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X Physique A PC 2013 — Énoncé 1/5
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2013 FILIÈREPC
COMPOSITIONDEPHYSIQUE–A–(XE)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
Onse contentera,pourlesapplicationsnumériques,d’un seulchiffresignificatif.
⋆ ⋆ ⋆
Lerayonnementsolairepourlanavigationspatiale
Lalumière exerce unepressionsurles surfacesqu’elle éclaire.LapartieItraite en détail
du phénomène.Enadjoignantunevastevoileréfléchissanteàun satellite,ce mécanismepermet
d’utiliserlapressionexercée parlalumièredu Soleil pourlanavigationspatiale.LapartieII
étudiel’effetdelapression derayonnementsurun satellite enorbiteautourdu Soleil. LapartieIII
traited’un mouvementparticulierd’un vaisseauspatialquiaccompagnelaTerreautourdu Soleil,
rendu possibleparl’usaged’unevoile.
Donnéesnumériques
Vitessedelalumièredanslevide:c=3×108m·s−1
Distance Terre-Soleil : D=1,5×108km
I.Pression derayonnement
Uneonde électromagnétiqueplane,progressive etharmoniquesepropagedanslevidepuis
seréfléchitsurun conducteurohmiqueimmobile,desurface plane,sousincidence normale.
I.1Rappelerdansle casgénéral lesformeslocalesdel’équation de conservation delacharge
électrique etdelaloid’Ohm.En déduirequeladensitéde charge électriquedécroîtaucoursdu
tempsentoutpointàl’intérieurd’un conducteurohmique,avec un tempscaractéristiquedont
on donneral’expression.
I.2ÉcrireleséquationsdeMaxwell dansle conducteur,ensupposantladensitéde chargenulle.
I.3Décrirequalitativementlephénomènedelaréflexion d’uneonde électromagnétiquesurun
conducteur,en détaillantlesmécanismesphysiquesmisenjeu.
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X Physique A PC 2013 — Énoncé 2/5
I.4Rappelerle critèredevaliditédu modèlelimitedu conducteurparfait,etcaractériserle
phénomènederéflexion danscettelimite.
I.5QueltermedeséquationsdeMaxwell estnégligeabledanslemodèlelimitedu conducteur
parfait?Onseplaceradorénavantdansce cadre.
I.6Rappelerl’expression delaforce volumiquedeLaplace en un pointdu conducteur.On
exprimeralerésultatenfonction du champ~ Betdesesdérivées.
I.7On nommepression derayonnement,ou pression deradiation, lapressionexercée parlaforce
deLaplace surle conducteur.Montrerqu’ellevaut
P=1
2µ0
k~ Bk2
où~ Bestle champmagnétiqueàlasurface du conducteur.
I.8Àl’extérieurdu conducteur, l’onde électromagnétique estlasuperposition d’uneondein-
cidente etd’uneonderéfléchie.Quelle estlarelationentrele champmagnétiquetotal~ Bàla
surface du conducteuretle champmagnétique~ Bidel’ondeincidenteaumêmepoint?
I.9Établirlarelationentrelapression derayonnementetladensitéd’énergieudel’onde
incidente.
I.10 Établirlarelationentrelapression derayonnementetlemoduledu vecteurdePoynting
del’ondeincidente.
I.11 Application numérique: lefluxd’énergiereçu du Soleil sousincidence normaleau niveau
del’orbitedelaTerre,ouconstantesolaire,vautΦ0≃1350 W·m−2.Exprimerlapression de
rayonnementP0correspondante enfonction deΦ0,etcalculersavaleur.Commenterl’ordrede
grandeurobtenu.
I.12 Commentlapression derayonnementvarie-t-elleavec ladistance au Soleil ?
I.13 OnseproposemaintenantderetrouverlerésultatdelaquestionI.9paruneapproche
microscopique.Onadmetlesrésultats suivants:uneonde électromagnétiqueplane,progressive
etharmoniquedanslevidepeutaussiêtredécritepardescorpusculesappelésphotons,quise
déplacentàlavitessedelalumièrecdanslesensdepropagation del’onde.Laréflexion del’onde
surle conducteurs’interprètealorscommelerebond desphotons surlasurface du conducteur.
Laquantitédemouvementd’un photonest~~ k,où~ kestlevecteurd’onde et~une constante
universelle.L’énergied’un photonest~ω,oùωestlapulsation del’onde.On notenladensité
dephotonsparunitédevolumedansl’ondeincidente,supposée uniforme.
Rappelerlarelationentreωet|~ k|.En utilisantladéfinitioncinétiquedelapression,retrouver
lerésultatdelaquestionI.9.
I.14 Onasupposéjusqu’àprésentquelaréflexionsefaisaitsousincidence normale.En utilisant
laméthodedelaquestionI.13,établirlarelationentrelapressionetladensitéd’énergiepour
un angled’incidence αquelconque.
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X Physique A PC 2013 — Énoncé 3/5
I.15 Analysededonnées: levaisseauspatialIKAROSestun prototypedevoilesolairefabriqué
parl’agence spatialejaponaise(JAXA),quiaétélancé le20 mai2010 pourvérifierlesperfor-
mancesd’unepropulsion basée surunevoilesolaire.Laforce totale exercée parlesphotons sur
lavoile,d’unesuperficiede173 m2etd’une épaisseurde7,5µm,aétémesurée à 1,12 ×10−3N.
Laforce exercée surlasondespatiale,d’unemassetotalede315 kg,apermisd’augmenterla
vitessed’unedizainedemètresparsecondeau boutd’un mois(source :Wikipedia).
Montrerque cesrésultatsexpérimentauxsontcompatiblesentre euxd’unepart,etavec les
résultatsthéoriquesobtenusplushaut,d’autrepart.
II.Satellite enorbitehéliocentrique
II.1Soitun satellite enorbite circulaireautourdu Soleil, àunedistance rde celui-ci. Exprimer
savitesse enfonction der,delamassedu Soleil M⊙etdelaconstantegravitationnelleG.
Danslasuitede cettepartie,onétudiel’effetdelapression derayonnementsurun satellitede
massempossédantunevoilesolairedesurface S,éclairée toutd’abordsousincidence normale.
OnsupposeraquelesrésultatsdelapartieIrestentvalables si lavoile estenmouvement.
II.2On noteDladistance Terre-Soleil etP0lapression derayonnementau niveau del’orbitede
laTerre,déterminée àlaquestionI.11.Exprimerlaforce exercée surcettevoileparlapression
derayonnementenfonction deS,P0,Detr.
II.3Déterminerpourquellevaleurσcdelamassesurfaciqueσ=m/Sl’attractionsolaire com-
pense exactementlapression derayonnementsousincidence normale.Exprimerσcenfonction
deP0,Detdelavitessev0delaTerreautourdu Soleil.
II.4Application numérique:on donnev0=30 km/s.Calculernumériquementσc.Pourquelle
épaisseurd’unevoilefaitedansun matériauordinaire cettevaleurest-elleatteinte?
II.5Montrerquelarésultantedelaforce gravitationnelle etdelaforce derayonnementdérive
d’une énergiepotentielledonton donneral’expressionenfonction deG,m,M⊙,σ,σcetr.
Quelles sontlestrajectoirespossiblesdanslescasσ>σc,σ=σcetσ<σc?
II.6Lesatellite estinitialementsousl’effetdel’attractiongravitationnelleseule etenorbite
circulairederayonrautourdu Soleil. Ildéploiesavoiledesurface Sàun instantt0.Déterminer
sonénergiemécaniquepourt>t0enfonction deG,m,M⊙,σ,σcetr.En déduirelanature
delanouvelletrajectoire enfonction du rapport σ/σc.Représentersurun mêmeschémal’orbite
initiale etlanouvelletrajectoire correspondantauxdifférentscas.
II.7Onsupposemaintenantquelavoilereçoitlefluxsolairesousl’angled’incidence α,eton
note~nlevecteurunitairenormalàlavoile,dirigédanslesensdelaforce depression.En utilisant
lerésultatdelaquestionI.14,exprimerlaforce ~ FRexercée parlerayonnementsurlavoilesous
laforme~
FR=βFG~n,
oùFGestlemoduledelaforce degravitationexercée parleSoleil surlesatellite,etβestun
coefficientpositifdonton détermineral’expressionenfonction deσ,σcetα.
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X Physique A PC 2013 — Énoncé 4/5
II.8Lesatellite estinitialementsuruneorbite circulaire,savoile étantdéployée sousincidence
normale(α=0).Unemanœuvredu satellitepermetde changerlavaleurdeαenorientantla
voile.Onsupposequeαestconstant,etquelanormale~nrestedansleplan del’orbiteinitiale.
Latrajectoirerestedonc égalementdansce plan.
Onsupposedanstoutelasuitede cettepartiequelaperturbationapportée parlapression
du rayonnementestfaible,detellesortequelavitesseradialevrest trèspetitedevantlavitesse
orthoradialevθ,celle-ciétantdonnée àtoutinstantparlarelationobtenueàlaquestionII.1.
Écrirelethéorèmedu momentcinétique.En déduirel’équation d’évolution der.Montrerque
vr/vθestune constantequ’onexprimeraenfonction deαetβ.
II.9Dessinerl’alluredelatrajectoire.
II.10 Onchercheàfairepasserlesatellitesuruneorbiteplusélevée aumoyen delavoilesolaire.
Pourquelleorientation delavoilele changementd’orbite est-il leplusrapide?Onse contentera
d’une expressionlittéraledeα,sanschercheràévaluersavaleurnumérique.
III.Statite
Leterme“statite”estun mot-valiseforméàpartirde“statique”et“satellite”,etdésigneun
vaisseauspatialgardantunedistance constanteavec laTerre etleSoleil. Onsupposedanstoute
cettepartiequelaTerre estenmouvementcirculaireuniformeautourdu Soleil àlavitesse
angulaireω.Onseplace dansleréférentieltournantàlavitesseangulaireωautourdu Soleil,
danslequel laTerre etleSoleil sont tousdeuximmobiles,etonchoisitdansce référentielun
repèreorthonormé(O,~ex,~ey,~ez),oùOestle centredu Soleil, ~exestdirigédu Soleil verslaTerre,
et~ezestperpendiculaireau plan derévolution delaTerre.LamassedelaTerre étant trèspetite
devantcelledu Soleil, onconsidéreraquele centredegravitédu systèmeTerre-Soleil estenO.
Onconsidèredanstoute cettepartieun satellitedemassemplacé auvoisinagedelaTerre
en un pointAde coordonnées(x,y,z).On posex=D+x′,oùDestladistance Terre-Soleil, et
onsupposex′,yetztrèspetitsdevantD.
III.1Écrirelarésultantedelaforce centrifuge etdelaforce degravitationsolairequis’exercent
surlesatellite.Exprimerωenfonction deG,M⊙etD,etdévelopperlarésultanteàl’ordre1
enx′/D,y/D,etz/D.
III.2Lesatellite estsoumisàl’actioncombinée delaforce centrifuge etdesforcesdegravitation
terrestre etsolaire.On noteM⊕lamassedelaTerre.Montrerqu’il existedeuxpositionsd’équi-
libresurl’axeOx,situéesdepart etd’autredelaTerreàunedistance dqu’onexprimeraen
fonction deD,M⊙etM⊕.On noteL1etL2lespointscorrespondantsàcespositionsd’équilibre,
ditspointsdeLagrange.Parconvention,L2estlepluséloignédu Soleil. L’approximationfaite
àlaquestionIII.1est-ellevalableauxpointsL1etL2?
III.3Application numérique:on donneM⊕/M⊙=3×10−6.Calculerd.
III.4Onadjointunevoilesolaireausatellite.Danscettequestion,onsupposepoursimplifier
quelesrayonsdu Soleil sontparallèlesà~exeton neprend pasencomptel’ombredelaTerre.On
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X Physique A PC 2013 — Énoncé 5/5
chercheà ajusterlasurface etl’orientation delavoilesolairedetellesortequelesatellitesoiten
équilibre.Déterminerlesrégionsdel’espace oùl’équilibre esten principepossible,moyennantun
telajustement.Lesreprésenterschématiquementsurun plancontenantl’axeOx.Onindiquera
clairementsurleschémaladirection du rayonnementsolaire etlespositionsdelaTerre etdes
pointsL1etL2.
III.5Déterminerlavaleurmaximaledex′pourlaquelleun satellitesituésurl’axeOxest
complètementdansl’ombredelaTerre.Onexprimeracettevaleurmaximale,notée δ,enfonction
deD,du rayonterrestreR⊕etdu rayon du Soleil R⊙.
III.6Application numérique:on donneR⊕/R⊙=9×10−3.Calculerδ.
III.7Commentlephénomèned’ombremodifie-t-il leschéma obtenu àlaquestionIII.4?
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