Quelques lois discrètes

QUELQUES LOIS DISCRETES
83
Chapitre 6 : Quelques lois discrètes
§ 6.0 Quelques formules de base… utiles pour la suite… :
n
Formules : a)
∑i =
i=1
n
n(n + 1)
2
b)
∑i
2
=
i=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
n
c) (x + y) n = ∑ C pn x n− p y p (formule du binôme de Newton)
p= 0
Exercice 6.1 :
a)
b)
c)
d)
Calculer : 1 + 2 + 3 + … + 100
Calculer : 12 + 22 + 32 + … + 1002
Développer : (x + y)6
Calculer le coefficient de x12y4 du développement (x + y)16
Raisonnement On peut comparer une démonstration par récurrence au jeu qui consiste à faire
par récurrence: tomber une file de pièces de dominos :
Considérons une rangée infinie de dominos, étiquetés 1, 2, …, n, … où chaque
domino est en position verticale.
Soit p(n) la proposition "on fait tomber le domino n".
Si on arrive à faire tomber le premier domino, autrement dit p(1) est vraie et si,
peu importe quand le nième domino est poussé, il fait tomber le (n + 1)ième domino
c'est-à-dire p(n) ⇒ p(n + 1) est vraie, alors tous les dominos peuvent tomber les
uns après les autres.
n
Démonstration de
∑i =
i=1
3OCMath – Jt 2016
n(n + 1)
par récurrence :
2
84
CHAPITRE 6
Exercice 6.2 :
Démontrer par récurrence :
n
∑i
i=1
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
§ 6.1 Variable uniforme discrète :
Exercice d’intro : • On lance un dé à 6 faces. La variable aléatoire X indique le résultat
obtenu lors du lancer.
7
35
Montrer que E(X) = et que V(X) =
.
2
12
• On lance un dé à 8 faces. La variable aléatoire X indique le résultat
obtenu lors du lancer.
Déterminer E(X) et V(X).
• Des 2 résultats précédents, "devinez" les réponses de la question
suivante:
On lance un dé à n faces. La variable aléatoire X indique le résultat
obtenu lors du lancer.
Déterminer E(X) et V(X).
Définition : Une variable aléatoire X obéit à une loi uniforme discrète si toutes
ses valeurs 1, 2, …, n sont équiprobables :
P(X = k) =
1
1≤ k ≤ n
n
3OCMath – Jt 2016
QUELQUES LOIS DISCRETES
85
Histogramme : Histogramme de la loi uniforme discrète sur le jet d’un dé
Formules : Soit X une variable aléatoire uniforme discrète. On a
n +1
n 2 −1
• E(X) =
• V (X) =
2
12
n
Exercice 6.3 :
n
n(n + 1)
En utilisant: ∑ i =
2
i=1
∑i
et
2
i=1
=
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
démontrer les 2 formules précédentes.
§ 6.2 Variable aléatoire de Bernoulli
Définition : Considérons une expérience aléatoire avec seulement 2 résultats
qu'on désigne par réussite et échec, par exemple le jet d'une pièce de
monnaie. On associe à cette expérience la variable aléatoire de
Bernoulli X qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur 0 en
cas d'échec.
On note X = B(p) avec p la probabilité de réussite de l'expérience. La
distribution de probabilité est résumée dans le tableau ci-dessous:
BERNOULLI Jakob
Suisse, 1654-1705
xi
pi
0
1–p
1
p
Total
1
Formules : Soit X = B(p) une variable aléatoire de Bernoulli. On a
• E(X) = p
• V(X) = p(1 – p)
Preuve : en complétant le tableau :
xi
pi
0
1–p
1
p
Total
1
3OCMath – Jt 2016
pi xi
pi xi2
86
CHAPITRE 6
Exemple : On considère la variable aléatoire X = B(p).
Caractériser puis calculer l'espérance et la variance de la variable
aléatoire Y = 1 – X
xi
pi
yi
piyi2
piyi
Total
Y = B(……)
Exercice 6.4 :
b) Y = 1 – X2
On considère les VA indépendantes X = B(p1) et Y = B(p2).
Caractériser puis calculer l'espérance et la variance des variables
aléatoires Z.
a) Z = XY
Exercice 6.6 :
V(Y) = ………
On considère la variable aléatoire X = B (p).
Caractériser puis calculer l'espérance et la variance des variables
aléatoires Y suivantes :
a) Y = X2
Exercice 6.5 :
E(Y) = .………
b) Z = (1 – X)Y
On considère les variables aléatoires indépendantes X = Y = Z = B(p).
Déterminer la fonction de probabilité des variables aléatoires S.
a) S = X + Y
b) X + Y + Z
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QUELQUES LOIS DISCRETES
87
§ 6.3 Variable aléatoire binomiale (ou Épreuves de Bernoulli)
Exemple d’intro : tirage avec remise
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10; 4 boules sont
blanches et les 6 autres noires. On tire successivement et avec remise
5 boules de cette urne. Déterminons la fonction de probabilités de la
variable aléatoire X donnant le nombre de boules blanches tirées:
xi
0
1
2
3
4
5
Calculs
⎛ 2 ⎞0⎛ 3⎞5
P(X = 0) = C05 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
1
4
5⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
P(X = 1) = C1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
⎛ 2 ⎞2⎛ 3⎞3
P(X = 2) = C25 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
3
2
5⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
P(X = 3) = C3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
⎛ 2 ⎞ 4 ⎛ 3 ⎞1
P(X = 4) = C45 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
5
0
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞
P(X = 5) = C55 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
Total
pi
243
3125
810
3125
1080
3125
720
3125
240
3125
32
3125
1
⎛ 2⎞
X = B ⎜5 ; ⎟
⎝ 5⎠
On répète n fois, dans les mêmes conditions, une épreuve de Bernoulli. La réalisation de chaque épreuve est indépendante de la réalisation des épreuves précédentes. La variable aléatoire X qui donne le
nombre de succès apparaissant au cours de ces n expériences est une
variable aléatoire binomiale, notée B(n ; p).
On considère une séquence particulière d'expériences aboutissant à k
succès. L'indépendance des épreuves montre que la probabilité de cet
événement est égale à pk (1 – p)n-k
Il y a Ckn manières d'obtenir k succès dans une séquence de n
épreuves. On obtient donc la formule:
P(X = k) = Ckn ⋅ p k ⋅ (1− p) n−k
3OCMath – Jt 2016
88
CHAPITRE 6
Histogramme : Deux exemples d’histogramme de loi binomiale :
Histogramme de B(10 ; 0,1)
Histogramme de B(10 ; 0,5)
Remarque : Notons que la somme de ces probabilités vaut bien 1 car, par la formule du binôme:
n
n
∑ P(X = k) = ∑C
n
k
n
⋅ p k ⋅ (1− p)n−k = ( p + (1− p)) = 1
k=0
k=0
Formules : Soit B(n ; p) une variable aléatoire binomiale. On a :
• E(X) = n ⋅ p
• V (X) = n ⋅ p ⋅ (1− p)
Exemple : On lance 5 fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. Compléter la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le
nombre de faces obtenues :
xi
Calculs
pi
0
P(X = 0) =
=
1
32
1
P(X = 1) =
=
5
32
2
P(X = 2) =
=
10
32
3
P(X = 3) =
=
10
32
4
P(X = 4) =
=
5
32
5
P(X = 5) =
=
1
32
Total
X = B( ;
1
)
Déterminer le nombre de faces espérées, ainsi que sa variance.
3OCMath – Jt 2016
QUELQUES LOIS DISCRETES
Exercice 6.7 :
Si X = B(20;0,2) calculer:
a) P(X = 5)
Exercice 6.8 :
Exercice 6.10 :
b) P(X ≥ 5)
c) E(X)
d) V(X)
Soit X = B(10 ; 0,7), à l’aide de la table binomiale proposée en fin de
chapitre (page 101), calculer:
a) P(X ≤ 3)
Exercice 6.9 :
89
b) P(4 < X < 8)
c) E(X)
d) V(X)
En utilisant la table binomiale, tracer et comparer les histogrammes de:
X = B(5 ; 0,5), X = B(5 ; 0,2), X = B(5 ; 0,8)
On lance 6 fois une pièce de monnaie bien équilibrée.
a)
b)
c)
d)
Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 faces ?
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 4 faces ?
Quel est le nombre de faces espéré ?
Quelle est la variance de la variable aléatoire donnant le nombre
de faces obtenues ?
Exercice 6.11 :
On lance un dé bien équilibré à 5 reprises.
a) Calculer la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le
nombre de 1 obtenu.
b) Calculer l'espérance et la variance de cette variable aléatoire.
Exercice 6.12 :
La probabilité qu'un patient auquel on administre un remède guérisse
est de 90%. Quelle est la probabilité que l'on guérisse au moins 18
des 20 patients auxquels on a administré ce remède? Combien de
patients peut-on espérer guérir ?
Exercice 6.13 :
On fait une enquête auprès de 500 familles ayant quatre enfants.
a) Quel est le nombre espéré de familles ayant au moins un garçon ?
b) Quel est le nombre espéré de familles ayant une ou deux filles ?
Exercice 6.14 :
En utilisant la table binomiale, déterminer le mode puis les quartiles
de la loi B(20 ; 0,4).
Faites apparaître ces valeurs sur l’histogramme suivant :
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90
CHAPITRE 6
§ 6.4 Variable aléatoire hypergéométrique
Exemple d’intro : tirage sans remise
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10; 4 boules sont
blanches et les 6 autres noires. On tire simultanément 3 boules de
cette urne. Déterminons la fonction de probabilités de la variable
aléatoire X donnant le nombre de boules blanches tirées:
xi
0
1
2
3
Calculs
C 4 C 6 1⋅ 20
P(X = 0) = 0 10 3 =
=
120
C3
C 4 C 6 4 ⋅15
=
P(X = 1) = 1 10 2 =
120
C3
C24 C16 6 ⋅ 6
=
P(X = 2) =
=
120
C10
3
C 4 C 6 4 ⋅1
P(X = 3) = 3 10 0 =
=
120
C3
Total
pi
1
6
1
2
3
10
1
30
1
X = H(10 ; 3 ; 4)
Généralisons ce raisonnement: on prélève simultanément un échantillon de n individus dans une population de N individus. R individus
possèdent une caractéristique étudiée et N – R individus n'ont pas
cette caractéristique. La variable aléatoire X qui donne le nombre
d'individus dans l'échantillon avec cette caractéristique suit la loi
hypergéométrique X = H(N ; n ; R):
P(X = k) =
N −R
CkR ⋅ Cn−k
CnN
Histogramme : Deux exemples d’histogramme de loi hypergéométrique :
Histogramme de H(20 ; 3 ; 11)
Histogramme de H(20 ; 7 ; 11)
Formules : Soit X = H(N ; n ; p) une variable aléatoire hypergéométrique:
N−n
• E(X) = np
• V(X) =
np(1− p)
N −1
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QUELQUES LOIS DISCRETES
91
Remarque : Vous constatez que l’on peut aussi caractériser un loi hypergéoméR
trique par X = H(N ; n ; p) avec p =
N
Exemple : On tire simultanément 5 cartes d'un jeu ordinaire de 52 cartes.
a) Compléter la loi de probabilité de la variable aléatoire donnant le
nombre de cartes de pique choisies:
X = H(… ; … ; …) = H(… ; … ; …)
xi
Calculs
pi
0
P(X = 0) =
=
0,2215
1
P(X = 1) =
=
0,4114
2
P(X = 2) =
=
0,2743
3
P(X = 3) =
=
0,0815
4
P(X = 4) =
=
0,0107
5
P(X = 5) =
=
0,005
Total
1
b) Déterminer le nombre de cartes de pique espéré, ainsi que sa variance.
Exemple : Dans un groupe de 25 personnes, 10 sont des fumeurs. On choisit, au
hasard 5 de ces personnes pour former un comité.
a) Quel nombre de fumeurs peut-on espérer dans le comité?
b) Montrer que la probabilité que le comité ait moins de fumeurs
que de non-fumeurs est d’environ 70%
3OCMath – Jt 2016
92
CHAPITRE 6
Exercice 6.15 :
Si X = H(20 ; 4 ; 10) calculer:
a) P(X = 3)
b) P(X ≤ 2)
c) E(X)
d) V(X)
Exercice 6.16 :
Déterminer la fonction de probabilités de la variable aléatoire
X = H(11 ; 8 ; 5)
Exercice 6.17 :
Une urne contient 15 boules dont 5 sont rouges. On choisit, simultanément et au hasard trois boules dans cette urne.
a) Quelle est la probabilité que deux boules soient rouges ?
b) Calculer le nombre de boules rouges espérées et la variance de ce
nombre de boules rouges.
Exercice 6.18 :
On considère la variable aléatoire X = H(1000 ; 5 ; 100).
a) Montrer que lors du calcul de P(X = 3), la réponse peut être convenablement approximée par la loi binomiale B(5 ; 1/10).
b) Expliquer l'approximation de la loi hypergéométrique par la loi
⎛ 1 ⎞3⎛ 9 ⎞2
binomiale en développant le calcul P(X = 3) ≅ C35 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
§ 6.5 Tendance de la loi hypergéométrique vers la loi binomiale
L'espérance de la loi hypergéométrique H(N ; n ; p) est indépendante
de N. Elle est égale à l'espérance de la loi binomiale B(n ; p). La variance de la loi hypergéométrique H(N ; n ; p) tend vers la variance
de la loi binomiale B(n ; p) quand N tend vers l'infini:
N−n
⋅ n ⋅ p ⋅ (1− p) = n ⋅ p ⋅ (1− p)
N →+∞ N −1
C R ⋅ C N −R
lim k N n−k = Ckn ⋅ p k ⋅ (1− p) n−k
N →+∞
Cn
lim
En résumé: la loi hypergéométrique H(N ; n ; p) tend vers la loi binomiale
B(n ; p) quand N tend vers l'infini. La différence entre un tirage avec
remise et un tirage sans remise est faible si la population est nombreuse et la taille de l'échantillon petite par rapport à celle de la population.
3OCMath – Jt 2016
QUELQUES LOIS DISCRETES
93
Exemple Compléter le tableau suivant :
Loi
xi
0
1
2
Total
H(52 ; 2 ; 0,25)
pi
0,5588
0,3824
1
B(2 ; 0,25)
pi
0,5625
0,0625
1
Comparaison sur l’histogramme :
On considère que la loi hypergéométrique X = H(N ; n ; p) est
presque identique à la loi binomiale B(n ; p) si 20n ≤ N.
Exercice 6.19 :
Dans un village de 5'000 habitants, on compte 1'000 personnes ayant
dépassé 60 ans. Si on choisit au hasard un groupe de 10 personnes
dans ce village, quelle est la probabilité que trois d'entre elles aient
dépassé 60 ans (donner le calcul) ? Approximer également ce résultat
par une loi binomiale.
§ 6.6 Variable aléatoire de Poisson
Introduction: Les situations où un événement particulier se reproduit à intervalles
réguliers au cours du temps obéissent souvent aux trois conditions
suivantes:
• la probabilité que l'événement se réalise exactement une fois au
cours de l'intervalle de temps Δt est approximativement proportionnelle à la longueur de l'intervalle pΔt ;
• la probabilité que l'événement se réalise deux fois ou plus au cours
de l'intervalle de temps est "petite";
• la probabilité est indépendante de ce qui se passe dans un autre
intervalle de temps disjoint.
3OCMath – Jt 2016
94
CHAPITRE 6
Exemple: Les appels téléphoniques sur un central, les pannes de machines, les
arrivées à un péage d'autoroute ou à un guichet de vente, les tremblements de terre, les accidents ... On parle de processus aléatoire
de Poisson.
Définition: Une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ, notée X = P(λ),
est une VA qui peut prendre les valeurs entières 0, l, 2, ... avec la
probabilité:
λk
P(X = k) = ⋅ e− λ
k!
Histogramme : Deux exemples d’histogramme de loi de Poisson :
Histogramme de P(1)
Histogramme de P(5)
Formules : Soit X = P(λ) une variable aléatoire de Poisson:
• E(X) = λ
• V(X) = λ
Remarques : 1) La distribution de Poisson fut introduite par Siméon Denis Poisson (1781-1840) dans un ouvrage traitant des applications de la
théorie des probabilités aux problèmes juridiques. Son livre, publié en 1837, était intitulé Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile.
2) La loi de Poisson est aussi appelée la loi des phénomènes "rares".
Exemple: Admettons que le nombre d'erreurs par page dans ce cours suive une
distribution de Poisson avec paramètre λ = 0,5. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins une erreur sur cette page ?
3OCMath – Jt 2016
QUELQUES LOIS DISCRETES
95
Exemple: On considère l'expérience qui consiste à mesurer le nombre de particules α émises dans l'intervalle d'une seconde par un gramme de
matière radioactive. Des expériences ont montré qu'en moyenne 3,2
particules sont émises par seconde.
a) Quelle est la probabilité que 2 particules α soient enregistrées ?
b) Quelle est la probabilité qu'au plus 2 particules α soient enregistrées ?
Exercice 6.20 :
Si X = P(3,4) donner le calcul et calculer:
a) P(X = 3)
b) P(X ≥ 2)
c) E(X)
d) V(X)
Exercice 6.21 :
On suppose qu'il y a en moyenne 2 secousses sismiques par semaine
dans la moitié ouest des États-Unis. Montrer que la probabilité qu'il
se produise au moins 3 secousses durant les 2 prochaines semaines
est d’environ 76%.
Exercice 6.22 :
On a noté qu'il se présente en moyenne 5 clients par heure au guichet
d'une succursale de banque. On suppose que le nombre de clients est
distribué selon une loi de Poisson.
À l’aide de la table de la loi Poisson proposée en fin de chapitre
(page 102), calculer la probabilité que durant une heure plus de 10
clients se présentent à ce guichet.
Exercice 6.23 :
On a constaté qu'il arrive dans un port en moyenne un cargo tous les
2 jours. Calculer la probabilité qu'un jour il arrive 2 bateaux ou plus
si on suppose que le nombre d'arrivées dans le port suit une loi de
Poisson.
Exercice 6.24 :
Chaque rouleau de 500 mètres de tôle comporte, en moyenne, deux
zones défectueuses, inaptes à une utilisation pratique. On suppose
que le nombre de zones défectueuses est distribué selon une loi de
Poisson. Quelle est la probabilité qu'une section de 100 mètres de
longueur ne contienne aucune partie défectueuse (donner le calcul) ?
3OCMath – Jt 2016
96
CHAPITRE 6
Exercice 6.25 :
On suppose que la première épreuve d'un manuel en cours d'impression contient 50 fautes de typographie, réparties au hasard sur les
500 pages du livre. Le nombre de fautes suit une loi de Poisson.
Quelle est la probabilité:
a) Qu'un chapitre de 30 pages comporte 2 erreurs ou plus ?
b) Qu'un autre chapitre de 50 pages comporte 2 erreurs ou plus ?
c) Qu'une page tirée au hasard ne contienne aucune erreur (donner
le calcul) ?
Exercice 6.26 :
On considère la loi X = B(n ; 3/n)
a) Calculer lim P(X = 4)
n →+∞
b) Généraliser sans faire les calculs à lim P(X = k)
n →+∞
c) Et plus généralement?
§ 6.7 Tendance de la loi binomiale vers la loi de Poisson
On peut utiliser les variables aléatoires de Poisson pour approximer
les variables aléatoires binomiales. Considérons la variable aléatoire
binomiale X = B(n ; p) et posons λ = np.
Compléter les égalités suivantes :
…
⋅ p… ⋅ (……)… =
P(X = k) = C…
…………… k
p ⋅ (1− p) n−k
……………
…
n−k
…………… ⎛ λ ⎞ ⎛ … ⎞
=
⎜ ⎟ ⋅ ⎜1− ⎟
…………… ⎝ n ⎠ ⎝ … ⎠
n
⎛ λ⎞
⎜1− ⎟
k
n(n −1)…(n − k + 1) λ ⎝ n ⎠
⋅ ⋅
=
nk
… ⎛ λ ⎞…
⎜1− ⎟
⎝ n⎠
Mais individuellement, les 3 limites suivantes valent :
⎛ λ ⎞n
• lim ⎜1− ⎟ = e− λ
n →+∞ ⎝
n⎠
n(n −1)…(n − k + 1)
• lim
=1
n →+∞
nk
⎛ λ ⎞k
• lim ⎜1− ⎟ = 1
n →+∞ ⎝
n⎠
Par conséquent :
lim P(X = k) = lim Ckn ⋅ p k ⋅ (1− p) k = e− λ
n →+∞
n →+∞
λk
k!
3OCMath – Jt 2016
QUELQUES LOIS DISCRETES
97
En résumé: si on réalise n épreuves indépendantes ayant une probabilité p de
succès et si n est grand et p assez petit pour rendre np moyen, le
nombre de succès suit approximativement une variable aléatoire de
Poisson de paramètre λ = np.
Loi B(50 ; 0,1)
xi
pi
...
…
P(5)
pi
…
3
0,1386
0,1404
4
5
6
0,1809
0,1849
0,1541
0,1755
0,1755
0,1462
7
...
0,1076
...
0,1044
. ..
Comparaison sur l’histogramme :
Concrètement, on utilise l’approximation si n ≥ 30 ; p ≤ 0,1 ; np ≤ 15
Exercice 6.27 :
Une compagnie d'assurances envisage d'ajouter à ses programmes
d'assurances la couverture d'une maladie relativement rare. D'une
part, les statistiques disponibles permettent d'estimer à 1‰ la probabilité qu'un individu pris au hasard contracte ladite maladie et,
d'autre part, la compagnie d'assurances envisage de proposer le nouveau produit à un groupe de 3000 membres.
a) Calculer l'espérance mathématique de l'apparition de la maladie
dans ce groupe.
b) Donner le calcul et calculer la probabilité exacte qu'aucun
membre du groupe ne contracte la maladie.
c) Donner le calcul et calculer la probabilité approximative qu'aucun membre du groupe ne contracte la maladie.
3OCMath – Jt 2016
98
CHAPITRE 6
Exercice 6.28 :
Dans une usine où l'on fabrique des générateurs, on a noté qu'il y en
a, en moyenne, un générateur défectueux pour mille à la sortie de
l'atelier d'assemblage, les imperfections se répartissant au hasard sur
toute la production. Calculer la probabilité exacte et approchée:
a) qu'une livraison de 500 générateurs ne contienne aucun générateur défectueux (donner le calcul);
b) qu'une livraison de 100 générateurs contienne au moins un générateur défectueux.
Exercice 6.29 :
Une statistique des arrivées des clients d'un magasin chaque minute
est donnée dans le tableau ci-dessous:
xi
fi
0
1
2
3
4
5
0,15 0,25 0,25 0,20 0,10 0,05
a) Calculer la moyenne et la variance de cette variable statistique.
b) Étudier l'ajustement d'une distribution de Poisson à cette distribution statistique.
§ 6.8 La loi géométrique
Exemple d’intro : temps d'attente dans un tirage avec remise
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire des
boules une à une avec remise jusqu'à l'apparition d'une boule
blanche. Déterminons la fonction de probabilités de la variable aléatoire X qui donne le nombre de tirages jusqu'à l'apparition de la première boule blanche:
xi
1
Calcul des probabilités
P(X = 1) =
pi
2
5
2
5
1
2
3
4
...
⎛ 3⎞ 2
P(X = 2) = ⎜ ⎟ ⋅
⎝ 5⎠ 5
2
⎛ 3⎞ 2
P(X = 3) = ⎜ ⎟ ⋅
⎝ 5⎠ 5
3
⎛ 3⎞ 2
P(X = 4) = ⎜ ⎟ ⋅
⎝ 5⎠ 5
...........................
Total
⎛ 2⎞
X = G⎜ ⎟
⎝ 5⎠
⎛ 3⎞
P(X = k) = ⎜ ⎟
⎝ 5⎠
6
25
18
125
54
625
...
1
k−1
⋅
2
5
Définition : La variable aléatoire X qui donne le nombre de tirages jusqu'au
premier succès est une variable aléatoire géométrique, notée G(p).
On obtient donc la formule générale:
P(X = k) = (1− p)
k−1
⋅p
3OCMath – Jt 2016
QUELQUES LOIS DISCRETES
99
Histogramme : Exemples d’histogramme de loi géométrique:
Histogramme de G(0,5)
Formules : Soit X = G(p) une variable aléatoire géométrique. On a :
1
1− p
• E(X) =
• V(X) =
p
p2
Exemple: Jean-Marc est distrait: quand il s'arrête pour prendre de l'essence, il y
a une chance sur cinq pour qu'il reparte sans sa passagère, descendue
pour visiter les lieux. Soit X la variable aléatoire égale au numéro de
l'arrêt où il oublie sa passagère:
a) Déterminer E(X). À quoi correspond cette valeur
b) Déterminer le nombre maximum d'arrêts que peut comporter le
voyage pour que la passagère arrive à destination dans la voiture
de Jean-Marc avec une probabilité supérieure à 60%
Exercice 6.30 :
Si X = G(0,4) calculer:
a) P(X = 3)
3OCMath – Jt 2016
b) P(X ≥ 5)
c) E(X)
d) V(X)
100
CHAPITRE 6
Exercice 6.31 :
a) Une urne contient 72 boules: 18 vertes et 54 jaunes. On tire des
boules une à une avec remise. Soit X la variable aléatoire qui indique le nombre de boules qu'il faut tirer pour obtenir la première
boule verte.
1) Calculer la probabilité que la 16ème boule tirée soit la première boule verte tirée.
2) Combien de boules faut-il tirer en moyenne pour obtenir une
boule verte ?
b) Même urne. On tire maintenant au hasard et avec remise 56
boules de l'urne.
1) Calculer la probabilité de tirer 16 boules vertes.
2) Combien de boules vertes peut-on espérer en moyenne ?
Exercice 6.32 :
On lance un dé bien équilibré et l'on s'intéresse à la variable aléatoire
X donnant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier
6.
a) Quel est l'ensemble des valeurs prises par cette VA.
b) Déterminer la fonction de probabilité et la fonction de répartition.
c) Calculer E(X) et V(X)
§ 6.9 Un petit mélange
Exercice 6.33 :
Le nombre de patients arrivant chaque heure aux urgences d'un hôpital de la région admet une moyenne de 5,8
a) Quel modèle (loi) probabiliste s’agira-t-il de considérer ?
b) Quel est le nombre d'arrivées le plus probable au cours d'une
période d'une heure?
c) Quelle est la probabilité pour que le nombre de patients se présentant au cours d'une période d'une heure soit inférieur au
nombre moyen de patients par heure?
d) Au cours d'une période d'une heure. Quelle est la probabilité
d'avoir recours à du personnel supplémentaire?
Exercice 6.34 :
Sirius est l'étoile la plus brillante du ciel. Calculer la probabilité qu'il
faille attendre 100 ans avant que n'apparaisse une comète plus brillante que Sirius si la probabilité d'apparition pendant une année d'une
comète plus brillante que Sirius est égale à
1
43
Exercice 6.35 :
Un pâtissier a 15 gâteaux dont 5 ont été fabriqués la veille. Un client
arrive et choisit au hasard 3 gâteaux d’un seul coup. Quelle est la
probabilité qu’il ait choisi deux gâteaux fabriqués la veille ?
Exercice 6.36 :
Un chasseur d'oies blanches abat 70% des oies sur lesquelles il tire.
Calculer l'espérance du nombre d'oies abattues dans ces 5 tirs.
3OCMath – Jt 2016
QUELQUES LOIS DISCRETES
101
Table: Loi binomiale de paramètre n et p: P(X = k) = Ckn ⋅ p k ⋅ (1− p) n−k
p
k
0
1
2
3
4
5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,5905
0,3281
0,0729
0,0081
0,0005
0,0000
0,3277
0,4096
0,2048
0,0512
0,0064
0,0003
0,1681
0,3602
0,3087
0,1323
0,0284
0,0024
0,0778
0,2592
0,3456
0,2304
0,0768
0,0102
0,0313
0,1563
0,3125
0,3125
0,1563
0,0313
0,0102
0,0768
0,2304
0,3456
0,2592
0,0778
0,0024
0,0284
0,1323
0,3087
0,3602
0,1681
0,0003
0,0064
0,0512
0,2048
0,4096
0,3277
0,0000
0,0004
0,0081
0,0729
0,3281
0,5905
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,3487
0,3874
0,1937
0,0574
0,0112
0,0015
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,1074
0,2684
0,3020
0,2013
0,0881
0,0264
0,0055
0,0008
0,0001
0,0000
0,0000
0,0282
0,1211
0,2335
0,2668
0,2001
0,1029
0,0368
0,0090
0,0014
0,0001
0,0000
0,0060
0,0403
0,1209
0,2150
0,2508
0,2007
0,1115
0,0425
0,0106
0,0016
0,0001
0,0010
0,0098
0,0439
0,1172
0,2051
0,2461
0,2051
0,1172
0,0439
0,0098
0,0010
0,0001
0,0016
0,0106
0,0425
0,1115
0,2007
0,2508
0,2150
0,1209
0,0403
0,0060
0,0000
0,0001
0,0014
0,0090
0,0368
0,1029
0,2001
0,2668
0,2335
0,1211
0,0282
0,0000
0,0000
0,0001
0,0008
0,0055
0,0264
0,0881
0,2013
0,3020
0,2684
0,1074
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0015
0,0112
0,0574
0,1937
0,3874
0,3487
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,2059
0,3432
0,2669
0,1285
0,0428
0,0105
0,0019
0,0003
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0352
0,1319
0,2309
0,2501
0,1876
0,1032
0,0430
0,0138
0,0035
0,0007
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0047
0,0305
0,0916
0,1700
0,2186
0,2061
0,1472
0,0811
0,0348
0,0116
0,0030
0,0006
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0005
0,0047
0,0219
0,0634
0,1268
0,1859
0,2066
0,1771
0,1181
0,0612
0,0245
0,0074
0,0016
0,0003
0,0000
0,0000
0,0000
0,0005
0,0032
0,0139
0,0417
0,0916
0,1527
0,1964
0,1964
0,1527
0,0916
0,0417
0,0139
0,0032
0,0005
0,0000
0,0000
0,0000
0,0003
0,0016
0,0074
0,0245
0,0612
0,1181
0,1771
0,2066
0,1859
0,1268
0,0634
0,0219
0,0047
0,0005
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0006
0,0030
0,0116
0,0348
0,0811
0,1472
0,2061
0,2186
0,1700
0,0916
0,0305
0,0047
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0007
0,0035
0,0138
0,0430
0,1032
0,1876
0,2501
0,2309
0,1319
0,0352
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0003
0,0019
0,0105
0,0428
0,1285
0,2669
0,3432
0,2059
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,1216
0,2702
0,2852
0,1901
0,0898
0,0319
0,0089
0,0020
0,0004
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0115
0,0576
0,1369
0,2054
0,2182
0,1746
0,1091
0,0545
0,0222
0,0074
0,0020
0,0005
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0008
0,0068
0,0278
0,0716
0,1304
0,1789
0,1916
0,1643
0,1144
0,0654
0,0308
0,0120
0,0039
0,0010
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0005
0,0031
0,0123
0,0350
0,0746
0,1244
0,1659
0,1797
0,1597
0,1171
0,0710
0,0355
0,0146
0,0049
0,0013
0,0003
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0002
0,0011
0,0046
0,0148
0,0370
0,0739
0,1201
0,1602
0,1762
0,1602
0,1201
0,0739
0,0370
0,0148
0,0046
0,0011
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0003
0,0013
0,0049
0,0146
0,0355
0,0710
0,1171
0,1597
0,1797
0,1659
0,1244
0,0746
0,0350
0,0123
0,0031
0,0005
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0002
0,0010
0,0039
0,0120
0,0308
0,0654
0,1144
0,1643
0,1916
0,1789
0,1304
0,0716
0,0278
0,0068
0,0008
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0005
0,0020
0,0074
0,0222
0,0545
0,1091
0,1746
0,2182
0,2054
0,1369
0,0576
0,0115
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0004
0,0020
0,0089
0,0319
0,0898
0,1901
0,2852
0,2702
0,1216
n
5
3OCMath – Jt 2016
102
CHAPITRE 6
Table: Loi de Poisson de paramètre λ : P(X = k) = e− λ ⋅
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
λk
k!
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,3679
0,3679
0,1839
0,0613
0,0153
0,0031
0,0005
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,2231
0,3347
0,2510
0,1255
0,0471
0,0141
0,0035
0,0008
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,1353
0,2707
0,2707
0,1804
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0821
0,2052
0,2565
0,2138
0,1336
0,0668
0,0278
0,0099
0,0031
0,0009
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0498
0,1494
0,2240
0,2240
0,1680
0,1008
0,0504
0,0216
0,0081
0,0027
0,0008
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0302
0,1057
0,1850
0,2158
0,1888
0,1322
0,0771
0,0385
0,0169
0,0066
0,0023
0,0007
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0183
0,0733
0,1465
0,1954
0,1954
0,1563
0,1042
0,0595
0,0298
0,0132
0,0053
0,0019
0,0006
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0111
0,0500
0,1125
0,1687
0,1898
0,1708
0,1281
0,0824
0,0463
0,0232
0,0104
0,0043
0,0016
0,0006
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0067
0,0337
0,0842
0,1404
0,1755
0,1755
0,1462
0,1044
0,0653
0,0363
0,0181
0,0082
0,0034
0,0013
0,0005
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Références bibliographiques
[1] H. BOVET. Statistique (polycopié utilisé à la heig-vd).
Le polycopié que vous avez entre les mains en est très largement inspiré. Qu'il soit remercié ici ;-)
[2] E. BRESSOUD. Statistique descriptive avec Excel et la calculatrice. Pearson Education,
2008.
[3] A. LINDENBERG. Les stats en bulles (Terminales, Licence 1re année). Pearson Education, 2007.
Références WEB
[4] www.javmath.c.la (rubrique « option complémentaire »)
Le site-compagnon qui accompagne ce polycopié
[5] www.agro-montpellier.fr/cnam-lr/statnet/cours.htm
Un excellent résumé de statistique descriptive, probabilité, variables aléatoires, lois discrètes et continues
3OCMath – Jt 2016