2.6, h d 6 m o n t r e r les d e u x assertions suivantes:
a) L'inclusion i: L~ ~ L'~ est une ~quivalence d'homotopie.
IL'~I.
b) IL'I a le type d'homotopie du bouquet V ~
a) P a r le T h 6 o r 6 m e A et la R e m a r q u e 1.5, il suffit d e m o n t r e r q u e si
y ~ L ' ~ - L~, alors y \ i = {x ~ L~ ; x _->y} est c o n t r a c t i l e . O n a : y = y~v y~ avec y,,
[0, a ] ~ et y ~ [ 0 , c]. D e plus, p a r le L e m m e 2.2 e t la R e m a r q u e 2.3, o n
a : y~ = y/x a et o n p e u t s u p p o s e r q u e y~ = y/x c.
Montrons que y~vc~l.
C o m m e y ~ [ 0 , a ] r y a = z / x a a v e c z>=c. Or, z r
sinon y~=a,
y > = a et p a r c o n s 6 q u e n t y ~ = y / x c ~ [ 0 , c] ~ c o n t r a i r e m e n t
l ' h y p o t h ~ s e y ~ Lc. Ainsi, y~ v c <_-z < 1. I1 s ' e n s u i t q u e y~ v c ~ y \ i .
F i n a l e m e n t , y \ i a l e t y p e d ' h o m o t o p i e d ' u n c 6 n e d e s o m m e t y~ v c, car p o u r
x = x~ vx~ ~ y \ i , o n a: x _---y~ vx~ -----y,v c . A n o t e r q u e l ' a p p l i c a t i o n x ~ y, vx~ est
b i e n d6finie c a r x ~ - - x / x c ( L e m m e 2.2).
b) O n a b e s o i n d u l e m m e suivant:
L E M M E 2.8. Une r4union finie de complexes simpliciaux U~X~ a l e type
d'homotopie du bouquet V~z X~ si pour tout J c I avec c a r d (J)>--2, on a f-]i~jXj
contractile.
Preuve. O n p r o c ~ d e p a r i n d u c t i o n sur le c a r d i n a l d e / , le cas c a r d (I) = 2 6 t a n t
clair. Soit k ~ I e t J--- I - { k } . P a r h y p o t h ~ s e d ' i n d u c t i o n , Uj~1Xi est un b o u q u e t et
d o n c p o u r m o n t r e r q u e ( U j ~ I X i ) U X k est u n b o u q u e t , il suffit d e m o n t r e r q u e
( U i ~ I X / ) n x k est c o n t r a c t i l e , car n,~Ju~k~ X,, est c o n t r a c t i l e , d o n c c o n n e x e p a r
arcs. O r (Uj~J X / ) n x k = Ui~J (x~ n x k ) est u n b o u q u e t d e c o m p l e x e s s i m p l i c i a u x
contractiles par hypoth~se d'induction, donc contractile. []
A p p l i q u o n s ce l e m m e h [L'I = Uc~ai IL'cl. Soit J c a ~ avec c a r d (1)->_2. I1 s ' a g i t d e
m o n t r e r q u e T = ~ c ~ i L'c est c o n t r a c t i l e . Soit Z = {x e T; a v x < 1}. S i x e Z, alors
a v x ~ Z. E n effet, il s ' a g i t d e voir q u e a v x ~ L" p o u r t o u t c e J. O r x = x ~ v xc
avec Xae [0, a ] c et xc ~ [0, c] e t d o n c a v x = a v x~, ce q u i d 6 m o n t r e q u e a v x
L ' . M a i n t e n a n t , Z est c o n t r a c t i l e c a r p o u r t o u t x ~ Z, o n a
x<-avx>=a
et
avx, a~Z.
92
C
~
KRATZER ET JACQIAF~ TH~VENAZ
A i n s i , p o u r m o n t r e r q u e T e s t c o n t r a c t i l e , il suffit d e m o n t r e r q u e l ' i n c l u s i o n
i : Z ~ T e s t u n e 6 q u i v a l e n c e d ' h o m o t o p i e . A cet effet, il suffit ( p a r 1.4 et 1.5) d e
m o n t r e r q u e p o u r y e T - Z, i/y = {x ~ Z ; x <--_y} est c o n t r a c t i l e . C o m m e y r Z,
a v y = 1. Si Ya = a / x y = 0, a l o r s y est un c o m p l 6 m e n t d e a, et d e plus p o u r c a J,
y ~L'~, c ' e s t - h - d i r e y = y~ v y ~ = y~ ~ [ 0 , c]. P a r la d e u x i ~ m e c o n d i t i o n d6finissant
u n p i v o t , o n a y = c e t d o n c d = {y} c o n t r a i r e m e n t h l ' h y p o t h 6 s e c a r d (J) >_-2. A i n s i
y, = a / x y > 0 e t d o n c ya e Z . F i n a l e m e n t , i/y est c o n t r a c t i l e c a r p o u r t o u t x e i/y,
x _<--Ya v x >_--ya
et
y~ v x e i/y c o m m e o n le v6rifie f a c i l e m e n t .
C e c i ach~ve la p r e u v e de l ' a s s e r t i o n b) et d o n c d u T h 6 o r b m e 2.4
[]
Preuve de la proposition 2.7.
a) Soit L1 = { x ~ L ; x/x a p o s s b d e un c o m p l 6 m e n t d a n s [0, x]}. A l o r s l'inclusion L1 ~ L est u n e 6 q u i v a l e n c e d ' h o m o t o p i e . E n effect, si y e L - L 1 ,
alors
(0, y) est c o n t r a c t i l e ( P r o p o s i t i o n 1.8) et la P r o p o s i t i o n 1.6 s ' a p p l i q u e .
L a suite d e la p r e u v e se fait p a r a p p l i c a t i o n s successives d u t h 6 o r 6 m e A e t d e la
r e m a r q u e 1.5.
b) Soit L2 = {x ~ L1 tel q u ' i l existe b e a I avec x/x a e [0, a]b}. A l o r s l ' i n c l u s i o n
i :L2 ~ L1 est u n e 6 q u i v a l e n c e d ' h o m o t o p i e . L a p r e u v e est a n a l o g u e h celle d e
l ' a s s e r t i o n a) d a n s la d 6 m o n s t r a t i o n d u T h 6 o r ~ m e 2.4. Soit y e L l - L 2
et y \ i =
{x e L2; x >-- y}. C o m m e y e E l , y = (y A a ) V y OU y est u n c o m p l 6 m e n t d e y/x a
d a n s y. O n m o n t r e d ' a b o r d q u e a v ~ ~ 1. Si a v ~ = 1, ~ est un c o m p l 6 m e n t d e a
(car ~ A a = ~/x y ^ a = 0). C o m m e y ~ [~, 1], o n e n d 6 d u i t q u e y/x a e [0, a ] ~ et
d o n c y e L 2 , u n e c o n t r a d i c t i o n . A i n s i , a v ~ < 1 et a v ~ e y \ i c o m m e o n le voit
f a c i l e m e n t . M a i n t e n a n t y \ i est c o n t r a c t i l e c a r p o u r x e y \ i , o n a:
x >--_(xA a ) v f~<--_avf~.
P o u r r e n d r e ce r a i s o n n e m e n t licite, il r e s t e ~ m o n t r e r q u e z = (x A a ) v ~ e y \ i .
D'une part, xAa>=yAa, et donc z=(xAa)v~>--_(y/xa)v~=y
et d ' a u t r e p a r t ,
zeL2 car z/xa=x/xae[0,
a ] b p o u r un b e a • vu q u e x e L 2 . E n effet, x/xa<_-z A a c a r X A a < = z , e t X A a > - - - z A a c a r x>_--z.
c) Soit E = {x e L2.; x A a = 0 et p o u r tOut c e a • x r [0, c]}. A l o r s l ' i n c l u s i o n
i :L3 = L 2 - E
~ L2 est u n e 6 q u i v a l e n c e d ' h o m o t o p i e . Soit y ~ E e t y \ i = {x e
L3; x >_-y}. O n a : a v y ~ 1, s i n o n y a a ~ et y e [0, y] c o n t r a i r e m e n t au fait q u e
y ~ E . M a i n t e n a n t , y \ i est c o n t r a c t i l e c a r p o u r x e y \ i , o n a:
x>=(xAa)vy<--avy.
Type d'homotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
93
Ceci est licite, car (x/x a ) v y e y \ i . E n effet, si x/x a = 0, x ~ [0, c] p o u r u n c c a 1
car x ~ L 3 et y_--_x<=c ce qui est c o n t r a i r e h y e E . D o n c X A a ~ O et ( X A a ) v y ~
L3.
d) Soit L 4 = (.Jb. . . . 9 L~,c. A l o r s l ' i n c l u s i o n i :L4 ~ L3 est u n e 6quivalence
d ' h o m o t o p i e . Soit y ~ L 3 - L 4
et soit ~ u n c o m p l 6 m e n t de y / x a dans y. Si
y/x a = 0, y = ~ ~ [0, c] p o u r u n c ~ a I (car y ~ L3 = L 2 - E ) et d o n c y = 0 v ~ c L'c.c
c o n t r a i r e m e n t au fait q u e y r L4. Ainsi, y/x a > 0 et y/x a ~ i/y = {x e L4; x _--<y}. O n
n o t e r a e n effet q u e y/x a e [0, a ] b p o u r u n b c a • car y c L2. M a i n t e n a n t , i/y est
contractile car p o u r x e i/y, o n a :
x<=(y / x a ) v x >>-y /xa
et il reste h m o n t r e r q u e z = (y/x a) v x c i/y. C l a i r e m e n t , y/x a =< z/x a car y/x a _-<
z, et y / x a > = z / ~ a car y_>-z. D o n c , z / x a = y / x a .
P a r ailleurs c o m m e x 6 L 4 ,
x = x a v x c avec xa<---a et xc <--c. C o m m e x a < - x / x a < - - y / x a , o n a : z = ( y / x a ) v x c c
L~.c. Ainsi, z e L4 et d o n c z ~ i/y.
[]
3. TreiUis semi-modulaires et modulaires
Afin de p o u v o i r a p p l i q u e r le T h 6 o r ~ m e 2.4, il est n6cessaire de m e t t r e d ' a b o r d
la m a i n sur u n pivot d a n s le treillis q u i n o u s int6resse. L a p r o p o s i t i o n ci-dessous
fait u n pas d a n s cette direction p o u r les treillis s e m i - m o d u l a i r e s et r6sout la
q u e s t i o n p o u r les treillis m o d u l a i r e s . A u p a r a v a n t , r a p p e l o n s q u ' u n treillis /_[ est
semi-modulaire ( s u p 6 r i e u r e m e n t ) si:
p o u r a, b ~ L avec a/x b m a x i m a l d a n s a, alors b e s t m a x i m a l dans a v b.
D a n s u n treillis s e m i - m o d u l a i r e fini, la l o n g u e u r de toutes les c h a i n e s e n t r e 0 et x
est c o n s t a n t e , et o n la note r(x). D e plus, la f o n c t i o n r satisfait:
r(x v y) + r(x/x y) -- r(x) + r(y).
U n treillis est modulaire si h la fois /_~ et le treiUis avec o r d r e oppos6 sont
s e m i - m o d u l a i r e s . D a n s ce cas, l'in6galit6 satisfaite p a r la f o n c t i o n r d e v i e n t u n e
6galit6. N o t o n s q u e la d6finition u s u e l l e de treillis m o d u l a i r e est la suivante:
p o u r a, b, c e / 7 , si c<--a, alors a A ( b v c ) = ( a A b ) v c .
Enfin, u n treillis f i n i / ~ est dit g~om~trique s'il est s e m i - m o d u l a i r e et si t o u t p o i n t
94
CHARLES KRATZER ET JACQUES TttI~VENAZ
de / [ - { 0 } est le s u p r e m u m d ' u n e famille d'616ments minimaux (non nuls) d e / S .
P o u r plus de d6tails sur ces d6finitions, voir [A, chap. II].
P R O P O S I T I O N 3.1. Soit /S= [0, 1] un treillis semi-modulaire fini e t a EL.
a) S i c E a I satisfait r(a) + r(c) = r(1), alors [0, c] ~ = [0, c] et [0, a ] c = [0, a].
b) Si r ( a ) + r(c) = r(1) pour tout c E a • alors deux compl~ments distincts de a ne
sont pas comparables.
c) Si a est m a x i m a l et si r( a ) + r(c) = r(1) pour tout c E a l, alors a est un pivot.
d) Si L e s t modulaire et si a est maximal, alors a est un pivot.
COROLLAIRE
L = ( 0 , 1 ) on a:
3.2. Darts les hypothbses c) ou d) de la proposition 3.1, et si
ILl a l e type d ' h o m o t o p i e de V ~ l
(~ ](0, a)l).
Preuve. Par la partie a) de la proposition, (0, a) c = (0, a). D e plus, (0, c) = O
car la condition r(a) + r(c) = r(1) implique que c e s t minimal. Ainsi,
I(O, a)l* I(O, c)l = I(0, a)l,
et o n conclut par le T h 6 o r ~ m e 2.4.
[]
Preuve de la Proposition 3.1. a) Si y E [0, c], il est clair que (y v a) A C _-->y. Par
ailleurs, r((y v a) A C) + r(1) <_--r(y v a) + r(c) par semi-modularit6 et le f a r que
(y v a) v c = a v c = 1. D e plus, r(y v a) _--<r(y) + r(a) p a r semi-modularit6 et le fait
que y A a = 0 . O n en d6duit r ( ( y v a ) A c ) + r ( 1 ) < - - r ( y ) + r ( a ) + r ( c ) et d o n c
r((y v a) A C) <= r(y)
grace h l'hypoth~se. Cela force alors l'6galit6 (y v a ) A C = y. L a deuxi~me assertion r6sulte de l'6change des r61es de a e t c .
b) L ' h y p o t h 6 s e implique que r(c) est constant p o u r c E a 1. D o n c , si b, c E a 1
et b _--__c, alors b = c.
c) Les deux premi6res conditions de la d6finition d ' u n pivot r6sultent de a) et
b). C o m p t e tenu de a), et du L e m m e 2.2, o n a:
[.c=[.'c={xeL;x=xa
vxc, X a = X A a , X c = X A C } .
C o m m e a est maximal et r ( a ) + r(c) -- r(1), on a r(c) -- 1, et d o n c x~ ne p e u t valoir
q u e 0 ou c. Les 616ments x tels que x~ = 0 a p p a r t i e n n e n t h t o u s l e s Lc et ne j o u e n t
Type d'homotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
95
d o n c aucun r61e p o u r la v6rification de la troisi~me condition de la d6finition d ' u n
pivot. E n fait, p o u r v6rifier cette condition, il suffit de m o n t r e r que si x e L~ avec
x~ = c, y ~ La avec Ya = d et x <_--y, alors y e L~.
C o m m e c _--_x <_-y, on a: y~ v c _--_y et il suffit de m o n t r e r l'6galit6. C o m m e
y, < y~ v c <_-y, il suitit de voir que yo est maximal dans y. O r cela est imm6diat par
semi-modularit6 car 0 est maximal dans d, y~ A d = 0 et y~ v d = y.
d) Si IS est modulaire, la condition r(a) + r(c) = r(1) est toujours satisfaite p o u r
c ~ a I. O n conclut d o n c h l'aide de c). [ ]
R e m a r q u e . Si a est minimal, alors par semi-modularit6, tout c ~ a I e s t maximal. L a condition r ( a ) + r ( c ) = r(1) est donc automatique. P o u r que a soit un
pivot, il faudrait encore que la troisi~me condition soit satisfaite, ce qui n'est pas
clair en g6n6ral.
P R O B L I ~ M E 3.3. D a n s un treillis semi-modulaire, existe-t-il toujours un
616ment minimal qui soit un pivot?
T H E O R 1 E M E 3.4. S o i t / S = [0, 1] un treillis modulaire [ini et L = (0, 1). Soit
0 = ao < a l < . 9 < a~_~ < a~ = 1 une c h a f n e m a x i m a l e dans IS. Soit m~ le nombre de
compl~ments de a~ dans [0, ai+~] et m =I]'~-~ mi. A l o r s L a l e type d'hornotopie
d ' u n bouquet de m spheres de dimension n - 2.
Preuve. P a r induction s u r n . S i n = 1, m = m 0 = 1, L = Q et ILl = S -1. S i n > 1,
on applique le Corollaire 3.2 avec a = o ~ _ ~ et o n conclut en appliquant
l'hypoth~se d'induction ~ (0, a , _ 0 . [ ]
R e m a r q u e s . 1) E n renversant l ' o r d r e du treillis, on voit que L a aussi le type
d ' h o m o t o p i e d ' u n b o u q u e t de s = l-li~l s~ spheres de dimension n - 2 o~ s~ est le
n o m b r e de c o m p l 6 m e n t s de a~ dans [a~_l, 1]. O n a donc: m = s.
2) Le n o m b r e m est 6gal (au signe pros) h la caract6ristique d ' E u l e r r6duite
~ ( L ) = x ( L ) - 1. O r il est bien c o n n u JR, t h m 3] que ~(L) = ~(0, 1) o h ~ est la
fonction de M6bius de L. U n e f o r m u l e dfie h C r a p o (voir [A, p. 170]) exprime
ix(0, 1) en termes d e / x ( 0 , c) et/x(c, 1) (6gal ici h/x(0, a)). U n e application r6p6t6e
de cette f o r m u l e d o n n e ais6ment ~ ( L ) = ( - 1 ) " ~
ml.
3) Si la solution du P r o b l ~ m e 3.3 est positive, on m o n t r e de manibre analogue
que si /~ est semi-modulaire, alors ILl a l e type d ' h o m o t o p i e d ' u n b o u q u e t de
spheres de dimension n - 2 ofa n = r(1). D e toute fa~on, ce dernier r6sultat semble
problable car F o l k m a n [F] a m o n t r 6 q u ' u n treillis g6om6trique a l e
type
d ' h o m o l o g i e d ' u n b o u q u e t de spheres de dimension n - 2 . O r tout treillis fini
96
CHARLESKRATZERET JACO~ THI~VENAZ
s e m i - m o d u l a i r e a le type d ' h o m o t o p i e d ' u n treillis g6om6trique. E n effet:
P R O P O S I T I O N 3.5. Soit/S= [0, 1] un treiUis fini semi-modulaire et L = (0, 1).
Soit ~b : f.--~ L d~fini par: ~k(x) est le supremum de tous les ~l~ments minimaux de
[0, x]. Alors:
a) /~ = ~b(/[) est un treillis g~.om~trique.
b) Si E = O(L), alors ~b : L ~ E est une Equivalence d'homotopie.
Preuve. a) Si a, b e / ~ , a v b ~ P . . Par ailleurs, on d6finit a N b = ~b(a/xb). O n
v6rifie ais6ment q u e / ~ est un treillis p o u r v e t n . (En fait, on p e u t m o n t r e r que
a n b = a/x b, mais cela ne j o u e pas de r61e ici). Par construction, tout point d e / ~
est le s u p r e m u m d'616ments minimaux. I1 reste d o n c ~t m o n t r e r que /~ est
semi-modulaire. Si, a, b ~/~ et si a N b est maximal dans a (dans/~), alors il existe
m minimal avec m<--_a et m ~ b (sinon, a<=b et a n b = a A b = a ) .
D o n c (a N b ) <
( a n b) v m <_-a et par c o n s 6 q u e n t ( a n b) v m = a. M a i n t e n a n t m est minimal,
b/x m = 0 et d o n c par semi-modularit6 de /~, b e s t maximal dans m v b. O r
mvb<-avb
car m < - a et m v b > = a v b car m v b > = b et m v b > - - m v ( a n b ) = a .
Ainsi b e s t maxifaal dans a v b = m v b.
b) est clair, car si i : E - - ~ L est l'inclusion, alors ~boi=idE et io~b est
h o m o t o p e ~ idL Car tk(X)<----x p o u r tout x e L. [ ]
C o m m e application du T h g o r ~ m e 3.4, voici la version h o m o t o p i q u e d ' u n rgsultat
h o m o l o g i q u e dfi ~ Lusztig [L, chap. 1]:
P R O P O S I T I O N 3.6. Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps fini
& q ~l~ments. Soit L, le treiUis des sous-espaces de V e t L = (0, V). Alors L a l e type
d'homotopie d ' u n bouquet de qM spheres de dimension n - 2 .
Preuve. E n v e r t u du T h 6 o r ~ m e 3.4, il suffit de calculer le n o m b r e m~ de
c o m p l 6 m e n t s d ' u n sous-espaee W~ de dimension i dans un espace de dimension
i + 1. O r le n o m b r e de sous-espaces de dimension 1 de W~+I est 6gal ~t s =
(q~+l_ 1 ) / ( q - 1 ) et le n o m b r e de ces sous-espaces qui sont c o n t e n u s dans W~ est
t = ( q ~ - 1 ) / ( q - 1 ) . D o n c le n o m b r e de c o m p l 6 m e n t s de W~ dans W~+I est m~ =
s - t = ql. P a r consgquent, le n o m b r e de spheres du b o u q u e t est
rt--1
m = 1 1 ml = qZ?:,~, = q(~).
i~0
[]
Type d'homotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
97
4. Le treillis des sous-groupes d'un groupe fini
Soit G u n groupe fini, L ( G ) le treillis des sous-groupes de G et L ( G ) = (1, G).
On s'int6resse d ' a b o r d ~ trouver des conditions pour que L ( G ) , ou plus
g6n6ralement (H, G) soit contractile ( H &ant un sous-groupe de G).
Si N e s t un sous-groupe normal de G, la notion de compl6ment de N en
th6orie des groupes coincide avec celle introduite pour les treillis. Ainsi, par la
proposition 1.8, L ( G ) est contractile s'il existe un sous-groupe normal sans
compl6ment. Un exemple typique d'un tel sous-groupe est le sous-groupe de
Frattini ~ ( G ) , s'il est non trivial. Plus g6n6ralement, soit q~(H, G) l'intersection
de t o u s l e s sous-groupes maximaux de G contenant H. Ainsi ~ ( G ) = ~ ( 1 , G).
L E M M E 4.1. Si ~ ( H , G) ~=H, alors (H, G) est contractile.
Preuve. Si K e (H, G), qb v K < G off 9 v K d6signe le sous-groupe engendr6
par ~ = qb(H, G) et K. Par cons6quent,
K<--_~vK>-cb.
[]
P R O P O S I T I O N 4.2. Soit N un sous-groupe normal de G, H u n sous-groupe de
G e t X = N . H. Si (X, G) est contractile, alors (H, G) l' est aussi. ]En particulier,
L ( G ) est contractile si L ( G / N ) l'est.
Remarque. Dans le m 6 m e ordre d'id6e, on d6montre ais6ment que si M e
(X, G) n ' a pas de compl6ment dans (X, G), alors il n'en a pas dans (H, G).
Preuve. On procbde par induction sur l'ordre de G. Soit A =
{ Z ~ ( H , G ) ; Z . N = G}. Soit Z ~ A et X ' = ( Z N N ) .
H. Montrons tout d'abord
que [X,G]---~[X',Z]; U ~ - - ~ U N Z et [X',Z]---~[X,G]; V ~ - - ~ V . N sont des
bijections r6ciproques. D ' u n e part ( U O Z ) . N = U G ( Z . N) car U ~ N et donc
(UNZ).N=UNG=U.
D ' a u t r e part, Z N ( V . N ) = V . ( Z N N )
car V<-_Z et
donc Z A ( V . N) = V car Z G N <-X ' <--_V.
Par hypoth6se (X, G) est contractile et donc (X', Z ) l'est aussi. L'hypoth~se
d'induction appliqu6e h Z implique que (H, Z ) est contractile. A noter qu'au
d6part de l'induction, l'ensemble A est n6cessairement vide. Par la Proposition
1.6, (H, G ) - A
~ (H, G ) est une 6quivalence d'homotopie. Or (/4, G ) - A est
contractile, car pour T e ( H , G ) - A , on a:
T<_T.N>_X.
Ainsi (H, G ) est contractile. Le cas particulier r6sulte du cas H = 1.
[]
98
CHARLES KRATZER ET JAC'QUF~ THEVENAZ
M deux sous-groupes normaux de G avec
N <M. Si ~(N, M) ~ N, alors L(G) est contractile.
COROLLAIRE
4.3. Soit N e t
Preuve. Soit Z ~ (N, G) maximal et posons qb = ~ ( N , M). Si 9 9 Z = G, alors
9 ( Z f3 M) = M e t donc Z f3 M = M. Par cons6quent, Z = M >= 9 et G = 9 9 Z =
Z, ce qui est impossible. D o n c ~ - Z = Z
par maximalit6 de Z et ~_--__Z.
Finalement, ~ = < ~ ( N , G) ce qui montre que ~(N, G ) ~ N . Par le L e m m e 4.1,
(N, G ) est contractile et par la Proposition 4.2, L ( G ) l'est aussi. [ ]
Nous allons 6tudier L(G) p o u r G nilpotent, puis r6soluble. Mais auparavant,
notons encore ce cas particulier de la Proposition 2.5:
P R O P O S I T I O N 4.4. Soit G et H deux groupes d'ordres premiers entre eux.
Alors, IL(G • H)I a l e type d'homotopie de Y. (IL(G)I*IL(H)I).
Preuve. P a r la Proposition 2.5, il suffit de m o n t r e r que / [ ( G x H ) =
/~(G)•
Mais ceci est clair pour des groupes d'ordres premiers entre
eux. []
P R O P O S I T I O N 4.5. Soit G u n groupe nilpotent et H u n sous-groupe.
a) Si H n'est pas normal dans G, (H, G) est contractile.
b) Si H<3 G e t G/H n'est pas un produit de groupes ab~liens ~l~mentaires, alors
(H, G)= L(G/H) est contractile.
c) Si H <~G et G/H~-I-I~=I C", alors I(H, G)t = [L(G/H)I ale type d'homotopie
d' un bouquet de m spheres de dimension n - 2 off m =1-I[=1 P!~')et n = Y,~=x r~. (C;
d~signe le produit de n copies du groupe cyclique d'ordre premier p).
Preuve. a) C o m m e G est nilpotent, tout sous-groupe maximal de G est
normal et par cons6quent q~(H, G) <3 G. D o n c ~ ( H , G) ~ H et (H, G ) est contractile par le L e m m e 4.1.
b) C o m m e G est nilpotent, G/~(H, G) est un produit de groupes ab61iens
616mentaires. D o n c q~(H, G ) fi H et (H, G ) est contractile.
c) O n p e u t supposer H = 1. Soit Pi = C~,~le pi-sous-groupe de Sylow de G. Par
la Proposition 3.6, IL(P,)I a l e type d ' h o m o t o p i e d'un bouquet de p~') spheres de
dimension n~ - 2 . C o m m e les P, sont d'ordres deux ~ deux premiers entre eux, la
Proposition 4.4 donne la recette du calcul de IL(G)I. []
L e probl~me &ant r6solu p o u r les groupes nilpotents, on va s'int6resser aux
groupes r6solubles. T o u t d'abord, le l e m m e suivant justifie la notation [1, N] H
introduite p o u r des treillis quelconques.
Type d'homotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
99
L E M M E 4.6. Soit N u n sous-groupe normal de G e t H u n complement de N.
a) [1, N] H est le treillis des sous-groupes de N qui sont invariants par H.
b) Si N est ab~lien, [1, N] n est le treillis des sous-groupes de N qui sont
normaux darts G.
c) L'application [H, G] --~ [1, N] r~, X ~ X n N e s t un isomorphisme de treiUis.
En particulier, un complement d ' u n sous-groupe normal ab~lien minimal est
maximal.
d) L ' application [N, G]--~ [1, H], X ~ X O H est un isomorphisme de treillis et
donc [1, H I N = [1, HI.
e) Si N e s t un sous-groupe normal ab~lien minimal et si N . K = G avec K ~ G,
alors K est un complement de N.
Preuve. Soit T l e treillis des sous-groupes de N qui sont invariants par H. Si
X e [ I - t , G ] , alors X N N e T
car X O N
est normalis6 par X, donc par H.
Consid6rons les applications ~b : [H, G] --->T, X ~-> X n N e t ~ : T---> [H, G], Y
Y - / 4 . C o m m e H normalise Y ~ T, Y . H est bien un sous-groupe. Ces applications sont inverses l'une de l'autre car:
comme H<=X, ( X N N ) . H = X A N .
comme Y<--N, Y . H A N =
H=XAG=X,
Y . ( H A N ) = Y . 1 = Y.
Par d6finition, [1, N] H est l'image de tb et donc [1, IV]H = T, ce qui d6montre a) et
c). Si N est ab61ien et Y e l l , N ] H, alors N normalise Y e t donc Y est normal
dans N . H = G, ce qui prouve b). Le cas particulier de c) en r6sulte car alors
(H, G ) = 0 . Pour montrer d), consid6rons les applications a :[N, G]--~ [1, H],
X~--~ X f l H , /3:[1, H]--~[1, G/N], Y~--~ Y . N / N et 3,:[N, G ] - ~ [ 1 , G/N], X~-~
X/N. Clairement,/3 et ~/sont des isomorphismes de treillis et donc a en sera un si
l'on montre que /3oa = ~. Mais ceci est clair car pour X>--N, on a:
(XO~.N=XNH.N=XNG=~
Pour montrer e), on remarque que K n N est normalis6 par K et par N, donc par
G. C o m m e K ~ G , K O N ~ t N et donc K N N = I
par minimalit6 de N. [ ]
La technique des pivots mise en place au paragraphe 2 va s'appliquer au cas des
groupes r6solubles grace au r6sultat suivant:
T H E O R I ~ M E 4.7. Soit N un sous-groupe normal abe.lien de G. On suppose que
N e s t semi-simple c o m m e Z G - m o d u l e ( G agissant par con]ugaison sur N). Alors N
est un pivot de ft.(G).
100
C H A R L E S KRAT'Z.ER ET J A C Q U E S T I - ~ V E N A Z
Preuve. I1 n'y a rien h v6rifier si N n ' a pas de compl6ment. Sinon, par le
L e m m e 4.6b), [1, N] u est ind6pendant de H e N • ee qui montre la condition (i)
de la d6finition d'un pivot. La condition (ii) est claire, car si deux compl6ments H
et K sont tels que H<=K, alors H = K vu qu'ils ont le m~me ordre. Pour la
condition (iii), rappelons que / ~ = { X = M - K ; M e [ l , N ] H, K e [1, H]} et L ~ =
-'p
p
L n - { 1 , G}. Soit H1 . . . . . H , des compl6ments de N e t X ~ L H . ( l = i ~ n ) .
I1
s'agit de montrer que si X , -----X,_a= " 9 9------Xx,alors tousles Xi appartiennent h u n
m6me L~. C'est trivial si n = 1, et par induction, on peut supposer que X,,
X,-1 . . . . . X 2 e L~r. Disons que Xa E L~, ce qui permet d'6crire X1 = M1" K~ et
Xi = M ~ . K'~ avec Ka<--H et K'~<=H' (2-- i _--<n). Notons que M , < = M , _ ~ , . .<=
I t - ~ <=t g .,,,_
'~
Ma et que .~,
a <=. . " ~___K 2 '.
Tout 616ment de H ' s'6crit h ' = c ( h ) - h
avec h E H et c ( h ) e N . En fait,
l'application c : H - - - ~ N est un 1-cocycle [H, 17.3]. A u sous-groupe K'~ de H '
correspond un sous-groupe K~ de H en sorte que K'~ = {c(h) 9 h ; h e Ki}. Montrons
tout d ' a b o r d que c(K2) c M1. Si h ~ K 2 , c(h) 9 h ~ K~ <=M~ 9 K~ et donc c(h) ~ M 1.
Maintenant MI c [1, N ] n, donc M~ est un sous-groupe normal de G, en d'autres
termes M~ est un sous-7/G-module de N. C o m m e N e s t semi-simple, N = M~ x P
o?a P e s t aussi un sous-7/G-module de N. On peut donc 6crire c = ca • c2 avec
Cl : H--> M1 et c2 : H--> P des 1-cocycles. C o m m e c(K2) ~ M1, on a c2[K~-- 0 et
cllK~ = c[r~. Soit alors H " = { c a ( h ) " h; h ~ H}. C o m m e ca est un cocyle, H " est un
sous-groupe de G, compl6ment de N. Alors pour i_> 2, K'~ = {c~(h) 9 h ; h ~ K~} =
{ c ( h ) . h ; h e K i } = K ' ~ car Cl et c coincident sur Ki<-Kz. Donc, X ~ = M i .K'~=
M ~ ' K i ~ - L v r . De plus M~ K a = M z K~ oh K a - { C l ( h ) ' h ; h 6 K a }
car K x =
M t 9 Ka vu que c~ est h valeurs dans M~. Done Xa = Mt " K~ e L~,. Cela d6montre
la condition (iii) de la d6finition d'un pivot et ach~ve la preuve du th6or~me. []
H
t
9
9
tt
tt
--
t!
Remarque. Des exemples montrent que la condition (iii) de la d6finition d'un
pivot n'est en g6n6ral pas satisfaite si N n'est pas semi-simple comme Z G module.
C O R O L L A I R E 4.8. Soit N u n sous-groupe normal abe.lien de G. Alors [L(G)i
a le type d'homotopie de VH~NI(X (1(1, N)H[*IL(G/N)I)). De plus L ( G ) est contractile si N n'est pas semi-simple comme Y_G-module.
Preuve. Si N e s t semi-simple ou si N n'a pas de compl6ment, N e s t un pivot et
le Th6or~me 2.4 s'applique. On conclut en constatant que (1, H) u = (1, H ) ~
L ( G / N ) en vertu du L e m m e 4.6d).
Si N n'est pas semi-simple, on va montrer que L ( G ) et (1, N) u sont contractiles, ce qui permet de conclure. Soit J le radical du 7/G-module N, donc J ~ 1.
C o m m e [1, N ] H est le treiUis des sous-7/G-modules de N, un argument identique
?t celui du L e m m e 4.1 montre que (1, N) H est contractile.
Type d'homotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
101
Par ailleurs, J e s t caract6ristique dans N, donc normal dans G. Comme N
poss~de un compl6ment, N / J aussi. Par cons6quent, si J poss~de un compl6ment
C, alors C ~- G/J et donc C contient un compl6ment H de N. Donc H normalise
C A N et C f q N e [1, N] H. Mais il est clair que C O N est alors un compl6ment de
J dans [1, N] H, ce qui est absurde. Donc, J ne poss~de pas de compl6ment dans
[1, G], et donc L ( G ) est contractile (Proposition 1.8). [ ]
Si G est r6soluble, nous allons d6terminer le type d'homotopie d'un intervalle
(/4, K) de L ( G ) . C o m m e tout sous-groupe de G est r6soluble, il suffit de traiter le
cas K = G.
Rappelons qu'une suite croissante de sous-groupes de G est dite principale
(respectivement caract~ristique maximale) si chaque sous-groupe de la suite est
normal (respectivement caract6ristique) dans G e t si la suite ne peut 6tre raffin6e
en une suite ayant la m6me propri6t6.
Soit l = N 0 < ~ N I < - - - < 3 N~ = G une suite principale de G. Pour un sousgroupe H fix6, soit H = H0<~ H1 < ] " " <3 H , = G les termes distincts de la suite
des H . Nj. Soit R~ = Nr, le plus grand des N/ tels que H . N i = Hi et L l e plus
petit des N i tels que H . N i = ~ (0 _--<i <--n). Ainsi, L0 = 1, Nr,+l = ~+~ et R , = G.
THI~ORIEME 4.9. Soit H u n sous-groupe propre d ' u n groupe r~soluble G.
Dans les notations ci-dessus, soit mi le hombre de compMments de Li/Ri-1 dans
G/Ri_ 1 qui contiennent H i I = H " Ri-1 ( l ~ i < = n ) . Alors I(H, G) I a le type
d'homotopie d ' u n bouquet de m~ 9 m2 . . . . . m , spheres de dimension n - 2 . De plus
mn = 1.
Preuve. C o m m e R0 c H, quitte g passer au quotient par R0, on peut supposer
R0 = 1 si bien que L1 est un sous-groupe normal minimal de G, en particulier
ab61ien. On procbde par induction s u r n . S i n = 1, H . L1 = G. Par le L e m m e
4.6e), H est un compl6ment de La. Par le L e m m e 4.6c), H est maximal et donc
I(H, G)I = O = S -t. Par ailleurs m~ = 1 (car H est l'unique compl6ment de L1
contenant H ) et ceci prouve que m, = 1 en g6n6ral.
S i n > 1, par hypothbse d'induction, I(HI, G)I est homotope ~ un bouquet de
m2 . . . . . m, spheres de dimension n - 3.
A S S E R T I O N 1. C est un compMment de H 1 dans [H, G] si et seulement si C
est un compMment de L1 dans [1, G ] et C>=H.
A S S E R T I O N 2. H1 est un pivot de [H, G].
102
CHARLES KRATZER E T JACQUES THI~VENAZ
I1 r6sulte de l'Assertion 1 que m~ est le n o m b r e de compl6ments de H1 dans
[H, G ] et que chacun de ces compl6ments est maximal dans G ( L e m m e 4.6c)).
Par ailleurs en vertu de l'Assertion 2, le Th6or~me 2.4 s'applique:
I(H, G)I ~ Vc~H~ ~, (I(H, H1)Cl * [(H, C)H'I).
Maintenant, (H, H1) c e s t l'image de (C, G) par intersection avec H1, donc vide
car C est maximal. D e plus (H, C) H, = (H, C)~(H1, G) en restreignant aux
intervalles au dessus de H et de H1 l'isomorphisme du L e m m e 4.6d):
(1, C) L1 = (1,
C)-~(L~, G).
Ainsi, I(H, G)[ est h o m o t o p e ~ un bouquet, index6 par les m~ compl6ments de H~
dans [H, G], de suspensions de I(H1, G)I. Le th6or~me en d6coule.
Preuve de l'assertion 1. Si C est un compl6ment de L~ contenant H, alors
C.HI=C.H.LI=G
et C A H I = C A H . L I = H . ( C A L 1 ) = H .
R6ciproquement, si C est un compl6ment de/-/1 dans [H, G], alors C . L1 = C . H . L1 =
C 9 H 1 = G e t donc C est un compl6ment de L~ en vertu du l e m m e 4.6e).
Preuve de l'assertion 2. On a vu ci-dessus que (H, HI) c est vide, donc
ind6pendant de C. C o m m e les compl6ments de H 1 sont des compl6ments de L t
dans [1, G], ils ne peuvent 6tre comparables vu que les compl6ments d'un
sous-groupe normal ont tous le m 6 m e ordre. I1 reste donc h m o n t r e r la condition
(iii) de la d6finition d ' u n pivot. Soit Zt<--Z2<--. 9 9< - ~
avec Z~=
( ~ O H1)" (Z~ n C~) p o u r un C~ ~ H ~ et Z~ n n I E [H, H 1 ] C. C o m m e (H, Hi) C est
vide, Z~ n n I n e peut prendre que les valeurs H ou H~. Soit r le plus grand indice
i tel que Z ~ . N H I = H si bien que Z~=Z~OC~<-C~ p o u r l = i ~ r
est Z~=
H i " (Z~ n C i) p o u r r+l<=i<=m. Posons C = C, (si r n'existe pas, on choisit
n'importe quel C~H~). La condition (iii) de la d6finition d ' u n pivot sera
satisfaite si on montre que
=(~AH1).(Z~AC)
p o u r tout
1-----i<--m.
Si i <_---r, Z~ _--__Z, --<C, donc Z~ = ~ n C. Si i > r, Z~ >=H. Or on a vu ci-dessus q u ' o n
a un isomorphisme [H~, G ] - ~ [H, C ] r6sultant du L e m m e 4.6d). E n appliquant/~
Z~ l'aller et retour par cet isomorphisme, on obtient ~ =/-/1 9 (Z~ n C), c o m m e
d6sir6. []
Remarque. Si l'on prend H = 1 et donc/-/1 = L1 dans l'Assertion 2 ci-dessus,
Type d'homotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
103
on retrouve un cas particulier du Th6or~me 4.7, ~ savoir le cas off le sous-groupe
normal est minimal, c'est-h-dire simple comme 7/G-module. Le Th6or6me 4.7 en
tant que tel ne sera utilis6 que dans la Proposition 4.12.
I1 est utile d'6noncer le cas particulier H = 1 dans le Th6or6me 4.9:
C O R O L L A I R E 4.10. Soit I = N 0 < ~ N ~ < ~ - . . < ~ N ~ = G une suite principale
d ' u n groupe r~soluble G. Soit m~ le nombre de compl~ments de N~/N~_I darts GINs_ 1
(l<=i-----_s-1). Alors IL(G)I a le type d'homotopie d ' u n bouquet de
mx 9 m2 . . . . . m~_~ spheres de dimension s - 2 .
[]
Remarque. Ce r6sultat g6n6ralise la Proposition 2.6 de [K-T] off seule la
caract6ristique d'Euler r6duite ~ ( L ( G ) ) = / z ( 1 , G) 6tait calcul6e.
C O R O L L A I R E 4.11. Soit 1 = No<l N1 <" 9 9<3 Ns = G une suite principale
d ' u n groupe r~soluble G e t H u n sous-groupe de G. S'il existe i tel que N i _ l <
H . N~_~ NN~ <N~, alors (H, G) est contractile. E n particulier, (H, G) est contractile
si H est compris (proprement) entre deux termes cons~cutifs d'une suite principale.
Preuve. Si H . N j I = H . N i ,
alors H'Ni_lf"INi=Nj, contrairement h
l'hypoth~se. Par cons6quent, H . Ni_l < H . N i e t dans les notations du Th6or~me
4.9, Nj_I = R~_I et N~ = ~ pour un i. Si C est un compl6ment de I~/R~_I dans
G/R~_I, et si C contient H~_x = H . R~_I = H./V~_x, alors N i _ I < H
9 Ni_ 1 f-)Ni
C t I N i = C f 3 ~ = R~-I = Ni-1, ce qui est absurde. Cela signifie que m~ = 0. Ainsi,
I(H, G)I est h o m o t o p e ~ u n bouquet de z6ro spheres, donc est contractile. [ ]
Remarques. 1) II est clair que la situation d6crite dans ce corollaire ne peut
arriver que si H n'est pas normal dans G.
2) Si H . N i tfqN~-=Ni_l et si Nj]Ni_I=Lt/Ri_I poss~de des compl6ments
dans G/Ni_ ~ = G/R~_~, cela ne signifie pas encore que m~ est non nul. En effet, il
peut arriver que H . N i _ I / N i _ I ne soit contenu dans aucun compl6ment de
Nj/Ni_~, quand bien m6me il intersecte trivialement Nj/Nj_~.
Pour terminer, on cherche des conditions pour que L ( G ) soit contractile, toujours
sous l'hypoth~se que G est r6soluble.
P R O P O S I T I O N 4.12. Soit I = M 0 < 3 M I < ~ .. " < ] M r = G une suite de sousgroupes normaux de G. Pour 1 <=i <- r, on suppose que M~/M~_~ est ab~lien (donc G
est r~soluble), et de plus que M~/M~_~ est semi-simple comme 7/[G/M~_l]-module et
que Mi/M~_I poss~de un complement dans G/MI-1. Alors L ( G ) n'est pas contractile.
104
CHARLES KRATZER El" JACQUES TI-IEVENAZ
Preuve. On proc~de par induction s u r r . Si r = 1, G doit &re un Z-module
semi-simple (car G agit trivialement), donc un produit de groupes ab61iens
dl6mentaires. Par la Proposition 4.5, L ( G ) n'est pas contractile.
S i r > 1, Mx est un pivot en vertu du Th6orbme 4.7. Par hypothbse d'induction,
L ( G / M 1 ) ~ ( M ~ , G) n'est pas contractile et par le Corollaire 4.8, il suffit de
montrer que (1, Mx) H ne l'est pas non plus pour H e M~. Or par le Lemme 4.6b),
(1, M~) H est le treillis des sous-ZG-modules de M~. Comme M~ est semi-simple
par hypothbse, ce treillis est dgal au produit des treillis des composantes isotypiques de M1. Par la Proposition 2.5, il suffit de montrer que chacun de ces treillis
n'est pas contractile. Or, si M = S ~ ) . . " ~ S (k facteurs) est un Z G - m o d u l e
semi-simple isotypique et si E n d ~ 6 ( S ) = F, alors F est un corps fini (commutatif
par le th6or~me de Wedderburn), et par 6quivalence de Morita, le treillis des
sous-modules de M est isomorphe au treillis des sous-espaces d'un F-espace
vectoriel de dimension k. Ce dernier n'est pas contractile par la Proposition
3.6. []
Remarquons que la preuve donne en fait une m6thode explicite pour calculer le
type d'homotopie de L ( G ) ~ l'aide de la suite donn6e, ceci de mani~re analogue
au Corollaire 4.10. On trouve bien stir un bouquet de sphbres de m6me dimension, mais leur nombre et la dimension sont d6cdts par des formules diff6rentes de
celles du Corollaire 4.10.
Finalement, voici une proposition qui g6n6ralise le Corollaire 2.7 de [K-T]:
P R O P O S I T I O N 4.13. Soit G un groupe r~soluble, 1 = No<] NI <] " " "<~ Ns = G
une suite principale de G et 1 = Mo <~Mx < ] " " <3Mr = G une suite caract~ristique
maximale de G. Les conditions suivantes sont ~quivalentes :
(i) L ( G ) est contractile.
(ii) ~ ( L ( G ) ) = x ( L ( G ) ) - 1 = O.
(iii) 11 existe 1 <=i<=s - 1 tel que Ni/Ni_~ ne poss~de pas de compl~ment dans
G/NI-1.
(iv) 1l existe 1 <---i<---r-1 tel que M~/1VI~_I ne poss~de pas de compl~ment dans
GIM~_x.
(v) II existe un sous-groupe caract~ristique de G sans compl~ment dans G.
(vi) 11 existe un sous-groupe normal de G sans compl~ment dans G.
(vii) II existe un sous-groupe de G sans compl~ment dans G (au sens des
treillis ).
Preuve. I1 est clair que ( v ) ~ ( v i ) ~ ( v i i ) et (vii)~(i) par la Proposition 1.8.
D e plus, IL(G)[ est homotope h u n bouquet de ~ ( L ( G ) ) spheres, ce qui montre
l'6quivalence de (i) et (ii). Par le Corollaire 4.10, (i) est 6quivalent ~ (iii). Par la
Type d'hornotopie des treillis et treillis des sous-groupes d'un groupe fini
105
Proposition 4.12, (i) implique (iv). En effet, M i / M i _ 1 est un sous-groupe
caract6ristique minimal de G/1VI~_I,donc semi-simple comme 7][G/M~_l]-module
car le radical de /V/~/M~_I est un sous-groupe caract6ristique. Finalement, (iv)
implique (v) car si Mi/Mi_l n'a pas de compl6ment dans G/Mi-1, alors Mi n'en a
pas dans G. [ ]
Remarques. 1) [L(G)t est homotope h u n bouquet de spheres de m6me
dimension si G est r6soluble. La r6ciproque n'est en g6n6ral pas vraie, car IL(As)]
a l e type d'homotopie d'un bouquet de 60 cercles. Par ailleurs, si G = PSL2(g:v), le
groupe simple d'ordre 168, on a: HI(IL(G)[; 2~)~ 0 et H2(IL(G)I; ~)~ 0 et de plus
~ ( L ( G ) ) = 0 . Donc, non seulement [L(G)I n'est pas un bouquet de sph6res
6quidimensionnelles, mais l'6quivalence de (i) et (ii) dans la Proposition 4.13 n'a
plus lieu pour G non r6soluble.
2) M6me si, pour G r6soluble, tousles intervaUes (H, K) ont l'homologie d'un
bouquet de sphbres 6quidimensionnelles, L ( G ) n'est pas n6cessairement C o h e n Macaulay. En fait, L ( G ) est Cohen-Macaulay si et seulement si G est
hyperr6soluble [B1, p. 167]. Rappelons qu'un treillis est Cohen-Macaulay si pour
tout intervalle (a, b), toute chalne maximale dans (a, b) a la m6me longueur d, et
si (a, b) a l'homologie d'un bouquet de spheres de dimension d-2.
3) Dans une autre direction, mentionnons le travail de Suzuki [S] sur le treillis
/S(G) des sous-groupes d'un groupe, &udi6 du point de vue combinatoire. On y
trouve par exemple des conditions pour que /[(G) soit modulaire, semimodulaire, etc.
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