Quelques lois discrètes

QUELQUES LOIS DISCRETES 83
3OCMath – Jt 2016
Chapitre 6 : Quelques lois discrètes
§ 6.0 Quelques formules de base… utiles pour la suite… :
a)
i
i=1
n
∑=n(n+1)
2
b)
i
2
i=1
n
∑=n(n+1)(2 n+1)
6
c)
(x+y)n=Cp
n
p=0
n
∑xn−pyp
(formule du binôme de Newton)
Formules :
a) Calculer : 1 + 2 + 3 + … + 100
b) Calculer : 12 + 22 + 32 + … + 1002
c) Développer : (x + y)6
d) Calculer le coefficient de x12y4 du développement (x + y)16
Exercice 6.1 :
On peut comparer une démonstration par récurrence au jeu qui consiste à faire
tomber une file de pièces de dominos :
Considérons une rangée infinie de dominos, étiquetés 1, 2, …, n, … où chaque
domino est en position verticale.
Soit p(n) la proposition "on fait tomber le domino n".
Si on arrive à faire tomber le premier domino, autrement dit p(1) est vraie et si,
peu importe quand le nième domino est poussé, il fait tomber le (n + 1)ième domino
c'est-à-dire p(n) ⇒ p(n + 1) est vraie, alors tous les dominos peuvent tomber les
uns après les autres.
Raisonnement
par récurrence:
Démonstration de
i
i=1
n
∑=n(n+1)
2
par récurrence :

84 CHAPITRE 6
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Démontrer par récurrence :
i
2
i=1
n
∑=n(n+1)(2 n+1)
6
Exercice 6.2 :
§ 6.1 Variable uniforme discrète :
Exercice d’intro : • On lance un dé à 6 faces. La variable aléatoire X indique le résultat
obtenu lors du lancer.
Montrer que E(X) =
7
2
et que V(X) =
35
12
.
• On lance un dé à 8 faces. La variable aléatoire X indique le résultat
obtenu lors du lancer.
Déterminer E(X) et V(X).
• Des 2 résultats précédents, "devinez" les réponses de la question
suivante:
On lance un dé à n faces. La variable aléatoire X indique le résultat
obtenu lors du lancer.
Déterminer E(X) et V(X).
Définition : Une variable aléatoire X obéit à une loi uniforme discrète si toutes
ses valeurs 1, 2, …, n sont équiprobables :
P(X=k)=1
n1≤k≤n

QUELQUES LOIS DISCRETES 85
3OCMath – Jt 2016
Histogramme : Histogramme de la loi uniforme discrète sur le jet d’un dé
Formules : Soit X une variable aléatoire uniforme discrète. On a
•
E(X)=n+1
2
•
V(X)=n2−1
12
En utilisant:
i
i=1
n
∑=n(n+1)
2
et
i
2
i=1
n
∑=n(n+1)(2 n+1)
6
,
démontrer les 2 formules précédentes.
Exercice 6.3 :
§ 6.2 Variable aléatoire de Bernoulli
Définition :
BERNOULLI Jakob
Suisse, 1654-1705
Considérons une expérience aléatoire avec seulement 2 résultats
qu'on désigne par réussite et échec, par exemple le jet d'une pièce de
monnaie. On associe à cette expérience la variable aléatoire de
Bernoulli X qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur 0 en
cas d'échec.
On note X = B(p) avec p la probabilité de réussite de l'expérience. La
distribution de probabilité est résumée dans le tableau ci-dessous:
xi pi
0 1 – p
1 p
Total 1
Formules : Soit X = B(p) une variable aléatoire de Bernoulli. On a
• E(X) = p • V(X) = p(1 – p)
Preuve : en complétant le tableau :
xi pi pi xi pi xi
2
0 1 – p
1 p
Total 1

86 CHAPITRE 6
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Exemple : On considère la variable aléatoire X = B(p).
Caractériser puis calculer l'espérance et la variance de la variable
aléatoire Y = 1 – X
xi pi yi piyi piyi
2
Total
Y = B(……) E(Y) = .……… V(Y) = ………
On considère la variable aléatoire X = B (p).
Caractériser puis calculer l'espérance et la variance des variables
aléatoires Y suivantes :
a) Y = X2 b) Y = 1 – X2
Exercice 6.4 :
On considère les VA indépendantes X = B(p1) et Y = B(p2).
Caractériser puis calculer l'espérance et la variance des variables
aléatoires Z.
a) Z = XY b) Z = (1 – X)Y
Exercice 6.5 :
On considère les variables aléatoires indépendantes X = Y = Z = B(p).
Déterminer la fonction de probabilité des variables aléatoires S.
a) S = X + Y b) X + Y + Z
Exercice 6.6 :

QUELQUES LOIS DISCRETES 87
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§ 6.3 Variable aléatoire binomiale (ou Épreuves de Bernoulli)
Exemple d’intro : tirage avec remise
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10; 4 boules sont
blanches et les 6 autres noires. On tire successivement et avec remise
5 boules de cette urne. Déterminons la fonction de probabilités de la
variable aléatoire X donnant le nombre de boules blanches tirées:
xi Calculs pi
0 P(X = 0) =
C
0
5
2
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
3
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
=
243
3125
1 P(X = 1) =
C
1
52
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
3
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
=
810
3125
2 P(X = 2) =
C
2
5
2
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
3
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
=
1080
3125
3 P(X = 3) =
C
3
5
2
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
3
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
=
720
3125
4 P(X = 4) =
C
4
52
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
3
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
=
240
3125
5 P(X = 5) =
C
5
5
2
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
3
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
=
32
3125
Total 1
X = B 5 ;
2
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
On répète n fois, dans les mêmes conditions, une épreuve de Ber-
noulli. La réalisation de chaque épreuve est indépendante de la réali-
sation des épreuves précédentes. La variable aléatoire X qui donne le
nombre de succès apparaissant au cours de ces n expériences est une
variable aléatoire binomiale, notée B(n ; p).
On considère une séquence particulière d'expériences aboutissant à k
succès. L'indépendance des épreuves montre que la probabilité de cet
événement est égale à pk (1 – p)n-k
Il y a
Ck
n
manières d'obtenir k succès dans une séquence de n
épreuves. On obtient donc la formule:
P(X=k)=Ck
n⋅pk⋅(1 −p)n−k