Septembre 2013

République Tunisienne
Présidence du Gouvernement
Ecole Nationale d’Administration
24, Avenue du Dr Calmette Mutuelle-ville 1082 Tunis
Tél. (+216) 848 300 Fax (+216) 794 188
www.ena.nat.tn
STATISTIQUE ET CALCUL DE PROBABILITE
(EXAMENS & EXERCICES)
Par
Hassen MZALI
Professeur en méthodes quantitatives
Septembre 2013
1
Exercice 1
Enoncé 1
Durant le mois d’avril, nous avons relevé, pour un échantillon
d’étudiants de la première années sciences économiques et gestion, le
nombre de jours d’absences :
Nombre de jours
d’absences
Nombre
d’étudiants
0
5
1
8
2
6
3
3
4
2
5
1
1°) Représenter graphiquement cette distribution.
2°) Déterminer la fonction de répartition.
3°) Calculer le mode, la médiane et la moyenne arithmétique de cette
distribution.
4°) Déterminer le nombre d’étudiants ayant un nombre d’absence :
i) inférieur à 4 ?
ii) au plus égal à 3 ?
iii) inférieur à 4 et supérieur ou égal à 1 ?
2
Corrigé 1
Nombre de jours
d’absences
Effectifs
Fréquences
Fréquences
ni
fi
cumulées Fi
0
5
0,2
0
1
8
0,32
0,2
2
6
0,24
0,52
3
3
0,12
0,76
4
2
0,08
0,88
5
1
0,04
0,96
Total
25
1
1
ni
8
6
5
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Nombre d’absences
Diagramme en bâtons des effectifs
1) Le caractère étudié ici est quantitatif discret (nombre d’absences de
chaque étudiant), alors la représentation graphique correspondante est le
diagramme en bâtons.
2) La formulation de la fonction de répartition de cette distribution
statistique est :
0
0,2

0,52

F ( x )  0,76
0,88

0,96
1

3
si x  0
si 0  x  1
si 1  x  2
si 2  x  3
si 3  x  4
si 4  x  5
si x  5
3)
 Le mode de cette série est : Mo=1. Il signifie que pour la plupart des
étudiants ont une seule abscence.
 La médiane, dans ce cas, correspond à la cinquième valeur : Mé  1.
En effet, la série comporte un nombre impair de valeurs, soit 25
valeurs, la médiane sera la 13ème valeur.
00000 1111111 1
222222 333 44 5
13 ième
6
n x
i

La moyenne de cette distribution est : x 
i 1
N
i

42
 1,68 .
25
Ce résultat indique que le nombre moyen d’absence est de l’ordre de
1,68 (soit 168 jours d’absence en moyenne par 100 étudiants).
4°) Le nombre d’étudiants ayant un nombre d’absence inférieur à 3 est
égal à : 5  8  6  19 .
Le nombre d’étudiants ayant un nombre d’absence au plus égal à 3 est :
5  8  6  3  22 .
Le nombre d’étudiants ayant un nombre d’absence inférieur à 4 et
supérieur ou égal à 1 est: 8  6  3  17 .
Exercice 2
Enoncé 2
La répartition de 100 ménages selon leurs dépenses de consommation
mensuelles exprimées en dinars se présente comme suit :
Classes de
dépenses
Nombre de
ménages
[20-40[
15
[40-60[
20
[60-100[
20
[100-200[
45
4
1°) Quelle est la nature de ce caractère.
2°) Représenter graphiquement cette distribution.
3°) Calculer la moyenne arithmétique.
4°) Déterminer la proportion de ménages ayant des dépenses mensuelles
appartenant à l’intervalle suivant x   x , x   x  où  x représente
la moyenne arithmétique et x désigne l’écart type.
Corrigé 2
Le caractère étudié est la dépense de consommation mensuelle. Les
modalités sont les classes de dépenses.
1) Le caractère étudié est quantitatif continu.
ci
ni ci
ni ci2
0,15
30
450
13500
0,2
0,2
50
1000
50000
0,2
0,1
80
1600
128000
0,09
150
6750
1012500
9800
1204000
dépenses de
consommation
mensuelles
ni
20-40
15
20
0,15
40-60
20
20
60-100
20
40
100-200
45
Total
100
ai
Fréquences
fi
corrigées f i
100 0,45
c
1
2) La représentation graphique de cette distribution se fait au moyen de
l’histogramme. Nous allons représenter l’histogramme des fréquences.
Les amplitudes des classes étant inégales, nous devons alors calculer les
fréquences corrigées.
Pour ce cas, nous retenons la valeur de l’amplitude de référence
ai*  20 .
f i corrigées 
5
fi
f
 a*  i  20
ai
ai
Fréquences corrigées
0,2
Histogramme des fréquences
O,15
O,1
0,09
0
20
3) x 
40
c n
i
N
i

60
100
200
Classes de dépenses
9800
 98 dinars
100
La dépense mensuelle de consommation moyenne par ménage est égale à
98 dinars.
4) Détermination de l’intervalle
l’écart type.
1
2
  ni ci  x ² 
x  
 
N


x  
 n c ²  x ²
i
i
N
x
,
x   x  , où  x désigne
 12040  9604  49,35 dinars
D’où l’intervalle
x  
x
,
x   x   98  49,35 ,
98  49,35  48,65 ,
147,35
Détermination de la proportion P de ménages ayant des dépenses
mensuelles appartenant à l’intervalle x   x , x   x  :
Par interpolation linéaire, on trouve :
F (147,35 )  0,763
et
F (48,65 )  0,236
6
d’où P  F (147,35 ) - F (48,65 )  0,763  0,236  0,527  52,7%
Exercice 3
Enoncé 3
Une étude sur la répartition de 700 exploitations ayant chacune une
surface inférieure à 450 ha fournit les informations suivantes :
120 exploitations ont une superficie inférieure à 60 ha
190 exploitations ont une superficie inférieure à 120 ha
250 exploitations ont une superficie inférieure à 180 ha
340 exploitations ont une superficie inférieure à 240 ha
480 exploitations ont une superficie inférieure à 300 ha
520 exploitations ont une superficie inférieure à 360 ha
600 exploitations ont une superficie inférieure à 400 ha
Calculer la superficie moyenne.
Corrigé 3
Pour calculer la surface moyenne d’une exploitation, nous allons d'abord
reporter ces informations dans un tableau statistique :
Effectifs
Effectifs
centres
ni
ci
ni ci
cumulés
Superficie
croissants Ni
[0 - 60[
120
120
30
3600
[60 - 120[
190
70
90
6300
[120 - 180[
250
60
150
9000
[180 - 240[
340
90
210
18900
[240 - 300[
480
140
270
37800
[300 - 360[
520
40
330
13200
[360 - 400[
600
80
380
30400
[400 - 450[
700
100
425
52500
Total
x
700
1 8
1
ni ci 
 171700  245,28 ha .

700 i 1
700
7
171700
Exercice 4
Enoncé 4
Une enquête statistique chez 1 000 commerçants porte sur le nombre
d’heures d’ouvertures hebdomadaire. On a obtenu les résultats
suivants :
Nombre
d'heures
Nombre de
commerçants
[30-35 [
50
[35-37 [
100
[37-39 [
200
[39-40 [
150
[40-41 [
120
[41-43 [
n6
[43-45 [
130
[45-50 [
n8
1°) Déterminer les effectifs n6 et n8 sachant que le nombre moyen
d’heures d’ouverture hebdomadaires = 40,38 h ?
2°) Quelles sont les valeurs modale et médiane de cette distribution ? on
justifiera chaque réponse ?
3°) En prenant comme
hebdomadaire, calculer la
distribution ?
moyenne provisoire 40h d’ouverture
variance puis l’écart type de cette
4°) Le 250ième établissement qui a le moins d’heures d’ouverture
hebdomadaire reste ouvert 38h par semaine. Quelle est la durée
d’ouverture du 250ième établissement qui a le plus d’heures d’ouverture ?
Corrigé 4
1) L’enquête porte sur 1000 commerçants : N  1000
Le nombre moyen d’heures d’ouverture hebdomadaires est égal à
40,38h : x  40,38
 N  1000


 ci ni  40,38 
x


N
n6  n8  250
 n6  150 n8  100

42n6  47,5n8  11050
8
*
2) L’amplitude de référence est : a  1
ni
ai
fi
nicorrigés
Fi
ci
(ci  x )2
f i (ci  x )2
30-35
50
5
0,05
10
0,05
32,5
56,25
2,8125
35-37
100
2
0,1
50
0,15
36
16
1,6
37-39
200
2
0,2
100
0,35
38
4
0,8
39-40
150
1
0,15
150
0,50
39,5
0,25
0,0375
40-41
120
1
0,12
120
0,62
40,5
0,25
0,03
41-43
150
2
0,15
75
0,77
42
4
0,6
43-45
130
2
0,13
65
0,9
44
16
2,08
45-45
100
5
0,1
20
1
47,5
56,25
5,625
TOT
1000
Nombr
e
d’heure
s
1
13,585
a) Mode et classe modale :
La classe modale est la classe ayant la fréquence corrigée la plus élevée.
C’est la classe [39  40[ . Ce résultat signifie que pour la majorité des
commerçants, le nombre d’heures d’ouverture hebdomadaire est compris
entre 39 et 40 heures.
Dans ce cas, le mode peut être calculé par :
 50 
M 0  39  
  39,625h.
 50  30 
b) Médiane et classe médiane :
La classe médiane est : [39  40[ .
Concernant la médiane, on peut lire directement cette valeur dans le
tableau ( 4ième ligne):
Mé  40h
C’est à dire que 50% des commerçants travaillent pendant moins de
40 heures par semaine.
3) En prenant comme moyenne  x  40 h  , la variance est calculée par :
9
V X  
 f c
i
i
 x ² 
 f c
i
i
 40 ²  13,585
et l’écart-type est :  X   13,585  3,685 h
4) Le 250ième établissement qui a le moins d’heures d’ouverture
hebdomadaire reste ouvert 38 heures par semaine. En d’autres termes
25% des commerçants restent ouverts pendant moins de 38 heures par
semaine. Il s’agit du premier quartile :
 0,25  0,15 
Q1  37  2
  38 h
 0,35  0,15 
La durée d’ouverture du 250ième établissement qui a le plus d’heures
d’ouverture correspond au troisième quartile. Déterminons le troisième
quartile par la méthode de l’interpolation linéaire :
Si Q3 appartient à [41 , 43[ alors :
 0,75  0,62  ~
Q3  41  2
  42,75 h
 0,77  0,62 
Exercice 5
Enoncé 5
1°) Soit la série : 5, 50, 50 et 50. Déterminer la moyenne arithmétique,
harmonique et géométrique.
2°) Soit la série : 3, 18, 3, et 3. Déterminer la moyenne arithmétique,
harmonique et géométrique.
3°) Peut-on déterminer la médiane des deux séries ordonnées suivantes :
i)
15, 20, 25, 30, 35
ii)
15, 20, 25, 30, 35, 40
Corrigé 5
1) Les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de la série
suivante : 5, 50, 50, 50 sont :
10
x
5  50  50  50
 38,75
4
G  4 5  50  50  50  28,11
H 
4
1 1
1
1



5 50 50 50
 15,38
On remarque que : H  G  X
2) Les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de la série
suivante : 3, 18,3,3 sont :
x  6,75 , G  4,7
, H  3,75
3) Détermination de la médiane :
i) Soit la série : 15, 20, 25, 30, 35
Série
15
20
25
30
35
Rang (ordre
croissant)
1
2
3ième
4
5
Mé
2 observations
2 observations
La médiane, dans ce cas, correspond à la troisième valeur : Mé= 25
ii) Soit la série : 15, 20, 25, 30, 35, 40
Série
15
20
Rang (ordre
croissant)
1
2
2 observations
25
30
3ième 4ième
Intervalle
médian
35
40
5
6
2 observations
Dans ce cas on parle plutôt d’intervalle médian ]25 , 30], correspondant à
la ]troisième valeur , quatrième valeur].
Exercice 6
Enoncé 6
Vous achetez, dans un premier temps, dans une banque (A) des devises
étrangères (FF) pour 2000 dinars au cours suivant : 1.900 dinars la
11
devise. Dans un second temps, vous achetez de la banque (B) pour 2000
dinars les mêmes devises (FF) au cours suivant : 1.800 dinars la devise.
1°) Quel est le cours moyen de la devise que vous avez subi entre les
deux opérations.
2°) Répondez à la même question si vous achetez 1000 FF dans la
banque (A) et 1000 FF dans la banque (B) sachant que les cours restent
inchangés.
Corrigé 6
1°) Le cours moyen de la devise, dans ce cas, est donné par la moyenne
harmonique :
Cours moyen 
montant en dinars
montant en FF
Cours moyen : H 
4000
 1,84 dinars la devise
2000 2000

1,9
1,8
2°) Le cours moyen, dans ce cas, est calculé à partir de la moyenne
arithmétique :
Cours moyen : x 
(1000  1,9)  (1000  1,8)
 1,850 dinars la devise
2000
Exercice 7
Enoncé 7
Soient les deux données x1 et x2 distinctes
1°) Classer en justifiant ce classement les moyennes arithmétique x ,
géométrique G et harmonique H de ces deux données.
2°) Monter que la moyenne géométrique de x1 et x2 est également la
moyenne géométrique des deux autres moyennes considérées.
3°) Etablir que la moyenne harmonique H de x1 et x2 est également la
moyenne harmonique H de ( H  x1 ) et ( H  x2 ) . Existe–t-il une propriété
équivalente pour la moyenne arithmétique ?
12
Corrigé 7
1°)
x
x1  x2
, G
2
2
x1 .x2 , H 
2
1
1

x1 x2
Ces moyennes vérifient la relation suivante : H  G  X . En effet :
2
Gx
2
x  x2
 x  x2 
x1 .x2  1
 x1 .x2   1
 ( x1  x2 )2  0

2
 2 
et
2
H G
2
 2 x .x 
2 x1 .x2
x1 .x2 
 x1.x2   1 2   ( x1  x2 )2  0
x1  x2
 x1  x2 
2) En développant la formule de la moyenne harmonique on aura :
2 x1 x2
x1 x2
2
G2
H 




1 1
x1  x2
x1  x2
x1 x2
x

x1 x2
x1 x2
2
2
G2
2
On a : H 
, d’où G  x.H  G 
x
x.H
Ainsi, la moyenne géométrique des données est égale à la moyenne
géométrique de deux autres moyennes considérées.

Démontrons que
En remplacent H par
2
1
1

H  x1 H  x2

2
1
1

H  x1 H  x2
H
2 x1 x2
on obtient :
x1  x2
2
1
1

2 x1 x2
2 x1 x2
 x1
 x2
x1  x2
x1  x2
13

2
1
1

x1 x2  x12
x1 x2  x22
x1  x2
x1  x2


2
1
1

x1 ( x2  x1 ) x2 ( x1  x2 )
x1  x2
x1  x2

2
2

 x1  x2   1 1  x1  x2

  
x1 x2
x

x
x
x2 
1  1
 2
2 x1 x2
 H ( C.Q.F.D).
x1  x2
Cette propriété n’est pas valable pour la moyenne arithmétique. En effet :
Comme x 
( x  x1 )  ( x  x2 )
x1  x2
 2 x  ( x1  x2 )  0
, alors
2
2
Exercice 8
Enoncé 8
Dans un atelier, le coût unitaire de la main d’œuvre est de O,500D. Une
heure supplémentaire revient à 0,625D (soit 0,500  1,250 ) et le service
de paie indique que le coût total des heures supplémentaires représente
30% du coût total de la main d’œuvre.
Calculer le coût horaire moyen en indiquant le type de moyenne utilisée.
Corrigé 8
Dans ce cas le coût horaire moyen n’est pas la moyenne arithmétique
des coûts horaires. En effet, le coût total ( CT ) est composé par les coûts
des heures de service ( CT1 )et des coûts des heures supplémentaires
( CT2 ). Par ailleurs, le nombre total d’heures est h  h1  h2 , où h1 et h2
désignent respectivement le nombre d’heures de service et le nombre
d’heures supplémentaires.
h1 
CT1
CM
1

CT2
CT2
CT1
et h1 

CM 2
0,625
0,500

coût moyen
heure de service
coût mouen
heure sup
On a : CT  CT1  CT2 avec CT2  0,30  CT et CT1  0,70  CT .
Ainsi, le coût horaire moyen est:
14
CT
CT
CT
CT



h
h1  h2  CT1
CT2   0,7CT 0,3CT 

 



CM
CM
CM
CM
1
2 
1
2 


1
1


 0,5319
0,3 
 0,7
0,3   0,7


 


0
,
500
0
,
625
CM
CM


1
2 

H 
Le coût horaire moyen est donc la moyenne harmonique des différents
coûts horaires.
Exercice 9
Enoncé 9
Un phénomène économique a un taux annuel d’accroissement de 6%
pendant 3 années consécutives, puis de 8% par an pendant 2 années,
puis de 5% par an pendant 4 ans, enfin 3% pendant 2 ans.
Calculer le taux annuel moyen d’accroissement observé pendant les 11
ans.
Corrigé 9
g 1  6%
g 2  8%
g 3  5% g 4  3%
Soit g le taux annuel moyen d’accroissement observé pendant les 11 ans.
On détermine ce taux de la manière suivante :
11
1  g 
3
2
4
2
 1  g1  1  g 2  1  g 3  1  g 4 
3
2
4
2
g  11 1  g1  1  g 2  1  g 3  1  g 4   1
3
2
4
2
g  11 1,06  1,08  1,05  1,03   1  1,0543  1  0,0543
Le taux de croissance annuel moyen est à l’ordre de 5,43%.
Remarque : (1  g ) est la moyenne géométrique des (1  g i ) .
15
Exercice 10
Enoncé 10
Une entreprise effectue les placements de fonds suivants :
8000 dinars à 3% par jour pendant 115 jours.
12500 dinars à 2% par jour pendant 80 jours.
9500 dinars à 1,75% par jour pendant 55 jours.
Calculer le taux journalier moyen résultant de cette série de placements.
Corrigé 10
Le taux moyen (g) résultant de cette série de placements est tel que :
g1  3% , g 2  2% et g 3  1,75%
250
300001  g 
115
 80001  g1 
80
55
 125001  g 2   95001  g 3 
1

115
80
55 250 








8000
1

g

12500
1

g

9500
1

g
1
2
3

g  
  1

30000
 


1


 80001,03115  125001,0280  95001,0175 55  250 

g 
  1

30000



Exercice 11
Enoncé 11
Une compagnie de télécommunication étudie la tarification des appels. Le
tarif actuel est donné par R  0,12 X  2 où R décrit le tarif et X le
temps en minutes d’une communication.
On relève pour 100 appels effectués dans une journée, le temps de
chaque communication.
16
Temps en mn
Nombre d’appels
0 , 10
10 , 20
20 , 30
30 , 60
60 , 90
20
Total
100
50
10
15
5
1) Calculer le tarif moyen par communication.
2) La compagnie se propose d’augmenter ses tarifs. Elle a le choix entre
2 propositions :
R1  0,13 X  3 et R2  0,15 X  2,5
Sachant que la compagnie voudrait maximiser son revenu moyen par
appel, laquelle des deux formules a-t-elle intérêt à choisir ?
Corrigé 11
Temps en mn
ci
ni
ni c i
0 , 10
10 , 20
20 , 30
30 , 60
60 , 90
5
20
100
15
50
750
25
10
250
45
15
675
75
5
375
100
2150
Total
1) Comme la tarification des appels est donnée R  0,12 X  2 , alors Le
tarif moyen par communication est R  0,12 X  2 . Par ailleurs, on
a:
X 
nc
i
N
i

2150
 21,5 . D’où R  (0,12  21,5)  2  4,58
100
2) La première alternative donne un revenu moyen par appel égal à :
R1  0,13 X  3  (0,13  21,5)  3  5,795
17
3) La deuxième alternative donne un revenu moyen par appel égal à :
R2  0,15 X  2,5  (0,15  21,5)  2,5  5,725 .
En somme, Si la compagnie voudrait maximiser son moyen par appel,
elle doit choisir la première alternative, c’est-à-dire R1 .
Exercice 12
Enoncé 12
Dans une entreprise A travaillent 20 hommes et 10 femmes. Dans
l’entreprise B, ces effectifs sont respectivement 30 et 20. Les salaires
moyens sont donnés par le tableau suivant:
Hommes
Femmes
Entreprise A
600 D
550 D
Entreprise B
650 D
500 D
Quelle est l’entreprise qui offre le salaire moyen le plus élevé ?
Corrigé 12
Pour calculer le salaire moyen le plus élevé, il faut calculer le salaire
moyen dans l'entreprise A et celui dans l’entreprise B. Soit x H et x F le
salaire moyen des hommes et des femmes respectivement.
i) Pour l'entreprise A :
xA 
n F x F  n H x H 20  600  10  550

 583,33 dinars
nF  nH
20  10
ii) Pour l'entreprise B
xB 
n F x F  n H x H 30  650  20  50

 410 dinars
nF  nH
30  20
On remarque que x A  x B  l'entreprise A offre un salaire moyen plus
élevé que l'entreprise B.
18
Exercice 13
Enoncé 13
Une entreprise E est composée de trois établissements, E1 , E 2 et E 3 .
L’effectif n1 de E1
est de 40 salariés. Le salaire mensuel moyen dans E1
est x1  90. L’écart type de la distribution des salaires dans E 1 est
 1  10 . Pour E 2 on a: n2  50, x 2  80,  2  15, et E 3 on a
n3  30, x3  75,  3  5.
Calculer la variance inter-établissements, intra-établissement et la
variance totale des salaires. Commenter.
Corrigé 13
On a :
n1  40, x1  90,  1  10
n2  50, x2  80,  2  15
n3  30, x3  75,  3  5.
 Il faut tout d'abord calculer la moyenne x dans E.
x
1
n1 x1  n2 x2  n3 x3  avec N  n1  n2  n3
N
x
1
(40  90)  (50  80)  (30  75)  82,08
120
 La variance inter-établissements des salaires (la variance des
moyennes):
V  xi  
1
n1 ( x1 )2  n2 ( x2 )2  n3 ( x3 )2   ( x )2  35,79
N
 La variance
variances):
V  xi  
intra-établissement
des
salaires
1
n1 V x1   n2 V x1   n3 V  x1   133,33
N
On remarque que : V  x   V  x  .
19
(la
moyenne
des
 La variance totale des salaires : V  x   V  x   V  x  =169,12
Commentaire : La dispersion totale des salaires =169,12. Celle ci
s'explique en grande partie par la dispersion des salaires au sein de
chaque établissement car V  x   V  x  . La dispersion des salaires entre
les établissements est faible par rapport à la dispersion des salaires à
l'intérieure d'un même établissement.
Exercice 14
Enoncé 14
On a relevé les températures ( x ) maximales suivantes dans certaines
villes françaises: le 01/01/1999.
Les classes de température Nombre de villes
Moins de 2°
10
2

 4 
20
4

 6 
10
6

 9 
7
9°et plus
n5
1) Calculer la valeur de n5 sachant que

i 5
i 1
n i x i2  1715,75 .
2) Déterminer le mode et la classe modale de cette distribution.
3) Quelle est la forme de la distribution des températures? Justifier votre
réponse.
4) Quelle est la variance des températures.
Corrigé 14
On a :

i 5
i 1
ni x 2  1715,75 , où xi désigne le centre de classe.
i
Avant de calculer n5 , il faut préciser la borne inférieure de la première
classe et la borne supérieure de la dernière classe.
La borne inférieure de la première classe est égale à 0 (afin d’avoir la
même amplitude que celle de la deuxième). La borne supérieure de la
20
dernière classe est égale à 12 (pour avoir la même amplitude que celle de
l’avant dernière classe).
Ainsi, x1 
Comme

02
9  12
 1 et x5 
 10,5
2
2
i 5
i 1
ni x 2  1715,75 ,
i
 10  12  20  3 2  10  5 2  7  7,5 2  n5  10,5 2  1715,75
alors n5  8
classes
ni
xi
ai
di
centres
0  2 
2  4 
4  6 
6  9 
9  12 









Effectifs
cumulés
a*=6
Ni 
ni xi
10
1
2
10
30
10
10
20
3
2
20
60
30
60
10
5
2
10
30
40
50
7
7,5
3
4,66
14
47
52,5
8
10,5
3
5,33
16
55
84

Total
Effectifs
c
corrigés ni
55
256,5
2) Mode et classe modale :
La classe modale est la classe ayant l’effectif corrigé le plus élevé. C’est la
classe [2  4[ . Ce résultat signifie que pour la majorité des villes
françaises, la température maximale enregistrée le 01/01/1999 est
supérieure ou égale à 2° et strictement inférieure à 4°.
Dans ce cas, le mode peut être calculé par :
 30 
M 0  2  2
  3.
 30  30 
3) Pour répondre à cette question, nous allons comparer la moyenne et la
médiane.
Mé  2 
27 ,5  10
 2  3,75 et
30  10
21
x
1
N
5
n x
i
i 1
i

256,5
 4,66
55
Comme Mé  x  La distribution est oblique à gauche.
4) La variance des températures :
V x   (
1
N
5
n x
i
2
i
)  x2 
i 1
1
 1715,75  4,66 2  9,479 .
55
Exercice 15
Enoncé 15
Le tableau suivant la distribution des salaires journaliers dans une entreprise.
Classes (dinars)
Effectifs cumulés
croissants
[4-10[
30
[10-14[
55
[14-16[
70
[16-20[
90
[20-26[
100
1°) Déterminer la médiane et le mode de cette distribution.
2°) Déterminer la variance et l’écart-type des salaires.
3°) Que peut-on dire de la concentration des salaires dans cette
entreprise
Corrigé 15
22
Classe n 
i
Fi
fi
ai
f i / ai
xi
f i xi
f i xi2
Qi
Qi 1
f i (Qi  Qi 1 )
s
[4-10[
30
0,30 0,30 6
0,05
7
2,1
14,7
0,16
0
0,048
[10-14[
55
0,55 0,25 4
0,062
12
3
36
0,39
0,16
0,1375
[14-16[
70
0,70 0,15 2
0,075
15
2,25
33,75
0,56
0,39
0,1425
[16-20[
90
0,90 0,20 4
0,05
18
3,6
64,8
0,83
0,56
0,278
0,016
23
2,3
52,9
1
0,83
0,183
[20-26[ 100
1
0,10 6
13,25 202,15
1
Total
0,789
1) -La médiane est :
Mé  [10  14[ 
Mé  10 
0,5  0,30
 (14  10)  13,2 D
0,55  0,30
50% des salariés gagnent moins de 13,2D par jour.
- Le mode est :
Mo  [14  16[  Mo  14 
0,0125
 (16  14)  14,66 D
0,0125  0,025
Le salaire journalier le plus fréquent est de 14,66D
2) - La variance et l’écart-type des salaires sont :
x
fx
V ( x) 
i
 13,25
i
fx
i
2
i
 x 2  202,15  13,25 2  26,58
 x  5,15
3) -La concentration des salaires est faible. :
I G  1   f i (Qi  Qi 1 )  1  0,789  0,21  21%
23
Exercice 16
Enoncé 16
La distribution des salaires par semaine de 80 employés dans une
entreprise est donnée dans le tableau suivant :
Classes des salaires
(en dinars)
[6-14[
[14-22[
[22-30
[30-38[
[38-46[
Fréquences cumulées
croissantes
0,1
0,25
0,375
0,5625
1
1) Quel est le nombre d’employés qui gagnent moins de 30D ?
2) Calculer le salaire moyen.
Corrigé 16
classes
Fi
fi
ni
ni 
xi
ni x i
[6 - 14[
0,10
0,10
8
8
10
80
[14 - 22[
0,25
0,15
12
20
18
216
[22 - 30[
0,375
0,125
10
30
26
260
15
45
34
510
0,4375
35
80
42
1470
1
80
[30 - 38[
0,5625 0,1875
[38 - 46[
1
Total
2536
1) D’après ce tableau, on peut facilement remarquer qu’il y a 30
employés qui gagnent moins de 30D.
i k
n x
i
2) X 
i 1
n
i

2536
 31,7 D
80
Exercice 17
Enoncé 17
Les données suivantes donne la distribution des impôts nets payés par
1000 contribuables d’une région donnée:
24
Impôts nets
Contribuables en %
[0 , 100[
12
[100 , 300[
18
[300 , 500[
25
[500 , 700[
20
[700 , 1000[
12
[1000 , 1200[
6
[1200 , 1500[
4
[1500 , 2000[
3
1°) Calculer le montant total des impôts payés par l’ensemble des
contribuables.
2°) Sachant que l’impôt moyen de l’ensemble des contribuables est de
536,5 D et que l’impôt moyen de ceux qui payent moins de 1000 D
d’impôts est de 418,39 D, en déduire l’impôt moyen de ceux qui payent
plus de 1000 D d’impôt.
Corrigé 17
Impôts nets
f i en %
ni
xi
ni xi
[0 , 100[
12
120
50
6000
[100 , 300[
18
180
200
36000
[300 , 500[
25
250
400
100000
[500 , 700[
20
200
600
120000
[700 , 1000[
12
120
850
102000
[1000 , 1200[
6
60
1100
66000
[1200 , 1500[
4
40
1350
54000
[1500 , 2000[
3
30
1750
52500
Total
1000
536500
1) Le montant total des impôts payés par les contribuables est :
8
n x
i
i
 536500 dinars.
i 1
25
2) On note par x F le montant moyen de l’impôt pour la catégorie des
contribuables payant moins de 1000 D d’impôts et par x S le montant
moyen de l’impôt pour la catégorie des contribuables payant un montant
supérieur ou égal à 1000 D.
D’après le tableau, il y a 87% des contribuables qui payent moins de
1000 D d’impôts. En appliquant la formule de la moyenne d’une
population
constituée
de
deux
sous-échantillons,
on
a:
x
1
(n S x S  n F x F ) avec N  nS  n F .
N
Comme x  536,5 D et x F  418,39 alors :
x
nS x S  nF x F
 f S x S  f F x F  536,5  (1  0,87) x S  0,87 x F
N
536,5  0,13 x S  (0,87  418,39)  x S  1326,92
L’impôt moyen de ceux qui payent plus de 1000 D d’impôt est de
1326,92D.
Exercice 18
Enoncé 18
Le tableau suivant donne la distribution des salaires dans une entreprise.
Salaires en dinars
Effectifs cumulés croissants
Ni
[200 – 400[
15
[400 – X [
43
[X - 900[
73
[900 - 1100[
87
[1100 - Y [
100
1) Déterminer X sachant que le salaire médian est égal à 594 D.
2) En retenant la valeur X obtenue et sachant que le salaire moyen des 100
personnes est de 683,5 D, calculer Y.
26
Corrigé 18
Classes
Eff. cumulés croissants
Ni
ni
ci
ni ci
[200 – 400[
15
15
300
4500
[400 – 500[
43
28
450
12600
[500 –900[
73
30
700
21000
[900 – 1100[
87
14
1000
14000
[1100 -1500[
100
13
1250
16250
Total
1) Calcul de X .
100
68350
N
 50 . Donc, la classe médiane est [ X  900[ ,
2
Mé  X
50  43
594  X
50  43



 X  500
900  Mé 73  50
900  594 73  50
2) Calcul de Y. Le salaire moyen est égal à 683,5 D :
i 5
1 i 5
n
c

683
,
5

ni ci  N  683,5  100  683,5  68350
 i i

i 1
N i 1
 n1c1  n2 c2  .........  n5 c5  68350
x
1100  y
 n1c1  n2 c2  .........  n5 (
)  68350  Y  1400
2
Exercice 19
Enoncé 19
Soit la distribution suivante des salaires d’une entreprise. On note par ni
les effectifs correspondant en nombre de salariés et F (x ) la fonction de
répartition de cette distribution.
27
Classes des
salaires
F (x )
[500-700[
0,04
[700-1100[
0,14
[1100-1300[
0,44
[1300-1500[
0,96
[1500-1900[
1
Total
Sachant que V  x   4,93 ;  f i xi  166,22 et
2
n x
i
i
 1905
1) Calculer l’effectif de chaque classe ainsi que l’effectif total.
2) Cette distribution est-elle symétrique ?
3) Calculer l’indice de Gini et juger de la concentration des salaires de
cette entreprise.
Corrigé 19
Il faut faire attention à l’unité de mesure (dinars).
On a : V  x   4,93 ;  f i xi  166,22 et  ni xi  1905 . Ces valeurs
correspondent à des salires en centaine de dinars alors que dans le
tableau, les classes des salaires sont exprimées en dinars.
2
f i  Fi  x   Fi 1  x  avec F5  x   1 et Fo  x   0
ni xi
 ni x i
Classes des
salaires
Fi
fi
ni
xi
nixi
[500-700[
0,04
0,04
6
600
3600
0,0189
0,0189
0,0008
[700-1100[
0,14
0,10
15
900
13500
0,0709
0,0898
0,0109
[1100-[1300[
0,44
0,30
45
1200
54000
0,2835
0,3732
0,1389
[1300-1500[
0,96
0,52
78
1400
109200
0,5732
0,9465
0,6862
[1500-1900[
1
0,04
6
1700
10200
0,0535
1,0000
0,0779
190500
1,0000
Total
150
qi 
Qi
A partir de la colonne des fréquences relatives, on constate que
28
f i (Qi  Qi 1 )
0,9146
f1  f 5  n1  n5 et f 3  3 f 2  n3  3n2
D’une part on a :
fx
i
2
i
V  x    f i xi2  ( x )2  49300 , d’autre part :
 1662200
Il vient donc :
( x )2 
fx
i
2
i
 V x 
 1662200  49300  1612900
Ainsi : x  1270
Par ailleurs,
d’où
n x
i
N
N 
i
 x  1270  N 
n x
i
i
x
190500
 150
1270
L’effectif total est donc égal à 150 salariés.
A partir de l’effectif total on peut retrouver l’effectif de chaque classe :
n1  f1 N  n1  0,04  150  6  n1  6
n5  6 car n1  n5
n2  f 2 N  n2  0,10  150  15  n2  15 .
n3  3n2  n3  45 .
n4  f 4 N  n4  0,52  150  78 .
2) Cette distribution n’est pas symétrique car : Mé
  x . On peut
1323
calculer d’autre indicateurs en se basant sur les quartiles .
Q1  940 , Mé  1323 , Q3  1419,23
3) L’indice est donné par :
p
I G  1   f i (Qi  Qi 1 )
i 1
l’indice de Gini est égal à :
I G  1  0,9146  0,0854 .
29
1270
On peut dire qu’il y a une faible concentration des salaires dans cette
entreprise.
Exercice 20
Enoncé 20
Reconstruisez la répartition des 150 ha sur les exploitations agricoles,
selon des classe de surface d’amplitudes égales. On donne :
Ni
: effectifs cumulés
4
7
9
10
2
15
6,5
15
11,5
15
1
croissants
Qi
Valeurs globales
relatives cumulées
croissantes
Corrigé 20
D’après l’énoncé on a :
Le nombre total des exploitations est égal à 10 : N 
La superficie totale est égale à 150 : VGT 
n x
i
i
n
i
 10 .
 150 .
Reconstruire la distribution de ces exploitations agricoles revient à
retrouver les 4 classes de surface ainsi que les effectifs correspondants
30
Ni
ni i
Qi
qi 
ni x  qi   ni xi
ni xi
 n i xi
 150 qi
Centre de
classe
xi 
Classes des
salaires
ni x i
ni
4
4
2
15
2
15
20
5
[0 - 10[
7
3
6,5
15
6,5 2

15 15
45
15
[10-20[
9
2
11,5
15
11,5 6,5

15
15
50
25
[20-30[
10
1
1
35
35
[30-40[
1
10
11,5
15
1
150
Total
Exercice 21
Enoncé 21
Dans un village, on a relevé les superficies (en hectares) des exploitations
agricoles selon le nombre d’exploitants (propriétaires) :
Superficies
ni
(hectares)
[0-5[
110
[5-10[
150
[10-15[
90
[15-20[
130
[30-40[
60
[40-50[
50
[50-100[
40
[100-200[
20
Total
650
31
1°) Tracer l’histogramme des effectifs. Calculer le mode, la médiane et la
variance de cette distribution.
2°) Tracer les courbes des fréquences cumulées croissantes (fonction de
répartition) et décroissantes sur le même graphique. Représenter le point
l’intersection des deux courbes.
3°) Calculer les trois quartiles, ainsi que le 1er et le 9ième décile. Donner
une interprétation de chacun de ces paramètres.
4°) Calculer la médiale et donner son interprétation. En vous basant sur
la différence Mle  Mé , que peut-on dire sur la concentration ?
5°) Tracer la courbe de concentration et calculer l’indice de concentration
(Indice de Gini). Que peut-on conclure ?
6°) Calculer le pourcentage p1 des propriétaires qui ont des exploitations
dont la surface est comprise entre 13 et 18 hectares ?
7°) Quelle est la surface totale possédée par les 10% les plus riches ?
Corrigé 21
1°) D’abord, il faut compléter le tableau par l’insertion d’une classe
[20 - 30[ ayant un effectif égal à 0. Pour tracer l’histogramme des
effectifs, il faut calculer les effectifs corrigés. Nous avons choisit comme
*
amplitude de référence : ai  5 .
nicorrigées 
32
ni
n
 a*  i  5
ai
ai
Superficie
en ha
ni
ci
ai
ni
fi
Fi 
Gi 
fréquences
cumulées
croissante
s
fréquences
cumulées
décroissantes
ni ci
ni ci2
corrigé
s
[0 – 5[
110
2,5
5
110 0,17
0,17
1
275
687,5
[5 – 10[
150
7,5
5
150 0,23
0,40
0,83
1125
8437,5
[10 – 15[
90
12,5
5
0,14
0,54
0,60
1125
14062,5
130 17,5
5
130 0,20
0,74
0,46
2275
39812,5
[15 – 20[
90
[20– 30[
0
25
10
0
0,00
0,74
0,26
0
0
[30 – 40[
60
35
10
30
0,09
0,83
0,26
2100
73500
[40 – 50[
50
45
10
25
0,08
0,91
0,17
2250
101250
[50 – 100[
40
75
50
4
0,06
0,97
0,09
3000
225000
[100 – 200[
20
150
100
1
0,03
1,00
0,03
3000
450000
Total
650
15150
912750
1,00
a) Mode et classe modale :
La classe modale est la classe ayant l’effectif corrigé le plus élevé. C’est la
classe [5  10[ . Ce résultat signifie que la plupart des exploitations ont
une superficie comprise entre 5 et 10 hectares.
Dans ce cas, le mode peut être calculé par :
 40 
M 0  5  5
  7 ha.
 60  40 
b) Médiane et classe médiane :
La classe médiane est : [15  10[ .
Concernant la médiane, on peut la calculer par interpolation linéaire :
 0,5  0,4 
Mé  10  5
  13,57 ha. C’est à dire que 50% des
0
,
54

0
,
4


exploitations ont une superficie inférieure à 13,75 hectares.
33
c) Moyenne : x 
c n
i
i
N

15150
 23,3 hectares
650
La superficie moyenne d’une exploitation est de 23,3 hectares.
Effectifs corrigés
150
130
110
90
Histogramme des effectifs
30
25
4
1
0 5 10 15 20
30
40
50
100
200
Superficie
2°) Les courbes des fréquences cumulées croissantes et décroissantes:
Fréquences cumulées
croissantes
1,2
1
0,8
0,6
0,5
0,4
Fréquences cumulées
décroissantes
0,2
0
0
5
10
15 20
30
40
34
50
100
200
Superficie
en ha
ni
ci
fi
Fi 
nici
[0 – 5[
110
2,5
0,17
0,17
275
[5 – 10[
150
7,5
0,23
0,40
[10 – 15[
90
12,5
0,14
130 17,5
[15 – 20[
ni ci
 ni ci
Qi
f i (Qi  Qi 1 )
0,018
0,018
0,003
1125
0,074
0,092
0,026
0,54
1125
0,074
0,167
0,036
0,20
0,74
2275
0,150
0,317
0,097
qi 
[20– 30[
0
25
0,00
0,74
0
0,000
0,317
0,000
[30 – 40[
60
35
0,09
0,83
2100
0,139
0,455
0,071
[40 – 50[
50
45
0,08
0,91
2250
0,149
0,604
0,081
[50 – 100[
40
75
0,06
0,97
3000
0,198
0,802
0,087
[100 – 200[
20
150
0,03
1,00
3000
0,198
1,000
0,055
Total
650
15150
1,000
1,00
0,456
3°) Calcul des trois quartiles, ainsi que le 1er et le 9ième décile :
 Le premier quartile Q1 appartient à [5 , 10[ alors :
 0,25  0,17 
Q1  5  5
  6,74 hectares
 0,4  0,17 
Ce qui signifie que 25% des exploitations ont une superficie inférieure à
6,75 hectares.
 Le troisième quartile Q3 appartient à [30 , 40[ alors :
 0,75  0,74 
Q3  30  10
  31,11 hectares
 0,83  0,74 
Ce qui signifie que 75% des exploitations ont une superficie inférieure à
31,11 hectares.
 Le premier décile :
 0,10  0 
D1  [0  5[ D1  0  5
  5,58 hectares
 0,17  0 
35
Ce qui signifie que 10% des exploitations ont une superficie inférieure à
5,58 hectares.
 Le 9ième décile D9 appartient à [40 , 50[ alors :
 0,9  0,83 
D9  40  10
  48,75 hectares
0
,
91

0
,
83


Ce qui signifie que 90% des exploitations ont une superficie inférieure à
48,75 hectares.
4°) Le calcul de la médiale par interpolation linéaire donne :
Mle  40  0,50  0,455 


50  40  0,604  0,455 
 0,50  0,455 
Mle  40  10
  43,02ha
 0,604  0,455 
On interprète en disant que les exploitations qui ont individuellement
moins de 43,02 ha totalisent 50% de la superficie totale.
L’écart médiale-médiane M est égale à :
M  Mle  Mé  43,02  13,57  29,45ha
M
29,45

 0,147
étendue
200
L’écart médiale-médiane représente 14,7% de l’étendue. Ceci indique que
la concentration est assez forte.
5) L’indice de Gini est égal à :
I G  1  0,456  0,544 .
Cette valeur de l’indice indique que la concentration est assez forte.
6°) Le pourcentage p1 des propriétaires qui ont des exploitations dont la
surface est comprise entre 13 et 18 hectares est :
p1 
2
3
(0,14)  (0,20)  0,176  17,6%
5
5
7°) Le 9ième décile D9  48,75 ha indique que 90% des exploitations ont
36
une superficie inférieure à 48,75 ha. En d’autres termes les 10% les plus
riches ont individuellement des exploitations dont la superficie est
supérieure à 48,75 ha.
On peut déterminer, par interpolation linéaire, la proportion de la surface
totale possédée par les 90% des exploitations dont la surface est
inférieure à 48,75 ha.
40
 0,455
48,75  Q(48,75)
50
 0,604
Q(48,75)  0,455 48,75 - 40

0,604  0,455
50 - 40
d’où Q(48,75)  0,455  (0,604  0,455)
48,75 - 40
 0,585
50 - 40
Ainsi, la proportion de la surface totale possédée par les 10% les plus
riches est égale à : 1  Q(48,75 )  1  0,585  0,415
Par conséquent, la surface totale possédée par les 10% des exploitants
les plus riches est : 0,415  15150  6287,25 ha
Exercice 22
Enoncé 22
1) La distribution des salaires annuels nets en 1998 dans les secteurs
privé et semi-public est telle que :
44% des salariés gagnent moins de 100 D.

52% des salariés gagnent moins de 142 D.
2) Déterminer, par interpolation linéaire, le salaire médian de la
distribution
On note par D1 , D2 ,...D9 les déciles de cette distribution. On connaît,
pour chaque classe de salaire définie à partir des déciles, la masse des
salaires versée à chaque classe divisée par le nombre total N de salariés,
Soit
Mi
. Cette information est donnée dans le tableau suivant :
N
37
Mi
N
Classe de salaires
12
 D1
[ D1 , D2 [
[ D2 , D3 [
[ D3 , D4 [
[ D4 , D5 [
[ D5 , D6 [
[ D6 , D7 [
[ D7 , D8 [
[ D8 , D9 [
 D9
25
27,5
32,5
37
40
44
45
52
60
a) Trouver le salaire moyen de la distribution
b)Sachant qu’il était égal à 300 dinars en 1980, calculer le taux
d’accroissement annuel moyen du salaire moyen.
c) Nous cherchons à déterminer la courbe de concentration des salaires.
Calculer Fi et Qi (fréquences cumulées croissantes et valeurs globales
relatives cumulées croissantes).
d) Déterminer la proportion de la masse salariale versée aux salariés qui
gagnent moins que le salaire médian.
Corrigé 22
44% des salariés gagnent moins de 100 D.
, alors le
52% des salariés gagnent moins de 142 D.
1) sachant que : 
salaire médian peut être déterminé par interpolation linéaire :
Mé  100 
2) a) x 

i
b)
La
142  100
(0,50  0,44)  131,5 dinars
0,52  0,44
Mi
 375 dinars
N
période
1980-1998
couvrent
18
ans.
Donc,
d’accroissement annuel moyen du salaire moyen est : g  18
le
taux
375
1
300
c) Pour déterminer les valeurs globales relatives cumulées croissantes
38
Qi , il faut d’abord, retrouver les valeurs globales relatives qi . On a :
Mi
nx
Mi
qi  i i 
 N .
 ni x i  M i  M i
N
Pour la détermination des fréquences cumulées croissantes Fi , il suffit
de constater que les bornes supérieures des classes correspondent aux
différents déciles ( on connaît, par exemple, pour la première ligne, que la
proportion des individus qui ont un salaire inférieur à D1 .est égale à
0,10. De même, pour la deuxième ligne, la proportion des individus qui
ont un salaire inférieur à D2 .est égale à 0,20, ainsi de suite.
Classe de
salaires
 D1
[ D1 , D2 [
[ D2 , D3 [
[ D3 , D4 [
[ D4 , D5 [
[ D5 , D6 [
[ D6 , D7 [
[ D7 , D8 [
[ D8 , D9 [
 D9
Mi
N
Mi
cumulées
N
qi
Qi
Fi
12
croissantes
12
0,03
0,03
0,10
25
37
0,07
0,10
0,20
27,5
64,5
0,07
0,17
0,30
32,5
97
0,09
0,26
0,40
37
134
0,10
0,36
0,50
40
174
0,10
0,46
0,60
44
218
0,12
0,58
0,70
45
263
0,12
0,70
0,80
52
315
0,14
0,84
0,90
60
375
0,16
1,00
1,0
c) La proportion de la masse salariale versée aux salariés qui gagnent
moins que le salaire médian est égale à 0,36 ou 36% (c’est la valeur de
Qi correspondant à Fi  0,5 .
Exercice 23
Enoncé 23
Les salariés de l’entreprise DJAZ produisant des bijoux sont répartis en
trois catégories : Cadre, employés et ouvriers. Afin d’étudier la dispersion
et la concentration des salaires, nous avons collecter de l’information qui
concerne les trois catégories (h) de salariés, que nous présentons dans
deux tableaux.
39
On note par D1 , D2 ,...D9 les déciles de cette distribution, et par Q1 , Q2 et
Q3 les quartiles de cette distribution. On connaît, pour chaque classe de
salaire définie à partir des déciles et des quartiles, la masse des salaires
versée à chaque classe de salaire, soit M h .
nh
Mh 
n
hi
xhi
i 1
Classes de salaire
Masse salariale (toutes
(dinars)
catégories confondues)
 D1
1500
[ D1 , Q3 [
2500
[Q3 , D7 [
5500
[ D7 , Q3 [

[Q3 , D9 [
3000
 D9
3500
Cadres
Employés
Ouvriers
5
15
30
3500
6000
7500
Effectifs n h
nh
Mh 
n
hi
xhi
i 1
nh
Sh 
n
hi
xhi2
2450125 2400135
1875480
i 1
1°) Déterminer la valeur  du tableau. Ensuite, calculer le salaire moyen
pour chaque catégorie de salariés.
2°) Déterminer l’effectif de la première classe de salaire et l’effectif de la
deuxième classe de salaire.
3) Calculer l’écart-type du salaire pour chaque catégorie de salariés.
4°a) Déterminer le salaire moyen dans cette entreprise.
4°b) Déterminer la variance des salaires entre les catégories de salariés.
(variance inter-catégories)
4°c) Déterminer la variance des salaires à l’intérieur des catégories de
40
salariés. (variance intra-catégories).
4°d) Déduire à partir de (4 b) et (4 c) l’écart-type des salaires de cette
entreprise.
5°) Nous cherchons à déterminer la courbe de concentration des salaires
de cette entreprise. Calculer Fi et Qi .
Corrigé 23
1°) Détermination de la valeur  :
La masse salariale globale est égale à : 3500  6000  7500  17000 .
Elle est aussi égale, en faisant la somme des lignes de la deuxième
colonne du premier tableau, à 16000   . D’où,   1000 .
2°) Pour déterminer l’effectif de la première classe de salaire et l’effectif de
la deuxième classe de salaire, il suffit de constater que la première classe
(  D1 ) contient 10% de l’effectif total, et que la deuxième classe
( [ D1 , D3 [ ) contient 20% de l’effectif total. L’effectif total étant égale à :
5  15  30  50 . Donc, l’effectif de la première classe est égal à 5.
Celui de la deuxième classe de salaire est égal à 10.
3) Pour calculer l’écart-type du salaire de chaque catégorie de salariés,
nous allons compléter le deuxième tableau :
Cadres
Employés
Ouvriers
5
15
30
3500
6000
7500
Effectifs n h
nh
Mh 
n
hi
xhi
i 1
nh
Sh 
n
hi
xhi2
2450125 2400135
1875480
i 1
Vh 
Sh
M
 ( h )2
N
N
 h  Vh
25
9
16
5
3
4
4°a) Le salaire moyen de l’entreprise est :
x
M
N
h

3500  6000  7500 17000

 340 dinars
50
50
41
4°b) La variance des salaires entre les catégories de salariés. (variance
inter-catégories) est égale à la variance des moyennes:
VM 

1
n1 ( x1 )2  n2 ( x2 )2  n3 ( x3 )2   ( x )2
N
1
5(700)2  15(400)2  30(250)2   (340)2  18900
50
4°c) La variance des salaires à l’intérieur des catégories de salariés.
(variance intra-catégories). C’est la moyenne des variances
MV 

1
n1 V x1   n2 V  x1   n3 V  x1 
N
1
(5  25)  (15  9)  (30  16)  14,8
50
4°d) L’écart-type des salaires de cette entreprise est :
x 
MV  VM  18900  14,8  137,53 dinars.
5°) Pour la détermination des fréquences cumulées croissantes Fi , il
suffit de constater que les bornes supérieures des classes correspondent
aux différents déciles ( on connaît, par exemple, pour la première ligne,
que la proportion des individus qui ont un salaire inférieur à D1 .est égale
à 0,10. De même, pour la troisième ligne, la proportion des individus qui
ont un salaire inférieur à Q3 .est égale à 0,75, ainsi de suite.
Classes
de salaire
nh
Mh 
n
hi
xhi
qi 
i 1
Mh
17000
Qi
Fi
 D1
[ D1 , D3 [
[Q3 , D7 [
[ D7 , Q3 [
[Q3 , D9 [
 D9
1500
0,089
0,089
0,10
2500
0,147
0,236
0,30
5500
0,323
0,559
0,70
1000
0,059
0,618
0,75
3000
0,177
0,795
0,9
3500
0,205
1
1
Total
17000
1
42
Exercice 24
Enoncé 24
L’indice trimestriel du coût de la construction de bâtiment a connu
l ‘évolution suivante base 100 au mois d’août 1998.
Troisième
trimestre
1998
Mois
Indices
élémentaires
Quatrième
trimestre 1998
Août Sept. Oct.
Nov.
Premier
trimestre
1999
Déc.
Janv.
Fév.
1434 1428 1458 1488 1494
1503
1509
1°) Calculer les taux de croissance mensuel successifs de l’indice.
2°) Déterminer le taux de croissance mensuel moyen sur l’ensemble de la
période.
3°) Calculer le taux de croissance global.
Corrigé 24
1°) D’une manière générale, le taux de croissance mensuel entre deux
mois successifs est donné par :
g
C f  Ci
Ci
, avec C i et C f respectivement les coûts pendant le mois
initial et le mois final.
Les taux de croissance mensuels successifs de l’indice sont :
 Le taux de croissance mensuel entre le mois d’août et le mois de
septembre 1998 est :
g1 
1428  1434
 0,418%
1434
Ceci traduit une diminution de 0,418% de l’indice mensuel du coût de
construction de bâtiment.
 Le taux de croissance mensuel entre le mois de septembre 1998 et le
mois d’octobre 1998 est :
g2 
1458  1428
 2,1%
1428
43
Ceci traduit une augmentation de 2,1% de l’indice mensuel du coût de
construction de bâtiment.
 Le taux de croissance mensuel entre le mois d’octobre 1998 et le mois
de novembre 1998 est :
g3 
1488  1458
 2,057%
1458
Ceci traduit une augmentation de 2,057% de l’indice mensuel du coût de
construction de bâtiment.
 Le taux de croissance mensuel entre le mois de novembre et le mois
de décembre 1998 est :
g4 
1494  1488
 0,403%
1488
 Le taux de croissance mensuel entre le mois de décembre 1998 et le
mois de janvier 1999 est :
g5 
1503  1494
 0,602%
1494
 Le taux de croissance mensuel entre le mois de janvier 1999 et le
mois de février est :
g6 
1509  1503
 0,399%
1503
2°) Le taux de croissance mensuel moyen sur l’ensemble de la période
est :
gm 
7
C fév 99
C août 98
1 
7
1509
 1  0,73%
1434
Sur l’ensemble de la période le taux de croissance a été en moyenne et
par mois égal à
3°) Le taux de croissance global sur toute la période est :
G
1509  1434
 5,23%
1434
En somme, le taux de croissance global s’élève à 5,23 :
44
Exercice 25
Enoncé 25
Le tableau suivant donne les indices élémentaires pour trois biens de
1998 par rapport à 1997 et les coefficients budgétaires correspondants.
Indices élémentaires
Coefficients budgétaires en %
i
I 98
( p)
/ 97
Biens
W97i
W98i
A
120
25
20
B
135
40
30
C
105
35
50
100
100
Total
1°) Calculer les indices de Laspeyres, de Paasche et de Fisher de 1998
par rapport à 1997 de ces trois biens.
Corrigé 25
1) Calcul des indices
i) Indice de Laspeyres
i 5

P
98 / 97
L

i
97
W
i
 I 98
/ 97 ( p )
i 1
 (0,25  120 )  (0,4  135 )  (0,35  105 )  120,75
ii) Indice de Paasche

1
i 5
P
98 / 97
P
 (0,20 

i
98
W

i 1
1
I
i
98 / 97
( p)
1
1
1
)  (0,3 
)  (0,5 
)  0,00865
120
135
105
P
D’où : P98 / 97  115,6
iii) Indice de Fisher

F98p / 94 
p
P98p / 97  L98
/ 97  118,147
45
Exercice 26
Enoncé 26
Un agriculteur mobilise deux exploitations agricoles pour produire trois
légumes différents. Le tableau suivant indique, pour ces deux
exploitations, les coûts et les quantités produites de légumes par hectare.
Quantités
Prix
Légumes
Exploitation 1
Exploitation 2
Exploitation 1
Exploitation 2
A
250
150
2,4
3,04
B
250
200
3,35
4,5
C
350
300
4,2
4,5
1°) Calculer les indices de prix de Laspeyres et de Paasche de
l’exploitation 2 par rapport à l’exploitation 1 sur l’ensemble de ces trois
légumes.
2°) Calculer les indices de quantité de Laspeyres et de Paasche de
l’exploitation 2 par rapport à l’exploitation 1 sur l’ensembles de ces trois
légumes.
3°) Calculer les indices de prix de Laspeyres et de Paasche de
l’exploitation 1 par rapport à l’exploitation 2 sur l’ensemble de ces trois
légumes.
4°) Calculer les indices de quantité de Laspeyres et de Paasche de
l’exploitation 1 par rapport à l’exploitation 2 sur l’ensemble des ces trois
légumes.
Corrigé 26
Bien
1995 : (0)
1998 : (t)
p1
q1
p2
q2
A
2,4
250
3,04
150
600
B
3,35
250
4,5
200
C
4,2
350
4,5
300
Total
p1q1
p1q2
p2q1
p2q2
360
760
456
875
700
1125
900
1470
1260
1575
1350
2945
2320
3640
2706
1) Indice de prix de Laspeyres de l’exploitation 2 par rapport à
46
l’exploitation 1 sur l’ensemble de ces trois légumes:
i 3
L2p /1 
i
2
p
q1i
i 1
i 3
 100 
i
1
i
1
pq
3640
 100  123,6
2945
i 1
Indice de prix de Paasche de l’exploitation 2 par rapport à l’exploitation 1
sur l’ensemble de ces trois légumes :
i 3
P2p/1 
p
i
2
q2i
i 1
i 3
 100 
i
1
pq
i
2
2706
 100  116,64
2320
i 1
2) Indice de quantité de Laspeyres de l’exploitation 2 par rapport à
l’exploitation 1 sur l’ensembles de ces trois légumes.:
i 3
i
1
Lq2 /1 
pq
i
2
i 1
i 3
 100 
i
1
i
1
pq
2320
 100  78,8
2945
i 1
Indice de quantité de Paasche de l’exploitation 2 par rapport à
l’exploitation 1 sur l’ensembles de ces trois légumes.:
i 3
P2q/1 
p
i
2
q 2i
i 1
i 3
p
 100 
i
2
q1i
2706
 100  74,34
3640
i 1
3) Indice de prix de Laspeyres de l’exploitation 1 par rapport à
l’exploitation 2 sur l’ensembles de ces trois légumes.:
i 3
i
1
L1p/ 2 
pq
i
2
i 1
i 3
p
 100 
i
2
q 2i
2320
 100  85,73
2706
i 1
Indice de prix de Paasche de l’exploitation 1 par rapport à l’exploitation 2
sur l’ensembles de ces trois légumes:
47
i 3
i
1
P1/p 2 
i
1
pq
i 1
i 3
 100 
p
i
2
q1i
2945
 100  80,9
3640
i 1
4) Indice de quantité de Laspeyres de l’exploitation 1 par rapport à
l’exploitation 2 sur l’ensembles de ces trois légumes :
i 3
L1q / 2 
p
i
2
q1i
i 1
i 3
 100 
p
i
2
q 2i
3640
 100  134,5
2706
i 1
Indice de quantité de Paasche de l’exploitation 1 par rapport à
l’exploitation 2 sur l’ensembles de ces trois légumes:
i 3
i
1
P1q/ 2 
i
1
pq
i 1
i 3
 100 
i
1
pq
i
2
2945
 100  126,93
2320
i 1
Il est à remarquer les formules suivantes :
L1q / 2 
100
P2q/1
,
L1p/ 2 
100
,
P2p/1
P1q/2 
100
Lq2 /1
,
P1/p 2 
100
L2p /1
Exercice 27
Enoncé 27
Soit I l’indice de la production annuelle d’une entreprise observée en
1993, 1994, 1995, 1996, 1996, 1997 et 1998. L’année de base étant
1993. On sait que la production a augmenté de 3% entre 93 et 94, de 4%
entre 94 et 95, de -2% entre 95 et 96, de 5% entre 96 et 97 et de 8%
entre 97 et 98.
1°) Trouver les valeurs de l’indice pour les années 1993, 1994, 1995,
1996, 1996, 1997 et 1998.
2°) Calculer le taux de croissance annuel moyen de la production entre
1993 et 1998.
Corrigé 27
1) Les indices élémentaires vérifient la propriété de circularité. D’une
manière générale on a :
48
I 1/ 0 
 I t / t 1 I t 1/ t 2 I t 2 / t 3

I t / 0  100  



100
100
100
100


L’année de base étant 1993 alors I 93  100
I 94 / 93  103
1
100
1
 I 95 / 93 ) 
100
1
 I 96 / 93 ) 
100
1
 I 97 /93 ) 
100
1
 107,12
100
1
 (98  107,12) 
 104,97
100
1
 (105  104,97) 
 110,22
100
1
 (108  110,22) 
 119
100
I 95 / 93  ( I 95 /94  I 94 / 93 ) 
I 96 / 93  ( I 96 / 95
I 97 / 93  ( I 97 /96
I 98 / 93  ( I 98 /97
 (104  103) 
1) Le taux de croissance annuel moyen de la production entre 1993 et
1998, noté g, est tel que :
P98  P93 (1  g )5 ,
où Pi désigne le niveau de production de l’année i. On peut aussi écrire :
g 
5
P98
1 
P93
5
P98
 100
P93
1 
P93
 100
P93
5
I 98 / 93
I 93
Exercice 28
Enoncé 28
On donne le tableau suivant :
49
1 
5
119
 1  0,0354  3,54%
100
Indices élémentaires
Indices élémentaires
Pondération
Pondération
Produits
I94/0( p)
I98/0(p)
W94i
W98i
A
129
0,2179
164,1
0,2139
B
125,6
0,0378
165,9
0,0377
C
120
0,0815
168
0,0854
D
127
0,3678
155,2
0,3584
E
127,3
0,2950
167,5
0,3046
Total
1
1
1°) Calculer les indices synthétiques des prix de Laspeyres, de Paasche et
de Fisher.
2°) Calculer l’indice général des prix en 1994 et en 1998 en utilisant,
pour chaque année, les pondérations correspondantes.
Corrigé 28
1°) Calcul des indices synthétiques
i) Indice de Laspeyres

P
98 / 94
L
i 5

i
94
W
I
i
98 / 94
i 5
( p) 
i 1
i
94
W

i
I 98
( p)
/0
i 1
i
I 94
(p
/0
164,1
165,9
168
155,2
)  (0,0378 
)  (0,0815 
)  (0,3678 
)
129
125,6
120
127
167,5
 (0,2950 
)  127,8
127,3
 (0,2179 
ii) Indice de Paasche

1
P98P / 94
i 5

i
98
W
i 1

1
i
I 98
/ 94 ( p )
i 5

W
i 1
i
98

1
i
I 98
/0 ( p)
i
I 94
( p)
/0
50
i 5

W
i 1
i
98

i
I 94
/0 ( p )
i
I 98
/0 ( p )
129
125,6
120
127
)  (0,0377 
)  (0,0854 
)  (0,3584 
)
164,1
165,9
168
155,2
127,3
 (0,3046 
)
167,5
P
D’où : P98 / 94  128
 (0,2139 
iii) Indice de Fisher

F98p / 94 
p
P98p / 94  L98
/ 94  127,9
2°) Calcul de l’indice général des prix en 1994 en utilisant les
pondérations de 1994
i 5

I
P
94 / 0
i
  W94i  I 94
/0 ( p )
i 1
 (0,2179  129)  (0,0378  125,6)  (0,0815  120 )  (0,3678  127 )
 (0,2950  127,3)  126,95
Calcul de l’indice général des prix en 1998 en utilisant les pondérations
de 1998
i 5

I
P
98 / 0

i
98
W
i
 I 98
/0 ( p )
i 1
 (0,2139  164,1)  (0,0377  165,9)  (0,0854  168 )  (0,3584  155,2)
 (0,3046  167,5)  162,35
Exercice 29
Enoncé 29
Exercice II. On donne le tableau de répartition suivant :
X : nombre de fréquentations hebdomadaires d’un magasin
Y : montant des achats
Yj
[0,50[
[50,100[ [100,200[
Xi
1
40
60
51
150
2
60
90
140
3
80
70
60
4
220
20
10
1) Calculer les distributions jointe et marginales en fréquence. Calculer
les moyennes et variances de ces distributions marginales. Conclure sur
l’indépendance de ces deux variables.
2) Calculer les distributions conditionnelles de X /Y  25 et Y / X  3 .
Calculer les moyennes et variances de ces distributions.
Corrigé 29
iL j K
1) Calculons d’abord l’effectif total : N 
n
ij
 1000
;
f ij 
i 1 j 1
nij
N
i) la distribution jointe en fréquence
Yj
[0,50[
[50,100[
[100,200[
0,040
0,060
0,080
0,220
0,4
0,060
0,090
0,070
0,020
0,24
0,150
0,140
0,060
0,010
0,36
Total
Xi
1
2
3
4
Total
0,25
0,29
0,21
0,25
1
ii) Distribution marginale en fréquence de X
Xi
f i.
xi f i .
f i. xi2
1
0,25
0,25
0,25
2
0,29
0,58
1,16
3
0,21
0,63
1,89
4
0,25
1
4
Total
1
2,46
7,3
iii) Distribution marginale en fréquence de Y
52
ci f . j
f . j ci2
25
10
250
0,24
75
18
1350
[100,200[
0,36
150
54
8100
Total
1
82
9700
f. j
centres
[0,50[
0,4
[50,100[
Yj
ci
 Pour calculer les moyennes et variances de ces distributions
marginales, on peut compléter les deux tableaux relatives à chaque
distribution marginale.
Xi
f i.
f i. xi2
xi f i .
1
0,25
0,25
0,25
2
0,29
0,58
1,16
3
0,21
0,63
1,89
4
0,25
1
4
Total
1
2,46
7,3
Yj
f. j
centres
ci f . j
f . j ci2
ci
[0,50[
0,4
25
10
250
[50,100[
0,24
75
18
1350
[100,200[
0,36
150
54
8100
Total
1
82
9700
iv) Moyenne marginale de X :
4
x
f
i.
xi  2,46
i 1
v) La variance marginale de X :
4
V  x   ( f i. xi2 )  x 2  7,3  (2,46)2  1,24
i 1
vi) Moyenne marginale de Y :
53
3
y   f . j y j  82
j 1
vii) La variance marginale de Y :
3
V  y   ( f . j y 2j )  y 2  9700  (82)2  2976
j 1
Les deux variables ne sont pas indépendantes. En effet, on peut
remarquer que : f11  f .1  f1.  0,040  0,4  0,25 .
2) Les distributions conditionnelles de X /Y  25  et Y / X  3 .
i) Distribution conditionnelle de X /Y  25 .
Xi
ni1
1
40
2
60
3
80
4
220
Total
400
ii) Distribution conditionnelle de Y / X  3
Yj
n3 j
[0,50[
80
[50,100[
70
[100,200[
60
210
Total
 Pour calculer les moyennes et variances de ces distributions
conditionnelle, on peut compléter les deux tableaux relatives à chaque
distribution conditionnelle de la même manière que celle de la
première question. On peut ainsi vérifier que

La notation ( Y
variable
 25 )
signifie tout simplement la première classe des valeurs de la
Y où le centre de cette classe est égale à 25.
54
ni1
xi f i .
f i. xi2
1
40
40
40
2
60
120
240
3
80
240
720
4
220
880
3520
Total
400
1280
4520
Xi
 La moyenne conditionnelle de X /Y  25 est égale à : 3,2
 La variance conditionnelle de X /Y  25 est égale à : 1,06
Exercice 30
Enoncé 30
le tableau suivant donne le coût moyen d’entretien d’un équipement
industriel en fonction de son âge.
Age en années
Coût d’entretien en dinars
1
170
2
180
3
230
4
280
5
320
6
360
7
410
8
440
9
470
10
530
1) Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés des coûts
d’entretien Y en fonction de l’âge X . Interpréter la pente et la constante
de l'équation de la droite obtenue.
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r ; conclure sur le sens
et l'intensité de la liaison entre le coût d’entretien et l’âge de l’équipement
industriel.
55
3) Calculer le coefficient de détermination. Conclure quant à la qualité de
l'ajustement entre ces deux variables.
4) A combien peut-on estimer le coût d’entretien de cet équipement au
bout de 15 ans de son utilisation.
5) Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés des coûts
d’entretien Y en fonction de l’âge de l’équipement X si on est certain que
si X  0 alors Y  0
Corrigé 30
1) Calcul de la valeur de â et de b̂ de la droite de régression y  ax  b :
xi
yi
xi y i
xi2
y i2
1
170
170
1
28900
2
180
360
4
32400
3
230
690
9
52900
4
280
1120
16
78400
5
320
1600
25
102400
6
360
2160
36
129600
7
410
2870
49
168100
8
440
3520
64
193600
9
470
4230
81
220900
10
530
5300
100
280900
55
3390
22020
385
1288100
On a :
x 
aˆ 
1
N
iN
 xi 
i 1
1
1
 55  5,5 et y 
10
N
iN
y
i 1
i

1
 3390  339
10
22020  10  (5,5  339)
 40,9
385  10  (5,5)2
bˆ  339  (40,9  5,5)  114,05
Donc, la droite de régression est: y i  40,9 xi  114,05
56
Cette droite signifie que pour un équipement neuf (c’est à dire xi  0 ), le
coût d’entretien moyen est de 114,05 dinars alors que le coût pour un
équipement ayant un an (c’est à dire xi  1 ) est estimé à
40,9  1  114,05  154,95 dinars.
La valeur de la pente de la droite signifie que le coût d’entretient
augmente en moyenne de 40,9 dinars par an.
2) Coefficient de corrélation :
rV ,D 
Cov( x, y )

V ( x)  V ( y )
337,5
 0,997.
8,25  13889
La valeur de r est proche de 1. Ceci traduit une forte corrélation linéaire
positive entre les deux variables.
2
2
3) Le coefficient de détermination R  (r )  0,994 .
R 2 étant très proche de 1 : signifie que la qualité d'ajustement linéaire est
très bonne.
4) Cette droite de régression permet de faire des prévisions. Le coût
d’entretien moyen pour un équipement de 15 ans (c’est à dire xi  15 ),
s’élève à : (40,9  15 )  114,05  727,55 dinars.
5) Dans ce cas, l'équation de la droite des moindres carrés des coûts
d’entretien Y en fonction de l’âge de l’équipement X passe par le point de
coordonnées (0 , 0) . L’équation est donc du type : y i  axi
La méthode MCO revient à minimiser la somme des carrés des
résidus (  i ).
La somme des carrés des résidus est donnée par :
N
iN
i 1
i 1
  i2   ( yi  axi )2  f (a )
La condition de premier ordre de la minimisation de cette fonction f par
rapport à a donne :
iN
   i2
i 1
a
i N
i 1
iN

(y x
i
i 1
iN
 2 ( y i  axi )( xi )  0 
i
iN
i N
i 1
i 1
(y
i 1
 axi2 )   y i xi  a  xi2  0
57
i
 axi )( xi )  0
Ainsi, on obtient la valeur estimée de la pente de la droite de
d’ajustement :
iN
yx
i
i 1
iN
aˆ 
x
i
2
i
i 1
Dans ce cas, aˆ 
22020
 57,19
385
Donc, la droite de régression est: y i  57,19 xi
Exercice 31
Enoncé 31
b
1 b
Soit la fonction de production suivante : Q  aK L , a  0 et b  0 où
K et L désignent respectivement le facteur capital et le facteur travail. On
note par q la production par tête et par k l’intensité capitalistique.
On donne
30
30
 Log (q )  7,  Log (k )  26
i
i
i 1
i 1
30
 Log (k )
2
i
i 1
30
 25 ,
 Log (q )Log (k )  5
i
i
i 1
Comment peut-on estimer les coefficients aˆ et bˆ de la fonction de
production par tête ?. Donner la signification du coefficient b̂ . En
déduire l’élasticité de la production par rapport au travail.
Corrigé 31
La fonction de production par tête s’exprime par :
Q aK b L1b

 q  ak b
L
L
Cette relation n’étant pas linéaire. Il nous faut d’abord retrouver une
relation linéaire.
Pour cela, nous allons passer en Logarithme :
Log (q )  Log (a )  bLog (k )
58
En posant Log (q )  y , Log (k )  x
et Log (a )   , on obtient :
y  b x
En utilisant la méthode des MCO, on peut retrouver l’expression
b̂ :
i  30
bˆ 
yx
i
i 1
i  30
x
i
 Nx
2
i 1

ˆ  y  aˆ x 
 7 26

)
30 30  0,43
2
 26 
(25)  30  
 30 
(5)  30(
 Nxy

2
i
̂ et de
7
26
 (0,43  ( ))  0,6
30
30
On peut maintenant retrouver la valeur de â :
Log(a )    aˆ  eˆ . D’où aˆ  e 0,6  0,54
Donc, la droite de régression est :
y i  0,43 xi  0,6
qi  0,54(k i )0,43
D’où
Le coefficient b représente l’élasticité de la production par rapport au
facteur capital. On peut dire qu’une augmentation du facteur capital de
10% entraîne une augmentation de la production de 4,3%.
L’élasticité de la production par rapport au facteur travail est :
eQ / L  1  b  1  0,43  0,57 . On peut dire qu’une augmentation de
10% du facteur travail entraîne une augmentation de la production de
5,7%.
Exercice 32
Enoncé 32
Considérons les données suivantes sur le prix affiché et les quantités
vendues d’un certain bien.
Quantités ( y )
104
58
59
37
22
12
9
Prix (x)
95
130
148
210
250
330
1) Représenter le nuage de points ( xi , y i ) .
2) Compte tenue de cette représentation, donner la forme de l’ajustement
de ce nuage de points et retrouver la relation entre les deux variables.
3) Donner une estimation de la demande lorsque le prix du bien est égal
à 50 puis lorsque le prix est égal à 300.
Corrigé 32
1) Représentation du nuage de points
y
100
80
60
40
20
0
0
100
200
300
x
2) Il est clair que la forme de ce nuage ne suggère pas un ajustement du
type : y  ax  b . La fonction permettant de représenter ce nuage de
points est une fonction hyperbolique du type :
y

x
Afin d’estimer les coefficients de cette fonction par la méthode des MCO,
on peu passer d’abord par le logarithme népérien qui nous donne une
relation linéaire.
On a :
y

x

 x   Logy  Logx  Log
En posant Log  b et    a on obtient la forme linéaire suivante :
60
Logy  aLogx  b
x
y
Logx
Logy
Log( x )Log( y )
(Logx )2
95
104
4,554
4,644
21,150
20,738
130
58
4,868
4,060
19,764
23,693
148
37
4,997
3,611
18,045
24,972
210
22
5,347
3,091
16,528
28,592
250
12
5,521
2,485
13,720
30,487
330
9
5,799
2,197
12,742
33,629
31,086
20,089
101,949
162,110
Total
On a :
Logx 
31,086
20,089
 5,181 , Logy 
 3,348
6
6
En utilisant les expressions de aˆ et bˆ obtenus par la méthode des
MCO, on trouve :
aˆ 
101,949  6  5,181  3,348
 2
162,110  6  (5,181)2
bˆ  3,348  (2)  5,181  13,71
L’équation de la droite de régression de Logy sur Logx est de la forme :
Log ( y )  2Log ( x )  13,71
Le coefficient a représente l’élasticité de la demande de ce bien par
rapport à son prix, c’est-à-dire la variation relative de la demande par
rapport à la variation relative du prix. Dans ce cas, on peut dire que si le
prix du bien augmente de 1%, alors la demande diminuera de 2%.
On peut maintenant retrouver la valeur de
̂ et de ̂ :
13 ,71
 899864 .
 Log  b  Log  13,71  ˆ  e
61
    a  ˆ  aˆ  ˆ  2 .
Enfin, l’équation de la courbe donnant les quantités demandées en
fonction du prix est :
y  899864 x 2 
899864
x2
On remarque que la quantité est une fonction décroissante du prix.
3) Lorsque le prix du bien est égal à 50, la demande s’élève à 360 unités.
Lorsque le prix du bien est égal à 300, la demande sera de l’ordre à
10 unités.
62
EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION PRINCIPALE MAI 98
Le tableau suivant donne les relevés des ventes de jus de fraise et de jus
d'orange du 1er semestre de l'année 1997.
Mois
Temps
(T)
Vente de jus de fraise Vente de jus d'orange en
en 103 litres ( X 1 )
103 litres ( Y1 )
Janvier
1
16
9
Février
2
17
10
Mars
3
17

Avril
4
18
10
Mai
5
17
12
Juin
6
20
14
1) Déterminer le mode, la médiane, la moyenne et l'écart-type de la
variable X 1 .
2) Exprimer, en fonction de , l'équation de la droite des moindres carrés
des ventes de jus d'orange Y1 en fonction du temps (T), au cours du
premier semestre.
3) La valeur de la pente de la droite de régression des ventes de jus
d'orange en fonction du temps étant égale à 1, retrouver la valeur de ().
4) Utiliser les résultats précédents pour déterminer la valeur du
coefficient de corrélation linéaire entre le temps et les ventes de jus
d'orange.
Le tableau suivant donne les relevés des ventes de jus de fraise et de jus
d'orange du second semestre de l'année 1997.
Mois
Vente de jus de fraise en Vente de jus d'orange
103 litres ( X 2 )
en 103 litres ( Y2 )
Juillet
Fermeture
exceptionnelle
Fermeture
exceptionnelle
Août
30
25
Septembre
25
20
63
Octobre
20
18
Novembre
20
15
Décembre
15
10
5) Exprimer théoriquement, pour les ventes de jus de fraise, l'écart-type
calculé sur l'année 1997, en fonction des écarts-types et des moyennes
calculés sur chaque semestre.
6) En déduire la quantité de jus de fraise que l'usine aurait pu vendre en
juillet si la même tendance du premier semestre avait été respectée.
Profitant de certaines mesures gouvernementales, le directeur de l'usine
a pu augmenter le prix de vente de ses produits.
Périodes
Prix du litre de jus Prix du litre de jus
de fraise
d'orange en dinars
en dinars
1er trimestre
0,680
0,500
2e trimestre
0,700
0,530
3e trimestre
non communiqué
0,550
4e trimestre
0,720
0,560
7) Déterminer les valeurs de l'indice élémentaire du prix du litre de jus
d'orange, base 100 au premier trimestre.
8) Sachant que le taux global d'accroissement du prix du jus de fraise
entre le troisième et le premier trimestre a été de 5%, retrouver le prix du
litre de jus de fraise au troisième trimestre.
9) Calculer l'indice des prix de laspeyres au troisième trimestre, base 100
au premier trimestre. Interpréter.
10)Calculer l'indice des prix de Paasche au premier trimestre, base 100
au troisième trimestre.
11) Retrouver la relation qui existe entre les deux indices précédents.
64
CORRECTION DE L'EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION PRINCIPALE MAI 98
1) Paramètres de X 1
Mode : Il suffit de remarquer que la valeur de X 1 la plus fréquente
(observée 3 fois) est :
M O ( X 1 )  17.10 3 litres
b) Médiane : Après avoir classé les valeurs observées de X 1 par ordre
croissant : 16-17-[17-17]-18-20, on constate que la 3e et la 4e (c'est à
dire de rang (
n
n
) et (  1 )) sont égales à 17. D'où :
2
2
Mé( X 1 )  17.10 3 litres
c) Moyenne
6
X
1, i
i 1
X1 
6

16  17  17  18  17  20
 17.5 . 103 litres
6
d) Ecart-type
6
 ( X 1 ) 1 
X
2
1,i
i 1
6
 X 12  1,258 . 103 litres
2) Equation des moindres carrés de Y1 en fonction de T :
La pente de cette droite de régression est obtenue par :
6
aˆ 
6
6
 Y1,i .Ti  6T .Y1
i 1
avec T 
6
 .T
i
2
Y
 Ti
i 1
 6T 2
6
1,i
 3,5 et Y1 
i 1
6
i 1
55  
6  aˆ  20,5  0,5
17,5
91  6  3,5  3,5
213  3  6  .3,5 
aˆ 
L'ordonnée à l'origine est égale à :
65

55  
6
30,4  1,6
bˆ  Y1  aˆT 
6
L'équation s'écrit :
Y1  (
20,5  0,5
30,4  1,6
)T 
17,5
6
3) Détermination de 
20,5  0,5
 aˆ  1    6. 103 litres .
17,5
On donne la valeur de
ni
T
X1
Y1
T2
TY1
Y12
Janvier 1
1
16
9
1
9
81
Février
1
2
17
10
4
20
100
Mars
1
3
17

9
3
36
Avril
1
4
18
10
16
40
100
Mai
1
5
17
12
25
60
144
Juin
1
6
20
14
36
84
196
91
231
657
Mois
Tota
l
6
2
1
105
61
4) Coefficient de corrélation :
6
Y
1,i
(rY ,T )2  aˆ.aˆ'  aˆ.( i 1 6
.Ti  6T .Y1
2
1,i
 .Y
 6Y12
i 1
 (1).(
61
).3,5
6
)  aˆ
2
 61
657  6  
6
231  6 (
17,5
)  (1).(0,475)  rY ,T  0,475  0,69  69%
36,833
5) Ecart-type annuel
 (X ) 
X
2
1,i
  X 22,i 
 X 2,
11
On sait par ailleurs que :
66
avec, X 
6( X 1  5 X 2
11
 ( X )
2
1
 ( X )
2
2
X
2
1,i
i

6
X

2
 X1 
X
2
1,i
 6  ( X 1 )  X 1

2

X
2
2,i
 5  ( X 2 )  X 22

2
i
2
2,i
i
5
 X 22 

2
i
Il vient donc :
6
5
30
30
60
 ( X 1 )2  ( X 2 )2  2 X 12  2 X 22  2 X 1 . X 2
11
11
11
11
11
6 X1  5 X 2
avec, X 
11
(X ) 
 6 ( X 1 )2  5 ( X 2 )2   6( X 1  X )2  5( X 2  X )2 



11
11

 

ou encore
 (X ) 
avec X 
6X1  5X 2
11
6) Valeur estimée pour le mois de juillet
L'équation étant : Y1  T 
40
6
En remplaçant T par 7, on obtient : Y1,7  7 
40
 13,66. 103 litres
6
7) Indice élémentaire du prix du litre de jus d'orange.
I1/1 
I 2 /1 
I 3 /1 
I 4 /1 
PY ,1
PY ,1
PY ,2
PY ,1
PY ,3
PY ,1
PY ,4
PY ,1
 100  100
 100 
0530
 100  106
0,5
 100 
0,550
 100  110
0,5
 100 
0,560
 100  112
0,5
8) Prix du litre de jus de fraise au 3e trimestre.
67
On cherche PX,3 , sachant que :
PX ,3  PX ,1(1  0,05)  0,680  1,05  0,714
9) Indice des prix de laspeyres au troisième trimestre, base 100 au
premier trimestre.
Pour pouvoir calculer cet indice, il faut connaître les quantités
trimestrielles vendues de chaque produit.
Soient :
Q X , j : La quantité de jus de fraise vendue durant le jème trimestre
QY , j : La quantité de jus d'orange vendue durant le jème trimestre.
LP
3/1

Q X,1 .PX,3  QY,1 .Py,3
Q X,1 .PX,1  QY,1 .Py,1
 100
0,714 (16 + 17 + 17).10 3  + 0,550 (9 + 10 + 6).10 3 
 100  183,1
0,680 (16 + 17 + 17).10 3  + 0,500 (9 + 10 + 6).10 3 
10) Indice des prix de Paasche au premier, base 100 au troisième
trimestre
PP
1/ 3

Q X,1 .PX,1  QY,1 .Py,1
Q X,1 .PX,3  QY,1 .Py,3
 100
0,680 (16 + 17 + 17).10 3  + 0,500 (9 + 10 + 6).10 3 
 100  54,6
0,714 (16 + 17 + 17).10 3  + 0,550 (9 + 10 + 6).10 3 
11) le produit de ces deux indices est égale à (100)2.
EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION DE REMPLACEMENT JUIN 98
Exercice I
Le tableau suivant donne la distribution des salaires par classe de salaire
68
hebdomadaire d'une société. L'effectif total N est égal à 60.
Salaire
Fréquence
en dinars
en %
[40 , 50[
15
[50 ,  [
40
[ , 80[
25
[80 , 110[
15
[110 , 170[
5
Total
100
1) Retrouver la valeur de
78 dinars.
 sachant que le troisième quartile Q3 est égal à
2) Utiliser le résultat précédent pour déterminer le mode et le salaire
médian Mé .
3) On note par mi le moment non centré d'ordre i. Calculer m1 et m2 . En
déduire l'écart-type des salaires.
4) On note par
 i le moment centré d'ordre i. Exprimer, d'abord,  3 en
fonction de m1 , m2 et m3 , puis calculer le coefficient d'asymétrie de Fisher
 1 . Conclure.
5) Calculer
D9
et D 9  D1 (l'écart entre le 9ème décile et le 1er décile).
D1
Conclure.
6) Calculer la médiale MLe . Interpréter.
7) Calculer le coefficient de Gini I G . Conclure
8) Quelle sera la valeur du coefficient de Gini si l'on augmente tous les
salaires de 12%.
Exercice II
Au cours du premier trimestre, 6 observations d'un certain caractère
quantitatif X ont donné une moyenne égale à 4 et une variance égale à 5.
69
Au second trimestre, 14 observations du même caractère donnent une
variance égale à 7 et une moyenne égale à 5.
Quel est l'écart-type de ce caractère pour l'ensemble de ces observations
du premier semestre ?
CORRECTION DE L'EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION DE REMPLACEMENT JUIN 98
Exercice I
1) Détermination de

Q3 appartient à la classe :  , 80 . On a
  78
80  78

55  75
 20 
   78  2   
  70
80  75
 5 
2 .a) Mode : C'est la classe modale [70 , 80[ (on prend 60 comme
amplitude de référence : c'est l'amplitude de la dernière classe)
2 .b) Médiane
Mé appartient à la classe : [50 , 70[. On a :
Mé  50 50  15
 35 

 Mé  50  20  
  67,5 dinars
70  50 55  15
 40 
70
Classes
xi
fi
Fi 
nicorr
f i xi
xi2
f i x i2
xi3
f i x i3
[40 , 50[
45
0,15
0,15
54
6,75
2025
303,75
91125
13668,75
[50 , 70[
60
0,40
0,55
72
24
3600
1440
216000
86400
[70 , 80[
75
0,25
0,80
90
18,75
5625
1406,2
5
421875
105468,7
5
[80 , 110[ 95
0,15
0,95
18
14,25
9025
1353,7
5
857375
128606,2
5
1
3
7
19600
980
2744000
137200
70,75
39875
5483,7
5
4330375
471343,7
5
[110 ,
170[
140 0,05
Total
1
3) Calcul de m1 et m2
i 5
m1  x 
 fx
i
i
 70,75
i 1
i 5
m2 
2
i
 fx
i
5483,75
i 1
2
  V ( x )  m2  m1 
i 6
2
i
 fx
i
 x 2  5483,75  (70,75)2  21,86 dinars
i 1
4) Moment centré d'ordre 3. et coefficient d'asymétrie.
i 6
i 6
i 1
i 1
3   f i xi3  3 x  f i xi2  2 x 3  m3  3m1.m2  2m13
3  471343,75  (3  70,75  5483,75)  2(70,75)3  15704,906
1 
 3 15704,906

 1,5
3
(21,86)3
 1  0 : Ceci traduit la dissymétrie de la distribution des salaires à
droite.
71
5) Calcul de
D9
et D 9  D1
D1
D1 appartient à la classe : [40 , 50[. On a
D1  40 10  0
 10 

 D1  40  10     46,66
50  40 15  0
 15 
D9 appartient à la classe : [80 , 110[. On a
D9  80
90  80
 10 

 D9  80  30     100
110  80 95  80
 15 
D9
100

 2,15
D1 46,66
Signifie que les 10% les mieux payés gagnent au moins 2,15 fois plus
que les 10% les moins payés.
D9  D1  53,34
Signifie qu'il y a 53,34 dinars d'écart entre le mieux payé des 10% les
plus pauvres et le moins bien payé des 10% les plus riches.
6) Valeur de la médiale
Par interpolation linéaire on a :
Ml  70
0,5  0,4346
 0,0654 

 Ml  70  10  
  72,46 dinars
80  70 0,6996  0,4346
 0,265 
Signifie que les salariés qui perçoivent individuellement et par semaine
mois que 72,46 se partagent la moitié de la masse salariale totale.
7) Indice de Gini.
72
Classes
xi
fi
f i xi
f i xi
 f i xi
( pi )
( qi )
(qi 1 )
f i (qi  q i 1 )
[40 , 50[
45
0,15
6,75
0,0954
0,15
0,0954
0
0,01431
[50 , 70[
60
0,40
24
0,3392
0,55
0,4346
0,0954
0,212
[70 , 80[
75
0,25
18,75
0,2650
0,80
0,6996
0,4346
0,28355
[80 , 110[
95
0,15
14,25
0,2014
0,95
0,901
0,6996
0,024009
7
0,099
1
1
0,901
0,09505
70,75
1
1
0,845
[110 , 170[ 140 0,05
Total
1
L'indice de Gini est égal à :
I G  1   f i (qi  qi 1 )  1  0,845  0,155
On peut dire que la concentration des salaires est faible.
8) Impact de l'augmentation des salaires :
Si pour chacun des salariés le salaire augmente de 12%. La part de
chacun d'entre eux dans la masse salariale totale ne sera pas modifiée.
Par conséquent, l'indice de Gini ne sera pas modifié.
Exercice II
 (X ) 
X
2
1,i
  X 22,i 
 X 2,
20
avec, X 
6 X 1  14 X 2
20
On sait par ailleurs que :
 ( X )
2
1
 ( X )
2
2
X

2
1,i
i
6
X

2
 X1 


X
2
1,i
 6  ( X 1 )  X 1  6(5  16)  126
X
2
2, i
 14  ( X 2 )  X 22  14(7  25)  448
2
2
i
2
2,i
i
14
D'autre part, X 
 X 22 

2

i
6 X 1  14 X 2 ((6  4)  (14  5) 94


20
20
20
73
2
126  448  94 

Il vient donc :  ( X ) 
  2,57
20
 20 
Remarque : On peut appliquer directement la formule de la variance
inter-populations et la variance intra-population.
6V ( X 1 )  14V ( X 2 ) 6( X 1  X )2  14( X 1  X )2 
V(X ) 

,
20
20

 

moyenne des variances
avec, X 
6 X 1  14 X 2
20
Variance des moyennes
94 2
94 2 

6
(
4

(
))

14
(
5

(
))
(6  5)  (14  7) 
20
20 
V(X ) 

20
20
D’où :  ( X )  V ( X )  2,57 .
EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION DE RATTRAPAGE DE JUILLET 98
Le tableau suivant donne la distance de freinage d'un véhicule
automobile sur route sèche, en fonction de sa vitesse.
Vitesse en Km/h ( V )
Distance en m ( D )
40
8
50
12
60
18
80
32
100
48
1) Calculer, pour les deux variables V et D , le moment non centré
d'ordre 1 et le moment centré d'ordre 2.
2) Calculer la covariance entre la vitesse ( V ) et la distance ( D ) ; que
peut-on en déduire sur la relation entre V et D .
3) Calculer le coefficient de corrélation linéaire rVD ; conclure sur le sens
et l'intensité de la liaison entre V et D .
74
4) Déterminer, en utilisant la méthode des moindres carrés, l'équation
de la droite de régression permettant d'estimer la distance de freinage
en fonction de la vitesse du véhicule.
5) Interpréter la pente et la constante de l'équation de la droite obtenue.
6) A combien peut-on estimer la distance de freinage d'un véhicule
roulant à 120 km/h.
7) Déterminer cette même droite sachant qu'une sixième mesure a
donné pour : Vi  0 ; Di  0 .
8) A quel indicateur doit-on se référer pour rendre compte de la qualité
de l'ajustement entre les variables D et V . Donner sa valeur.
9) On note par Y le logarithme de D et par X le logarithme de V . Les
résultats de la méthode des moindres carrés sont les suivantes :
i) Y  a1 X  b1
ii) X  a 2Y  b2
Donner une interprétation aux coefficients a1et a 2 .
CORRECTION DE L'EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION DE RATTRAPAGE DE JUILLET 98
1) Calcul de m1 et de
2
Pour V
i 5
D
i
 Vi
m1  V 
i 5
 Vi
m2 
i 1
N
i 1
N
i 1
m1  D 
i 5
 66
i 5
N
 23,6
2
i
D
m2 
2
4820
i 1
N
772
2
 2  V ( D )  m 2  m1  215,04
2
 2  V (V )  m 2  m1  464
Pour D
75
Statistique et Calcul de Probabilité (Examens&Exercices)
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76
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Hassen Mzali ; Professeur en Méthodes Quantitatives
2) Covariance : Cov(V , D ) 
1
N
E.s.c. de Tunis
5
 D .V
i
i
 V .D  314,4
i 1
La vitesse et la distance de freinage varient dans le même sens.
3) Coefficient de corrélation : rV , D 
Cov( D, V )
V ( D )  V (V )
 0,99.
Les variables D varient dans le même sens. La valeur de r , proche de 1,
cela traduit une forte corrélation linéaire entre les deux variables.
4) Equation des moindres carrés de D en fonction de V.
Vitesse en Km/h Distance en m
(V )
(D)
40
V2
VD
D2
8
1600
320
64
50
12
2500
600
144
60
18
3600
1080
324
80
32
6400
2560
1024
100
48
10000
4800
2304
330
118
24100
9360
3860
La pente de cette droite de régression est obtenue par :
5
 D .V
i
aˆ 
i
 5V .D
i 1

5
 .V
i
2
 5V 2
9360  5  66  23,6
 0,67
24100  5  66  66
i 1
L'ordonnée à l'origine est égale à :
bˆ  D  aˆV  20,62
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E.s.c. de Tunis
L'équation s'écrit :
D  0,67V  20,62
5) Interprétation de la pente â : lorsque la vitesse augmente de 1 km/h
la distance de freinage augmente de 0,67m. En effet, D  0,67V .
6) Valeur estimée
L'équation étant :
D  0,67V  20,62
En remplaçant V par 120, on obtient :
D  0,67  120  20,62  59,78
7) Equation des moindres carrés avec ( Vi  0 ; Di  0 )
Il suffit de refaire les calculs avec les mêmes sommes mais en divisant
par le nouveau nombre d'observations qui est égal à 6.
5
 D .V
i
aˆ 
i
 6V .D
i 1

5
 .V
i
2
 5V 2
9360  6  55  19,66 2872,2

 0,48 .
24100  6  55  55
5950
i 1
bˆ  D  aˆV  19,66  0,48  55  6,74 .
8) Qualité d'ajustement
2
2
On doit utiliser le coefficient de détermination R  (rD,V )  0,98 .
R 2 étant très proche de 1 : signifie que la qualité de l'ajustement est très
bonne.
9) Interprétation de a1 et de a2 .
Pour la première équation, a1 correspond à l'élasticité de D par rapport à
V. C'est aussi le rapport entre la variation relative de D et la variation
relative de V.
Pour la deuxième équation, a2 représente l'élasticité de V par rapport à
D. En d'autre termes, il s'agit de la variation en pourcentage de V
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engendrée par une variation de D de 1%.
EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION PRINCIPALE DE MAI 99
Exercice 1
le tableau suivant donne le coût moyen d’entretien d’un équipement
industriel en fonction de son âge.
Age en années
Coût d’entretien en dinars
1
200
2
250
3
400
4
500
5
550
1) Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés des coûts
d’entretien Y en fonction de l’âge X du bateau. Interpréter la pente et la
constante de l'équation de la droite obtenue.
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire rx , y . Interpréter.
3) Calculer le coefficient de détermination Interpréter.
4) A combien peut-on estimer le coût d’entretien de ce bateau au bout de
1O ans de son utilisation.
5) Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés des coûts
d’entretien Y en fonction de l’âge X du bateau si on est certain que si
X  0 alors Y  0
Exercice 2
Une étude relative à la distribution des salaires au sein d’une entreprise
a abouti aux résultats suivants :
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Hommes
Femmes
Etendue
640
600
Q3  Q1
233
140
D9
D1
2,16
1,8
Comparer la dispersion des salaires des hommes et des femmes chez les
ouvriers de cette entreprise. Analyser brièvement la cohérence des
conclusions obtenues à partir des différents indicateurs de dispersion
utilisés.
CORRECTION DE L'EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION PRINCIPALE DE MAI 99
Exercice 1
1) Calcul de la valeur de â et de b̂ de la droite de régression y  ax  b :
xi
yi
xi y i
xi2
y i2
1
200
200
1
40000
2
250
500
4
62500
3
400
1200
9
160000
4
500
2000
16
250000
5
550
2750
25
302500
15
1900
6650
55
815000
On a :
x
aˆ 
1
N
i 5
x
i 1
i

1
1
 15  3 et y 
5
N
6650  5  (3  380)
 95
55  5  (3)2
;
i 5
y
i 1
i

1
 1900  380
5
bˆ  380  (95  3)  95
Donc, la droite de régression est: y i  95 x i  95
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Cette droite signifie que pour un bateau neuf (c’est à dire xi  0 ), le coût
d’entretien est de 95 dinars.
La valeur de la pente de la droite signifie que le coût d’entretient
augmente en moyenne de 95 dinars par an.
2) Coefficient de corrélation :
rV , D 
Cov( x, y )
V ( x)  V ( y )
190
 0,985.
2  18600

La valeur de r est proche de 1. Ceci traduit une forte corrélation linéaire
positive entre les deux variables.
2
2
3) Le coefficient de détermination R  (r )  0,97 .
R 2 étant très proche de 1 : signifie que la qualité d'ajustement linéaire est
très bonne.
4) Le coût d’entretien pour un bateau de 10 ans (c’est à dire x i  10 ),
s’élève à : (95  10 )  95  1045 dinars.
5) Dans ce cas, l'équation de la droite des moindres carrés des coûts
d’entretien Y en fonction de l’âge X du bateau passe par le point de
coordonnées (0 , 0) . L’équation est donc du type : y i  axi
La méthode MCO revient à minimiser la somme des carrés des
résidus (  i ).
La somme des carrés des résidus est donnée par :
N

i 1
2
i
iN

(y
i
 axi )2  f (a )
i 1
La condition de premier ordre de la minimisation de cette fonction f par
rapport à a donne :
iN
yx
i
aˆ 
i 1
iN
x
i 1
2
i
i
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Dans ce cas, aˆ 
E.s.c. de Tunis
6650
 120,92  121. Donc, la droite de régression
55
est: y i  121 x i
Exercice 2
Hommes
Femmes
Dispersion Femmes
(%)
Dispersion Hommes
Etendue
640
600
93
Q3  Q1
233
140
60
D9
D1
2,16
1,8
83
i) Les trois caractéristiques de dispersion utilisées indiquent que les
salaires des femmes sont mois dispersés que ceux des hommes.
ii) Les mesures quantitatives de la dispersion fournies par les trois
indicateurs ne concordent pas : 93%, 60% et 83%.
iii) L’étendue est une caractéristique de dispersion imprécises et très
sensible au valeurs extrêmes : il suffit d’un seul salaire masculin très
faible pour rendre l’étendue des salaires des femmes égale à l’étendue
des salaires des hommes. Selon cet indicateur la dispersion des salaires
des femmes est égale à 93% de celle des salaires des hommes.
iv) L’écart interquartile Q3  Q1 , dépend de l’unité de mesure, exprimé en
dinars est un indicateur de dispersion absolue. Selon cet indicateur la
dispersion des salaires des femmes est égale à 60% de celle des salaires
des hommes.
v) Le rapport
D9
est un indicateur de dispersion relative qui peut être
D1
utilisé pour comparer la dispersion de variables statistiques qui ne sont
pas exprimées dans la même unité. Selon cet indicateur la dispersion des
salaires des femmes est égale à 83% de celle des salaires des hommes.
EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION DE RATTRAPAGE DE JUIN 99
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E.s.c. de Tunis
Exercice 1
La répartition par sexe des salaires annuels des employés de l’entreprise
DJO est présentée dans le tableau 1. Nous donnons, également, dans le
tableau 2 l’effectif, la moyenne et la variance de chaque sous-population.
Tableau 1
Fréquences f i
Classes de salaire
Hommes
Femmes
 200
0,12
0,21
[200 , 280[
0,29
0,39
[280 , 360[
0,24
0,20
[360 , 520[
0,18
0,14
[520 , 840[
0,11
0,05
 840
0,06
0,01
Hommes
Femmes
Effectifs
320
180
Moyenne
383,14
286,48
Variance
0,0040
0,0011
Tableau 2
1°) Déterminer pour l’ensemble des employés :
a) La fréquence de la première classe de salaire.
b) La moyenne des salaires.
c) La
variance
des
salaires
(en
précisant
inter-populations et la variance intra-population).
la
variance
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E.s.c. de Tunis
2°) Déterminer le mode de la distribution des salaires des hommes.
3°) Déterminer la médiane, le 1er décile et le 9ième décile de la
distribution des salaires des hommes. Interpréter.
4°) Calculer l’écart interquartiles de la distribution des salaires des
hommes. Interpréter.
5°) En se basant sur un indicateur approprié, comparer la dispersion des
salaires des hommes et des femmes chez les employés de cette
entreprise.
6°) Si le taux d’accroissement mensuel moyen du salaire de cette
entreprise est égal à 0,5%, quel sera le salaire moyen de cette entreprise
deux années plus tard.
CORRECTION DE L'EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION DE RATTRAPAGE DE JUIN 99
1°) Déterminer :
a) La fréquence de la première classe de salaire pour l’ensemble des
employés est :
fT 
n1h  n1 f
Nh  N f

N h f1h  N f f1 f
Nh  N f

(320  0,12)  (180  0,21)
 0,152
500
b) La moyenne des salaires est :
XT 
Nh X h  N f X f
Nh  N f

(320  383,14)  (180  286,48)
 348,34 D
500
c) La variance des salaires (en précisant
populations et la variance intra-population).est :
la
variance
inter-
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Hassen Mzali ; Professeur en Méthodes Quantitatives
V(X ) 
N hV ( X h )  N f V ( X f )
N 


N ( X
h
h
E.s.c. de Tunis
 X T )2  N f ( X f  X T )2 
N 


moyenne des variances
Variance des moyennes
(320  0,004)  (180  0,0011) 320(383,14  348,34)2  180(286,48  348,34)2 

500
500
 2152,66

Fréquences
Classes de salaire
fi
Fréquences Fréquences
Amplitudes
corrigées
cumulées
croissantes
Hommes
[120 , 200[
0,12
80
0,12
0,12
[200 , 280[
0,29
80
0,29
0,41
[280 , 360[
0,24
80
0,24
0,65
[360 , 520[
0,18
160
0,09
0,83
[520 , 840[
0,11
320
0,027
0,94
[840 , 1160[
0,06
320
0,015
1
2°) Le mode de la distribution des salaires des hommes :
M O  [200 , 280[
M O  200  80
0,29  0,12
 262D
(0,29  0,12)  (0,29  0,24)
3°) La médiane de la distribution des salaires des hommes :
Mé  [280 , 360[
Mé  280  80
0,5  0,41
 310 D
0,65  0,41)
Statistique et Calcul de Probabilité (Examens&Exercices)
Année Universitaires 2007-
85
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E.s.c. de Tunis
Le 1er décile de la distribution des salaires des hommes:
D1  [120 , 200[
D1  120  80
0,1
 187 D
0,12)
Le 9ième décile de la distribution des salaires des hommes:
D9  [520 , 840[
D9  520  320
0,9  0,83
 724D
0,94  0,83)
On dit que 80% des hommes perçoivent un salaire compris entre 187D et
740D.
4°) L’écart interquartiles de la distribution des salaires des hommes :
Q1  200  80
0,25  0,12
 236 D
0,41  0,12)
Q3  360  160
0,75  0,65
 449 D
0,83  0,65)
5°) Pour comparer la dispersion des salaires des hommes et des femmes
chez les employés de cette entreprise, on doit se baser sur le coefficient
de variation :
CVh 
CV f 
h
 0,000165
Xh
f
Xf
.
 0,000115
On remarque que la dispersion des salaires est plus forte chez le
hommes que chez les femmes
6°) Si le taux d’accroissement mensuel moyen du salaire de cette
entreprise est égal à 0,5%, le salaire moyen de cette entreprise deux
années plus tard est égale à :
Statistique et Calcul de Probabilité (Examens&Exercices)
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X T*  X T (1  0,005)24
EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION PRINCIPALE ESSEC 99
Exercice I
Soit ni le nombre de ménage ayant une résidence secondaire enquêtés
par un institut de sondage, et xi le montant en centaine de dinars que
ces ménages ont déclaré avoir dépenser pour l’entretient de leur
résidence secondaire.
Dépense (centaine de
dinars)
Effectif
[0 , 4[
6
[4 , 8 [
n2
[8 , 12[
n3
[12 , b4 [
17
[ b4 , 22[
14
[22 , 30[
11
[30 , 42[
3
Total
100
9) Calculer les valeurs de n2 et n3 sachant que le quatrième décile est égale
à 9,5.
10) Soit n2  25 et n3  24 , monter que la borne b4 est égale à 16 sachant
que x  13 .
11) Construisez l’histogramme de cette distribution. Calculer le mode.
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12) Calculer la médiane et le troisième quartile. Interpréter.
13) Etudier l’asymétrie de cette série.
14) Calculer l’indice de concentration de Gini I G . Conclure
CORRECTION DE L'EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION PRINCIPALE ESSEC 99
Exercice I
1) Pour calculer les valeurs de n2 et n3 , il faut calculer les effectifs
cumulés croissants
Dépense
(centaine de
dinars)
Effectif
Effectif cumulés croissants
[0 , 4[
6
6
[4 , 8 [
n2
n2  6
[8 , 12[
n3
n2  n 3  6
[12 , b4 [
17
n2  n3  6  17
[ b4 , 22[
14
n2  n3  6  17  14
[22 , 30[
11
n2  n3  6  17  14  11
[30 , 42[
3
Total
100
n2  n3  6  17  14  11  3  100
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On sait que n2  n3  51  100 . D’autre part, le quatrième décile, D4 , est
égale à 9,5 appartient à la classe [8 , 12[. Ainsi, par interpolation linéaire
entre les bornes supérieures des classes et l’effectifs cumulés croissant
on a :
8

n2  6
9,5

40
12
 n2  n3  6
Comme n2  n3  51  100 alors n2  n3  6  55 . On peut donc écrire :
(n2  6)  40
8  9,5
 1,5 

 n2  34  15   
  25 .
55  40
12  9,5
 2,5 
A partir de n2  n3  6  55 , on trouve n3  55  6  25  24 .
2 Sachant que x  13 , on peut, après avoir calculer les centres des
classes, vérifier que :
x
nc
i
N
i

1052  15,5b4
 13 . Ce qui revient à : b4  16
100
Classes
ci
ni
ni c i
[0 , 4[
2
6
12
[4 , 8 [
6
25
150
[8 , 12[
10
24
240
[12 , b4 [
b4  12
2
17
102+8,5 b4
[ b4 , 22[
b4  22
2
14
154+7 b4
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[22 , 30[
26
11
186
[30 , 42[
36
3
108
100
1052+15,5 b4
Total
3) Pour la détermination du mode, il faut calculer les effectifs corrigés
puisque les amplitudes des classes sont inégales. Le mode de cette
distribution : M O  [4 , 6[
MO  4  4
25  6
 7,8 . La plupart des ménage dépenses
(25  6)  (25  24)
780 dinars pour l’entretient de leur résidence secondaire.
Classes
ai
ni
nicorr 
4  ni
ai
N i :effectifs
cumulés croissants
[0 , 4[
4
6
6
6
[4 , 8 [
4
25
25
31
[8 , 12[
4
24
24
55
[12 , 16[
4
17
17
72
[16 , 22[
6
14
9,33
86
[22 , 30[
8
11
5,5
97
[30 , 42[
12
3
1
100
Total
100
4) La médiane de la distribution :
Mé  [8 , 12[
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Mé  8  4
E.s.c. de Tunis
55  30
 11,17 . Ceci signifie que 50% des ménages
55  31
dépensent mois de 1117 dinars par ans pour l’entretient de leurs
résidence secondaire.
Le 3er quartile de cette distribution :
Q3  [16 , 22[
Q3  16  6
75  72
 17,3 . On dit que 75% des ménages dépensent
86  72
mois de 1730 dinars par ans pour l’entretient de leurs résidence
secondaire.
5) On a Mo  7,8 , Mé  11,17 et
distribution est étalée vers la droite.
x  13 . On peut dire que la
7) Indice de Gini.
Classes
xi
ni
ni x i
fi
qi
qi 1
f i (q i  q i 1 )
[0 , 4[
2
6
12
0,06
0,092
0
0,00052
[4 , 8 [
6
25
150
0,25
0,1246
0,092
0,03345
[8 , 12[
10
24
240
0,24
0,3092
0,1246
0,104112
[12 , 16[
14
17
238
0,17
0,4923
0,3092
0,136255
[16 , 22[
19
14
266
0,14
0,6970
0,4923
0,166502
[22 , 30[
26
11
286
0,11
0,9169
0,6970
0,177529
[30 , 42[
36
3
108
0,03
1
0,9169
0,057507
100
1300
1
1
0,6759
Total
L'indice de Gini est égal à :
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I G  1   f i (q i  qi 1 )  1  0,679  0,3241  32%
On peut dire que la concentration des dépenses est relativement faible.
EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION DE RATTRAPAGE ESSEC 99
Une entreprise fabrique deux produits A et B.Le tableau suivant indique
l’évolution du volume des ventes des deux produits au cours de 11 mois
d’une année :
Mois
1
X i :ventes de A
Yi :ventes de B
2
10
11
160 140 100 65
130 150 120 160 180 60
50
18
14
4
15
3
4
10
8
5
6
7
16
8
12
17
9
20
7
On utilisera les données suivantes, en précisant pour chaque calcul
demandé la formule utilisée
11
11
X
2
i
 177325
i 1
,
11
Y
i
i 1
2
 2063
,
XY
i
i
 19100
i 1
1) Déterminer le mode, la médiane, la moyenne et l'écart-type de la
variable X 1 .En comparant ces valeurs, que peut-on dire de la
distribution de X ?.
2
2) Calculer V ( X ) , V (Y ) et Cov( X , Y ) à 10 près.
3) Calculer le coefficient de corrélation linéaire rx , y . Quelle est sa
signification ?
4) Déterminer par la méthode des moindres carrés l'équation
d’ajustement de Y en X. Que pensez-vous de la qualité de l’ajustement
linéaire (justifier votre réponse) ?
ème
5) Le 12
mois, on prévoit de vendre 200 unités de A. Si l’évolution se
poursuit de la même façon, quel devrait être théoriquement le volume
des ventes du produit B au cours de ce mois ?
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6) Soient P1 et P2 les prix unitaires respectifs des produits A et B.
Montrer que le coefficient de corrélation linéaire entre le chiffre
d’affaires mensuel de A et celui de B est égal au coefficient de
corrélation linéaire entre les ventes mensuelles de A et celles de B .
7) Soient Z i  P1 X i  P2Yi le chiffre d’affaires mensuel total. Exprimer la
variance de Z i en fonction de P1 , P2 , V ( X ) , V (Y ) et Cov( X , Y ) .
CORRECTION DE L'EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION DE RATTRAPAGE ESSEC 99
1) Mode : Il suffit de remarquer que la valeur de X la plus fréquente
(observée 2 fois) est :
M O ( X )  160
b) Médiane : Après avoir classé les valeurs observées de X 1 par ordre
croissant :
50
X i :ventes de A
60
65
100 120 130 140 150 160 160 180
on constate que la 6ème observation (c'est à dire de rang (
n 1
) est égale
2
à 130. D'où :
Mé( X 1 )  130 .
c) Moyenne
11
x
x
i 1
11
i

1315
 119,55 .
11
d) Comme X  Mé  M O , alors on peut dire que la distribution est étalée
vers la gauche.
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x2 
2)
1
N
iN
x
2
i

i 1
2
2
2
2
E.s.c. de Tunis
1
 177325  16120,45
11
2
 V ( x )  x  ( x )  16120,455  (119,55 )  1828,25
 V ( y)  y  ( y ) 
1
 xy 
N
iN
x y
i
i
i 1

2063 141 2
(
)  23,19
11
11
1
 19100  1736,36
11

 Cov( x, y )  xy  x. y  1736,36  (119,55  12,82)  203,73
3) Coefficient de corrélation : rx , y 
Cov( x, y )
203,73

 0,989
 x y
42,76  4,82
On dit qu’il y a très forte corrélation linéaire positive entre les deux notes
obtenues.
4) Equation des moindres carrés de Y en fonction de X
 aˆ 
Cov( x, y ) 203,73

 0,11
V ( x)
1828,25
 bˆ  y  aˆ.x  12,82  (0,11  119,55)  0,33
Donc, la droite de régression est :
y  0,11x  0,33
2
2
 R  (rx , y )  0,978 indique une très bonne qualité de l’ajustement
linéaire.
5) Valeur estimée des ventes du produit B, pour le 12ième mois, si les
ventes du produit A sont de 200 :
L'équation étant :
y  0,11x  0,33
En remplaçant X par 200, on obtient : y  (0,11  200 )  0,33  21,67
6) Le coefficient de corrélation linéaire entre le chiffre d’affaires mensuel
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de A et celui de B est :
rP x,P y 
1

2
p1  p2
p1  p2
Cov( p1 x, p2 y )
V ( p1 x ) V ( p 2 y )

( p1  p 2 ).Cov( x, y )
p1 V ( x )  p2 V ( y )
Cov( x, y )
 rx, y
V ( x) V ( y )
Ainsi, le coefficient de corrélation linéaire entre le chiffre d’affaires
mensuel de A et celui de B est égal au coefficient de corrélation linéaire
entre les ventes mensuelles de A et celles de B .
8) Soient Z i  P1 X i  P2Yi le chiffre d’affaires mensuel total.
La variance de Z i est égale à :
V(Z)  V(P1 X  P2Y)  V(P1 X)  V(P2Y)  2Cov( P1 X , P2Y )
 P12V(X)  P22V(Y)  2P1 P2 Cov( X , Y )
.
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EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION PRINCIPALE IHEC 2001
Exercice 1
On a relevé, dans une entreprise, pendant 90 jours successifs les
niveaux de productions, exprimés en milliers d’unités de produit, de
deux présentations notées G (gel) et L (liquide) d’un même produit. Les
résultats sont résumés dans les deux tableaux suivants. :
Présentation G
Présentation L
Classes de
Nombre
Classes de
Nombre
production
de jours
production
de jours
5
9
 10
10
[5 , 10[
36
[10 , 12[
50
[10 , 12[
30
[12 , 16[
20
[12 , 20[

[16 , 20[
10
1°) Déterminer la valeur  du tableau. Ensuite, déterminer la classe
modale, la médiane, le premier quartile et le premier décile des niveaux
de productions pour la présentation G.
2°) Calculer les moyennes, écart-types des niveaux de productions pour
chacune des deux présentations.
3) La production totale de cette entreprise pour toute la période de
l’étude est composée de 25% du produit en gel et de 75% du produit en
liquide. Quel est le niveau de production moyen peur cette entreprise ?
4°) Donner, pour chacune des présentations G et L, les valeurs des
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moyennes et des écarts-types si on veut exprimer les niveaux de
productions en centaines d’unités de produit.
5°) Si le taux d’accroissement trimestriel moyen de la production de cette
entreprise est égal à 1%, quelle sera la production de cette entreprise une
année plus tard.(exprimée en centaines d’unités) ?
CORRECTION DE L'EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION PRINCIPALE IHEC 2001
Exercice 1
1°) D’après l’énoncé on a N G  N L  90 . Donc :
9  36  30    90    15 .
Présentation G
Classes de
Nombre
production
de jours
[0 , 5[
9
ai
nicorr 
5  ni
ai
N i :effectifs cumulés
croissants
9
5
9
[5 , 10[
36
5
36
45
[10 , 12[
30
2
75
75
[12 , 20[
15
8
9
90
a)
La classe modale est : [10 , 12[ . On peut remarquer que l’effectif
corrigé de cette classe est le plus élevé.
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La médiane de la distribution : Mé  10 . On peut remarquer que
l’effectif cumulé croissant de la deuxième classe est de 45 (la moitié de
l’effectif total). Donc, on peut retenir comme médiane, la borne
supérieure de cette classe.
b)
Le premier quartile de cette distribution : Q1  [10 , 12[
Q1  5  5
22,5  9
 6,875 .
45  9
c)
Le premier décile de cette distribution est : D1  5 . On peut
remarquer que l’effectif cumulé croissant de la première classe est de 9
(le dixième de l’effectif total). Donc, on peut retenir comme premier décile,
la borne supérieure de cette classe.
2°) Calculer les moyennes, écart-types des niveaux de productions pour
chacune des deux présentations.
3) La production totale de cette entreprise pour toute la période de
l’étude est composée de 25% du produit en gel et de 75% du produit en
liquide. Quel est le niveau de production moyen peur cette entreprise ?
4°) Donner, pour chacune des présentations G et L, les valeurs des
moyennes et des écarts-types si on veut exprimer les niveaux de
productions en centaines d’unités de produit.
5°) Si le taux d’accroissement trimestriel moyen de la production de cette
entreprise est égal à 1%, quelle sera la production de cette entreprise une
année plus tard.(exprimée en centaines d’unités) ?
On sait que n2  n3  51  100 . D’autre part, le quatrième décile, D4 , est
égale à 9,5 appartient à la classe [8 , 12[. Ainsi, par interpolation linéaire
entre les bornes supérieures des classes et l’effectifs cumulés croissant
on a :
8

n2  6
9,5

40
12
 n2  n3  6
Comme n2  n3  51  100 alors n2  n3  6  55 . On peut donc écrire :
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E.s.c. de Tunis
(n2  6)  40
8  9,5
 1,5 

 n2  34  15   
  25 .
55  40
12  9,5
 2,5 
A partir de n2  n3  6  55 , on trouve n3  55  6  25  24 .
2 Sachant que x  13 , on peut, après avoir calculer les centres des
classes, vérifier que :
x
nc
i
N
i

1052  15,5b4
 13 . Ce qui revient à : b4  16
100
Classes
ci
ni
ni c i
[0 , 4[
2
6
12
[4 , 8 [
6
25
150
[8 , 12[
10
24
240
[12 , b4 [
b4  12
2
17
102+8,5 b4
[ b4 , 22[
b4  22
2
14
154+7 b4
[22 , 30[
26
11
186
[30 , 42[
36
3
108
100
1052+15,5 b4
Total
3) Pour la détermination du mode, il faut calculer les effectifs corrigés
puisque les amplitudes des classes sont inégales. Le mode de cette
distribution : M O  [4 , 6[
MO  4  4
25  6
 7,8 . La plupart des ménage dépenses
(25  6)  (25  24)
780 dinars pour l’entretient de leur résidence secondaire.
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99
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ai
Classes
ni
E.s.c. de Tunis
nicorr 
4  ni
ai
N i :effectifs
cumulés croissants
[0 , 4[
4
6
6
6
[4 , 8 [
4
25
25
31
[8 , 12[
4
24
24
55
[12 , 16[
4
17
17
72
[16 , 22[
6
14
9,33
86
[22 , 30[
8
11
5,5
97
[30 , 42[
12
3
1
100
Total
100
4) La médiane de la distribution :
Mé  [8 , 12[
Mé  8  4
55  30
 11,17 . Ceci signifie que 50% des ménages
55  31
dépensent mois de 1117 dinars par ans pour l’entretient de leurs
résidence secondaire.
Le 3er quartile de cette distribution :
Q3  [16 , 22[
Q3  16  6
75  72
 17,3 . On dit que 75% des ménages dépensent
86  72
mois de 1730 dinars par ans pour l’entretient de leurs résidence
secondaire.
5) On a Mo  7,8
,
Mé  11,17 et x  13 . On peut dire que la
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Année Universitaires 2007-100
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distribution est étalée vers la droite.
EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION PRINCIPALE IHEC 2002
FORMATION CONTINUE
Exercice 1 (7 points)
Afin de mieux connaître sa clientèle, le gérant du cinéma ELFORJA
procède à une enquête auprès d’un échantillon de 100 individus. Il obtient
la répartition par âge suivante :
Age
effectif
 15
6
[15 , 20[
24
[20 , 30[
40
[30 , 40[
40 et

10
plus
1°) Déterminer le nombre  . Ensuite, déterminer la classe modale, le
premier décile, la médiane et le neuvième décile. Interpréter ; On
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2008
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supposera l’age minimum égal à 10 ans et l’âge maximum égal à 60 ans.
(2,5 points)
2°) Calculer l’âge A tel que 75% des individus de l’échantillon ait un âge
supérieur à A. Comment s’appelle cette valeur A ? (1point)
3°) Déterminer la proportion des individus de l’échantillon ayant un âge
compris entre 24 et 38 ans .(1point)
3°) Calculer le coefficient de variation. De quel type d’indicateur s’agit-il ?
Dans quels cas son utilisation est-elle utile ? (2,5 points)
Exercice 2 (4 points)
Pour recruter deux étudiants saisonniers, une entreprise décide de faire
passer pour chacun des six candidats qui se sont présentés un test écrit
en économie (noté sur 20) et un écrit en gestion (noté sur 20). Les
résultats sont donnés dans le tableau suivant :
8
X (Note en économie
10
12
13
15
10
8
7
7
)
13
Y (Note en gestion)
1) Calculer la covariance entre X et Y. Que peut–on en déduire sur la
relation entre ces deux variables. (1point)
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire rx , y . Conclure sur le sens
et l’intensité de la liaison entre X et Y. (1point)
3)
Déterminer
l'équation
de
la
droite
des
moindres
carrés
D : Y  a X  b .(1point)
4) A combien peut-on estimer la note en économie X d’un étudiant ayant
obtenu une note en gestion Y  7 .(1point)
Exercice 3 (5 points)
Le tableau ci-dessous donne la répartition des exploitations agricoles
d’un pays donné selon la superficie agricole utilisée pour les années
1970, 1979, 1990, 2001 :
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Superficie en hectares
E.s.c. de Tunis
1970
1979
Nombre
Nombre
Nombre
Nombre
[2 , 10[
3500
2400
1800
1500
[10 , 40[
3900
3100
2400
2000
4200
4300
4100
4300
[40 , 80[
1990
2001
1) Calculer, en pourcentage les taux de croissance annuels moyens des
exploitations agricoles de 1970 à 1979, 1979 à 1990, et de 1990 à 2001.
(1,5 points)
2) Exprimer le taux de croissance annuel moyen de 1970 à 2001 en
fonction des trois taux calculés en 1). De quel type de moyenne s’agit- il ?
Calculer sa valeur. (1,5 points)
3) Déterminer la médiale et l’indice de Gini pour l’année 1990. (2 points)
Exercice 4 (4 points)
Le tableau suivant donne les indices élémentaires de prix de 2000 par
rapport à 1999 pour quatre biens et les coefficients budgétaires
correspondants.
Indices élémentaires
Biens
i
I 2000
( p)
/1999
Coefficients budgétaires en %
i
W1999
i
W2000
A
120
25
20
B
105
10
20
C
95
35
50
D
100
30
10
1°) Calculer les indices de prix de Laspeyres, de Paasche et de Fisher de
1999 par rapport à 2000 de ces quatre biens.
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EPREUVE DE STATISTIQUE I
SESSION DE RATTRAPAGE IHEC 2002
FORMATION CONTINUE
Exercice 1 (12 points)
Soit la répartition suivante des exploitations agricoles d’une région A :
Taille de
Nombre
l’exploitatio
en
n en
centaines
hectares
 15
10
[15 , 10[
20
[10 , 20[
30
[20 , 50[
[50 , 100[
40
10
1°) Tracer l’histogramme de cette distribution. Ensuite, déterminer la
classe modale, le premier décile, la médiane et le neuvième décile.
Interpréter. (3 points)
2°) Calculer la superficie S tel que 25% des exploitations ait une superficie
supérieure à S. Comment s’appelle cette valeur S ? (1point)
3°) Tracer la courbe des fréquences relatives cumulées croissantes.
(1point)
4°) Calculer la moyenne et l’écart-type de cette distribution. Interpréter (2
points)
5°) Sachant que pour deux autres régions B et C, les données sont les
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suivantes :
Région B
Région C
Moyenne : 30,6 ha
moyenne : 16,84 ha
Ecart-type : 36,9 ha
Ecart-type : 23,4 ha.
Comparer, en utilisant un indicateur approprié, la dispersion entre ces
trois régions A, B et C. (1,5 points).
6°) Tracer la courbe de concentration pour la distribution des
exploitations agricoles de la région A. (1,5 points).
7°) Calculer la médiale ainsi que l’indice de Gini de cette distribution.
Interpréter. (2 points).
Exercice 2 (5 points)
Le tableau ci-dessous, donne, pour neuf régions agricoles, des
informations sur la surface moyenne et la valeur de la production par
exploitation :
X :Surface moyenne (ha)
375
Y : valeur de la
218
118,2 83,7 131,4 80,2 141 45,3 136,6 80,8
39
274
169
122 116 51,5
119
191
production (milliers de
dinars)
1) Calculer la covariance entre X et Y. Interpréter. (1 point)
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire rx , y . Conclure sur le sens
et l’intensité de la liaison entre X et Y. (2 points)
3)
Déterminer
l'équation
D : Y  a X  b .(2 points)
Exercice 3 (3 points)
de
la
droite
des
moindres
carrés
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Répondre par Vrai ou Faux.
1) L’indice synthétique de Paasche peut être défini comme étant la
moyenne arithmétique des indices élémentaires pondérés par les
coefficients budgétaires de la date courante.
2) On dit que deux variables statistiques sont linéairement
indépendantes si la covariance entre ces deux variables est égale à
l’unité.
3) Une étude des notes obtenues par deux classes d’une école à un test
commun a fourni les résultats suivants :
Classe
Classe
1
2
Effectifs
20
30
Moyenne
12
10
Ecart-type
4
6
Médiane
12
12
La note moyenne des deux classes réunies est égale à 11.