Exercices sur les écoulements compressibles

Exercices sur les écoulements compressibles
IUT - GTE - Marseille
2012-13
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Exercice 1
Calculer la température et la pression d’arrêt sur le bord d’attaque de l’aile d’un avion volant à
Mach M a = 0.98 dans une atmosphère à 15◦ C et 105 Pa. On prendra γ = 7/5 et r = 287 J/kg/K.
Refaire les calculs pour M a = 2.
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Exercice 2
Un avion vole à un nombre de Mach de 0.95 (calculé à partir de la vitesse de l’avion) à une altitude
où la pression atmosphérique est P = 0, 2232 bar et la masse volumique de l’air ρ = 0, 349 kg/m3 .
1. Calculer la vitesse de l’avion en km/h.
2. Calculer la pression et la température du point d’arrêt sur le bord d’attaque de l’aile (γ = 1.4).
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Exercice 3
Dans un écoulement d’air, les caractéristiques en un point sont u = 100 m/s, P = 1, 013 bar et
T = 288 K.
1. Calculer la pression au point d’arrêt sur une aile d’avion avec la précision du Pascal : en
négligeant les effets de la compressibilité puis en tenant compte de la compressibilité. Quelle
est la différence ?
2. De combien faudrait-il diminuer la vitesse de l’écoulement pour que la pression d’arrêt réelle soit
égale à la valeur calculée en négligeant les effets de compressibilité ?
3. Faire les mêmes calculs pour u = 150, 200 et 300 m/s.
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Tube de Pitot
Un tube de Pitot est placé dans un écoulement d’air à la pression P1 = 105 kPa. La différence de
pression est ∆P = P2 − P1 = 20 kPa (Fig.1) et la température de l’air est fixée à 20◦ C. P2 est la
pression d’arrêt.
Figure 1 – Tube de Pitot statique.
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Calculer la vitesse de l’écoulement d’air.
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Exercice 5
Une sonde anémométrique mesure la vitesse d’un écoulement compressible. Elle est constituée d’un
capteur de pression totale (pression d’arrêt Pa ), d’un capteur de pression statique Pst et d’un capteur
de température (sonde thermocouple) qui provoque un arrêt adiabatique dans lequel on mesure Ta .
1. Calculer la vitesse en fonction de la mesure de Pa , Pst et Ta .
2. Montrer qu’il existe une vitesse limite ne dépendant que de Ta .
On fera les applications numériques avec Ta = 288 K, Pa = 2 bars et Pst = 1 bar.
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Écoulement de Poiseuille isotherme
On considère un écoulement isotherme à la température T d’un gaz dans une conduite de diamètre
D et de longueur L. À partir d’un bilan de forces appliqué à un volume de contrôle, montrer que :
1−
2
P22
64qm
rT Cf L
=
2
2
P1
π D5 P12
(1)
où P1 et P2 sont les pressions en entrée et en sortie de la conduite respectivement, qm est le débit
massique de gaz, r la constante réduite du gaz et Cf = 2τp /(ρu2 ) le coefficient de frottement (τp la
contrainte pariétale, u la vitesse de l’écoulement et ρ la masse volumique du gaz).
Calculer ainsi la pression P1 à l’entrée d’un pipeline de longueur L = 1 km et de diamètre D = 0.1
m pour un écoulement de gaz naturel (r = 519.6 J/kg/K, viscosité dynamique µ = 1.03 × 10−5 P a.s).
Le débit massique de gaz qm est constant et égal à 0.7 kg/s. On donne la température du gaz T = 0◦ C
et la pression en sortie du pipeline P2 = 105 kP a. Le coefficient de frottement Cf est à calculer avec
la formule de Blasius :
Cf = 0.079 × Re−0.25
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(2)
Exercice 7
Soit une onde de choc droite. Montrer qu’à la traversée de l’onde de choc :
1. P2 /P1 s’écrit en fonction de γ et M a1 :
P2
2γ
γ−1
=
M a21 −
P1
γ+1
γ+1
(3)
2. P1 /P2 s’écrit en fonction de γ et M a2 :
2γ
γ−1
P1
=
M a22 −
P2
γ+1
γ+1
(4)
3. En déduire une relation entre M a1 et M a2 .
Les indices 1 et 2 représentent un point en amont et un point en aval du choc respectivement.
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Exercice 8
Un gaz a une température de 300 K, une pression de 1.5 bar et une vitesse de 450 m/s. Calculer
la vitesse, la pression et la température après le passage d’une onde de choc. On prendra γ = 1.3 et
M = 44 g/mol.
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Utilisation d’un tube de Pitot dans un écoulement supersonique
En écoulement supersonique, une onde de choc se forme en amont de la sonde. On considèrera que
ce choc est droit au voisinage du point d’arrêt du tube de Pitot. Dans ces conditions, la sonde mesure
la pression d’arrêt isentropique en aval P a2 du choc.
1. Déterminer une relation du type : axα + bx + c = 0 avec x = P1 /P2 et α = (γ − 1)/γ. P1 et
P2 sont respectivement les pressions statiques en amont et en aval du choc. Par dichotomie, en
déduire la valeur de P2 .
2. Calculer la vitesse u1 en amont du choc donnée par une sonde mesurant la pression d’arrêt
isentropique et la température d’arrêt isentropique en aval du choc (P a2 et T a2 ), connaissant
la pression statique P1 .
Faire les applications numériques avec P a2 = 0.712 atm, P1 = 0.1 atm, T a2 = 979 K et γ = 7/5.
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Le bouclier thermique
La rentrée dans l’atmosphère des engins balistiques et plus particulièrement des navettes spatiales
pose le problème du ”bouclier thermique”. En effet, l’échauffement cinétique de l’air à la traversée de
l’onde de choc est tel que la température de la paroi augmente très rapidement avec le nombre de
Mach de l’engin.
1. Dans le but d’estimer cette température de paroi, on calculera la température d’arrêt pour deux
valeurs différentes du nombre de Mach de l’engin, M a1 = 5 et 10. On supposera qu’à l’altitude
considérée, soit z = 20 km, la température de l’air est 217K.
2. En assimilant l’onde de choc détachée qui se forme à l’avant de l’engin à une onde de choc plane,
on estimera la température T2 de l’air entre l’onde de choc et la paroi.
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Tuyère convergente-divergente de Laval, version 1
Une tuyère convergente-divergente (Fig.2) à sections circulaires possède les caractéristiques suivantes : diamètre d’entrée de 80 mm, diamètre au col de 40 mm, diamètre de sortie de 42 mm. Cette
tuyère évacue dans l’atmosphère l’air d’un réservoir où règne la pression Pr et la température Tr = 300
K. Les conditions dans ce réservoir sont supposées invariables.
Figure 2 – Configuration géométrique d’une tuyère de Laval.
1. On supposera que Pr est telle que le nombre de Mach M est maximal au col et juste égal à 1.
Dans ce cas, Pr = 1.376 bar et Ps = 1 atm. Calculer alors :
– les conditions au col Pc , Tc , uc ,
– la température Ts et la vitesse us à la sortie,
– le débit masse qm et la puissance cinétique de la veine au col.
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2. On augmente la valeur de Pr de telle sorte que le nombre de Mach M soit maximal dans le
divergent avec positionnement d’un choc lorsque le diamètre est égal à D = 41 mm. Sachant
que la pression dans la section de sortie vaut Ps = 1 atm, calculer la pression dans le réservoir
Pr en suivant la procédure suivante : Donner
– les conditions au col Tc , uc ,
– la température T1 , la vitesse u1 et le nombre de Mach M1 , avant le choc,
– la vitesse u2 , la température T2 , et le nombre de Mach M2 , en aval du choc,
– la vitesse us , la température Ts , et le nombre de Mach Ms , en sortie de la tuyère,
– en remontant l’écoulement, connaissant la pression de sortie Ps = 1 atm, calculer P2 , P1 , Pc
puis Pr .
– le débit masse qm et la puissance cinétique de la veine au col.
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Tuyère de Laval, version 2
Un réservoir contient de l’air sec à une pression de 106 Pa et une température de 300 K. Il est mis
en communication isentropique avec l’atmosphère par un conduit convergent-divergent dont la section
de col est de 755 mm2 (diamètre de 31 mm). Le nombre de Mach atteint par l’écoulement en sortie
du divergent est de 2.
1. Calculer la température Tc , la vitesse Uc et la masse volumique ρc du fluide au col.
2. En déduire le débit massique qm correspondant.
3. Trouver les valeurs de la vitesse Us et de la masse volumique ρs en sortie du divergent.
4. En déduire l’aire de la section de sortie As .
5. Calculer la pression Ps et la température Ts de l’écoulement en sortie.
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Tuyère de Laval, version 3
Une tuyère de Laval à section circulaire (diamètre au col Dc = 10 mm) est alimentée par une
source d’air sec (γ = 1.4) de température T0 = 400 K et pression P0 génératrices constantes. Elle
débouche dans un réservoir de très grande capacité dont la pression statique peut être maintenue à
un niveau constant Pa quelconque. On mesure en sortie de tuyère une pression statique Ps = 39000
N/m2 et un nombre de Mach M as = 2.
1. Calculer la célérité du son et la vitesse du fluide en sortie de tuyère.
2. Calculer la pression génératrice P0 .
3. Calculer la masse volumique du fluide en sortie de tuyère, le diamètre de la section de sortie et
le débit masse du fluide éjecté.
4. Dans les conditions de fonctionnement précédentes, la pression statique du réservoir aval était
fixée à Pa = 103 N/m2 . À quel régime d’écoulement en sortie correspond une telle valeur ?
5. Pour quelle valeur de Pa , une onde de choc droite prend-elle naissance dans la section de sortie
de la tuyère ?
6. On impose une pression statique aval Pa = 1.84 × 105 N/m2 . À quel rapport de section de col
s’effectue la recompression par choc normal dans le divergent ?
7. Pour quelle valeur de la pression Pa , le débit masse à travers la tuyère commence-t-il à changer ?
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Soufflerie supersonique
Une soufflerie supersonique (Fig.3) est conçue pour fonctionner à un nombre de Mach M a = 2
et la surface de la section du col est Ac = 0.1 m2 . La pression et la température génératrices dans
le réservoir situé en amont de la tuyère sont respectivement P0 = 3 bars et T0 = 300 K. L’analyse
préliminaire sera effectuée en supposant que l’écoulement entre le réservoir et la section d’essai reste
isentropique. On prendra γ = 1.4 et r = 287 J/kg/K.
1. Calculer les propriétés de l’écoulement (ρc , Pc , Tc , cc , uc , Ac ) au col.
2. Faire de même pour un point dans la section d’essai (ρ, P, T, c, u, A).
3. Déterminer le débit massique de gaz qm dans la soufflerie.
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Figure 3 – Géométrie de la soufflerie et notations.
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Onde de choc oblique
Le passage d’un avion crée une onde de choc oblique d’angle µ avec la direction horizontale. Un
observateur au sol n’entend pas le boom sonique produit par le passage de l’avion volant à une altitude
de 5 km, tant que celui-ci n’est pas à une distance d’au moins 9 km (voir figure 4). Si on néglige la
variation de la vitesse du son avec l’altitude, déterminer le nombre de Mach M a de l’avion.
Figure 4 – Onde de choc oblique produite par le passage d’un avion en vol supersonique.
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