Approche Neuro-Genetique pour le Problème du

République Algerienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Superieur et de la
Recherche Scientifique
université des sciences et de la technologie
d’Oran Mohamed Boudiaf USTO-MB
Faculté de Génie Electrique Laboratoire
d’Optimisation des Réseaux Electriques LORE
Thèse
présentée en vue d’obtenir le Diplôme de Doctorat Es Science,
spécialité « Electrotechnique », option « Réseaux Electriques »
par
BENYAHIA Mohammed
Approche Neuro-Génétique pour
le problème du Dispatching
économique Environnemental
Thèse soutenue le 03 Juillet 2012 devant le jury composé de :
MR
MR
MR
MR
Melle
MR
T. Bouthiba
M. Rahli
A. Zeblah
A. Chaker
L. Benasla
L. Abdelmalek
Professeur, USTO-MB
Professeur, USTO-MB
Professeur, U. Sidi Belabbes
Professeur, ENSET Oran
MCA USTO-MB
MCA ENSET Oran
(PRESIDENT)
(ENCADREUR)
(EXAMINATEUR)
(EXAMINATEUR)
(EXAMINATEUR)
(EXAMINATEUR)
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Résumè
Le souci majeur de l'exploitation du réseau électrique est de satisfaire la
demande en tout temps et de maintenir l'équilibre entre la production et la
consommation en conservant la qualité de service d'une part et d'autre part
minimiser les frais d'exploitation.
Dans cette thése nous suggérons une hybridation entre les algorithmes
génétiques et les réseaux de neurones pour accélérer la convergence ver la
solution optimale.
La simulation a étè réalisé sur des réseaux électriques pour minimiser
la fonction coût du combustible nécessaire à la production de l'énergie électrique et les émissions des gaz toxiques, bien sur sous les contraintes de type
égalité représentées par l'équation du bilan et de type inégalité représentées
par les valeurs minimales et maximales des puissances générées. Les résultats sont trés concluants par rapport aux résultats récents des chercheurs
dans le même domaine.
Mots clés : Ecoulement de puissance, Les algorithmes génétiques, Réseaux de neurones, réseau de Hopeld, hybridation d'algorithmes génétiques
et les réseaux de neurones (Hopeld).
Remerciements
Je tiens à exprimer, en premier lieu mes vifs remerciements et profonde gratitude à mon encadreur le Professeur M. RAHLI qui m’a assisté,
suivi de prés et aidé avec beaucoup d’attention et d’abnégations et n’a
ménagé aucun effort pour me prêter main forte par le biais de ses conseils.
Je remercie monsieur le Professeur T. BOUTHIBA, d’avoir accepté de
nous faire profiter de ses compétences pour évaluer ce travail et d’avoir
bien voulu me faire l’honneur d’accepter la présidence du jury.
Je suis très honoré de la présence de Monsieur A. ZEBLAH Professeur
à l’université de Sidi Belabbes. Je le remercie vivement pour avoir accepté
d’examiner et critiquer mon travail.
Je tiens à remercier particulièrement Monsieur A. CHAKER Professeur
à l’ ENSET d’Oran pour sa participation à l’évaluation de ce travail. Qu’il
trouve ici l’expression de ma profonde gratitude.
Mes remerciements et ma reconnaissance iront également à Mademoiselle L. BENASLA maitre de conférence à l’USTO-MB qui a bien voulu
me faire l’honneur de participer à l’évaluation de ce travail, qu’elle trouve
ici l’expression de ma profonde gratitude.
Je remercie monsieur L. ABDELMALEK maitre de conférence à l’ENSET d’Oran qui a accepté de nous faire profiter de ses compétences pour
évaluer ce travail, qu’il trouve ici l’expression de ma profonde gratitude.
Mes remerciements et ma reconnaissance iront également à tout les
membres du laboratoire LORE pour leur soutien scientifique et moral.
Mes remerciements vont également à tous ceux qui m’ont aidé et
encouragé durant la réalisation de cette thèse, et Allah sait qu’ils sont
nombreux qu’ils trouvent ici l’expression de mes remerciements les plus
sincères.
Je voudrais remercier ma famille qui, depuis de si longues années, m’a
encouragé et soutenu dans la poursuite de mes études.
iii
Table des matières
Table des matières
iv
Nomenclature
vii
Liste des figures
x
Liste des tableaux
xi
Préface
1
1 Calcul de l’écoulement de puissance
4
5
5
5
5
6
6
Modélisation des éléments du réseau électrique
Turbo générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ligne de transport . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformateur électrique . . . . . . . . . . . . .
1.2 Calcul de l’écoulement de puissance . . . . . . .
1.3 Formulation mathématique de l’écoulement de
sance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Méthode de Newton Raphson . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
puis. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2 Méthode d’optimisation
Formulation mathématique d’un problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Définitions Générales [15] . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Les contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Méthodes de pénalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Classification des problèmes d’optimisations . . . . . .
2.3 L’ordre d’une méthode de résolution . . . . . . . . . . .
2.4 Méthode d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Méthode d’optimisation déterministe . . . . . . . . . . .
2.4.2 Méthodes d’Optimisation Stochastiques . . . . . . . . . .
2.4.3 Méthodes évolutionniste . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Optimisation multi-objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
10
13
15
2.1
3 Approche Neuro-Génétique
3.1
Définition des méthodes hybrides . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Les méthodes exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
16
17
18
18
19
19
19
20
21
21
23
23
24
iv
3.1.2
3.2
3.3
3.4
Les méthodes approchées . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approche hybride Neuro-génétique . . . . . . . .
Les algorithmes génétiques . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Analogie avec l’évolution naturelle . . . . . . .
3.3.2 Principe de base d’un Algorithme Génétique . .
Les réseaux de neurones . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Le neurone biologique . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Le neurone formel (artificiel) . . . . . . . . . . .
3.4.3 Modélisation d’un neurone formel . . . . . . .
3.4.4 Architecture des réseaux de neurones . . . . . .
3.4.5 Modèles des réseaux de neurones . . . . . . . .
3.4.6 Mise en œuvre des réseaux de neurones . . . .
3.4.7 Algorithmes d’apprentissage supervisée . . . .
3.4.8 Algorithmes d’apprentissage non supervisés . .
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3.4.9 Les réseaux de neurones associés à l’optimisation .
3.4.10 Les neurones formels utilisés pour l’optimisation . .
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3.4.11 Architectures de réseaux de neurones pour l’optimisation
3.4.12 Fonction d’énergie pour l’optimisation . . . . . . . . . .
3.4.13 Les réseaux de neurones récurrents (Modèle de Hopfield)
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Modélisation du dispatching économique environnemental
.
.
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4.2.3 Modèle mathématique du Dispatching Environnemental .
4.3 Dispatching Economique Environnemental (DEE) . . . .
4.4 Implémentation des Algorithmes Génétiques . . . . . .
4.4.1 Mécanisme de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Implémentation des réseaux de neurones (Hopfield) . .
4.5.1 Algorithme de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
Dispatching Economique . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dispatching Environnemental . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Energie électrique et les Gaz à effet de sére (GES) . .
4.2.2 Les mesures techniques . . . . . . . . . . . . . . . .
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.
5 Simulation et résultats
L’étude du Dispatching Economique (DE) . . . . . . . . .
L’étude du Dispatching Economique Environnemental
5.2.1 Réseau a trois générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Réseau de 30 nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
24
24
25
25
26
30
30
31
32
33
35
36
37
39
39
40
40
40
41
42
44
44
46
47
48
48
49
50
51
51
53
54
56
56
61
61
66
86
Conclusion générale
87
A Annexes
89
A.1 Les puissances générées optimales du réseau de 13 générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Les valeurs des impédances et des admittances shunts
des lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Les valeurs planifiées des tensions et des puissances .
90
91
92
v
A.4 Les valeurs des tensions nodales de la dernière itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Les valeurs des puissances transmises . . . . . . . . . . .
Bibliographie
93
94
95
vi
Nomenclature
Pgi
Puissance électrique active générée de la centrale i
Ikm
Courant entre deux nœuds dans un réseau électrique.
sh
Ikm
Courant dans l’admittance shunt.
ysh
km
L’admittance shunt dans un réseau électrique.
Ik
Courant dans un nœud du réseau électrique.
Qk
Puissance réactive au niveau de nœud k.
Pk
Puissance active au niveau de nœud k
Uk
Tension au niveau d’un nœud du réseau électrique.
Zkm
L’impédance dune ligne de transport dans un réseau électrique.
charge
L’admittance d’une charge connecter dans un nœud du réseau électrique.
Ik
charge
Courant dans une charge électrique.
IkGen
Courant générer par un générateur.
sh
gkm
Conductibilité shunt.
bkm
Susceptance.
rkm
Résistance en série d’une ligne de transport
xkm
Réactance en série d’une ligne de transport.
gkm
Conductibilité.
Ek
Tension au niveau d’un nœud du réseau électrique
f (x)
Fonction à optimiser.
yk
vii
g( x )
Contraintes de type inégalité
h( x )
Contraintes de type égalité.
ṕ
Nombre de contrainte de type égalité.
q́
Nombre de contrainte de type inégalité.
ng
Nombre de variable.
v
Voisinage d’une solution du problème.
x∗
Minimum global de la fonction f .
∇F
Le gradient de la fonction objectif.
p( x, r k )
Fonction de pénalité ou de barrière.
rk
Facteur de pénalité.
Pj
Probabilité de sélection de l’individu j.
Pc
Probabilité de croisement
Pm
Probabilité de mutation.
wij
Poids synaptiques qui relie le neurone i avec le neurone j.
y( p)
Sortie du neurone à l’itération p.
δwij
L’écart entre les poids synaptiques
ek ( p )
L’erreur calculée pour le neurone k a l’itération p.
δk ( p)
Gradient d’erreur pour le neurone k.
Λ j ( p)
Voisinage du neurone j.
Vi
Potentiel du neurone i (sortie du neurone).
Ii
Entrée relative à chaque neurone (biais).
Ui
Entrée du neurone i.
viii
Eenergy
Fonction d’énergie de Hopfield
φ
Fonction d’activation ou de transfère.
PL
Les pertes électriques actives.
Pg
Vecteur des puissances actives générées.
Pgmax , Pgmin
Valeurs limites des puissances générées.
ki
Constant complexe de proportionnalité
αi , β i etγi
Les coefficients des émissions.
rkm
La partie réel des élements de la matrice des impédance nodales.
Pd
Puissance désirée.
n pop
Taille de la population initiale.
Lchrom
Longueur du chromosome.
n parm
Nombre des paramètres constituant le chromosome.
Fi
Fonction du coût de la production de l’unité i.
F
Fonction du coût totale de la production.
Ei
Fonction de la quantité des émissions des gaz de l’unité i.
Fp
Facteur d’émission.
E
Fonction de la quantité totale d’émission des gaz.
ψ
Fonction globale du dispatching économique environnemental.
ix
Liste des figures
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Représentation schématique d’un générateur. . . . .
Représentation schématique d’une charge. . . . . .
Modèle d’une ligne en π. . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle du trasformateur. . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma général d’un réseau électrique . . . . . . . .
Organigramme de la méthode de Gauss-Seidel. . .
Organigramme de la méthode de Newton Raphson.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
6
7
10
12
2.1
2.2
2.3
2.4
Les différents optimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principales méthodes déterministes Multidimensionnelles. .
Principales méthodes stochastiques . . . . . . . . . . . . . . .
Le principe de fonctionnement d’un algorithme évolutionniste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
19
20
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
L’Algorithme Génétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La selection, (a) : Population initiale. (b) : Individus sélectionnés.
Croisement dans un seul point. . . . . . . . . . . . . . . . . .
mutation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le neurone biologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le neurone formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réseau de neurone non bouclé. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réseau de neurone bouclé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction sigmoïde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réseau monocouche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réseau multicouche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le modèle du percéptron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le modèle de Hopfield. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’apprentissage non supervisé. . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’apprentissage supervisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
28
29
29
30
31
31
32
33
33
34
34
35
36
37
37
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Emission du CO2 . . . . . . . . . . . . . . . .
Emission du NOx . . . . . . . . . . . . . . . .
Emission du SO2 . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramme d’une centrale au charbon. . .
Organigramme de l’algorithme génétique.
Organigramme du réseau Hopfield. . . . .
.
.
.
.
.
.
46
46
47
47
50
53
5.1
Variation du coût de production et les puissances
Pch = 975MW . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
.
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.
.
.
.
.
.
20
x
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30
5.31
5.32
5.33
5.34
Variation du coût de production et les puissances
pour Pch = 1925MW . . . . . . . . . . . . . . .
Variation du coût de production et les puissances
Pch = 2575MW . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation des puissances générées Pch = 400MW . . . . . . .
Variation de coût total de production Pch = 400MW . . . . .
Variation de la quantité d’émissions Pch = 400MW . . . . .
Variation des puissances générées, coût total et les émissions
Pch = 500MW . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation des puissances générées, coût total et les émissions
Pch = 700MW . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Topologie du réseau 30 nœuds. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation du coût de production. . . . . . . . . . . . . . . . .
variation des émissions des gaz toxiques. . . . . . . . . . . .
Variation des puissances électriques . . . . . . . . . . . . . .
Contraintes de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation du coût de production . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation du coût d’émissions du gaz . . . . . . . . . . . . .
Variation des puissances électriques . . . . . . . . . . . . . .
Contrainte de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . .
variation du coût de production. . . . . . . . . . . . . . . . .
variation d’émission du gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
variation des puissances électriques . . . . . . . . . . . . . .
Variation du coût de production . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation de quantité d’émissions du gaz . . . . . . . . . . .
Variation des pertes électriques du gaz . . . . . . . . . . . .
Variation des puissances électriques . . . . . . . . . . . . . .
Variation du coût de production . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation de la quantité d’émission des Gaz . . . . . . . . . .
Variation des puissances électriques générées . . . . . . . . .
Variation du coût de production . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation de la quantité d’émission . . . . . . . . . . . . . . .
Variation des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation du Coût de production perte constante . . . . . . .
Variation du Quantité d’émission perte constante . . . . . .
Variation du Coût de production perte variable . . . . . . .
Variation du Quantité d’émission perte variable . . . . . . .
59
60
62
63
63
64
65
66
69
69
70
70
71
72
72
73
74
75
75
76
77
77
78
79
80
80
81
82
82
83
84
84
85
Liste des tableaux
3.1
Analogie entre le neurone biologie et le neurone formel. . .
32
5.1
Les données du réseau électrique comportant treize générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
xi
57
61
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
Les résultats de simulation pour le Dispatching Economique
Coefficients des fonctions coût réseau à 03 générateurs. . . .
Coefficients caractéristiques des émissions réseau a 03 générateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les résultats de simulation pour le DEE réseau a trois générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficients des fonctions coût réseau 30 nœuds. . . . . . . .
Coefficients caractéristiques des émissions. . . . . . . . . . .
Les valeurs optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les valeurs optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les valeurs optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les valeurs optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les valeurs optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1
A.2
A.3
A.4
A.5
Les puissances générées optimales . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs des impédances et des admittances shunts des lignes.
Valeurs planifiées des tensions et des puissances. . . . . . .
Valeurs des modules et phases des tensions nodales . . . . .
Les valeurs des puissances transmises . . . . . . . . . . . . .
90
91
92
93
94
5.2
5.3
5.4
5.5
61
62
67
67
68
71
74
76
79
81
85
xii
Introduction Générale
Durant ces dernières années, de nombreuses études ont été menées
dans le domaine de l’optimisation comme le montre le nombre important de publications sur ce thème. Aujourd’hui, l’optimisation s’applique
à tous les domaines de la science et même à notre vie quotidienne. Chacun
cherche souvent à mieux gérer son temps, son argent, minimiser certaines
consommations, , ce sont autant de problèmes d’optimisation.
Parmi les méthodes utilisées pour résoudre le problème d’optimisation
on cite les méthodes stochastiques qui permettent de localiser l’optimum
d’une fonction dans l’espace de recherche sans avoir recours aux dérivées
de la fonction par rapport à ces paramètres.
Ces méthodes nous permettent de simuler les processus de raisonnement humain. Chaque méthode comporte des points forts, mais aussi des
limitations. La réalisation de systèmes hybrides est une démarche courante qui nous permet de combiner les points forts de chaque approche et
d’obtenir ainsi des performances plus élevées ou un champ d’application
plus large. Un autre aspect très important du développement des systèmes
intelligents est leur capacité d’acquérir de nouvelles connaissances (parfois
à partir de plusieurs sources différentes) et de les faire évoluer.
Dans cette thèse, nous avons réalisé un système hybride NeuroGénetique (NG) pour le problème du Dispatching Economique Environnemental (DEE).
Le Dispatching Economique Environnemental est un système qui assure un ensemble de tâches ou fonctions pour répondre aux exigences et
l’exploration des réseaux électriques, ce qui facilite la tâche aux sociétés
de production électrique à assurer la couverture en puissance électrique
demandée en respectant au moins les contraintes suivantes :
? Contraintes de charge : elles sont relatives à la réalisation de l’équilibre entre la production et la demande de l’énergie.
? Contraintes de fonctionnement : elles sont relatives aux valeurs limites imposées aux composants (limite de production d’une centrale,
puissance transmissible par une ligne, ... etc )
? Contrainte économique : elle est relative à la réalisation de la charge
au moindre coût de production.
? Contrainte écologique : elle est relative à la diminution du taux des
gaz toxiques libérés dans l’atmosphère par les centrales de production.
Dans cette thèse, nous avons réalisé un système hybride NeuroGénetique pour le problème du Dispatching Economique Environnemental (DEE). L’idée de base repose sur l’utilisation du réseau de Hopfield
pour évaluer chaque individu de la population de L’AG et la création de
la nouvelle population qui sera traitée par l’algorithme génétique.Le test
de ce système hybride a été effectué sur plusieurs réseaux électriques.
1
Introduction Générale
Le travail exposé dans cette thèse est organisé de la manière suivante :
? Le premier chapitre résume la modélisation du réseau électrique en
régime établi et la résolution du problème de la répartition des puissances
(load flow) par les méthodes de Gauss-Seidel et Newoton-Raphson.
? Le second chapitre synthétise quelques méthodes permettant l’optimisation des fonctions objectifs. On y trouve, en particulier, les formulations de base et les caractéristiques techniques de ces méthodes.
? Dans le troisième chapitre nous présentons le principe du système
hybride proposé (Neuro-Génétique) et les définitions de base concernant
les deux méthodes utilisées à savoir les réseaux de neurones et les algorithmes génétiques.
? La modélisation du Dispatching Economique, Environnemental et
Economique Environnemental ainsi que l’implémentation des algorithmes
génétiques et des réseaux de neurones pour minimiser les fonctions objectifs, font l’objet du quatrième chapitre.
? Le cinquième chapitre résume les principaux résultats et les commentaires des simulations numériques du problème du Dispatching Economique (DE) et Economique Environnemental (DEE) en appliquant le
système hybride (HGA), les algorithmes génétiques et les réseaux de neurones (Hopfield).
2
Calcul de l’écoulement de
puissance
3
Calcul de l’écoulement de
puissance
1
Parmi les états les plus important d’un réseau électrique est son fonc-
tionnement en régime permanent. Pour obtenir les informations sur ce régime et d’être en mesure de les gérer pour des raisons de sécurité, fiabilité
et économie on introduit le concept général de l’écoulement de puissance
qui nous permis d’avoir :
– Les puissances active et réactive qui transitent dans les lignes électriques,
– Les profiles des tensions (amplitude et phase) associées aux nœuds.
A chaque nœud du réseau sont associés quatre paramètres ; puissance active, puissance réactive, l’amplitude de la tension et la phase de la tension.
Les premières considérations pour réaliser le calcul de l’écoulement de
puissance sont :
La formulation mathématique du problème de l’écoulement de puissance est une description mathématique (modélisation) du réseau
électrique qui cerne le fonctionnement correct des différents éléments qui constituent le réseau électrique.
La solution du système d’équations décrivant le modèle est basée sur
une méthode numérique itérative. Différentes techniques de solution sont développées :
– la méthode de Gauss
– la méthode de Gauss-Seidel
– la méthode de Newton-Raphson
Dans chacune des méthodes, on procède de la manière suivante :
1. une solution initiale des variables est supposée,
2. cette solution est modifiée pour obtenir une deuxième et meilleure
solution,
3. cette deuxième solution estimée est ensuite utilisée pour trouver une
troisième, ... etc.
La procédure continue de façon répétitive jusqu’à l’obtention d’une
convergence vers la solution finale.
4
1.1. Modélisation des éléments du réseau électrique
5
1.1
Modélisation des éléments du réseau électrique
1.1.1
Turbo générateur
C’est un équipement très important (figure 1.1), il assure la production
de l’énergie électrique demandée par le consommateur. Il est modélisé par
une source de tension constante qui injecte, au niveau du nœud auquel il
est connecté, une puissance active Pg et réactive Qg. Les puissances active
et réactive sont maintenues dans certaines limites [2, 3].
K
Générateur
Figure 1.1 – Représentation schématique d’un générateur.
1.1.2
Charge électrique
La modélisation de la charge joue un rôle très important dans l’étude
et l’analyse d’un système électro-énergétique. La charge est souvent modélisée sous forme d’une impédance constante (figure 1.2). Elle est connectée
au réseau électrique à travers d’un transformateur où le niveau de tension
de la charge est maintenu pratiquement constant. Dans ce cas, les puissances active et réactive de la charge peuvent être représentées par des
valeurs constantes [2, 3, 4, 5, 6].
K
Ik charge
yk charge
Figure 1.2 – Représentation schématique d’une charge.
L’admittance yk est définie par l’expression suivante :
yk =
1.1.3
Pk − jQk
|Vk |2
(1.1)
Ligne de transport
La ligne de transport est modélisée par un schéma équivalent en π,
c’est un élément qui permet d’acheminer l’énergie produite par les turbo
générateur vers les consommateurs [2, 3, 4], elle est représentée par une
impédance série (résistance R en série avec une réactance inductive X), et
une admittance shunt (figure 1.3).
1.2. Calcul de l’écoulement de puissance
Ikm
K
6
I
mk
-
ysh
km
m
ysh
km
Figure 1.3 – Modèle d’une ligne en π.
1
ykm = z−
km = gkm + jbkm
(1.2)
avec
gkm =
bkm =
1.1.4
rkm
2
+ xkm
(1.3)
− xkm
2
+ xkm
(1.4)
2
rkm
2
rkm
Transformateur électrique
Un transformateur de l’énergie électrique est représenté par un quadripôle en π. Les grandeurs associées sont le rapport de transformation a
et l’impédance de fuite. Les rapports aij sont inclus dans les éléments de la
matrice admittance, c’est-à-dire que les susceptances de la matrice admittance Bij sont vues comme des fonctions de rapports de transformation a
(figure 1.4)[2, 3, 4, 7].
K
1−
1
a
rkm
xkm
m
ykmt
1
a
−1
1
a ykmt
Figure 1.4 – Modèle du trasformateur.
L’admittance du transformateur est exprimée par :
ykmt = ymkt =
1.2
1
rkmt + jxkmt
(1.5)
Calcul de l’écoulement de puissance
L’objectif du calcul de l’écoulement de puissance est de déterminer les
puissances active et réactive qui transitent dans le réseau électrique (figure
1.5) ainsi que les niveaux des tensions [2, 4, 8].
1.2. Calcul de l’écoulement de puissance
?
7
?
Réseau életrique
?
?
Noeuds Production
Noeuds de Consomation
Figure 1.5 – Schéma général d’un réseau électrique
Pour le calcul de l’écoulement de puissance, on distingue deux méthodes [2, 9, 10] :
– Méthode des nœuds.
– Méthode des mailles
Vu la complexité des réseaux électriques, la formulation lourde et la
difficulté d’introduire les données dans la méthode des mailles lui a préféré la méthode des nœuds qui est aujourd’hui la plus utilisée. La matrice
des admittances aux nœuds est plus facile à établir, de plus elle est assez
creuse. Cette approche reste la plus économique du point de vue temps
de résolution.
Le calcul de l’écoulement de puissance se base sur les équations nodales suivantes :
[ I ] = [Y ] [ V ]
(1.6)
Où [ I ] est le vecteur des courants nodaux injectés dans le réseau électrique, [V ] le vecteur des tensions nodales et [Y ] est la matrice des admittances nodales.
La résolution de ce système d’équations, nous impose de définir les
différents nœuds existants [2, 9, 11] :
Nœud producteur (PV) c’est un nœud connecté directement avec un générateur ou une source d’énergie réactive. la puissance active et la
tension sont considérées connues. La production de l’énergie réactive est limitée par des valeurs inférieures et supérieures, Qmin et
Qmax respectivement.
Nœud de charge (PQ) c’est un nœud connecté directement avec la
charge, il ne possède aucune source d’énergie. Les puissances active
et réactive sont considérées connues.
Nœud bilan (Vδ) c’est un nœud connecté avec un générateur relativement puissant ; il est considéré dans le calcul d’écoulement de puissance afin de compenser les pertes actives et assurer l’égalité entre la
demande et la production (Production= Consommation + Pertes).
Dans un nœud bilan, l’amplitude et l’angle de la tension sont supposés connus.Le nœud bilan est caractérisé par le module de sa tension et sa phase prise souvent comme phase de référence. Il faudra
déterminer les deux autres paramètres à savoir les puissances active
et réactive.
1.3. Formulation mathématique de l’écoulement de puissance
1.3
8
Formulation mathématique de l’écoulement de
puissance
Les équations décrivant le comportement du réseau électrique sont
données par le système d’équations (1.6), où les éléments de la matrice
admittance [Y ] sont obtenus à partir des impédances des lignes et les admittances shunts [2, 4, 8]. Soit une ligne électrique représentée en π (figure
1.3), les éléments diagonaux de la matrice admittance sont calculés par la
formule suivante
0
nb
∑
Ykk =
ykm +
k = m =1
Ykm
2
(1.7)
Les éléments non diagonaux ykm sont :
ykm = −ymk =
1
(1.8)
zmk
L’écoulement de puissance dans une ligne électrique k − m s’exprime par :
∗
Skm
= Vkm Ikm
(1.9)
avec
0
Y
Ikm = (Vk − Vm ) Ykm + Vk km
2
Les puissances transmises seront donc données par :
(1.10)
0
∗
Skm
=
Vk∗
Y
(Vk − Vm ) Ykm + Vk Vk∗ km
2
Les puissances injectées sont exprimées comme suit :
(1.11)
n
Sk =
∑ Skm = Pk + jQk
(1.12)
k =1
Les courants sont calculés pour l’ensemble des nœuds à l’exception du
nœud bilan par l’équation suivante :
Ik =
∗
Skm
P − jQ
= k ∗ k
Vk∗
Vk
(1.13)
Les pertes de transmission par définition sont données par :
n
S L = PL + jQ L =
∑
k =1
1.4
n
Pk + j
∑ Qk
(1.14)
k =1
Méthodes de résolution
La résolution du système d’équations non linéaires (1.6) est obtenue
par des méthodes numériques itératives. Nous nous sommes intéressés à
décrire les méthodes de Gauss Seidel et de Newton Raphson [2, 4, 8, 9,
10].
1.4. Méthodes de résolution
1.4.1
9
Méthode de Gauss-Seidel
Cette méthode utilise la matrice admittance, consiste à supposer initialement des tensions pour tous les nœuds sauf le nœud balancier où la
tension est spécifiée et maintenue constante. La tension de la (i + 1)ème
itération est donnée par la relation suivante :
Vki+1 =
k −1
n
kLk
i +1
−
YL
V
−
km m
∑ YLkm Vm i
Vk i∗ m∑
6=k
m = k +1
(1.15)
avec
YLkm =
Ykm
P − jQk
et KLk = k
Ykk
Ykk
La convergence de la méthode est obtenue lorsque la différence ente la
tension calculée et celle qui la précède pour chaque nœud soit inférieure à
une précision donnée par l’utilisateur. L’organigramme de la méthode de
Gauss Seidel est donné par la figure 1.6.
1.4. Méthodes de résolution
10
Calcul de la matrice admitance
Estimation des tensions initiales pour k = 1, 2, ..., n
Calcul des paramètres des équations de tensions
?
i=0
?
Max∆V i = 0 et K = 1
-
?
Oui
K = nb
-
Non
?
Résoudre l’équation de tension pour le noeud K
Vki+1 =
kLk
∗
Vki
k −1
− ∑ YLkm Vmi+1 −
m6=k
n
∑
m = k +1
YLkm Vmi
?
Calcul :
∆Vki
= Vki+1 − Vki
?
Non
i
∆V ≤ Max∆V i
k
Max∆V i = ∆Vki ?Oui
Vki = Vki+1 ?
k = k+1 ?
Non
P=n
?Oui
Non
Max∆Vi ≤ e
Oui
?
?
i = i+1
Calcul de l’écoulement
de puissance
Figure 1.6 – Organigramme de la méthode de Gauss-Seidel.
1.4.2
Méthode de Newton Raphson
Cette méthode nous permet de résoudre le système (1.6) en exprimant
les puissances active et réactive en fonction des tensions nodales. La puissance au nœud k est donnée par [2, 4, 8, 9, 12] :
Sk = Pk − jQk = Vk∗ Ik
(1.16)
1.4. Méthodes de résolution
11
n
Ik =
∑ Ykm Vk
(1.17)
m =1
Pk − jQk = Vk∗
n
∑ Ykm Vk
(1.18)
m =1
En exprimant l’expression (1.16) en fonction des composantes réelles et
imaginaires des tensions nodales et des admittances, nous aurons :
Sk∗ = Pk − jQk = (ek − j f m )
n
∑
( Gkm − jBkm ) (ek − j f m )
(1.19)
m =1
En séparant les parties réelles et imaginaires nous aurons les équations
suivantes :
n
Pk =
∑
[ek (em Gkm + f m Bkm ) + f k ( f m Gkm − jekm Bkm)]
(1.20)
[ f k (em Gkm + f m Bkm ) − ek ( f m Gkm − jekm Bkm)]
(1.21)
m =1
n
Qk =
∑
m =1
Les puissances active et réactive sont connues et les composantes réelles et
imaginaires de la tension ek et f k sont inconnues pour tous les nœuds sauf
le nœud balancier où la tension est spécifiée et fixe. Les valeurs corrigées
de la iime itération peuvent être exprimées comme suit :
∆Pki = Pki plan − Pki cal
(1.22)
∆Qik = Qik plan − Qikcal
(1.23)
Il est possible d’exprimer ces équations sous la forme générale suivante :

  ∂P
 

∂P1
1
1
(k)
(k)
· · · ∂e∂Pn−1 1
· · · ∂∂P
∆P1
∆e1
∂e1
∂ f1
f n −1

  .


..
..
.. 
..
..

  ..


···
.
.
···
. 
.
.
 

 


 

∂Pn−1
∂Pn−1 
(
k) 
n −1
 ∆P(k)   ∂P∂en−1 · · · ∂P



· · · ∂ f n −1
∂en−1
∂ f1
1
n −1  = 

 =  ∆en−1 
∂Q
∂Q
∂Q
∂Q
(k) 
(k) 



1
1
· · · ∂en−11
· · · ∂ f n−11 
 ∆Qi   ∂e1
  ∆ fi

∂ f1






.
.
.
.
.
.

  .


..
..
..
..
.. 
···
···
 

  .

(k)
(k)
∂Qn−1
∂Qn−1
∂Qn−1
∂Qn−1
· · · ∂en−1
· · · ∂ f n −1
∆Qn−1
∆ f n −1
∂e1
∂ f1
(1.24)
1.4. Méthodes de résolution
12
Calcul de la matrice admitance
?
Estimation des tensions initiales pour k = 1, 2, ..., nk 6= nb
?
i=0
?
-
Calcule des puissances active et réactive Pki etQik
k = 1, 2, ..................., nk 6= nb
?
Calcul
de ∆
: Pki
∆Qik
= Pk0 − Pki
= Q0k − Qik
?
Déterminer :Max∆Pki etMin∆Qik
?
i = i+1
6
| Max∆Pi | ≤ e
Oui
- Calcul de l’écoulement
de puissance
| Max∆Qi | ≤ e
Non
?
Calcul des courants :Iik =
Pik − jQik
∗
Vik
k = 1, 2, .., nk 6= nb
?
Calcul les élements du jacobien
Remplacer eik par eik+1
et f ki par f ki+1
6
?
Résoudre le système :
∆P
) = ( JJ13
(∆Q
J5 ∆e
J4 )(∆ f )
?
Calcul des nouvelles tensions :
eik+1 = eik + ∆eik et f ki+1 = f ki + ∆ f ki
Figure 1.7 – Organigramme de la méthode de Newton Raphson.
1.4. Méthodes de résolution
Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre nous avons exposé les deux étapes importantes pour
l’étude et l’exploitation des réseaux électriques à savoir la modélisation
du réseau électrique et le calcule de l’écoulement de puissance. La modélisation conciste a représentée chaque éléments du réseaux par un modèle
mathématique qui reflet son fonctionnement réel. Le calcule de l’écoulement de puissance permet d’avoir les conditions initiales pendant le fonctionnement du réseau en régime permanent. Parmi ces condition on a les
niveaux de tension ainsi que les autres grandeurs (puissances transportées, puissances injectées, pertes électriques,...). Le calcul de l’écoulement
de puissance se base sur la résolution du système d’équation non linéaire
[ I ] = [V ] . [Y ] par les méthodes itératives parmi ces méthodes on cite la
méthode de Gauss Seidel et Newton Raphson.
13
Méthode d’optimisation
14
Méthode d’optimisation
2
O
n s’heurte quotidiennement à des problèmes technologiques de
complexité grandissante, qui surgissent dans des secteurs très divers. Chacun cherche souvent à mieux gérer son temps, son argent, minimiser certaines consommations, ce sont autant de problèmes d’optimisation.
Le problème à résoudre peut être exprimé par la forme générale d’un
problème d’optimisation dans lequel on définit une fonction objectif, ou
fonction de coût, que l’on cherche à optimiser. La définition du problème d’optimisation est souvent complétée par des contraintes (toutes
les variables de décisions de la solution proposées doivent respecter ces
contraintes).
Pour résoudre le problème d’optimisation, il existe plusieurs méthodes
classiques, applicables lorsque certaines conditions mathématiques sont satisfaites, à savoir, la programmation linéaire traite efficacement le cas où
la fonction objective, ainsi que les contraintes s’expriment linéairement en
fonction des variables de décision. Dans le cas où la fonction objective
et les contraintes sont non linéaires ; la programmation non linéaire est
applicable.
Malheureusement, les situations rencontrées en pratique comportent
souvent une ou plusieurs complications, qui mettent en défaut ces méthodes : par exemple, la fonction objective peut ne pas s’exprimer analytiquement en fonction des paramètres ; ou encore, le problème peut exiger la
considération simultanée de plusieurs objectifs contradictoires (Optimisation Multi objectif). L’apparition des nouvelles techniques d’optimisation,
nommées méthaheuristiques, marque une grande révolution dans le domaine de l’optimisation. En effet, celles-ci s’appliquent à toutes sortes de
problèmes d’optimisation.
2.1
Formulation mathématique d’un problème d’optimisation
La première étape d’un processus d’optimisation consiste à formuler, en termes mathématiques, le problème d’optimisation. Un problème
d’optimisation se définit comme la recherche de l’optimum (minimum
ou maximum) d’une fonction donnée. Généralement, un problème mathématique d’optimisation continue avec contrainte s’écrit de la manière
suivante :
15
2.1. Formulation mathématique d’un problème d’optimisation

Min, Max ou zero f ( xk )


0
 g (x ) ≤ 0
i = 1, · · · , p
i i
0

h (x ) = 0
j = 1, · · · , q

 j j
0
xkmin ≤ xk ≤ xkmax
k = 1, · · · , n
16
(2.1)
où :
f ( xk ) est le critère à optimiser appelé aussi fonction objectif.
xk est un vecteur à n variables. Ces variables sont les paramètres du
problème à optimiser.
gi ( xi ) et h j ( x j ) représentent respectivement les contraintes d’inégalité
et d’égalité.
xkmin et xkmax désignent les contraintes du domaine qui bornent l’espace de recherche.
La solution d’un problème d’optimisation est alors donnée par un ensemble de paramètres pour lesquels la fonction objectif présente une valeur optimale, en respectant les contraintes d’égalité et d’inégalité [2, 13,
14].
2.1.1
Définitions Générales [15]
Fonction Objectif Elle représente la fonction f que l’algorithme d’optimisation va devoir l’optimiser.
Variables de décision Sont regroupées dans un vecteur, en faisant varie
ce vecteur que l’on cherche un optimum de la fonction f .
Optimum Global Un point x ∗ est un optimum global de la fonction f si
on a f ( x ∗ ) ≺ f ( x ) quelle que soit x tel que x 6= x ∗ cette définition
correspond au optimum global de la figure 2.1.
Optimum Local Un point x est un optimum local de la fonction f si et
seulement si f ( x ∗ ) ≺ f ( x ) quelle que soit x tel que x 6= x ∗ et x ∈
v( x ∗ ) ou v définit un voisinage de x ∗ . cette définition correspond au
optimum localde la figure 2.1.
Figure 2.1 – Les différents optimum.
2.1.2
Les contraintes
Les contraintes doivent être prises en compte dans le problème d’optimisation. Il y a plusieurs choix pour le traitement des problèmes avec
2.1. Formulation mathématique d’un problème d’optimisation
17
contraintes. On peut, pour des raisons de robustesse et de facilité de mise
en œuvre, transformer un problème contraint en une suite de problèmes
sans contrainte. Cette transformation s’effectue en ajoutant des pénalités à
la fonction objectif.
2.1.3
Méthodes de pénalité
Le concept de base est de transformer la résolution du problème 2.1
sous contraintes en une résolution de problème sans contrainte en associant à l’objectif une pénalité dès qu’une contrainte est violée [16, 17, 18] .
La fonction objectif f ( x ) du problème est alors remplacée par la fonction
suivante à minimiser :
P( x, r (k) ) = f ( x ) + (
n
m
j =1
i =1
1
r
)
H (h j ( x )) + (r (k) ) ∑ G ( gi ( x ))
(k) ∑
(2.2)
r (k) facteur de pénalité.
Les fonctions H (h j ( x )) et G ( gi ( x )) sont appelées fonctions de pénalisation. Elles sont définies selon la méthode de pénalité utilisée.
Suivant les types de contraintes et le type de fonction h(x) on distingue la méthode des pénalités intérieures et la méthode des pénalités
extérieures que nous allons exposer.
a. Méthodes de pénalité extérieure H (h j ( x )) = (h j ( x ))2 et G ( gi ( x )) =
( gi ( x ))2 donc :
P( x, r (k) ) = f ( x ) + (
n
m
j =1
i =1
1
r
) (h ( x ))2 + (r (k) ) ∑ ( gi ( x ))2
(k) ∑ j
(2.3)
b. Méthodes de pénalité intérieure Elles sont basées sur la transformation du problème de type inégalité seulement :
G ( gi ( x )) =
1
gi ( x )
(2.4)
Cette fonction de pénalité est appelée aussi fonction " barrière ".
m
1
(
g
(
i x ))
i =1
P( x, r (k) ) = f ( x ) + (r (k) ) ∑
(2.5)
c. Méthodes de pénalité mixte Elles combinent les deux méthodes précédentes :
1
(2.6)
G ( gi ( x )) =
gi ( x )
H (h j ( x )) = (h j ( x ))2
(2.7)
donc :
P( x, r (k) ) = f ( x ) +
1
n
m
j =1
i =1
1
∑ (h j (x))2 + (r(k) ) ∑ ( gi (x))
r (k)
(2.8)
2.2. Classification des problèmes d’optimisations
18
d. Méthode de lagrangien augmenté Le Lagrangien augmenté est une
méthode de transformation basée sur la minimisation d’une fonction
L appelée fonction Lagrangienne Augmentée. Cette fonction (2.9) est
créée à partir de l’addition d’une pénalisation à la fonction Lagrangienne classique associée au problème d’optimisation [14].
m
m
i =1
i =1
L( x, λ, r ) = f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) + r ∑ gi2 ( x )
(2.9)
ou r ∑im=1 gi2 ( x ) représente la fonction de pénalité.
2.2
Classification des problèmes d’optimisations
Les problèmes d’optimisation seront classés selon leurs caractéristiques [13] :
1. Le nombre du variable de décision si on a une seule variable, alors optimisation unidimensionnelle sinon multidimensionnelle (plusieurs
variables de décision).
2. Type de la variable si la variable est continue donc on aura un problème d’optimisation continu et si la variable est entière on dit un
problème d’optimisation discret.
3. Type de la fonction objectif si elle est linéaire on a un problème d’optimisation linéaire sinon si elle est quadratique on dit un problème
d’optimisation quadratique et si elle est non linéaire on a un problème d’optimisation non linéaire.
4. Formulation du problème avec contraintes on aura un problème d’optimisation contrainte et si la formulation est sans contraintes donc
notre problème sera un problème d’optimisation sans contraintes.
2.3 L’ordre d’une méthode de résolution
Les méthodes de résolution peuvent être classées à partir de leur ordre
selon qu’elles nécessitent ou non le calcul des dérivées de la fonction objectif et des fonctions contraintes par rapport aux paramètres.
Méthodes d’ordre zéro Si elle utilise uniquement la connaissance de la
fonction elle-même. Elles sont en général peu précises et convergent
plus lentement vers l’optimum. En revanche, elles offrent l’avantage
d’éviter le calcul du gradient, ce qui est intéressant lorsque la fonction n’est pas différentiable ou que le calcul de son gradient représente un coût important. C’est notamment le cas des modèles éléments finis.
Méthodes d’ordre un Si elle requiert le calcul des dérivées premières,
ces méthodes permettent d’accélérer la localisation de l’optimum,
puisque le gradient donne l’information sur la direction de l’amélioration. Par contre elles sont applicables seulement aux problèmes où
les fonctions objectif et contraintes sont continûment différentiables.
Méthodes d’ordre deux S’il lui faut aussi accéder aux dérivées secondes.
2.4. Méthode d’optimisation
2.4
19
Méthode d’optimisation
Les méthodes d’optimisation peuvent être classer en deux grandes catégories : les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques.
2.4.1
Méthode d’optimisation déterministe
Dans la première classe, on rencontre toutes les méthodes qui
cherchent le minimum d’une fonction en se basant sur la connaissance
d’une direction de recherche, souvent donnée par le gradient de cette
fonction. Dans le cas d’optima multiples, elles s’arrêtent sur le premier
rencontré. Ces méthodes ont la réputation d’être efficaces lorsque la solution initiale est proche de l’optimum recherché. Cette particularité constitue un inconvénient majeur dans le cas d’une fonction objectif possédant
plusieurs optimums. Elles peuvent, en effet, converger vers un optimum
local.
la figure 2.2 montre les méthodes multidimensionnelles les plus importantes avec leur ordre respectif de résolution.
Méthodes déterministes Multidimensionnelles
?
Méthodes Analytiques
?
Méthodes Heuristiques
?
– Gradient Conjugué ordre (1)
– Plus grande Pente ordre (1)
– Quasi-newtons ordre (1)
?
– Hooke et Jeeves ordre (0)
– Méthode Rosenbrock ordre (0)
– Méthode Simplex ordre (0)
Figure 2.2 – Principales méthodes déterministes Multidimensionnelles.
2.4.2
Méthodes d’Optimisation Stochastiques
Les méthodes stochastiques, contrairement à la plupart des méthodes
déterministes, ne nécessitent ni point de départ, ni la connaissance du
gradient de la fonction objectif pour atteindre la solution optimale. Elles
s’appuient sur des mécanismes de transition probabilistes et aléatoires qui
explorent efficacement l’espace de recherche et convergent vers l’optimum
global. Leur nature aléatoire implique que plusieurs exécutions successives de ces méthodes conduisent à des résultats différents pour une même
initialisation du problème d’optimisation [2, 19].
2.4. Méthode d’optimisation
20
La figure 2.3 présente les méthodes stochastiques les plus utilisées.
Méthodes Stochastiques
?
?
Rcuit simulé
?
Méthodes évolutionnistes
?
Algorithmes
génétiques
?
Réseaux
de neurones
Recherche Tabu
?
Programation
évolutionniste
?
Stratégies
d’évolution
Figure 2.3 – Principales méthodes stochastiques .
2.4.3
Méthodes évolutionniste
Les méthodes évolutionnistes font partie de la dernière grande classe
de méthodes stochastiques. Contrairement aux techniques d’optimisation
qui explorent l’espace à partir d’un point unique, les méthodes évolutionnistes partent d’un ensemble de configurations, (population d’individus),
et la font évoluer à partir d’opérateurs à transition aléatoire, la sélection et
l’évolution [20], selon le principe de la figure 2.4.
Figure 2.4 – Le principe de fonctionnement d’un algorithme évolutionniste.
2.5. Optimisation multi-objectif
2.5
Optimisation multi-objectif
Dans un problème d’optimisation multiobjectif, il y a plus qu’une fonction objectif (k ≥ 2), chaque fonction objectif pouvant avoir une solution
optimale différente. Le but d’un problème multiobjectif est de trouver de
"bons compromis" plutôt qu’une seule solution. Lorsqu’il y a plusieurs objectifs, la notion d’optimum change et il est préférable d’utiliser un autre
terme, le terme le plus couramment adopté étant l’optimum de Pareto [2,
13, 21, 22] :



f 1 ( xk )





..



 Min, max ou zero 
.


f s ( xk )
(2.10)
0

g
(
x
)
≤
0
i
=
1,
·
·
·
,
p

i
i

0



h (x ) = 0
j = 1, · · · , q

 j j
0
xkmin ≤ xk ≤ xkmax
k = 1, · · · , n
f s ( x ) sont les fonctions objectifs que nous cherchons à minimiser simultanément.
La difficulté principale d’un problème d’optimisation multiple est liée
à la présence de conflits entre les diverses fonctions, puisque les solutions optimales pour un certain objectif donné ne correspond pas généralement à celles des autres fonctions. La solution d’un problème multiobjectifs est donnée par un ensemble d’optima de Pareto qui constitue la
frontière. L’identification de cette frontière demande l’application des méthodes d’optimisation multi-modales. Il existe un nombre important de
méthodes pour la résolution des problèmes d’optimisation multi-objectifs
[13] :
? Les méthodes scalaires.
? Les méthodes interactives.
? Les méthodes exploitant une métaheuristique.
Conclusion du chapitre
Un état de l’art des méthodes d’optimisation mathématiques a été présenté. Ces méthodes peuvent être réunies en deux différents groupes : les
méthodes déterministes et les méthodes stochastiques. Les méthodes déterministes peuvent trouver le minimum local de la fonction sous certaines
hypothèses comme la convexité et la différentiabilité. En d’autres termes,
si la fonction objectif remplit ces hypothèses dans une région locale contenant le minimum désiré et si la configuration initiale est quelque part à
l’intérieur de cette région, les méthodes déterministes convergent très rapidement vers ce minimum. Cependant, résolvant des problèmes pratiques
où aucune de ces hypothèses ne peut être rendue, les méthodes déterministes convergent souvent vers un des minimums locaux de la fonction
objectif. Malgré le nombre important d’évaluations, les algorithmes stochastiques présentent le grand avantage par rapport aux méthodes déterministes, d’avoir la capacité de trouver l’optimum global. Les méthodes
stochastiques les plus prometteuses sont les algorithmes génétique est les
Réseaux de neurones.
21
Approche Neuro-Génétique
22
Approche Neuro-Génétique
3
D
e nos jours, l’informatique à pris une place importante dans notre
société. Les systèmes informatiques deviennent de plus en plus complexes, comme les tâches qui leur sont confiées. Les systèmes d’Intelligence Artificielle (I.A.) ont été créés avec l’espoir de pouvoir aider
l’homme dans les tâches les plus complexes, celles qui requièrent l’utilisation de l’intelligence ou la réalisation de procédés dits intelligents.
Plusieurs méthodes ont été développées par l’Intelligence Artificielle pour
reproduire certains aspects de l’intelligence humaine. Ces méthodes permettent de simuler les processus de raisonnement en s’appuyant sur les
connaissances de base disponibles.
Chaque méthode comporte des points forts, mais aussi des limitations. La réalisation de systèmes hybrides est une démarche courante
qui permet de combiner les points forts de chaque approche, et d’obtenir
ainsi des performances plus élevées ou un champ d’application plus large.
Un autre aspect très important du développement des systèmes hybrides intelligents est leur capacité d’acquérir de nouvelles connaissances
à partir de plusieurs sources différentes et de les faire évoluer.
Les méthodes de résolution utilisées dans cette hybridation possèdent
des caractéristiques très différentes, l’algorithme génétique est une méthode stochastique qui s’applique sur le problème dans sa forme la plus
générale : aucune hypothèse n’est faite sur le critère et tous les points
de l’espace de recherche ont une probabilité non nulle d’être explorés,
bien que l’obtention de l’optimum global. Le réseau de Hopfield évolue
librement jusqu’à un attracteur. On dit alors que le réseau a convergé ; la
convergence est atteinte lorsque les sorties des neurones n’évoluent plus.
3.1
Définition des méthodes hybrides
De nombreux problèmes du monde réel se placent dans le cadre très
général des problèmes de satisfaction de contrainte (CSP), ou un critère
définit par une fonction de coût doit être minimisé dans un domaine admissible des variables. Lorsque la complexité de ces problèmes est élevée,
deux grandes familles de méthodes de résolution se distinguent pour les
résoudre [23, 24, 25, 26, 27] :
23
3.2. Approche hybride Neuro-génétique
3.1.1
Les méthodes exactes
Procèdent à une exploration complète et généralement déterministe
de l’espace de recherche. Ces méthodes utilisent des algorithmes de type
Branch _ Bound pour instancier progressivement les variables du problème. Des mécanismes classiques permettent d’abandonner une branche
de l’arbre de recherche à chaque fois que l’instanciation partielle des variables viole certaines contraintes ou qu’une preuve permet d’établir que
les solutions contenues dans la branche ne sont pas optimales. Par contre,
toutes les autres branches sont systématiquement développées : ces méthodes deviennent inappropriées lorsque la taille du problème augmente
alors que le temps imparti pour le résoudre est restreint. Dans ce cas, la
méthode peut être adaptée, par simplification du problème ou par restriction de l’espace de recherche, mais l’optimum global initialement recherché ne sera plus forcément obtenu.
3.1.2
Les méthodes approchées
Se basent sur une exploration locale de l’espace de recherche(algorithmes génétiques, recuit simulé, algorithmes de colonies
de fourmis). Elles permettent, dans de nombreuses applications, de trouver des solutions intéressantes en un temps raisonnable.
3.2
Approche hybride Neuro-génétique
Pour la résolution du problème de Dispatching Economique Environnemental nous avons procédé à une technique d’hybridation GlobaleLocal qui regroupe l’algorithme d’optimisation Global (Algorithme Génétique) et l’algorithme d’optimisation local (Réseaux de Hopfield), l’Algorithme Génétique recherche les solution optimal du Dispatching Economique Environnemental et le réseau de Hopfield contrôle les contraintes
du problèmes [27, 28, 29, 30, 31].
En premier temps on génère une population initiale aléatoirement, à
ce stade là les individus de cette population ne représente pas des solutions pour le problème du Dispatching Economique Environnemental.
Pour cela chaque individu sera traité par le réseau de Hopfield pour lequel on obtient une solution acceptable pour notre problème ainsi que son
évaluation.
Les anciens individus seront remplacés par les nouveaux individus
donc on aura une population initiale qui est composée des individus bien
adaptés à notre problème, l’évolution de cette population est assurée par
l’intervention des opérateurs génétiques à savoir la sélection, croisement
et mutation.
24
3.3. Les algorithmes génétiques
L’algorithme de fonctionnement du système hybride est le suivant
Algorithme 1 : approche Neuro-Génétique
Génération de la population initiale aléatoirement;
while max génération do
for Chaque individu do
Exécuter Hopfield;
Obtenir la solution;
Calculer l’évaluation de cette solution;
Remplacer l’ancien individu par le nouveau;
end
Sélection;
Croisement;
Mutation;
end
3.3
Les algorithmes génétiques
Les techniques de recherche et d’optimisation sont en général classées
en deux catégories [33] ; déterministes et stochastiques. Les AG font partie
de la deuxième catégorie.
Les algorithmes génétiques (AG) sont des méthodes stochastiques utilisées dans les problèmes d’optimisation. leur nom s’extraire de l’évolution biologique des êtres vivants dans le monde réel. Ces algorithmes
cherchent à simuler le processus de la sélection naturelle dans un environnement défavorable en s’inspirant de la théorie de l’évolution proposée
par C. Darwin. Dans un environnement, les individus les mieux adaptés
tendent à vivre assez longtemps pour se reproduire alors que les plus
faibles ont tendance à disparaître .
Quatre caractéristiques les distinguent des autres techniques d’optimisation[34] :
– Ils utilisent un codage des paramètres et non les paramètres euxmêmes ;
– Ils travaillent sur une population d’individus (ou de solutions) ;
– Ils n’utilisent que les valeurs de la fonction à optimiser, pas sa dérivée, ou une autre connaissance auxiliaire ;
– Ils utilisent des règles de transition probabilistes et non déterministes.
3.3.1
Analogie avec l’évolution naturelle
Les Algorithmes Génétique (AGs) font évoluer un ensemble de solutions candidates, appelé une population d’individus. Un individu n’est autre
qu’une solution possible du problème à résoudre. Chaque individu de
cette population se voit attribuer une fonction appelée fonction d’adaptation (fitness) qui permet de mesurer sa qualité ou son poids ; cette fonction
d’adaptation peut représenter la fonction objectif à optimiser. Ensuite, les
meilleurs individus de cette population sont sélectionnés, ils subissent des
25
3.3. Les algorithmes génétiques
26
croisements et des mutations et une nouvelle population de solutions est
produite pour la génération suivante [34, 35, 36].
Ce processus se poursuit, génération après génération, jusqu’à ce que
le critère d’arrêt soit atteint, comme par exemple le nombre maximal de
générations.
3.3.2
Principe de base d’un Algorithme Génétique
Un Algorithme Génétique nécessite le codage de l’ensemble des paramètres du problème d’optimisation en une chaîne de longueur finie, il
débute par générer une population initiale d’individus (solutions) de façon aléatoire. Puis, à chaque génération, des individus sont sélectionnés,
cette sélection est effectuée à partir d’une fonction objectif appelée fonction d’adaptation. Puis, les opérateurs de croisement et de mutation sont
appliqués et une nouvelle population est créée. Ce processus est itéré jusqu’à un critère d’arrêt. Le critère le plus couramment utilisé est le nombre
maximal de générations que l’on désire effectuer. La figure 3.1 présente le
principe d’un Algorithme Génétique.
Début
?
Génerer la population initiale
?
- Evaluation des individus de la population
?
Sélection des parents (Mieux adaptés) Non
Critère d’arrêt
respecté ?
?
Gen= Gen + 1
Opérateurs de
Croisement et de Mutation
Oui
?
?
Solution optimale
Création de la nouvelle
population P(t)
Figure 3.1 – L’Algorithme Génétique.
La procédure effectuée par chacun des opérateurs utilisés par les algorithmes génétiques sera décrite comme suit :
a. Initialisation de la population : Généralement la population initiale
d’individus (solutions) est générée aléatoirement. Cependant rien
3.3. Les algorithmes génétiques
27
n’empêche d’utiliser des résultats et des solutions existantes pour
former celle-ci.
b. Codage et décodage des paramètres : Le codage est la présentation
des paramètres sous forme des codes. Le décodage est la conversion des codes de paramètres en valeur naturelle. L’utilisateur de
l’algorithme génétique doit choisir le plus petit alphabet qui permet
une expression naturelle des paramètres du problème, c’est pourquoi l’alphabet binaire 0,1 est particulièrement bien adapté à la présentation des paramètres. Autrement dit, le codage utilisé sera le
codage binaire.
Codage binaire : Pour chaque paramètre xi situé dans l’intervalle
[ xmin , xmax ], on associe une chaîne binaire b0 , b1 , · · · , bLx i −1 définie sur L xi .
A cette chaîne correspond une valeur entière naturelle
L xi −1
N ( xi ) =
∑
2( Lxi −1)− j .b j
(3.1)
j =0
Le paramètre réel de l’espace de recherche relatif à N ( xi ) est
obtenu par mise à l’échelle linéaire :
ximax − ximin
N ( xi )
(3.2)
2( Lxi −1)
L’avantage de cette méthode de codage est sa facilité d’implantation.
xi = ximin +
Codage Réel : Ce codage consiste simplement à la concaténation
des variables xi de l’individu x par exemple un individu
x (32, 14, 5) et codé par 32|14|5|. Ce codage présente es avantages majeurs, il est plus précis que le codage binaire et l’espace
de recherche est le même que l’espace du problème , l’évaluation de la fonction coût est plus rapide. Le codage réel évite de
faire le transcodage du binaire naturel vers les réels à chaque
évaluation. Dans le codage réel le chromosome est représenté
sous forme des valeurs réelles.
chromosome = [ P1 , P2 , ..., PNvar ]
(3.3)
à ce stage chaque chromosome est évalué par une fonction de
coût d’évaluation f
cost = f (chromosome) = f ( P1 , P2 , ..., PNvar )
(3.4)
c. Les opérateurs génétiques Les opérateurs jouent un rôle prépondérant
dans la possible réussite d’un AG. On dénombre trois principaux ;
l’opérateur de sélection, de croisement et de mutation.
Si le principe de chacun de ces opérateurs est facilement compréhensible, il est toutefois difficile d’expliquer l’importance isolée de
chacun de ces opérateurs dans la réussite de l’AG. Cela tient pour
partie au fait que chacun de ces opérateurs agit selon divers critères
qui lui sont propres [34, 35].
3.3. Les algorithmes génétiques
28
La sélection des parents : L’objectif de la sélection est d’identifier
les individus qui doivent se reproduire. Cet opérateur ne crée
pas de nouveaux individus mais identifie les individus sur la
base de leur fonction d’adaptation, la sélection doit favoriser
les meilleurs éléments selon le critère à optimiser les individus
les mieux adaptés sont sélectionnés alors que les moins bien
adaptés sont écartés [37]. Ceci permet de donner aux individus
dont la valeur est plus grande une probabilité plus élevée de
contribuer à la génération suivante (figure 3.2).
Figure 3.2 – La selection, (a) : Population initiale. (b) : Individus
sélectionnés.
Chaque chromosome sera dupliqué dans une nouvelle population proportionnellement à sa valeur d’adaptation. On effectue, en quelque sorte, autant de tirages avec remises qu’il y a
d’éléments dans la population. la probabilité avec laquelle il
sera réintroduit dans la nouvelle population de taille Popsize
est donnée par l’équation suivante :
Pi =
fi
Popsize
fj
∑ j =1
(3.5)
Les individus possédant une plus grande fonction dadaptation
ayant plus de chance dêtre sélectionnés.
Opérateur de Croisement : Cet opérateur permet la création de
deux nouveaux individus. Toutefois, un individu sélectionné
lors de la reproduction ne subit pas nécessairement l’action
d’un croisement. Ce dernier ne s’effectue qu’avec une certaine
probabilité. Plus cette probabilité est élevée et plus la population subira de changement voir figure 3.3.
3.3. Les algorithmes génétiques
29
Point de croisement
Parent 1
Parent 2
?
11000 1010000
00100 1001000
11100 1010011
00101 0111001
?
Offsprings 1
110000111001
6
001011010000 Offsprings 2
6
6
110000111001 001011010000 Figure 3.3 – Croisement dans un seul point.
Opérateur de Mutation : Le rôle de cet opérateur est de modifier
aléatoirement, avec une certaine probabilité, la valeur d’un composant de l’individu voire figure3.4.
1100101110100100
1100101110000100
Figure 3.4 – mutation.
La mutation est traditionnellement considérée comme un opérateur marginal bien qu’elle confère en quelque sorte aux algorithmes génétiques la propriété d’ergodicité (i.e. tous les points
de l’espace de recherche peuvent être atteints). Cet opérateur
est donc d’une grande importance.
d. Autres paramètres : Les opérateurs de l’algorithme génétique sont guidés par un certain nombre de paramètres fixés à l’avance. La valeur
de ces paramètres influence la réussite ou non d’un algorithme génétique. Ces paramètres sont les suivants :
– La taille de la population N, et la longueur du codage de chaque
individu l (dans le cas du codage binaire). Si N est trop grand
le temps de calcul de l’algorithme peut s’avérer très important,
et si N est trop petit, il peut converger trop rapidement vers un
mauvais chromosome. Cette importance de la taille est essentiellement dûe à la notion de parallélisme implicite qui implique que
le nombre d’individus traité par l’algorithme est au moins proportionnelle au cube du nombre d’individus.
– La probabilité de croisement pc. Elle dépend de la forme de la
fonction de fitness. Son choix est en général heuristique (tout
comme pour pm). Plus elle est élevée, plus la population subit de
changements importants. Les valeurs généralement admises sont
comprises entre 0.5 et 0.9.
– La probabilité de mutation pm. Ce taux est généralement faible
puisqu’un taux élevé risque de conduire à une solution sous optimale. Plutôt que de réduire pm, une autre façon d’éviter que les
3.4. Les réseaux de neurones
meilleurs individus soient altérés est d’utiliser la reconduite explicite de l’élite dans une certaine proportion. Ainsi, bien souvent, les
meilleurs 5%, par exemple, de la population sont directement reproduits à l’identique, l’opérateur de reproduction ne jouant alors
que sur les 95% restant. Cela est appelé une stratégie élitiste.
3.4
Les réseaux de neurones
Lorsque apparaît une nouvelle technique, les chercheurs se demande
naturellement en quoi cette nouveauté peut leur être utile. Ce qui est évidemment le cas pour les réseaux de neurones, la réponse à cette question
doit être particulièrement précise et motivée. De plus, la mise en œuvre
des réseaux de neurones est très simple ; la tentation peut être grande,
d’appliquer cette technique de manière irréfléchie ou inadaptée, ce qui ne
peut conduire qu’à des déceptions. C’est pourquoi nous expliquerons ici
les principes fondamentaux qui justifient l’intérêt pratique des réseaux de
neurones.
Les réseaux de neurones artificiels sont construits sur une architecture
semblable, en première approximation, à celle du cerveau humain. Le réseau reçoit les informations sur une couche réceptrice de neurones, traite
ces informations avec ou sans l’aide d’une ou plusieurs couches cachées
contenant un ou plusieurs neurones et produit un signal (ou plusieurs) de
sortie.
Chaque neurone, qu’il appartienne à la première couche (réceptrice),
aux couches cachées ou à la couche de sortie, est lié aux autres neurones
par des connexions (similaires aux synapses du cerveau) auxquelles sont
affectés des poids (eux-mêmes assimilables aux potentiels synaptiques).
3.4.1
Le neurone biologique
Un neurone biologique est constitué de trois parties : l’axone, le Dendrite
et le noyau. Dans le cerveau, les neurones sont reliés ente eux par l’intermédiaire d’axones et de dendrites. On peut considérer que ces sorties sont
conductrices d’électricité et peuvent ainsi véhiculer des messages depuis
un neurone vers un autre voir (figure3.5). Les dendrites représentent les
entrées du neurone et son axone sa sortie [38, 39, 40, 41].
Figure 3.5 – Le neurone biologique.
30
3.4. Les réseaux de neurones
3.4.2
31
Le neurone formel (artificiel)
Contrairement au modèle biologique qui fait intervenir une notion du
temps, le modèle formel est une fonction algébrique non linéaire et bornée
(figure 3.6), dont la valeur dépend de paramètres appelés coefficients ou
poids. Les variables de cette fonction sont habituellement appelées entrées
du neurone, et la valeur de la fonction est appelée sa sortie.
Un neurone est donc avant tout un opérateur mathématique, dont on
peut calculer la valeur numérique par quelques lignes de logiciel.
Synapses
1 - 1.5
Comparaison au seuil
3
-1 - -3
1 - 0.7
-1 - 1.3
?
~
^
>
-
4.5
Sommation
- 1
Sortie
-1 - -0.6
Entrée
Figure 3.6 – Le neurone formel.
On distingue deux grands types d’architectures de réseaux de neurones : les réseaux de neurones non bouclés et les réseaux de neurones
bouclés [38, 40, 42, 43, 44, 45].
Les réseaux de neurones non bouclés qui réalisent une (ou plusieurs)
fonctions algébriques de ses entrées, par composition des fonctions
réalisées par chacun de ses neurones. Le réseau de neurones non
bouclé est représenté graphiquement par un ensemble de neurones
connectés entre eux, l’information circulant des entrées vers les sorties
sans retour en arrière.
La figure 3.7 représente un réseau de neurones non bouclé qui a une
structure particulière, très fréquemment utilisée : il comprend des
entrées, une couche de neurones cachés et des neurones de sortie.
Les neurones de la couche cachée ne sont pas connectés entre eux.
Cette structure est appelée Perceptron multicouche.
Figure 3.7 – Réseau de neurone non bouclé.
3.4. Les réseaux de neurones
32
Les réseaux de neurones bouclés Ces réseaux de neurones peuvent avoir
une topologie de connexions quelconque, comprenant notamment
des boucles qui ramènent aux entrées la valeur d’une ou plusieurs
sortie (figure 3.8). Un réseau de neurones bouclé est donc un système
dynamique, régi par des équations différentielles.
Figure 3.8 – Réseau de neurone bouclé.
3.4.3
Modélisation d’un neurone formel
Les premiers travaux datent de 1943 et sont l’ œuvre de Modélisation
mathématique McCulloch et Pitts. Ils présentent un modèle assez simple
pour les neurones et explorent les possibilités de ce modèle. La modélisation consiste à mettre en oeuvre un système de réseaux neuronaux sous
un aspect non pas biologique mais artificiel, cela suppose que d’après le
principe biologique on aura une Correspondance pour chaque élément
composant le neurone biologique, donc une modélisation pour chacun
d’entre eux [38, 42, 46].
On pourra résumer cette modélisation par le tableau 3.1, qui nous permettra de voir clairement la transition entre le neurone biologique et le
neurone formel
Neurone biologie
Synapses
Axones
Somma
Dendrite
Neurone artificiel
Poids de connexion
Signal de sortie
Fonction d’activation
Signal d’entrée
Table 3.1 – Analogie entre le neurone biologie et le neurone formel.
a. les entrées du réseau neurone : Elles peuvent être binaires (0.1) ou
réelles.
b. Fonction d’activation : Cette fonction permet de définir l’état interne
du neurone en fonction de son entrée totale, citons à titre d’exemple
quelques fonctions souvent utilisées :
Fonction linéaire : C’est l’une des fonctions d’activations les plus
simples, sa fonction est définie par F ( x ) = x, (figure 3.9).
3.4. Les réseaux de neurones
33
f (x)
f (x) = x
6
0.5
-0.5
-
0.5
x
-0.5
Figure 3.9 – Fonction linéaire.
Fonction sigmoïde : Elle est l’équivalent continu de la fonction linéaire (figure 3.10). Etant continu, elle est dérivable, d’autant
plus que sa dérivée est simple à calculer. Elle est définie par :
F ( x ) = 1+1e−x
f (x)
6
0.8
0.4
0.2
-4.0
-
-2.0
2.0 4.0
Figure 3.10 – Fonction sigmoïde.
x
c. fonction de sortie : Elle calcule la sortie d’un neurone en fonction de
son état d’activation. En général, cette fonction est considérée comme
la fonction identité. Elle peut être : binaire (0, 1), bipolaire (−1, 1) ou
réelle.
3.4.4
Architecture des réseaux de neurones
Les connexions entre les neurones qui composent le réseau décrivent
la topologie du modèle. Elle peut être quelconque, mais le plus souvent
il est possible de distinguer une certaine régularité (réseau à connexion
complète) [38, 40, 42, 46, 47, 48, 49].
3.4. Les réseaux de neurones
34
a. Réseau monocouche : La structure d’un réseau monocouche est telle
que des neurones organisés en entrée soient entièrement connectés à
d’autres neurones organisés en sortie par une couche modifiable de
poids figure 3.11
Wij
~
>
^
Couche de sortie
Couche d’entrée
Figure 3.11 – Réseau monocouche.
b. Réseau multicouche : Les neurones sont arrangés par couche. Il n’y
a pas de connexion entre neurones d’une même couche, et les
connexions ne se font qu’avec les neurones de couches avales. Habituellement, chaque neurone d’une couche est connecté à tous les
neurones de la couche suivante et celle-ci seulement. Ceci nous permet d’introduire la notion de sens de parcours de l’information (de
l’activation) au sein d’un réseau et donc définir les concepts de neurone d’entrée, neurone de sortie. Par extension, on appelle couche
d’entrée l’ensemble des neurones d’entrée, couche de sortie l’ensemble des neurones de sortie. Les couches intermédiaires n’ayant
aucun contact avec l’extérieur sont appelées couches cachées, figure
3.12.
Couche cachée
R
U
UW
j
:
j
w
Couche de sortie
Couche d’entrée
Figure 3.12 – Réseau multicouche.
3.4. Les réseaux de neurones
3.4.5
Modèles des réseaux de neurones
a. Le modèle perceptron : Le mécanisme perceptron fut inventé par le
psychologue FRANK Rosenblat à la fin des années 50. Il représentait
sa tentative d’illustrer certaines propriétés fondamentales des systèmes intelligents en général.
Le réseau dans ce modèle est formé de trois couches : Une couche
d’entrée, fournissant des donnés à une couche intermédiaire, chargée des calculs, cela en fournissant la somme des impulsions qui
lui viennent des cellules auxquelles elle est connectée, et elle répond généralement suivant une loi définie avec un seuil, elle-même
connectée à la couche de sortie (couche de décision), représentant
les exemples à mémoriser. Seule cette dernière couche renvoie des
signaux à la couche intermédiaire, jusqu’à ce que leurs connexions
se stabilisent (figure3.13.)
Couche intermdiaire
R
j
:
U
j
w
UW
Couche de sortie
Couche d0 entre
Figure 3.13 – Le modèle du percéptron.
b. Modèle de Hopfield : Ce modèle très simple est basé sur le principe
des mémoires associatives. C’est d’ailleurs la raison pour laquelle ce
type de réseau est dit associatif (par analogie avec le pointeur qui
permet de récupérer le contenu d’une case mémoire).
Le modèle de Hopfield figure3.14 utilise l’architecture des réseaux
entièrement connectés et récurrents (dont les connexions sont non
orientées et ou chaque neurone n’agit pas sur lui-même). Les sorties
sont en fonction des entrées et du dernier état pris par le réseau.
35
3.4. Les réseaux de neurones
36
-
-
-
-
-
-
-
-
v1
66
v2
vn
Figure 3.14 – Le modèle de Hopfield.
3.4.6
Mise en œuvre des réseaux de neurones
Cette démarche et composée de quatre étapes
a. Fixer le nombre de couches cachées Mis à part les couches d’entrée et
de sortie, l’analyste doit décider du nombre de couches intermédiaires ou cachées. Sans couche cachée, le réseau n’offre que de
faibles possibilités d’adaptation ; avec une couche cachée, il est capable, avec un nombre suffisant de neurones, d’approximer toute
fonction continue.
b. Déterminer le nombre de neurones par couches cachées Chaque
neurone supplémentaire permet de prendre en compte des profils spécifiques des neurones d’entrée. Un nombre plus important
permet donc de mieux coller aux données présentées mais diminue
la capacité de généralisation du réseau. Ici non plus il n’existe pas
de règle générale mais des règles empiriques. La taille de la couche
cachée doit être :
– Soit égale à celle de la couche d’entrée.
– Soit égale à 75% de celle-ci.
– Soit égale à la racine carrée du produit des nombres dans la couche
d’entrée et de sortie.
c. Choisir la fonction d’activation : La fonction d’activation joue un rôle
prépondérant dans le comportement du neurone, et de là, du réseau
entier.
d. La procédure d’apprentissage : L’apprentissage est une phase du développement d’un réseau de neurones durant laquelle le comportement du réseau est modifié jusqu’à l’obtention du comportement
désiré, elle ne concerne cependant pas tous les modèles, mais les
plus utilisés. L’apprentissage d’un réseau se fait généralement dans
le contexte d’un comportement à apprendre. Les informations à traiter sont représentées sous forme d’un vecteur d’entrer qui est communiqué aux neurones d’entrées du réseau, la réponse du réseau
s’interprète à partir de la valeur d’activation de ses neurones de sortie (vecteur de sortie).
3.4. Les réseaux de neurones
37
e. Les types d’apprentissage : Les techniques d’apprentissage se répartissent en deux grandes familles :
L’apprentissage non supervisé : L’apprentissage est qualifié de non
supervisé lorsque seules les valeurs d’entrée sont disponibles.
Dans ce cas, les exemples présentés à l’entrée provoquent une
auto-adaptation du réseau afin de produire des valeurs de sortie qui soient proches en réponse à des valeurs d’entrée similaires (de même nature) (figure3.15).
E
n
t
r
é
e
-
Réseau
-
Sortie
obtenue
6
6
Figure 3.15 – L’apprentissage non supervisé.
L’apprentissage supervisé L’apprentissage est dit supervisé lorsque
les exemples sont constitués de couples de valeurs du type (valeur d’entrée, valeur de sortie désirée). Tout le problème de
l’apprentissage supervisé consiste, étant donné un ensemble
d’apprentissage E de N couples (entrée-sortie désirée) ( xi , yi )
i = 1, 2, .....n, à déterminer le vecteur des poids w d’un réseau
Fw capable de mettre ces informations en correspondance (figure 3.16).
E
n
t
r
é
e
-
-
Superviseur
-
Sortie
désirée
R
Erreur
Réseau
-
Sortie
obtenue
6
6
Figure 3.16 – L’apprentissage supervisé.
3.4.7
Algorithmes d’apprentissage supervisée
a. Algorithmes d’apprentissage d’un perceptron avec un seul neurone
1. Initialisation : mettre les poids initiaux w1 , w2 , ..., wn ainsi que le
seuil θ à des valeurs aléatoires de l’intervalle [−0.5, 0.5]. Mettre le
taux d’apprentissage α à une petite valeur positive.
2. Activation : activer le perceptron en appliquant les entrées
x1 ( p), x2 ( p), ..., xn ( p) et la sortie désirée yd ( p). Calculer la sortie
3.4. Les réseaux de neurones
38
actuelle à l’itération p = 1.
"
y( p) = tage
n
∑ x i ( p ) wi ( p ) − θ
#
(3.6)
i =1
ou n et le nombres des signaux entrants et tage fonction d’activation
par étage.
3. Entraînement des poids : mettre à jour les poids du perceptron,
wi ( p + 1) = wi ( p) + ∆wi ( p) ou ∆wi ( p)est la correction de poids à
l’itération p. La correction de poids est calculée par la loi suivante :
∆wi = αxi ( p)e( p) où e( p) est l’erreur à l’itération p ( la différence
entre la sortie désirée et la sortie actuelle du perceptron).
4. Itération : augmenter p de 1, retourner à l’étape 2 et répéter le procédé jusqu’à convergence.
b. Algorithme Rétro-propagation du gradient pour les MLP
Dans le cas de perceptron multicouche, on ne sait pas les sorties désirées des couches cachées, mai seulement la dernière couche, pour cela il
faut propager la responsabilité des erreurs de la dernière couche à la première dans le sens contraire de l’exécution de réseau, d’où le non rétropropagation. Les principales étapes de la méthode de rétro-propagation
sont :
1. Calcul de l’erreur :l’erreur de neurone k est la différence entre la
valeur de la sortie désirée et la valeur actuelle de la sortie du neurone
k.
ek ( p) = yd,k − yk
(3.7)
2. Correction des poids : la correction du poids du lien du neurone j
au neurone k.
∆w jk = y j ( p)δk ( p)
(3.8)
ou δk ( p) est le gradient d’erreurdu neurone k à l’itération p.
3. Gradient d’érreur pour les neurones de la couche de sortie :
δk ( p) = yk ( p) [1 − yk ( p)] ek ( p)
(3.9)
4. Gradient d’érreur pour les neurones de la couche cachée :
l
δj ( p ) = y k ( p ) 1 − y j ( p )
∑ δk ( p)w j,k ( p)
(3.10)
k =1
l est le nombre de neurones sur la couche suivante.
L’algorithme de traitement
1. Initialisation : mettre tous les poids et les seuils θ à des valeurs
aléatoires. Mettre la valeur du taux d’apprentissage α à une petite
valeur positive.
2. Activation : activer le réseau de neurones en appliquant les entrées
et les sorties désirées, calculer les sorties actuelles des neurones des
couches successives, de la première couche cachée à la couche de
sortie.
3.4. Les réseaux de neurones
39
3. Entraînement des poids : mettre à jour les poids du réseau en propageant les erreurs dans le sens inverse : calculer les gradients d’erreurs pour les neurones des couches successives (ordre inverse), de
la couche de sortie à la première couche cachée. Calculer les corrections de poids pour chaque lien et mettre à jour les poids.
4. Itération : augmenter p de 1, retourner à l’étape 2 et répéter le procédé jusqu’à ce que le critère d’erreur soit atteint.
3.4.8
Algorithmes d’apprentissage non supervisés
Réseau non supervisé, ce type de réseaux de neurones s’entraîne sans
besoin de supervision, c’est à dire sans que l’on ait besoin de signifier au
réseau comment il doit se comporter.
a. Apprentissage Hebbien C’est un type d’apprentissage non supervisé.
Si, deux neurones de chaque coté d’une liaison sont activés synchroniquement, le poids de cette liaison augmente. Si d’un autre coté,
deux neurones de chaque coté d’une liaison sont activés a synchroniquement le poids de cette liaison augmente, la modification des
poids suit la règle suivante :
wij ( p) = αyi ( p) xi ( p) − φyi ( p)wij ( p)
(3.11)
ou φ est le facteur d’oubli et α le taux d’apprentissage. Cette régle
peut également être écrite comme suit :
wij ( p) = φyi ( p λxi ( p) − wij ( p)
(3.12)
ou λ =
α
φ
L’algorithme de fonctionnement est le suivant :
1. Initialisation :mettre les poids initiaux ainsi que les seuils à de petites valeurs aléatoires de l’intervalle, mettre le taux d’apprentissage
α à une petite valeur positive ainsi que le facteur d’oubli φ .
2. Activation :activer les neurones du réseau selon leur fonction d’activation.
3. Apprentissage :mettre à jour les poids du réseau selon la règle suivante :
wij ( p + 1) = wij ( p) + wij ( p)
(3.13)
4. Itération : : incrémenter p, retourner à l’étape 2 et répéter le procédé
jusqu’à ce que les poids convergent.
3.4.9
Les réseaux de neurones associés à l’optimisation
La modélisation d’un problème d’optimisation à l’aide des réseaux
de neurones est une tâche parfois assez complexe. Pour bien effectuer
cette étape, il faut maîtriser le problème ainsi que ces concepts mathématiques. Les réseaux de neurones récurrents sans apprentissage permettent
de mettre en œuvre les propriétés de non-linéarité et de dynamique qui se
prêtent bien à la résolution de problème d’optimisation. C’est-à-dire que
les paramètres du réseau seront dictés par le système sans recours à un
apprentissage préalable, sont particulièrement adaptés aux problèmes qui
requièrent des temps de réponse extrêmement brefs.
3.4. Les réseaux de neurones
3.4.10
40
Les neurones formels utilisés pour l’optimisation
Dans les réseaux de neurones bouclés utilisés pour l’optimisation, les
neurones sont soit binaires (leur fonction d’activation est un échelon entre
(-1 et +1)), soit à fonction d’activation sigmoïde.
N
Vi =
∑ Wij Yi + Ii
(3.14)
j =1
Vi : Potentiel du neurone i pour un réseau de N neurones mutuellement
connectés.
Ii : Entrée constante (biais) du neurone i.
3.4.11
Architectures de réseaux de neurones pour l’optimisation
Les réseaux de neurones bouclés (récurrents) constituent les techniques
neurales les plus fréquemment utilisées pour résoudre des problèmes
d’optimisation. Ces réseaux dans l’optimisation sont utilisés sans entée
de commande : sous leur dynamique propre, ils évoluent, à partir d’un
état initial (souvent aléatoire), vers un attracteur qui code une solution du
problème d’optimisation.
3.4.12
Fonction d’énergie pour l’optimisation
En général, une telle fonction d’énergie s’écrit sous la forme de la
somme d’un terme de coût et d’un terme qui exprime la contrainte :
(E= " coût " + " contrainte ").
Mathématiquement la minimisation d’une fonction d’énergie se ramène fréquemment à la minimisation d’une fonction E( x ) sur un ensemble finie de point x, le vecteur x regroupe les variables du problème
d’optimisation x = [ x1 , x2 , ..., xn ], la fonction E( x ) est définie de la manière
suivante :
E( x ) = Ec ( x ) + ∑ αk Ek ( x )
(3.15)
k
Ou Ec ( x ) est la fonction du coût, Ek ( x ) sont les termes de pénalités associés à des violations de contraintes, et les αk sont des coefficients de
pondération qui doivent assurer un bon équilibre entre la minimisation
du coût et la satisfaction des contraintes.
La fonction E( x ) peut être exprimée par une fonction quadratique du
type :
N
1 N N
E( x ) = ∑ ∑ Tij xi x j − ∑ Ii xi
(3.16)
2 i =1 j =1
i =1
avec
Tij = −
∂2 E
∂xi ∂x j
∂E
Ii =
∂xi
(3.17)
3.4. Les réseaux de neurones
3.4.13
41
Les réseaux de neurones récurrents (Modèle de Hopfield)
Un réseau de Hopfield est constitué d’une couche de neurones complètement connectés, le vecteur d’état étant le vecteur des sorties des neurones. L’ordre du réseau est égal au nombre de neurones. Le réseau de
neurones proposé initialement par Hopfield est un réseau de neurones récurrent à temps discret, dont la matrice des connexions wij est symétrique
et à diagonale nulle. Chaque connexion ayant un retard unité, le potentiel
du neurone i au temps k est la somme pondérée de l’activité des autres
neurones du réseau au temps k − 1 :
!
vi ( k ) = φ
∑ wij yi (k − 1) + Ii
(3.18)
j 6 =i
où
– vi (k ) est la sortie du neurone i à l’instant k.
– wij est le poids relatif à la connexion entre le neurone j et le neurone
i.
– Ii est le biais (entrée constante) du neurone i.
La fonction d’activation peut prendre plusieurs formes, elle peut être
une fonction d’étage (échelon) (3.19) ou une fonction de signe (3.20)

x≥0
 1
Θ( x ) 1 ≥ x ≥ 0
(3.19)
Θ( x ) =

0
x≺0

x≥0
 1
sign( x ) 1 ≥ x ≥ −1
sign( x ) =

−1
x≺0
(3.20)
En conclusion, un réseau avec les unités évaluées continues (réseau
analogue de Hopfield), peut être obtenu en utilisant la fonction sigmoïde.
1
(3.21)
1 + e− x
Les attracteurs vers lesquels converge un tel réseau correspondent aux
minimums d’une fonction d’énergie définie comme suit :
g( x ) =
E( x ) =
N
1 N N
w
y
y
−
∑ ij i j ∑ Ii yi
2 i∑
=1 j =1
i =1
(3.22)
où
– y est le vecteur des sorties des neurones du réseau.
On établit naturellement un lien entre une telle énergie et la fonction
d’énergie d’un problème d’optimisation, décrite précédemment. On comprend dès lors aisément l’attrait des réseaux de neurones récursifs pour
traiter des problèmes d’optimisation.
3.4. Les réseaux de neurones
Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre nous avons exposé le principe de fonctionnement de
l’algorithme proposé (Neuro-Génétique) qui est basé sur l’hybridation de
deux algorithmes ; l’algorithme génétique qui est un algorithme d’optimisation globale et l’algorithme Hopfield qui est un algorithme d’optimisation locale. Pour cela on a décrit en détail :
– L’Algorithme Hybride,
– L’Algorithme Génétique avec ces opérateurs (sélection, croisement et
mutation) qui représentent le mécanisme de fonctionnement,
– Les réseaux de neurones avec leur principe de fonctionnement et ses
différents types.
La modélisation et l’implémentation de ces techniques dans les réseaux
électriques pour l’étude du dispatching économique environnemental seront détaillées dans le 4ème chapitre.
42
Modélisation du Dispatching
Economique Environnemental
43
Modélisation du dispatching
économique
environnemental
4
D
ans le chapitre précédent nous avons exposé d’une manière générale les arguments théoriques qui justifient l’utilisation d’un système hybride Neuro-Génétique qui fusionne entre l’algorithmes génétiques et le
réseau de neurones (Hopfield). Dans le cadre de l’optimisation, cette approche se révèle particulièrement très intéressante, nous allons donc décrire ça mise en œuvre après modélisation des Dispatchings Economique,
Environnemental et Economique Environnemental.
4.1
Dispatching Economique
Le dispatching doit garantir en tout temps et en tout lieu les puissances active et réactive prises sous engagement avec ses consommateurs,
à moindre coût de combustible.
On détermine ce coût par la fonction input-output c’est à dire le coût du
combustible-puissance active générée par les unités de production. Cette
fonction est celle d’un polynôme de degré "n" [2, 9].
En pratique, le plus souvent, elle est représentée sous forme d’un polynôme du deuxième degré :
2
Ci ( Pgi ) = ai Pgi
+ bi Pgi + ci
(4.1)
La fonction Ci ( Pgi ) n’est connue que sous une forme discrète, c’est à
dire, à partir d’un certain nombre de points. C’est pour cette raison qu’on
fait appel à des méthodes d’interpolation afin de déterminer les coefficients ai , bi et ci qui sont propres à chaque unité de production. La minimisation de la fonction de coût total de production d’énergie électrique
est une tâche qui se présente de la manière suivante :
ng
min C =
∑ Ci ( Pgi )
(4.2)
i =1
sous les contraintes
ng
∑ Pgi − Pch − PL = 0
(4.3)
Pgimin ≤ Pgi ≤ Pgimax
(4.4)
i =1
44
4.1. Dispatching Economique
45
Pour la contrainte 4.3, nous avons considéré deux variantes.
Première variante
Les pertes constantes sont déterminées en faisant un calcul d’écoulement de puissance.
Deuxième variante
La méthode utilisée pour le calcul des pertes électrique est la méthode
des B_coe f f icients, ces résultats sont jugés satisfaisants pour de nombreux
réseaux électriques.
Dans le calcul Dispatching Economique Environnemental , il est important
d’exprimer les pertes transmises en fonction des puissances générées leur
expression est donnée par[2, 9, 53] :
ng ng
PL =
∑ ∑ Pgi Bij Pgj
(4.5)
i =1 j =1
En référence [2, 6, 51] ces pertes sont exprimées en fonction des puissances injectées et des tensions nodales. Leur expression est donnée par :
ng
PL =
∑
akm ( Pgk Pgm + Q gk Q gk ) + bkm ( Pgm Q gk − Q gm Pgk )
(4.6)
k =1
m =1
avec
rkm
cos(δk − δm )
Vk Vm
r
= km sin(δk − δm )
Vk Vm
Pk = PGk − PDk
akm =
(4.7)
bkm
(4.8)
(4.9)
rkm : Représente la partie réelle des éléments de la matrice des impédances
nodales.
Les tensions nodales sont supposées constantes (en module et en
phase) ainsi que les puissances réactives injectées et les puissances actives
consommées. Dans ce cas la l’expression des pertes 4.6 sera donnée par :
ng
PL =
∑
k =1
m =1
ng
akm ( PGk PGm ) − 2
∑
PGk (bkm Q gm + akm PDm ) + C
(4.10)
k =1
m =1
la constante C est exprimée sous la forme suivante :
ng
C=
∑
k =1
m =1
[ akm ( PDk PDm + Qk Qm ) + bkm ( PDm Qk − Qm PDk )]
(4.11)
4.2. Dispatching Environnemental
4.2
46
Dispatching Environnemental
Une des menaces les plus graves qui pèsent sur l’environnement mondial est dûe à l’augmentation rapide des émissions des gaz à effet de serre
(GES), qui selon de nombreux scientifiques, est le principal responsable du
réchauffement de la planète[2, 54, 55]. Ces émissions atmosphériques sont
une des principales préoccupations des producteurs d’électricité utilisant
des centrales thermiques à combustibles fossiles. Cette pollution contribue directement à l’augmentation des émissions de gaz à effet de serre
(GES) a savoir (CO2, SO2, NOx). L’émission des gaz varie selon le type de
combustible utilisé voir (fig 4.1, fig 4.2 et fig 4.3).
Charbon 40%
Fuel 32%
Gaz naturel 28%
Nucléaire 0%
32%
28%
40%
Figure 4.1 – Emission du CO2 .
Charbon 37%
Fuel 37%
Gaz naturel 26%
Nucléaire 0%
37%
26%
37%
Figure 4.2 – Emission du NOx .
4.2. Dispatching Environnemental
47
Charbon 84%
Fuel 14%
Gaz naturel 1.4%
Nucléaire 0%
84%
14%
Figure 4.3 – Emission du SO2 .
Selon les estimations, 86 % de l’énergie produite provenait de l’utilisation de combustibles fossiles. Or, la consommation de tels combustibles génère chaque année 6,3 milliards de tonnes de dioxyde de carbone.
Comme les processus naturels de la terre ne peuvent absorber qu’environ la moitié de ce gaz à effet de serre, on observe annuellement une
augmentation nette de 3,2 milliards de tonnes de dioxyde de carbone atmosphérique qui, au dire de nombreux scientifiques, est à l’origine du
réchauffement planétaire.
4.2.1
Energie électrique et les Gaz à effet de sére (GES)
La plus grande partie de l’électricité mondiale est produite dans des
usines thermiques alimentées au charbon (figure 4.4), au fuel, à l’énergie
nucléaire ou au gaz et, en de plus petites proportions au diesel, ou dans
des usines hydroélectriques[2, 45].
Figure 4.4 – Diagramme d’une centrale au charbon.
4.2. Dispatching Environnemental
48
Les centrales à combustibles fossiles jouent un rôle important. En effet,
à la différence des centrales nucléaires, elles peuvent s’adapter rapidement
aux changements de la demande. Elles permettent facilement intensifier
la production pour répondre à la demande en période de pointe.
Une centrale au charbon de 2000 MW génère en une seule journée :
> 42000 tonnes de CO2 ;
> 620 tonnes de gaz acides ;
> 10 tonnes de poussière ;
> 1300 tonnes de cendre.
4.2.2
Les mesures techniques
a. Pour le dioxyde de carbone CO2
La formation de CO2 engendrée par les combustibles fossiles est inévitable. Sur le plan technico-économique, il est pratiquement impossible
d’éviter ces émissions [2, 57, 58]. Il existe toutefois des solutions :
1. La combustion du gaz au lieu du charbon ou du fuel (qui limite les
émissions de CO2).
2. L’énergie nucléaire qui ne produit pas de CO2.
3. L’utilisation des source d’énergie renouvelable (eau, vent, soleil et ..).
b. Pour le dioxyde de soufre (SO2)
Pour réduire les émissions de SO2, il est fait usage de gaz naturel
exempt de soufre et de charbon et de fuel à faible teneur en soufre. En
autre la part de l’énergie nucléaire dans la production d’électricité contribue largement à cette réduction des émissions. Dans les centrales au charbon, il conviendra de procéder à une " désulfuration ". Dans les grandes
unités les émissions de SO2 et de NOx font l’objet d’une mesure permanente au niveau des cheminées .
c. Pour l’oxyde d’azote (NOx)
Le choix de combustible ne permet pas de maîtriser la formation de
NOx aussi bien que celle de SO2, cette situation s’explique par la formation à haute température de NOx par oxydation de l’azote présent dans
l’air de combustion. Pour réduire les rejets de NOx il est possible d’appliquer des mesures primaires dans le foyer parmi ces mesures [2, 57, 58] :
1. L’utilisation du brûleur tangentiel installé dans les angles de foyer.
2. L’abaissement de la température de combustion.
3. Pour les nouvelles installations, des techniques de Désazotification
peuvent s’avérer nécessaires, comme la réduction catalytique.
4.2.3 Modèle mathématique du Dispatching Environnemental
La quantité des émissions des gaz toxiques peut être mathématiquement représentée comme fonction quadratique des puissances électriques
générées [2, 53, 59, 60] :
2
Ei ( Pgi ) = αi Pgi
+ β i Pgi + γi
(4.12)
4.3. Dispatching Economique Environnemental (DEE)
49
où α, β et γ sont des coefficients des émissions. La diminution des
émissions atmosphériques consiste à minimiser l’équation 4.13 sous les
contraintes données par équation 4.3 et équation 4.4.
ng
min E =
∑ Ei ( Pgi )
(4.13)
i =1
4.3
Dispatching Economique Environnemental (DEE)
L’étude du dispatching économique-environnemental consiste à la minimisation simultanée des deux fonctions données par 4.2 et 4.13. Nous
transformons donc le problème d’optimisation bi-objectifs en un problème
d’optimisation mono-objectif, en introduisant un facteur de pénalité de
prix. Ce facteur est défini comme étant le rapport entre le coût maximal et
les émissions maximales de chaque générateur[2, 53, 59, 61] :
Fp =
C ( Pgimax )
E( Pgimax )
$/Kg, i = 1, 2, . . . , ng
(4.14)
Les étapes à suivre pour déterminer le facteur de pénalité de prix
spécifié pour une charge donnée sont :
– Déterminer le rapport entre le coût maximal et les émissions maximales pour chaque générateur.
– Classer les valeurs de ces facteurs par ordre croissant.
– Sommation des puissances maximales Pgimax de chaque générateur
en commençant par le puissance de la centrale ayant le plus faible
ng
facteur jusqu’à ∑i=1 Pgimax ≥ Pd .
– A ce stade, Fp lié à la dernière unité dans le processus est le facteur
de pénalité de prix pour la charge donnée.
Après détermination de ce facteur, nous pouvons représenter la fonction décrivant le Dispatching Economique-Environnemental par l’équation suivante :
ng
ψ=
∑
i =1
ng
( ai Pgi2
+ bi Pgi + ci ) + Fp ∑ (αi Pgi2 + β i Pgi + γi )
(4.15)
i =1
L’équation 4.15 peut être réécrite de la manière suivante :
ng
ψ=
∑ ( Ai Pgi2 + Bi Pgi + Ci )
(4.16)
i =1
avec : Ai = ai + Fp αi , Bi = bi + Fp β i et Ci = ci + Fp γi
La minimisation de cette fonction se fait en tenant compte des contraintes
de type égalité et inégalité données respectivement par les équations 4.3
et 4.4.
4.4. Implémentation des Algorithmes Génétiques
4.4
Implémentation des Algorithmes Génétiques
Technique basée sur l’évolution (méthodes évolutionnistes). Son principe est de créer une population initiale généralement aléatoire et la faire
évoluer en lui appliquant les principaux opérateurs d’évolution jusqu’à
avoir une population que l’on jugera satisfaisante [2, 34, 36, 61, 62]. Le
principe de fonctionnement du CGA (Continuos Genetic Algorithme)est
représenté par la figure 4.5.
Figure 4.5 – Organigramme de l’algorithme génétique.
50
4.5. Implémentation des réseaux de neurones (Hopfield)
4.4.1
Mécanisme de fonctionnement
Pour mettre en relief le principe d’implémentation d’un algorithme
génétique pour minimiser nos fonctions objectifs, nous allons décrire
étape par étape ce principe.
Variable et fonction de coût : le but est de résoudre le problème d’optimisation à savoir trouver la solution optimale (le minimum).
Si le chromosome est composé de Nvar variable comme suite
P1 , P2 , . . . , PNvar alors il est représenté sous forme d’un vecteur avec
1xNvar éléments.
Chromosome = [ P1 , P2 , . . . , PNvar ]
chaque chromosome est évalué par une fonction de coût f :
Cost = f ( P1 , P2 , . . . , PNvar )
Population initiale : La population initiale est composée de Popsize chromosomes cette population est représentée par une matrice de
Popsize xNvar chaque ligne de cette matrice représente 1xNvar chromosome de valeur réelle.
Croisement : Le croisement réel ne se différencie du croisement binaire
que par la nature des éléments qu’il altère : ce ne sont plus des bits
qui sont échangés à droite du point de croisement, mais des variables
réelles, le croisement utilisé est simple à un seul point les variables
entre ce point seront permutées entre deux chromosomes parents
par exemple on considère les deux parents suivant :
parent1 = [ Pm1 , Pm2 , Pm3 , Pm4 , . . . , PmNvar ]
parent2 = [ Pd1 , Pd2 , Pd3 , Pd4 , . . . , PdNvar ]
le choix du point de croisement est aléatoire sélectionné
o f f spring1 = [ Pm1 , Pm2 , ↑ Pd3 , Pd4 , ↑ . . . , PmNvar ]
o f f spring2 = [ Pd1 , Pd2 , ↑ Pm3 , Pm4 , ↑ . . . , PdNvar ]
Mutation : L’algorithme génétique converge rapidement vers la surface
des solutions optimales (minimum global), cependant certaine fonction ont plusieurs minimums locaux si on laisse l’algorithme tel
qu’il est il a la tendance de converger vers ces solutions au lieux
des solutions globales pour remédier à ce problème on force l’algorithme pour exploiter d’autres surfaces par l’introduction de l’opérateur de mutation. On sélectionne au hasard une gène k dans la
chaine [ Pm1 , Pm2 , Pm3 , ....., Pk , . . . , PmNvar ] et générer la nouvelle chaine
[ Pm1 , Pm2 , Pm3 , ....., Ṕk , . . . , PmNvar ] où Ṕk est une valeur aléatoire prise
dans lintervalle [ Pkmin , Pkmax ].
4.5
Implémentation des réseaux de neurones (Hopfield)
La résolution du problème du Dispatching Economique Environnemental par un réseau de neurones (Hopfield) se fait en comparant la fonction d’énergie du modèle de Hopfield avec la fonction objectif à minimiser.
51
4.5. Implémentation des réseaux de neurones (Hopfield)
52
Cette dernière est pénalisée en tenant compte de la contrainte de type égalité seulement [2, 64, 65, 66, 67, 68].
La fonction d’énergie du modèle de Hopfield est donnée par l’équation
suivante :
ng ng
ng
1
Eenrg = − ∑ ∑ Tij Pgi Pgj − ∑ Ii Pgi
(4.17)
2 i =1 j =1
i =1
En prenant notre fonction objectif du Dispatching Economique Environnemental, nous comparons donc l’équation 4.17 avec l’équation 4.18
Bc
ET =
2
ng
∑
i =1
ng
( Ai Pgi2
Ac
+ Bi Pgi + Ci ) +
( Pgi − Pc h − PL )2
2 i∑
=1
(4.18)
Après développement de l’équation 4.18, nous aurons :
ET =
1 N N
Ac
( Ac + Bc Ci ) Pgi Pgj +
∑
∑
2 i =1 j =1
2
+
N
∑
N
∑ Pgi Pgj +
i =1 j =1
Bc
2
N
B
Ac
( Pch + PL )2 − ∑ ( Ac ( Pch + PL ) − Bc i ) Pgi
2
2
i =1
N
∑ Ai
i =1
(4.19)
La comparaison des équations 4.17 et 4.19, nous permet d’exprimer les
coefficients de Hopfield (poids et les biais).
Tii = − Ac − Bc Ci
Tij = − Ac
(4.20)
Bc
Ii = Ac ( Pch + PL ) − Bi
2
Le calcul de l’entrée du réseau de neurones est donné par l’équation 4.21
N
Uik = Uik−1 + ∑ Tij Vj + Ii
(4.21)
j =1
Vi est la sortie du réseau de neurones. Elle est calculée en utilisant la
fonction sigmoïde.
1
Vik =
(4.22)
−U k
1 + exp( u0 i )
4.5. Implémentation des réseaux de neurones (Hopfield)
4.5.1
Algorithme de fonctionnement
1. Introduction des données.
2. Initialisation des paramètres du réseau de neurones.
3. Calcul du facteur de pénalité et les pertes électriques.
4. Formulation de la matrice des poids du réseau de Hopfield.
5. Calcul de la sortie Ui et l’entrée Vi du réseau de Hopfield en utilisant
les équation 4.21 et 4.22.
6. Transformation des valeurs normalisées à des valeurs réelles.
7. Test de la convergence du réseau de Hopfield, et la violation des
contraints, si oui stopper le processus, sinon transformation des valeurs réelles à des valeurs normalisées, refaire le procédé a partir de
l’étape (3).
L’organigramme d’un réseau de neurones appliqué à l’optimisation des
puissances générées est donné par la figure 4.6.
Figure 4.6 – Organigramme du réseau Hopfield.
53
4.5. Implémentation des réseaux de neurones (Hopfield)
Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre nous avons présenté les modèles mathématiques du
Dispatching Economique et Environnemental. Dans ces modèles les pertes
électriques sont prises en considération sous deux variantes (constantes et
en fonction quadratique des puissances actives générées).
L’algorithme génétique et les réseau de neurones (Hopfield) sont implémentés pour résoudre le problème du Dispatching Economique Environnemental (DEE).
54
Simulation et résultats
55
Simulation et résultats
5
D
ans ce chapitre, Nous exposons, les tests de validation des méthodes proposées à savoir les algorithmes génétiques (AG), les réseaux de
neurones (HNN) et le système hybride Neuro-Génétique (HGA).
Dans la première partie, on va appliquer la technique hybride (HGA)
sur le problème du Dispatching Economique (DE), cette étude sera réalisée sur un réseau qui comporte treize générateurs.
La deuxième partie sera consacrée au problème du Dispatching Economique Environnemental (DEE), l’application sera effectuée sur un réseau
qui comporte trois générateurs et le réseau standard IEEE 30 nœuds qui
comporte six générateurs. Ces choix nous permet de comparer les résultats
obtenus avec d’autres résultats.
5.1
L’étude du Dispatching Economique (DE)
Dans cette étude, la technique hybride (HGA) sera appliquée sur un
réseau de 13 générateurs [69], le tableau 5.1 regroupe les valeurs des coefficients des fonctions coût des 13 générateurs et les puissances limites a
savoir (Pmax etPmin ).
n˚
du générateur
1−6
7, 8
9, 10
11
12
13
Coefficient du coût
a
b
c
0.00324 7.74 240
0.00284 8.60 126
0.00284 8.60 126
0.00028 8.10 550
0.00056 8.10 309
0.00056 8.10 307
Puissances limites
Pmax
Pmin
180
60
120
40
120
55
680
0
360
0
360
0
Table 5.1 – Les données du réseau électrique comportant treize générateurs
56
5.1. L’étude du Dispatching Economique (DE)
57
Les coefficient des pertes Bij sont données par la matrice suivante :












Bij =











5
1 5 5
1
5 1.5 5 5 1
5
5 1.5
1
4 1 5 1.5 5
5
0 1 5
5
0
5 

5
1 3 5
5
0
1
0 5 0
5
0
5 

5
5 5 4.4 1.5 1
0
0 5 0
5
0
0 

1 1.5 5 1.5 4 1.5 1
5 0 0
5
0
0 


5
5 0 1 1.5 4
1
5 0 5
0
0
0 

1.5 5 1 0
1
1
3 1.5 1 0
5
0
0  x10−5

5
0 0 0
5
5 1.5 4 1 1
0
5
0 

5
1 5 5
0
0
1
1 3 1
5
5
0 

1
5 0 0
0
5
0
1 1 5 1.5 1
5 

5
5 5 5
5
0
5
0 5 1.5 4 1.5 5 

5
0 0 0
0
0
0
5 5 1 1.5 5
1 
1.5 5 5 0
0
0
0
0 0 5
5
1
7
Le tableau 5.2, compare les résultats obtenus par algorithme hybride
(HGA) avec celle trouvées par la méthode classique (CM) [62] et la méthode neurone proposée (PNM) [62] pour différentes charges. Les valeurs
optimales des puissances générées sont données dans le tableau A.1de
l’annexe A.
ng
∑ Pi
Pertes
Coût
i =1
(MW)
PNM [69]
CM [69]
HGA
PNM [69]
CM [69]
HGA
PNM [69]
CM [69]
HGA
électriques de production
(MW)
($/h)
Puissance demandée 975 MW
988.41
13.4011
11201.95
988.40
13.4009
11201.90
982,885
7.898
11164.649
Puissance demandée 1925 MW
1985.2
60.1509
19506.92
1985.2
60.1509
19502.92
1960,5
36.825
19330.130
Puissance demandée 2575 MW
2685.3
110.6711
25514.85
2685.7
110.6924
25514.99
2643.898
69.309
25164.226
Table 5.2 – Les résultats de simulation pour le Dispatching Economique
La variation du coût de production et les puissances générées pour les
différentes charges est représentée par les figures 5.1, 5.2 et 5.3.
5.1. L’étude du Dispatching Economique (DE)
58
11360
11340
Coût de la production ($/h)
11320
11300
11280
11260
11240
11220
11200
11180
11160
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
180
Puissances générées (MW)
160
Pg1
Pg2
Pg3
Pg4
Pg5
Pg6
Pg7
Pg8
Pg9
Pg10
Pg11
Pg12
Pg13
140
120
100
80
60
40
20
0
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.1 – Variation du coût de production et les puissances
Pch = 975MW
5.1. L’étude du Dispatching Economique (DE)
59
Coût de production ($/h)
21500
21000
20500
20000
19500
19000
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
700
Puissances générées (MW)
600
Pg1
Pg2
Pg3
Pg4
Pg5
Pg6
Pg7
Pg8
Pg9
Pg10
Pg11
Pg12
Pg13
500
400
300
200
100
0
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.2 – Variation du coût de production et les puissances
pour Pch = 1925MW
5.1. L’étude du Dispatching Economique (DE)
60
25550
25500
Coût de production ($/h)
25450
25400
25350
25300
25250
25200
25150
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
700
Puissances générées (MW)
600
Pg1
Pg2
Pg3
Pg4
Pg5
Pg6
Pg7
Pg8
Pg9
Pg10
Pg11
Pg12
Pg13
500
400
300
200
100
0
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.3 – Variation du coût de production et les puissances
Pch = 2575MW
D’après les figures (5.1, 5.2 et 5.3) et le tableau5.2, on remarque que
l’algorithme hybride HGA fournit la meilleure solution optimale comparée avec les autres algorithmes, l’algorithme converge rapidement vers la
solution optimale, les puissances optimales ne dépassent pas les limites
de fonctionnement des générateurs. On remarque aussi, d’après le tableau
5.6, que pour les puissances demandées 975 MW, 1925 MW et 2575 MW le
coût de production a diminué de 37.301 $/h, 176.790 $/h et 350.764 $/h
respectivement par apport à d’autres algorithmes.
Idem pour les pertes électriques qui ont baissé de 5.502 MW, 23.326
MW et 41.327 MW respectivement.
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
5.2
L’étude du Dispatching Economique Environnemental
Pour réaliser cette étude l’application a été effectué sur un réseau à
trois générateurs et un réseau à 30 nœuds comprenant 6 générateurs.
5.2.1
Réseau a trois générateurs
Les données du réseau à trois générateurs [70] ; coefficients des fonctions coût et les coefficients des émissions sont regroupées dans le tableau
5.3 et le tableau 5.4.
N◦ du
générateur
1
2
3
F ( pg) = ap2g + bp g + c
a
b
c
0.03546 38.0553 1243.5311
0.02111 36.32782 1658.569
0.01799 38.2704 1356.6592
Puissances limites
Pmax
Pmin
210
35
325
130
315
125
Table 5.3 – Coefficients des fonctions coût réseau à 03 générateurs.
N◦ du
générateur
1
2
3
F ( pg)
α
0.00683
0.00461
0.00461
= αp2g + βp g + γ
β
γ
-0.54551 40.2669
-0.51160 42.89553
-0.51160 42.89553
Table 5.4 – Coefficients caractéristiques des émissions réseau a 03 générateurs.
Les coefficients des pertes de transmission son donné comme suite :


0.000071 0.000030 0.000025
Bij = 0.000030 0.000069 0.000032 
0.000025 0.000032 0.000080
Le tableau 5.5, compare les résultats obtenus par l’algorithme hybride
(HGA) avec ceux trouvé par d’autre travaux [70] pour différentes charges.
61
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
Puissances
Pertes
Coût
généré (MW)
électriques de production
P1
P2
P3
(MW)
($/h)
Puissance demandée 400 MW
102.66
153.87
151.13
7.41
29922
99.7
147.26
161.08
7.69
29820
99.52
165.11
142.32
7.39
29812
109.296 161.673 136.480
7.449
30478.05
Puissance demandée 500 MW
120.00
192.81
190.08
11.88
39458
127.54
200.58
183.43
11.80
39441
127.52
193.50
190.62
11.70
39433
120.220 198.202 193.254
11.676
40414.35
Puissance demandée 700 MW
182.62
271.27
269.47
23.37
66690
190.11
274.71
258.21
23.29
66659
187.21
273.56
262.35
23.28
66631
177.005 262.742 283.552
23.299
66434.32
Lambda [70]
SGA [70]
RGA [70]
HGA
Lambda [70]
SGA [70]
RGA [70]
HGA
Lambda [70]
SGA [70]
RGA [70]
HGA
Table 5.5 – Les résultats de simulation pour le DEE réseau a trois générateurs
La variation des puissances générées, coût total et la quantité d’émission pour les différentes charges est représenter par les figures (5.4, 5.5,
5.6, 5.7 et 5.8).
Pg1
Pg2
Pg3
180
170
Puissances générées (MW)
160
150
140
130
120
110
100
90
80
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.4 – Variation des puissances générées Pch = 400MW
62
Quantité
d’émission
(Kg/h)
201.5
201.35
201.21
201.865
312.00
311.89
311.33
312.190
652.55
652.04
651.60
652.902
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
31600
Coût totale de production ($/h)
31400
31200
31000
30800
30600
30400
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.5 – Variation de coût total de production Pch = 400MW
225
Quantité d'émission (Kg/h)
220
215
210
205
200
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.6 – Variation de la quantité d’émissions Pch = 400MW
63
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
Puissances générées (MW)
200
180
Pg1
Pg2
Pg3
160
140
120
100
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
41400
Coût total de production ($/h)
41200
41000
40800
40600
40400
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Quantité 'émission (Kg/h)
314
312
310
308
306
304
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.7 – Variation des puissances générées, coût total et les émissions
Pch = 500MW
64
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
325
Pg1
Pg2
Pg3
Puissances générées (MW)
300
275
250
225
200
175
150
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
84000
Coût total de production ($/h)
82000
80000
78000
76000
74000
72000
70000
68000
66000
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
660
Quantité d'émission (Kg/h)
650
640
630
620
610
600
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.8 – Variation des puissances générées, coût total et les émissions
Pch = 700MW
65
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
D’après le tableau 5.5, les puissances électriques générées respectent
les limites de fonctionnement des générateurs, le coût de production et
la quantité d’émission représentent une légère différence concernant la
charge 400 MW, 500 MW, pour la charge 700 MW le coût total a été réduit
de 225.68 $/h ainsi que les pertes électriques sont réduite de 0, 0143 MW
par rapport à d’autres méthodes.
HGA converge rapidement vers la solution optimale au bout de 40
générations d’après les figures(5.4, 5.5, 5.6, 5.7 et 5.8).
5.2.2 Réseau de 30 nœuds
le réseau investi lors de cette étude est un réseau de 30 nœuds (figure
5.9) qui comprenant 06 nœuds générateurs.
Figure 5.9 – Topologie du réseau 30 nœuds.
Les valeurs des impédances, des admittances shunts des lignes et les
valeurs planifiées des puissances sont données respectivement par les tableaux A.2 et A.3 de l’annexe A.
La charge totale pour le réseaux 30 nœuds est de 283.4 MW pour une
puissance de base égale à 100 MVA. Les valeurs des coefficients des fonctions coût et les puissances limites des deux réseaux sont regroupées dans
le tableau 5.6.
Les valeurs des coefficients des émissions des gaz sont regroupées
dans le tableau 5.7.
66
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
N◦ du
générateur
1
2
5
8
11
13
F ( pg) =
a
0.00375
0.00175
0.06250
0.00834
0.02500
0.02500
ap2g + bp g + c
b
c
2.0
0
1.5
0
1.8
0
2.0
0
1.5
0
1.8
0
67
Puissances limites
Pmax
Pmin
360.4
10
140
10
100
10
100
10
100
10
100
10
Table 5.6 – Coefficients des fonctions coût réseau 30 nœuds.
N◦ du
générateur
1
2
5
8
11
13
F ( pg) = αp2g + βp g + γ
α
β
γ
6.490 10-6 -5.554 10-4 4.091 10-2
5.638 10-6 -6.047 10-4 2.543 10-2
4.586 10-6 -5.094 10-4 4.258 10-2
3.380 10-6 -3.550 10-4 5.326 10-2
4.586 10-6 -5.094 10-4 4.258 10-2
5.151 10-6 -5.555 10-4 6.131 10-2
Table 5.7 – Coefficients caractéristiques des émissions.
6. 2. 2. 1 Calcul de l’écoulement de puissance
Le calcul de l’écoulement de puissance est une étape nécessaire pour
l’optimisation des puissances générées. Il est effectué en premier lieu pour
la détermination des conditions initiales du système. En effet, il permet de
trouver les tensions aux différents nœuds et par suite les puissances transmises et injectées [6]. Les résultats du calcul de l’écoulement de puissance
obtenus en utilisant le logiciel ERELEC [6] et en appliquant la méthode
de Newton-Raphson sont donnés par les tableaux A.4 et A.5 de l’annexe
A. La méthode converge en 6 itérations avec un pas de précision de 10−5 .
Les puissances générées active et réactive au nœud bilan sont évaluées
respectivement à 151.8 MW et 0.59 MVAR. Les pertes de transmission
actives sont égales à 8.45 MW et réactives à 0.391 MVAR.
Une fois le calcul de lécoulement de puissance est accompli, le logiciel
permet la détermination des coefficients des pertes de transmission :




aij = 



0.01179
0.00192
−0.00366
−0.00525
−0.0401
−0.00260
0.00192
0.00617
−0.00085
−0.00458
−0.00345
−0.00272
−0.00366 −0.00525 −0.00401
−0.00085 −0.00458 −0.00345
−0.02337 −0.00407 −0.00308
−0.00407 0.01434
0.00470
−0.00308 0.00470
0.00995
−0.00392 0.00195 −0.00158
−0.00260
−0.00272
−0.00392
0.00195
−0.00158
0.02182








5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental




−2 ∑ (bij Q j + aijPD j ) = 


ij=11

n =1
0.01954
0.01093
−0.03440
−0.08171
−0.07248
−0.02058




 en $/hMW



K = 0.0382en $/h
6. 2. 2. 3 Application des Algorithmes Génétiques AG
Nous considérons les pertes électriques actives comme étant
constantes, Les valeurs optimales des puissances générées, coût de production de chaque centrale et le nombre de générations obtenus sont
regroupées dans le tableau 5.8.
opt
N˚ du générateur
Pg
01
86.373
02
115.95
05
11.112
08
27.892
11
18.753
13
31.768
TOTAL
291.945
Pertes constantes MW
Emission du gaz ton/h
Nombre de génération
Coût $/h
200.722
197.452
27.718
62.272
36.921
82.412
607.500
8.45
0.239
215
Table 5.8 – Les valeurs optimales
Les variations du coût de production, l’émissions du gaz, les puissances générées et la contrainte de fonctionnement sont illustrées par les
figures (fig 5.10, fig5.11, fig 5.12 et 5.13 )respectivement.
68
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
1800
Coût de production ($/h)
1600
1400
1200
1000
800
600
0
100
200
300
400
500
Nombre de géneration
Figure 5.10 – Variation du coût de production.
0,25
émission du No x (ton/h)
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
100
200
300
400
500
Nombre de géneration
Figure 5.11 – variation des émissions des gaz toxiques.
69
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
150
Pg 1
Pg 2
Pg 5
Pg 8
Pg 11
Pg 13
125
Puissances génerées (MW)
70
100
75
50
25
0
0
100
200
300
400
500
600
Nombre de génerations
Figure 5.12 – Variation des puissances électriques
Pg opt
Pg max
Pg min
360
320
Puissances (MW)
280
240
200
160
120
80
40
0
Pg1
Pg2
Pg5
Pg8
Pg11
Pg13
Figure 5.13 – Contraintes de fonctionnement.
Dans le cas des pertes électriques variables en fonctions des puissances
électriques générées, Les valeurs optimales des puissances générées, coût
de production de chaque centrale et le nombre de générations obtenus
sont regroupées dans le tableau 5.9.
Les variations du coût de production, l’émissions du gaz, les puissances générées et la contrainte de fonctionnement sont illustrées par les
figures (fig 5.14, fig5.15,fig 5.16 et fig 5.17 )respectivement.
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
opt
N˚ du générateur
Pg
01
68.875
02
109.79
05
10.009
08
47.008
11
23.193
13
35.01
TOTAL
293,885
Pertes électriques MW
Emission du gaz ton/h
Nombre de génération
Coût $/h
155,539
185.780
24.277
112.445
48.234
93.660
619.939
4.483
0.222
200
Table 5.9 – Les valeurs optimales
1800
Coût de production ($/h)
1600
1400
1200
1000
800
600
0
100
200
300
400
500
Nombre de géneration
Figure 5.14 – Variation du coût de production
71
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
72
1600
1400
Coût d'émission ($/h)
1200
1000
800
600
400
200
0
100
200
300
400
500
Nombre de géneration
Figure 5.15 – Variation du coût d’émissions du gaz
120
P
P
P
P
P
P
Puissances électrique (MW)
100
80
60
40
20
0
100
200
300
400
500
Nombre de génerations
Figure 5.16 – Variation des puissances électriques
1
2
5
8
11
13
Puissance Optimales (MW)
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
380
360
340
320
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
P opt
P max
P min
P1
P2
P3
P5
P5
P11
Figure 5.17 – Contrainte de fonctionnement
Les résultats obtenus montrent que l’Algorithme Génétique où on
utilise la deuxième variante converge rapidement vers une meilleure solution optimale que la où on utilise les pertes électriques constantes. les
puissances optimales trouvées n’ont pas les mêmes valeurs, cependant ces
valeurs ne présentent pas des violations, ils satisfairent la contrainte de
fonctionnement, c’est à dire qu’elles sont toutes inférieures aux puissances
maximales et supérieures aux puissances minimales. De plus, leur somme
vérifie l’équation du bilan.
Le coût de combustible trouvé en appliquant l’algorithme génétique
où les pertes sont considérées variables est de 619.939 $/h et autour de
607.500 $/h où les pertes sont considérées constantes, ce qui représente
un écart de 12.439 $/h.
Les pertes électriques trouvées sont minimales 4.36 MW comparées
aux pertes électriques calculées en faisant un calcul d’écoulement de puissance 8.45 MW, elles sont minimisées de 4.099 MW.
La quantité d’émission des gaz toxiques trouvées en utilisant la
deuxième variante (pertes variables) est de 0.222 ton/h et autour de 0.239
ton/h où les pertes sont considérées constantes ce qui représente un écart
de 0.017 ton/h.
6. 2. 2. 4 Application du réseau de Hopfield HNN
Nous considérons les pertes électriques actives comme étant
constantes, Les valeurs optimales des puissances générées, coût de production de chaque centrale et le nombre de générations obtenus sont
regroupées dans le tableau 5.10.
Les variations du coût de production, l’émissions du gaz et les puissances générées en fonction du nombre de générations sont illustrées par
les figures (fig 5.18, fig5.19 et fig 5.20) respectivement.
73
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
opt
N˚ du générateur
Pg
01
93,9154
02
102.723
05
20.796
08
31.081
11
22.242
13
21.041
TOTAL
291.800
Pertes constants MW
Emission du gaz ton/h
Nombre d’itérations
74
Coût $/h
220.906
172.551
64.465
70.218
45.732
48.942
622.816
8.45
0.234
40
Table 5.10 – Les valeurs optimales
1300
Coût de production ($/h)
1200
1100
1000
900
800
700
600
0
10
20
30
40
50
Nombre d'itérations
Figure 5.18 – variation du coût de production.
60
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
0,50
Emission des gaz (Ton/h)
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0
10
20
30
40
50
60
Nombre d'itérations
Figure 5.19 – variation d’émission du gaz
220
Pg 1
Pg 2
Pg 5
Pg 8
Pg 11
Pg 13
Puissances génerées (MW)
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
10
20
30
40
50
60
Nombre d'itérations
Figure 5.20 – variation des puissances électriques
Dans le cas des pertes électriques variables en fonctions des puissance électriques générées, Les valeurs optimales des puissances générées,
coût de production de chaque centrale quantité d’émissions des gaz et le
nombre de générations obtenus sont regroupées dans le tableau 5.11.
Les variations du coût de production, l’émissions du gaz, les pertes
électriques, les puissances générées et la contrainte de fonctionnement
sont illustrées par les figures (fig 5.21, fig5.22, fig 5.23, fig 5.23 et fig 5.24
)respectivement.
75
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
opt
N˚ du générateur
Pg
01
92.487
02
102,733
05
20,677
08
30.979
11
22,236
13
20,926
TOTAL
290,421
Pertes électriques MW
Emission du gaz ton/h
Nombre d’itérations
Coût $/h
218,083
172,569
63,939
69,962
45,715
48,614
618,883
6.641
0.233
59
Table 5.11 – Les valeurs optimales
1300
Côut de production ($/h)
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
0
20
40
60
80
Nombre d'itération
Figure 5.21 – Variation du coût de production
76
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
Quantité d'émission (Ton/h)
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0
20
40
60
80
Nombre d'itération
Figure 5.22 – Variation de quantité d’émissions du gaz
14
13
Pertes élextrique (MW)
12
11
10
9
8
7
6
0
20
40
60
80
Nombre d'itération
Figure 5.23 – Variation des pertes électriques du gaz
77
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
220
Pg1
Pg2
Pg5
Pg8
Pg11
Pg13
200
Puissances générées (MW)
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
Nombre d'itération
Figure 5.24 – Variation des puissances électriques
Les résultats obtenus montrent que le réseau de Hopfield converge
rapidement vers la solution optimale, les solutions trouvées en utilisant la
2éme variante sont comparables et satisfaisantes par rapport à ceux trouvée
en utilisant la 1éme variante.
Les valeurs des puissances optimales ne présentent pas des violations
elles satisfairent la contrainte de fonctionnement. De plus, leur somme
vérifie l’équation du bilan.
Le coût de combustible trouvé en appliquant le réseaux de Hopfield
où les pertes sont considérées variables est de 618.883 $/h et autour de
622.816 $/h où les pertes sont considérées constantes, ce qui représente
un écart de 3.933 $/h.
Les pertes électriques trouvées sont minimales 6.641 MW comparées
aux pertes électriques calculées en faisant un calcul d’écoulement de puissance 8.45 MW. Elles sont minimisées de 1.809 MW.
La quantité d’émission des gaz toxiques trouvée en utilisant la 2éme
variante est de 0.233 ton/h et autour de 0.234 ton/h où les pertes sont
considérées constantes ce qui représente un écart de 0.001 ton/h.
6. 2. 2. 5 Approche Neuro-Génétique HGA
Nous considérons les pertes électriques actives comme étant
constantes, Les valeurs optimales des puissances générées, coût de production de chaque centrale et le nombre de générations obtenus sont
regroupées dans le tableau 5.12.
78
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
opt
N˚ du générateur
Pg
01
73.120
02
131.567
05
11.268
08
29.337
11
27.192
13
19.362
TOTAL
291.830
Pertes constantes MW
Emission du gaz ton/h
Nombre de générations
Coût $/h
166.289
229.643
28.218
65.852
59.273
44.179
591.455
8.45
0.246
190
Table 5.12 – Les valeurs optimales
Les variations du coût de production, l’émissions du gaz, les pertes
électriques, les puissances générées sont illustrées par les figures (fig 5.25,
fig 5.26, fig5.27).
6000
Coût de production ($/h)
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.25 – Variation du coût de production
79
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
0,250
Quantité d'émission (Ton/h)
0,245
0,240
0,235
0,230
0,225
0,220
0,215
0,210
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.26 – Variation de la quantité d’émission des Gaz
140
Pg1
Pg2
Pg5
Pg8
Pg11
Pg13
Puissance éléctriques (MW)
120
100
80
60
40
20
0
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.27 – Variation des puissances électriques générées
Dans le cas des pertes électriques variables en fonctions des puissances
électriques , Les valeurs optimales des puissances générées, coût de production de chaque centrale quantité d’émissions des gaz et le nombre de
générations obtenus sont regroupées dans le tableau 5.13
80
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
opt
N˚ du générateur
Pg
01
72,896
02
124,749
05
14,568
08
29,44
11
29,415
13
18,544
TOTAL
289.612
Pertes constants MW
Emission du gaz ton/h
Nombre de générations
Coût $/h
165,718
214.357
39.486
66.108
65.753
41.976
593.398
6,212
0,239
190
Table 5.13 – Valeurs optimales
Les variations du coût de production, l’émissions du gaz, les pertes
électriques, les puissances générées en fonction du nombre de générations
sont illustrées par les figures (fig 5.28, fig 5.29, fig5.30).
1600
Coût de production ($/h)
1400
1200
1000
800
600
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.28 – Variation du coût de production
81
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
0,25
Quantité d'émission (Ton/h)
0,24
0,23
0,22
0,21
0,20
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.29 – Variation de la quantité d’émission
Puissances générées (MW)
120
Pg1
Pg2
Pg5
Pg8
Pg11
Pg13
100
80
60
40
20
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.30 – Variation des puissances
D’après les tableaux 5.12 et le tableaux5.13 l’algorithme Neurogénétique converge rapidement vers la solution optimale, les solution
trouvées dans les deux variantes sont satisfaisantes. Les valeurs des puissances optimales satisfairent la contrainte de fonctionnement et vérifie
l’équation du bilan.
Le coût de combustible trouvé en appliquant le Neuro-génétique où les
pertes sont considérée variables est de 593.925 $/h et autour de 591.455
$/h où les pertes sont considérées constantes, ce qui représente une différence de 2.47 $/h.
Les pertes électriques trouvées sont minimales 6.212 MW comparées
82
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
aux pertes électriques calculées en faisant un calcul d’écoulement de puissance 8.45 MW. Elles sont minimisées de 2.238 MW.
La quantité d’émission des gaz toxiques trouvées en utilisant la 2ème
variante est de 0.239 ton/h et autour de 0.246 ton/h où les pertes sont
considérées constantes ce qui représente un écart de 0.007 ton/h.
6. 2. 2. 6 Comparaison et discussion
Tous les résultats obtenues sont représentés graphiquement pour une
éventuelle comparaison. cette représentation permet de voir l’évolution de
chaque méthode d’optimisation dans la recherche de la solution optimale.
les variations du coût de production et la quantité d’émission durant
le processus d’optimisation sont représentées par la figure 5.31, 5.32, 5.31
5.32 respectivement. Nous remarquons que la courbe du système hybride
(Neuro-Génétique) se distingue par une accélération vers la solution optimale.
1800
GA
HNN
HGA
Coût de production ($/h)
1600
1400
1200
1000
800
600
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.31 – Variation du Coût de production perte constante
83
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
0,50
GA
HNN
HGA
0,45
Quantité d'émission (Ton/h)
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.32 – Variation du Quantité d’émission perte constante
1050
1000
GA
HNN
HGA
Coût de production ($/h)
950
900
850
800
750
700
650
600
550
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.33 – Variation du Coût de production perte variable
84
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
Quantité d'émission (Ton/h)
0,45
85
GA
HNN
HGA
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0
100
200
300
400
500
Nombre de génération
Figure 5.34 – Variation du Quantité d’émission perte variable
D’après ces figures les courbes du coût et des émissions évoluent de
manière inverse. Quand le coût augmente, les émissions diminuent et viceversa.
Pour tester la validité de nos résultats on a procédé dans cette partie à
une comparaison avec d’autres travaux dans le même domaine comme le
montre le tableau 5.14.
Pertes électriques constantes
Coût
de production ($/h)
Algorithme génétique
Hopfield
Neuro-génétique
HSA[62]
607.5
622.816
591.455
623.327
Algorithme génétique
Hopfield
Neuro-génétique
BGA [2, 54]
GHSA[62]
619.939
618.883
593.395
605.983
606.408
Quantité
d’émission (ton/h)
Pertes
(MW)
0.239
8.45
0.234
8.45
0.246
8.45
0.214
8.45
Pertes électriques variables
0.222
4.483
0.233
6.641
0.239
6.212
0.239
5.218
0.220
5.048
Table 5.14 – Valeurs optimales
Dans les deux variante où on a considéré les pertes comme étant
constantes et variables en fonction des puissances générées nous pouvons
dire que les puissances optimales trouvées se diffèrent d’une méthode à
autre et qu’ils ne violent pas la contrainte de fonctionnement, c’est-à-dire
Génération
215
40
190
300
200
59
180
100
1500
5.2. L’étude du Dispatching Economique Environnemental
ne dépassent pas les valeurs Pmax , Pmin et en plus ces puissances vérifient
l’équation du bilan.
Le coût optimal trouvé en appliquant le système hybride NeuroGénétique est de 591.455 $/h pour la 1ère variante et de 593.395 $/h pour
la 2ème variante, ce qui représente un écart moyen de 26.341 $/h et de
15.249 $/h respectivement par rapport aux autres méthodes.
La quantité d’émission et les pertes électriques trouvées par le système
hybride sont minimisées par rapport à la 1ère variante et légèrement supérieure à celles trouvées par les autres méthodes.
Conclusion du chapitre
D’après les résultats obtenus on a démontré que l’hybridation de l’algorithme génétique et le réseau de Hopfield nous a permis d’avoir un
système qui regroupe l’efficacité du l’AG dans la recherche des solutions
globales et la rapidité de la convergence du HNN, donc ce système nous
a permis de réduire le nombre important d’évaluation demandé par un
Algorithme Génétique avant d’arriver à la solution de notre problème Dispatching Economique Environnemental.
Les résultats obtenus sont comparables avec d’autres résultats dans le
même domaine et satisfairent nos contraintes à savoir contrainte de type
égalité et la contrainte de fonctionnement.
86
Conclusion générale
Dans le cadre de nos applications de l’Algorithme génétique et le
réseau de Hopfield dans le domaine du Dispatching Economique Environnementale nous avons constaté que AG converge lentement vers
la solution globale contrairement aux réseaux de Hopfield qui converge
rapidement vers une solution optimale mais locale ceci nous a incité à
développer un système hybride qui regroupe entre l’efficacité de l’algorithme génétique (du point de vue optimisation globale) et la rapidité du
réseau de Hopfield (du point de vue convergence).
Les AG débutent par l’initialisation aléatoire d’une population P de
N individus. La population évolue sur plusieurs générations. A chaque
génération G, les individus de la population sont évalués et les plus adaptés sont autorisés par l’opérateur sélection à avoir un grand nombre de
descendants. Une mise en œuvre de cet opérateur consiste à donner pour
chaque individu une probabilité d’avoir un descendant dans la génération
Ǵ suivante, proportionnelle à sa performance. Les mécanismes de mise en
œuvre les plus employés sont la roue de loterie, le tournoi. Ils ont tous en
commun de générer une population de même nombre d’individus, dont la
valeur moyenne est meilleur que celle de la population de la génération G.
Concernant le fonctionnement du réseau de neurone Hopfield, il évolue librement à partir d’un état initial jusqu’à un attracteur où les sorties
des neurones n’évoluent plus, on dit alors que le réseau a convergé.
Quand ces réseaux sont utilisés pour résoudre les problèmes d’optimisation, les poids des connexions sont déterminés analytiquement à partir
de la formulation du problème ; en général, cela est fait directement à
partir de la fonction énergie associée au problème. De plus, les sorties
des neurones, dans l’attracteur vers lequel converge le réseau, codent une
solution au problème d’optimisation.
Le problème d’optimisation du Dispatching Economique Environnementale est un problème bi-objectif, la difficulté principale d’un tel problème d’optimisation est liée à la présence de conflit entre les deux fonctions à savoir la fonction du coût de production et la fonction d’émission
des gaz toxiques. la transformation de ce problème en problème monoobjectif est réalisée par l’introduction d’un facteur de pénalité des prix
Fp .
87
Conclusion générale
Pour la minimisation du coût de production et l’émissions des gaz
toxiques, on a considéré les pertes de transmission. Pour cela, nous avons
jugé nécessaire de les exprimer comme une fonction des puissances générées.
La dernière partie a été consacrée à l’application des méthodes présentées dans le troisième chapitre. Une comparaison avec d’autres travaux a
été réalisée sur des réseaux électriques. Les résultats obtenus ont montré
que l’algorithme hybride (HGA) est très performant et plus efficace que
les autres méthodes.
Nous espérons que notre travail, certe et modeste, sera néanmoins
utile et apportera une contribution efficace à l’étude du problème du
Dispatching Economique Environnementale (DEE).
Un travail en perspective consiste à intégrer l’algorithme génétique
(AG), réseau de Hopfield (HNN) et le système hybride Neuro-Génétique
(HGA) dans le logiciel ERELEC et à mieux exploiter leurs potentialités.
88
Annexes
A
89
A.1. Les puissances générées optimales du réseau de 13 générateurs
A.1 Les puissances générées optimales du réseau de
13 générateurs
Pg1
Pg2
Pg3
Pg4
Pg5
Pg6
Pg7
Pg8
Pg9
Pg10
Pg11
Pg12
Pg13
∑ Pgi ( MW )
Pch = 975 (MW)
73.468
72.050
76.240
72.314
69.390
66.175
41.418
41.085
55.010
63.007
152.797
121.326
78.605
982,885
Pch = 1925 (MW)
121.549
111.883
126.621
127.563
121.794
130.890
56.820
50.908
89.356
59.327
507.396
240.794
215.599
1960.50
Pch = 2575 (MW)
167.939
156.886
144.745
171.521
161.383
160.018
50.144
72.469
84.748
91.555
673.404
355.639
353.447
2643.846
Table A.1 – Les puissances générées optimales
90
A.2. Les valeurs des impédances et des admittances shunts des lignes
A.2 Les valeurs des impédances et des admittances
shunts des lignes
Branche
du nœud au nœud
1
2
1
3
2
4
2
5
2
6
3
4
4
6
5
7
6
7
6
8
6
28
8
28
9
10
9
11
10
17
10
20
10
21
10
22
12
13
12
14
12
15
12
16
14
15
15
18
15
23
16
17
18
19
19
20
21
22
22
24
23
24
24
25
25
26
25
27
27
29
27
30
29
30
r(Pu)
x(Pu)
y’/2 (Pu)
0.0192
0.0452
0.0570
0.0472
0.0581
0.0132
0.0119
0.0460
0.0267
0.0120
0.0169
0.0636
0.0000
0.0000
0.0324
0.0936
0.0348
0.0727
0.0000
0.1231
0.0662
0.0945
0.2210
0.1070
0.1000
0.0824
0.0639
0.0340
0.0116
0.1150
0.1320
0.1885
0.2544
0.1093
0.2198
0.3202
0.2399
0.0575
0.1852
0.1737
0.1983
0.1763
0.0379
0.0414
0.1160
0.0820
0.0420
0.0599
0.2000
0.1100
0.2080
0.0845
0.2090
0.0749
0.1499
0.1400
0.2559
0.1304
0.1987
0.1997
0.2185
0.2020
0.1932
0.1292
0.0680
0.0236
0.1790
0.2700
0.3292
0.3800
0.2087
0.4153
0.6027
0.4533
0.0264
0.0264
0.0204
0.0209
0.0187
0.0042
0.0045
0.0102
0.0085
0.0045
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Table A.2 – Valeurs des impédances et des admittances shunts des lignes.
91
A.3. Les valeurs planifiées des tensions et des puissances
92
A.3 Les valeurs planifiées des tensions et des puissances
n˚
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Tension
V
δ
1.05 0.00
0.00 0.00
1.05 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
1.05 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
1.05 0.00
0.00 0.00
1.05 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
Puissance demandées
MW
MVars
0.00
0.00
21.70
12.70
2.40
1.20
7.60
1.60
94.2
19.0
0.00
0.00
22.8
10.9
30.0
30.0
0.00
0.00
5.80
2.00
0.00
0.00
11.2
7.50
0.00
0.00
6.20
1.60
8.20
2.50
3.50
1.80
9.00
5.80
3.20
0.90
9.50
3.40
2.20
0.70
17.5
1.20
0.00
0.00
3.20
1.60
8.70
6.70
0.00
0.00
3.50
2.30
0.00
0.00
0.00
0.00
2.40
0.90
10.6
1.90
Puissance générées
MW
MVars
0.00
0.00
60.0
23.0
0.00
0.00
0.00
0.00
30.0
50.0
0.00
0.00
0.00
10.9
20.0
20.0
0.00
0.00
0.00
0.00
15.0
13.0
0.00
0.00
15.0
20.0
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Puissance limites
Max
Min
360.4
10
0.00
0.00
140
10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
100
10
0.00
0.00
0.00
0.00
100
10
0.00
0.00
100
10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Table A.3 – Valeurs planifiées des tensions et des puissances.
A.4. Les valeurs des tensions nodales de la dernière itération
A.4 Les valeurs des tensions nodales de la dernière
itération
Nœud
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Module
1.06
1.046
1.025
1.017
1.035
1.01
1.012
1.005
0.997
0.978
1.023
1.000
1.0271
0.9829
0.977
Phase
0
-2.9004
-4.6141
-5.6496
-9.2358
-6.6672
-8.234
-6.9036
-8.5967
-10.6204
-6.8438
-9.9586
-8.7871
-10.9511
-11.0143
Nœud
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Module
0.9825
0.9739
0.9641
0.96
0.9636
0.9645
0.9651
0.9625
0.9526
0.9587
0.9399
0.9717
1.0036
0.9507
0.9385
Phase
-10.5134
-10.8397
-11.6642
-11.8342
-11.5948
-11.1327
-11.1182
-11.4164
-11.5638
-11.5632
-12.0368
-11.2583
-7.1395
-12.6266
-13.6129
Table A.4 – Valeurs des modules et phases des tensions nodales
93
A.5. Les valeurs des puissances transmises
94
A.5 Les valeurs des puissances transmises
Branche
1-3
2-1
2-4
2-5
2-6
3-1
3-4
4-2
4-3
4-6
4-12
5-2
5-7
6-2
6-4
6-7
6-8
6-9
6-10
6-28
7-5
7-6
8-6
8-28
9-6
9-10
9-11
10-6
10-9
10-17
10-20
10-21
10-22
11-9
12-14
12-15
12-16
13-12
14-12
14-15
Puissance transmise
MW
MVAR
55.441
6.9020
-94.833
5.2217
31.888
5.7036
59.025
-7.3054
42.220
6.6793
-54.1707
-6.6954
51.772
5.4938
-31.3257
-7.9075
-51.7307
-5.3906
45.316
3.9845
29.841
7.7172
-57.5099
9.1454
-6.689
21.8552
-41.2323
-7.6338
-45.0775
-4.0779
30.012
-13.361
12.134
7.1151
16.296
6.4262
12.242
6.2230
15.6277
5.3072
6.935
-23.374
-29.7356
12.4731
-12.1101
-7.9442
2.1100
-2.0552
-16.2955
-5.8002
31.296
18.017
-14.999
-12.217
-12.2415
-5.1946
-31.2961 -16.5743
5.2653
2.4843
8.8823
2.7163
15.898
9.9897
7.6894
4.5788
14.9997
13
8.0462
2.8951
18.256
8.7778
7.337
5.3610
14.9999
20.0004
-7.9562
-2.7080
1.756
1.1082
Branche
15-12
15-14
15-18
15-23
16-12
16-17
17-10
17-16
18-15
18-19
19-18
19-20
20-10
20-19
21-10
21-22
22-10
22-21
22-24
23-15
23-24
24-22
24-23
24-25
25-24
25-26
25-27
26-25
27-25
27-28
27-29
27-30
28-6
28-8
28-27
29-27
29-30
30-27
30-29
Pertes
Puissance transmise
MW
MVAR
-17.9847
-8.2427
-1.7464
-1.0993
6.1776
2.6252
5.3537
4.217
-7.2592
-5.1969
3.7599
3.3971
-5.2538
-2.4544
-3.7460
-3.3459
-6.1269
-2.5220
2.9272
1.6223
-2.9195
-1.6067
-6.5812
-1.7943
-8.7978
-2.5277
6.5983
1.8286
-15.7696
-9.7135
-1.7279
-1.4869
-7.6285
-4.4532
1.7286
1.4882
5.8985
2.9646
-5.3050
-4.1186
2.1047
2.5184
-5.8447
-2.8809
-2.0893
-2.4870
-0.7655
-1.3317
0.7704
1.3402
3.5507
2.3754
-4.3207
-3.7157
-3.5002
-2.2999
4.3593
3.7894
-17.6877
-7.1847
6.2099
1.6973
7.1184
1.6977
-15.5813
-6.4601
-2.1072
-2.2533
17.6877
8.7132
-6.1134
-1.515
3.7134
0.6151
-6.9367
-1.3558
-3.6758
-0.5440
8.45
0.347
Table A.5 – Les valeurs des puissances transmises
Bibliographie
[1] M. Rahli "La commande de la répartition optimale des puissances actives
dans un réseau d’énergie électrique par la programmation linéaire", Thèse de
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