Exercices sur les écoulements compressibles

Exercices sur les ´ecoulements compressibles
IUT - GTE - Marseille
2012-13
1 Exercice 1
Calculer la temp´erature et la pression d’arrˆet sur le bord d’attaque de l’aile d’un avion volant `a
Mach M a = 0.98 dans une atmosph`ere `a 15◦C et 105Pa. On prendra γ= 7/5 et r= 287 J/kg/K.
Refaire les calculs pour Ma = 2.
2 Exercice 2
Un avion vole `a un nombre de Mach de 0.95 (calcul´e `a partir de la vitesse de l’avion) `a une altitude
o`u la pression atmosph´erique est P= 0,2232 bar et la masse volumique de l’air ρ= 0,349 kg/m3.
1. Calculer la vitesse de l’avion en km/h.
2. Calculer la pression et la temp´erature du point d’arrˆet sur le bord d’attaque de l’aile (γ= 1.4).
3 Exercice 3
Dans un ´ecoulement d’air, les caract´eristiques en un point sont u= 100 m/s,P= 1,013 bar et
T= 288 K.
1. Calculer la pression au point d’arrˆet sur une aile d’avion avec la pr´ecision du Pascal : en
n´egligeant les effets de la compressibilit´e puis en tenant compte de la compressibilit´e. Quelle
est la diff´erence ?
2. De combien faudrait-il diminuer la vitesse de l’´ecoulement pour que la pression d’arrˆet r´eelle soit
´egale `a la valeur calcul´ee en n´egligeant les effets de compressibilit´e ?
3. Faire les mˆemes calculs pour u= 150, 200 et 300 m/s.
4 Tube de Pitot
Un tube de Pitot est plac´e dans un ´ecoulement d’air `a la pression P1= 105 kPa. La diff´erence de
pression est ∆P=P2−P1= 20 kPa (Fig.1) et la temp´erature de l’air est fix´ee `a 20◦C. P2est la
pression d’arrˆet.
Figure 1 – Tube de Pitot statique.
1

Calculer la vitesse de l’´ecoulement d’air.
5 Exercice 5
Une sonde an´emom´etrique mesure la vitesse d’un ´ecoulement compressible. Elle est constitu´ee d’un
capteur de pression totale (pression d’arrˆet Pa), d’un capteur de pression statique Pst et d’un capteur
de temp´erature (sonde thermocouple) qui provoque un arrˆet adiabatique dans lequel on mesure Ta.
1. Calculer la vitesse en fonction de la mesure de Pa,Pst et Ta.
2. Montrer qu’il existe une vitesse limite ne d´ependant que de Ta.
On fera les applications num´eriques avec Ta= 288 K, Pa= 2 bars et Pst = 1 bar.
6´ Ecoulement de Poiseuille isotherme
On consid`ere un ´ecoulement isotherme `a la temp´erature Td’un gaz dans une conduite de diam`etre
Det de longueur L.` A partir d’un bilan de forces appliqu´e `a un volume de contrˆole, montrer que :
1−P2
2
P2
1
=64q2
mrT CfL
π2D5P2
1
(1)
o`u P1et P2sont les pressions en entr´ee et en sortie de la conduite respectivement, qmest le d´ebit
massique de gaz, rla constante r´eduite du gaz et Cf= 2τp/(ρu2) le coefficient de frottement (τpla
contrainte pari´etale, ula vitesse de l’´ecoulement et ρla masse volumique du gaz).
Calculer ainsi la pression P1`a l’entr´ee d’un pipeline de longueur L= 1 km et de diam`etre D= 0.1
m pour un ´ecoulement de gaz naturel (r= 519.6J/kg/K, viscosit´e dynamique µ= 1.03 ×10−5P a.s).
Le d´ebit massique de gaz qmest constant et ´egal `a 0.7kg/s. On donne la temp´erature du gaz T= 0◦C
et la pression en sortie du pipeline P2= 105 kP a. Le coefficient de frottement Cfest `a calculer avec
la formule de Blasius :
Cf= 0.079 ×Re−0.25 (2)
7 Exercice 7
Soit une onde de choc droite. Montrer qu’`a la travers´ee de l’onde de choc :
1. P2/P1s’´ecrit en fonction de γet Ma1:
P2
P1
=2γ
γ+ 1Ma2
1−γ−1
γ+ 1 (3)
2. P1/P2s’´ecrit en fonction de γet Ma2:
P1
P2
=2γ
γ+ 1Ma2
2−γ−1
γ+ 1 (4)
3. En d´eduire une relation entre Ma1et Ma2.
Les indices 1 et 2 repr´esentent un point en amont et un point en aval du choc respectivement.
8 Exercice 8
Un gaz a une temp´erature de 300 K, une pression de 1.5 bar et une vitesse de 450 m/s. Calculer
la vitesse, la pression et la temp´erature apr`es le passage d’une onde de choc. On prendra γ= 1.3 et
M= 44 g/mol.
2

9 Utilisation d’un tube de Pitot dans un ´ecoulement superso-
nique
En ´ecoulement supersonique, une onde de choc se forme en amont de la sonde. On consid`erera que
ce choc est droit au voisinage du point d’arrˆet du tube de Pitot. Dans ces conditions, la sonde mesure
la pression d’arrˆet isentropique en aval P a2du choc.
1. D´eterminer une relation du type : axα+bx +c= 0 avec x=P1/P2et α= (γ−1)/γ.P1et
P2sont respectivement les pressions statiques en amont et en aval du choc. Par dichotomie, en
d´eduire la valeur de P2.
2. Calculer la vitesse u1en amont du choc donn´ee par une sonde mesurant la pression d’arrˆet
isentropique et la temp´erature d’arrˆet isentropique en aval du choc (P a2et T a2), connaissant
la pression statique P1.
Faire les applications num´eriques avec P a2= 0.712 atm, P1= 0.1 atm, T a2= 979 K et γ= 7/5.
10 Le bouclier thermique
La rentr´ee dans l’atmosph`ere des engins balistiques et plus particuli`erement des navettes spatiales
pose le probl`eme du ”bouclier thermique”. En effet, l’´echauffement cin´etique de l’air `a la travers´ee de
l’onde de choc est tel que la temp´erature de la paroi augmente tr`es rapidement avec le nombre de
Mach de l’engin.
1. Dans le but d’estimer cette temp´erature de paroi, on calculera la temp´erature d’arrˆet pour deux
valeurs diff´erentes du nombre de Mach de l’engin, Ma1= 5 et 10. On supposera qu’`a l’altitude
consid´er´ee, soit z= 20 km, la temp´erature de l’air est 217K.
2. En assimilant l’onde de choc d´etach´ee qui se forme `a l’avant de l’engin `a une onde de choc plane,
on estimera la temp´erature T2de l’air entre l’onde de choc et la paroi.
11 Tuy`ere convergente-divergente de Laval, version 1
Une tuy`ere convergente-divergente (Fig.2) `a sections circulaires poss`ede les caract´eristiques sui-
vantes : diam`etre d’entr´ee de 80 mm, diam`etre au col de 40 mm, diam`etre de sortie de 42 mm. Cette
tuy`ere ´evacue dans l’atmosph`ere l’air d’un r´eservoir o`u r`egne la pression Pret la temp´erature Tr= 300
K. Les conditions dans ce r´eservoir sont suppos´ees invariables.
Figure 2 – Configuration g´eom´etrique d’une tuy`ere de Laval.
1. On supposera que Prest telle que le nombre de Mach Mest maximal au col et juste ´egal `a 1.
Dans ce cas, Pr= 1.376 bar et Ps= 1 atm. Calculer alors :
– les conditions au col Pc,Tc,uc,
– la temp´erature Tset la vitesse us`a la sortie,
– le d´ebit masse qmet la puissance cin´etique de la veine au col.
3

2. On augmente la valeur de Prde telle sorte que le nombre de Mach Msoit maximal dans le
divergent avec positionnement d’un choc lorsque le diam`etre est ´egal `a D= 41 mm. Sachant
que la pression dans la section de sortie vaut Ps= 1 atm, calculer la pression dans le r´eservoir
Pren suivant la proc´edure suivante : Donner
– les conditions au col Tc,uc,
– la temp´erature T1, la vitesse u1et le nombre de Mach M1, avant le choc,
– la vitesse u2, la temp´erature T2, et le nombre de Mach M2, en aval du choc,
– la vitesse us, la temp´erature Ts, et le nombre de Mach Ms, en sortie de la tuy`ere,
– en remontant l’´ecoulement, connaissant la pression de sortie Ps= 1 atm, calculer P2,P1,Pc
puis Pr.
– le d´ebit masse qmet la puissance cin´etique de la veine au col.
12 Tuy`ere de Laval, version 2
Un r´eservoir contient de l’air sec `a une pression de 106Pa et une temp´erature de 300 K. Il est mis
en communication isentropique avec l’atmosph`ere par un conduit convergent-divergent dont la section
de col est de 755 mm2(diam`etre de 31 mm). Le nombre de Mach atteint par l’´ecoulement en sortie
du divergent est de 2.
1. Calculer la temp´erature Tc, la vitesse Ucet la masse volumique ρcdu fluide au col.
2. En d´eduire le d´ebit massique qmcorrespondant.
3. Trouver les valeurs de la vitesse Uset de la masse volumique ρsen sortie du divergent.
4. En d´eduire l’aire de la section de sortie As.
5. Calculer la pression Pset la temp´erature Tsde l’´ecoulement en sortie.
13 Tuy`ere de Laval, version 3
Une tuy`ere de Laval `a section circulaire (diam`etre au col Dc= 10 mm) est aliment´ee par une
source d’air sec (γ= 1.4) de temp´erature T0= 400 K et pression P0g´en´eratrices constantes. Elle
d´ebouche dans un r´eservoir de tr`es grande capacit´e dont la pression statique peut ˆetre maintenue `a
un niveau constant Paquelconque. On mesure en sortie de tuy`ere une pression statique Ps= 39000
N/m2et un nombre de Mach Mas= 2.
1. Calculer la c´el´erit´e du son et la vitesse du fluide en sortie de tuy`ere.
2. Calculer la pression g´en´eratrice P0.
3. Calculer la masse volumique du fluide en sortie de tuy`ere, le diam`etre de la section de sortie et
le d´ebit masse du fluide ´eject´e.
4. Dans les conditions de fonctionnement pr´ec´edentes, la pression statique du r´eservoir aval ´etait
fix´ee `a Pa= 103N/m2.` A quel r´egime d’´ecoulement en sortie correspond une telle valeur ?
5. Pour quelle valeur de Pa, une onde de choc droite prend-elle naissance dans la section de sortie
de la tuy`ere ?
6. On impose une pression statique aval Pa= 1.84 ×105N/m2.` A quel rapport de section de col
s’effectue la recompression par choc normal dans le divergent ?
7. Pour quelle valeur de la pression Pa, le d´ebit masse `a travers la tuy`ere commence-t-il `a changer ?
14 Soufflerie supersonique
Une soufflerie supersonique (Fig.3) est con¸cue pour fonctionner `a un nombre de Mach Ma = 2
et la surface de la section du col est Ac= 0.1m2. La pression et la temp´erature g´en´eratrices dans
le r´eservoir situ´e en amont de la tuy`ere sont respectivement P0= 3 bars et T0= 300 K. L’analyse
pr´eliminaire sera effectu´ee en supposant que l’´ecoulement entre le r´eservoir et la section d’essai reste
isentropique. On prendra γ= 1.4 et r= 287 J/kg/K.
1. Calculer les propri´et´es de l’´ecoulement (ρc, Pc, Tc, cc, uc, Ac) au col.
2. Faire de mˆeme pour un point dans la section d’essai (ρ, P, T, c, u, A).
3. D´eterminer le d´ebit massique de gaz qmdans la soufflerie.
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Figure 3 – G´eom´etrie de la soufflerie et notations.
15 Onde de choc oblique
Le passage d’un avion cr´ee une onde de choc oblique d’angle µavec la direction horizontale. Un
observateur au sol n’entend pas le boom sonique produit par le passage de l’avion volant `a une altitude
de 5 km, tant que celui-ci n’est pas `a une distance d’au moins 9 km (voir figure 4). Si on n´eglige la
variation de la vitesse du son avec l’altitude, d´eterminer le nombre de Mach Ma de l’avion.
Figure 4 – Onde de choc oblique produite par le passage d’un avion en vol supersonique.
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