Travail et Energie - Espace d`authentification univ

Mécanique Physique (S2) 4ème partie – page 1
4ème partie
Energie et Travail
Notes de cours
de Licence de A.
Colin de Verdière
Introduction
Les lois de Newton nous permettent de déduire le mouvement de corps en mouvements mais
le calcul est souvent si compliqué qu’une approche numérique devient nécessaire. Comme
c’est compliqué, on se demande s’il n’y a pas des choses à dire sur les mouvements qui
n’exigent pas d’intégrer complètement les équations. Le but de cette partie est de montrer
qu’il y a effectivement « quelque chose » qui est conservé dans le mouvement et ce « quelque
chose » c’est l’énergie, un nombre qui est constant dans le temps. Cette invariance de
l’énergie peut nous dire pas mal de choses et quelquefois cela suffit. En tous cas cela donne
une autre vision du problème, libéré des détails de la trajectoire. On verra plusieurs formes
d’énergie, cinétique, potentielle, élastique et on sera amené aussi à parler de l’énergie interne
(l’énergie à l’échelle des atomes et molécules). Cette approche énergétique est aussi à la base
des applications industrielles de la Mécanique.
Energie cinétique et travail : le théorème de l’énergie cinétique
(i) force constante
Supposons une particule libre (suffisamment loin de tout autre dans la galaxie). On l’observe
d’un référentiel inertiel et on lui applique une force Fa à t = 0. Cette force garde ensuite une
valeur constante. On peut prendre la direction de l’axe x dans la direction de la force et on a
donc :
Fa = m
x
&&
∀ t > 0 (4.0)
Comme Fa est constant, on peut avoir v facilement :
v(t) =
x
t
0
&&
!
dt = v0 +
t
m
F
a
(4.1)
v0, vitesse initiale étant aussi dans la direction x.
On peut réécrire cette équation sous une forme plus parlante :
Fat = m v(t) – m v0 (4.2)
A droite on a la variation de quantité de mouvement de la particule entre 0 et t et à gauche Fat
(
!
t
0
Fadt) est ce qu’on appelle l’impulsion. La relation 4.2 nous dit simplement que « la
variation de quantité de mouvement est égale à l’impulsion ».

Mécanique Physique (S2) 4ème partie – page 2
Si on intègre encore une fois 4.1 (ce qui est facile ici car Fa est constant) :
x(t) =
!
t
0
v(t)dt = x0 + v0t +
m
F
2
1a
t2 (4.3)
Comme 4.2 donne :
t =
a
F
m
(v – v0)
On peut essayer d’éliminer le temps t dans 4.3 :
x – x0 =
a
F
m
(v – v0) v0 +
a
F
m
2
1
(v – v0)2
=
a
F
m
2
1
(v2 -
2
0
v
)
que l’on peut réécrire :
2
1
mv2 -
2
1
m
2
0
v
= Fa ⋅ (x – x0) (4.4)
On va définir «
2
1
m v2 comme l’énergie cinétique de la particule » et on voit apparaître à
gauche la variation d’énergie cinétique de la particule. Cette variation d’énergie est causée par
ce qu’on va appeller le travail de la force Fa agissant sur la distance x – x0. La quantité Fa (x –
x0) est appelé « travail de la force appliquée sur la particule». L’unité d’énergie (ou de
travail) est le Joule : 1 J = 1 kg m2 s-2.
On peut dire ici que par son travail la force appliquée a transféré de l’énergie (cinétique) à la
particule. Pour qu’il y ait travail d’une force, il faut qu’il y ait déplacement de la particule. Ce
concept déduit sur un cas très particulier va se révéler de fait complètement général.
(ii) force variable en position
Supposons maintenant que la force soit fonction de la position x (le cas d’une force élastique
comme celle exercée par un ressort). Alors on ne peut plus « intégrer » la 2ème loi et obtenir
quelque chose comme 4.1 directement. Par contre pour un déplacement infinitésimal dx,
definissons le travail élémentaire δW fait par la force sur la distance dx. D’après 4.0 :
δW = Fa dx = m
x
&&
dx
Maintenant au lieu de regarder v comme fonction de t, on peut la regarder comme fonction de
x, la position, elle-même fonction de t, soit v(x(t)) de sorte que
x
&&
peut se réécrire :
dx
dv
v
dt
dx
dx
dv
dt
dv
x===
&&
Ainsi : Fa dx = m v dv

Mécanique Physique (S2) 4ème partie – page 3
Et encore : Fa dx = d (m v2/2) (4.5)
Si maintenant on considère le travail total fait par Fa lorsque la particule bouge de xi à x
f
(alors que la vitesse v passe de vi à vf), 4.5 fournit:
2
i
2
fa
f
x
i
x
mv
2
1
mv
2
1
dxFW !="=#
(4.6)
Donc apparemment l’idée se généralise bien à une force dépendant de la position : on voit que
la variation d’énergie cinétique est encore égale au travail mais celui-ci est défini maintenant
comme l’intégrale du produit de la force par le déplacement élémentaire. Si on est capable de
faire cette intégrale, on obtient tout de suite la variation du carré de la vitesse de la particule
entre deux positions sans avoir besoin de connaître le détail des positions intermédiaires.
(iii) Plusieurs dimensions
Le concept de travail se généralise à plusieurs
dimensions en utilisant le produit scalaire.
Sous l’action de la force F, la particule se déplace
de A à A’ en un temps dt. Le vecteur AA’ = dr si
r est la position du point A. On définit le travail
fait par la force F au cours du déplacement dr de
la particule par :
δW = F ⋅ dr
ou le symbole . est le produit scalaire entre les deux vecteurs.
Si ds est la distance parcourue pendant dt et θ l’angle entre la tangente à la trajectoire et la
force on a donc:
δW = F ds cos θ
Mais F cos θ est aussi la composante tangentielle FT de F donc :
δW = FT ds (4.7)
Le travail est donc aussi égal à la distance (ds) multipliée par la composante de la force dans
la direction du déplacement (FT).
Note : Si F ⊥ dr (θ = π/2), le travail fait par la force est nul.
Exemples :
Ex. 1) Particule sur une orbite circulaire soumis à une
force centripète Fn. Celle ci ne travaille pas.
tangente
trajectoire
FT
F
r
A
A’
θ
0
Fn
v

Mécanique Physique (S2) 4ème partie – page 4
Ex. 2) La force F tire le bloc sur une table horizontale
sans frottement. Le poids P et la réaction N
(normale) sont ⊥ au déplacement et ne travaillent
pas.
Avec cette définition du travail, retombons-nous sur la variation d’énergie cinétique comme
étant égal au travail? Il y a deux façons de voir cette connexion :
La plus directe est de se rappeler la 2e loi de Newton pour un mouvement curviligne (voir
partie III) qui indique que dans la direction tangente à la trajectoire:
FT = m
dt
dv
Ainsi δW = FT ds = m
dt
dv
ds = m dv ⋅
dt
ds
= d (
2
1
m v2)
[en utlisant la dérivation de la fonction composée v(s(t))].
Ainsi le travail total entre 2 positions (i et f) est comme précédemment égale à la variation
d’énergie cinétique:
2
i
2
f
f
i
mv
2
1
mv
2
1
dW !="=#rF
(4.8)
Cette expression montre que le travail doit être défini comme produit scalaire de la force et du
déplacement pour permettre la généralisation. Ce n’est pas superflu de voir cela d’une autre
façon via un repère cartésien fixe (et non plus lié à la trajectoire).
En 3D, l’énergie cinétique Ec : Ec =
2
1
m (
2
z
2
y
2
xvvv ++
)
En dérivant cette expression par rapport au temps :
dt
dEc
= m (vx
dt
dvx
+ vy
dt
dvy
+ vz
dt
dvz
)
Mais m
dt
dvx
= F
x, la composante selon x de la force F agissant sur la particule. En
remplaçant :
dt
dEc
= F ⋅ v
P
F
N
déplacement

Mécanique Physique (S2) 4ème partie – page 5
Le produit F ⋅ v est appelé « puissance » et c’est donc de la variation d’énergie cinétique par
unité de temps. On lui a réservé une unité le Watt : 1 W = 1 J s-1 (souvent c’est la puissance
qui est intéressante dans les applications : on veut changer l’énergie cinétique d’un système
mais si on veut le faire vite, alors on a besoin d’une forte puissance). (Note : 1 kWheure =
1000 W × 3600 s = 3.6 106 J et c’est une unité d’énergie pas de puissance!).
Pour évaluer le changement d’énergie pendant dt, l’expression précédente donne :
dEc = F ⋅ v dt
mais v dt = dr le déplacement. En intégrant ensuite entre deux positions :
ΔEc =
!
f
i
F ⋅ dr
et on retrouve le résultat précédent 4.8.
Energie potentielle
Pour introduire le sujet, considérons tout d’abord le travail dû aux forces de gravité dans le
cas où g est un vecteur constant (on verra plus loin le cas général, dans le chapitre
gravitation).
Le travail fait par le poids mg lorsque la particule passe
d’une position 1 à une position 2 est :
W =
!
2
1
m g ⋅ dr
Mais dans le repère où l’axe Oz est choisi parallèle à g et vers le haut, g =
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
'g
0
0
et donc :
g ⋅ dr = - g dz et W = - mg (z2 – z1)
On s’aperçoit que :
2
1
2
2mv
2
1
mv
2
1!
= - mg (z2 – z1)
Si z2 > z1, le travail du poids est négatif et va donc diminuer l’énergie cinétique de l’objet, ce
qui est bien conforme à l’intuition (et inversement si z2 < z1).
Maintenant on en déduit aussi que la quantité
mgzmv
2
12+
est un invariant du mouvement,
appelé « énergie mécanique ». On arrive à ce concept d’invariance d’énergie le long de la
trajectoire parce que le travail du poids ne dépend ici que des positions initiales et finales de
l’objet et non pas des positions intermédiaires. On voit qu’il existe alors une quantité U = mgz
mg
1
2
z