problèmes sur les mouvements dans un champ newtonien selon

Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique
I40. (petites mines 1998).
Formulaire sur les ellipses.
Pour une ellipse, d’équation en coordonnées polaires par rapport à un foyer 1cos
p
re =+θ, d'excentricité e, de
paramètre p, de demi-grand axe a, de demi-petit axe b et d'aire A : 2
222 cb
abce p Aa
aa
=+ = = =πb
omme
n de e,
epler
onsidérée
co de
ier
tem e de
ntre la
vi
disposer de
sa ntre
le
ré ournant
t au
.
Distance Terre-Soleil : rT = 1,5.1011 m ; TT = 1 an = 3,16.107 s ; masse de la Terre : MT = 6.1024 kg ; rayon de la
Terre : RT = 6,37.106 m ; constante de Cavendish : G = 6,67.10–11 N.m2.kg–2.
Le Soleil est considéré c
un astre dont la répartitio
masse est à symétrie sphériqu
de centre S et de masse MS, très
supérieure à celle MT de la
Terre. Le référentiel de K
(RK) = (S XYZ) centré en S et
dont les axes SX, SY et SZ
gardent des directions fixes est
considéré comme galiléen.
La Terre sera c
mme à symétrie sphérique
centre T et on suppose qu'elle ne
subit que l'action du Soleil.
On considère dans un prem
ps (question 1 et 2) que
l'orbite terrestre est circulair
centre S et de rayon rT.
1: Etablir la relation e
tesse angulaire de révolution
ΩA de la Terre sur son orbite, la
constante de gravitation G, rT et
MS. En déduire la valeur
numérique de MS.
2 : Il est utile de
tellites de surveillance du
Soleil, placés constamment e
le Soleil et la Terre.
On travaillera dans
férentiel (R’)=(S xyZ) t
autour de (SZ) par rappor
référentiel de Képler en suivant le mouvement de la Terre, toujours supposé circulaire de rayon rT, tel que T soit
constamment sur la droite (Sx).
rT
Soit P un tel satellite, assimilable à un point matériel de masse m. P doit tourner autour de S sur une orbite circulaire,
de façon que S, P et T soient constamment alignés. P est donc supposé en équilibre dans le référentiel (R'), en un point
tel que x
PT de=
J
JJG
G
où ex
G
est le vecteur directeur de l'axe (Sx), voir Figure 1
2-1 : Le référentiel (R') est-il galiléen ? Effectuer le bilan des forces s'exerçant dans ce référentiel sur P, qui y est à
l'équilibre, et écrire la condition d'équilibre de P relativement à (R’). En déduire une relation entre MS, MT, rT et d.
2-2 : Résoudre cette équation en d : on utilisera le fait que d et M ; on rappelle que si
T
rS M
T1ε, alors
. Calculer numériquement la valeur de d à l'équilibre. (1 ) 1
α
+ε≈+αε
2-3 : Discuter sans calculs de la stabilité de cette position d'équilibre vis à vis d’un petit déplacement orienté vers la
Terre.
3 : En réalité, l'orbite de la Terre n'est pas rigoureusement circulaire.
3-1 : Justifier que l'orbite terrestre (trajectoire de son centre T dans le référentiel de Kepler) est cependant plane ; on
supposera dans la suite que ce plan, appelé écliptique, est confondu avec le plan (S XY).
La conséquence principale de la non-circularité de l'orbite terrestre est l'inégalité des durées des saisons. Il se trouve
que les dates des solstices d'hiver (de l'hémisphère nord) et d'été coïncident respectivement avec le passage de la Terre
au périhélie H (point de l’orbite le plus proche du Soleil) et à l’aphélie E (point de l’orbite le plus éloigné du Soleil) de
son orbite : H est supposé être sur l'axe (SX) de (RK).

Les positions des équinoxes de printemps P et d'automne A coïncident aux passages de la Terre sur 1a droite (SY)
perpendiculaire à la direction (SX) = (SH).
La durée de l’hiver, qui va du solstice d’hiver à l’équinoxe de printemps, est TH = 89,4 jours solaires moyens de
86 400 s, celle du printemps est TP = 93,2 jours solaires.
3-2 : Représenter l’orbite terrestre sur un schéma où figureront aussi S, H, P, E et A. Pour plus de clarté, on ne
craindra pas d'en exagérer l’excentricité.
3-3 : Enoncer et justifier la loi des aires.
3-4 : Soit e l'excentricité de l'orbite terrestre. Montrer que, compte tenu de e << 1, l'aire du secteur SHP de l'ellipse
est voisine de 4
ab bc π−, a et b représentant respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de l'ellipse
trajectoire et c la distance du centre au foyer.
3-5 : Etablir alors la relation entre la durée de l’hiver TH, la durée TT de 1’année et l'excentricité e.
3-6 : En déduire la valeur numérique de l'excentricité e de l'orbite terrestre.
3-7 : Donc, durant la « belle saison » (printemps et été) de l'hémisphère nord, la Terre est en moyenne plus éloignée
du Soleil que durant la « mauvaise saison ». Quelle caractéristique du mouvement de la Terre est cause du phénomène
des saisons ?
II27.
1) Soit k une constante positive et O un point fixe dans un référentiel galiléen. Un mobile est soumis à la force M
2r
Fu
k
r
=−
G
G
, où rOM=
J
JJJG
G
est le rayon vecteur et r
r
ur
=
G
G
est le vecteur unitaire radial des coordonnées sphériques.
Montrer que son moment cinétique L
G
est une constante du mouvement.
2) Montrer que le mouvement a lieu dans un plan fixe à préciser.
3) Soit v
G
la vitesse du mobile. Montrer que r
vL
e
k
∧
=−u
G
G
G
G est une constante du mouvement.
4) En multipliant scalairement membre à membre la relation précédente par r
G
, déterminer l’équation en coordonnées
polaires de la trajectoire. ,rθ
5) On suppose . Dessiner la forme de la trajectoire avec la position de O et le vecteur e1e<
G
.
6) A présent 2(1 ) r
k
Fu
r
r
ε
=−+
G
G
, où est une longueur constante suffisamment petite. Montrer que εde u
dr
θ
ε
=
θ
G
G
.
Calculer la variation de e
G
pour une variation de θ de 2. En déduire que la trajectoire est approximativement la même
qu’à la question 4, mais qu’elle tourne à chaque révolution d’un angle à préciser.
π
III33. X 1986.
On considère une particule P de masse m, animée d'un mouvement de vitesse petite par rapport à celle de la lumière
par rapport à un repère d'origine O. Ce mouvement est dû à un champ de forces
()
grad ( )Fr Ur=−
G
J
JJJG
G
dérivant d'un
potentiel central , où r
()
Ur OP=
J
JJG
G
et r. A l'instant t on note respectivement OP=
()
vt
G
,
()
tγ
G
et
()
pt
G
la vitesse,
l'accélération et la quantité de mouvement de la particule P.
Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 2
1. Exprimer la force F
G
et montrer qu’elle est radiale.
2. Montrer que le vecteur moment cinétique Lrp=∧
G
G
G est conservé au cours du mouvement.
3. En déduire que la trajectoire de P est située dans un plan que l'on caractérisera. Π
4. Montrer que l'énergie mécanique 2
1
2
Emv=+U est une constante du mouvement.
5. Calculer L à l'aide des coordonnées polaires dans le plan et en déduire la loi des aires. ,rθ Π
6. Dans toute la suite du problème, le potentiel est de la forme ()Ur r
α
=−avec . On définit le vecteur de
Lenz
0α>
1r
ApL
mr
=∧−
α
G
G
G
G
.
a. Montrer que A
G
est un vecteur constant du plan . Π
b. Montrer que 2
2
2
12
LE
Am =+ α.
En déduire, lorsque est fixé, une borne inférieure pour l'énergie E. L
c. Calculer Ar⋅
G
G
et obtenir l'équation polaire de la trajectoire sous la forme
()
1cos
p
re θ=+θ. Exprimer le
paramètre et l'excentricité e en fonction de m, α, L et E. Placer le vecteur de Lenz Ap
G
par rapport à la trajectoire.
d. Discuter la nature de la trajectoire suivant la valeur de E.
7. Dans toute la suite du problème on se restreint au cas des états liés : . La trajectoire est alors une ellipse. 0E<

a. Déterminer son demi-grand axe a et son demi-petit axe b en fonction de , , et E. mαL
b. Pour une valeur fixée de l'énergie , entre quelles limites le moment cinétique L reste-t-il compris ? Calculer sa
limite supérieure en fonction de , et E.
E
0
L m α
c. Préciser la trajectoire pour et pour . 0L=0
LL=
d. Calculer la période T du mouvement en fonction de m, α et a.
IV47.
Dans un référentiel galiléen lié à un repère cartésien (, , , )
xyz
Ou u u
G
GG, un astre de
masse est immobile au point O origine de ce repère. Un mobile P de masse m
se meut sous l’action de l’attraction gravitationnelle de l’astre situé en O.
M
Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 3
1) Montrer que le moment cinétique en O du mobile est conservé et que le
mobile se meut dans un plan, qu’on choisira comme le plan (, , )
xy
Ou u
G
G.
On note 11x
vv=−u
G
G
et 2 v
G
la vitesse du mobile très loin de O avant et après le
passage près de O, b et b les distances entre O et les asymptotes du mouvement,
les coordonnées polaires du mobile à un instant t quelconque, v
1 2
,rθ
G
la vitesse à l’instant t, φ l’angle entre les
asymptotes.
y
φ
O x
θ
r P
2) Donner trois expressions du rapport du moment cinétique à la masse en fonction des coordonnées polaires
du mobile à un instant quelconque t, de v, b et de v, b. (), ()rt tθ1 1 2 2
3) Exprimer l’énergie du mobile.
4) Montrer que v et que bb.
12
v= =
12
5) Ecrire la projection sur l’axe Oy de la loi fondamentale de la dynamique en fonction des variables v, t, et r.
En utilisant la relation de la question 2, éliminer r . En déduire :
yθ
11
sin
y
dv GM
dbv
=−θ
θ
6) En déduire que 2
11
tan
2
GM
bv
φ=
7) En exprimant la conservation de l’énergie et du moment cinétique entre l’infini et le périastre, position du mobile
la plus proche de l’astre, écrire l’équation déterminant la valeur r de r à ce périastre en fonction de b, v, G et M.
0 1 1
8) En réalité, le mobile est une boule de rayon ρ et l’astre une boule de rayon . Tous deux ont la symétrie
sphérique.
R
a) Pourquoi l’astre n’est il pas immobile en O ?
b) A quelle condition la théorie précédente est-elle quand même approximativement correcte ?
c) Si tel est le cas, à quelle condition portant sur r n’y a-t-il pas collision ?
0
9) On tire de la Terre un projectile qui après un voyage complexe frôle Mars. En se plaçant tantôt dans le référentiel
héliocentrique (lié au centre du Soleil et aux directions des étoiles), tantôt dans le référentiel marsocentrique (lié au
centre de Mars et aux directions des étoiles), expliquer comment le phénomène précédent peut être utilisé pour modifier
l’énergie du projectile dans le référentiel héliocentrique. Dessiner un exemple d’orientations de v et de v , dans le
référentiel marsocentrique, et de la vitesse de Mars, dans le référentiel héliocentrique et préciser s’il s’agit d’une
accélération ou d’un freinage dans le référentiel héliocentrique
1 2
M
v
V39. Aller et retour pour Vénus.
Masse du Soleil MS = 2.1030 kg ; de la Terre MT = 6.1024 kg ; de Vénus MV = 4,87.1024 kg ; constante de la
gravitation G = 6, 67.10–11 SI ; rayon de l’orbite de la Terre rT = 1,5.1011 m ; de Vénus rv = 1,082.1011 m ; période de la
Terre sur son orbite autour du Soleil TT = 1 an ; de Vénus TV ; rayon de la Terre RT =6,37.106 m ; de Vénus Rv =
6,05.106 m.
On considère les référentiels suivants :
• le référentiel de Copernic (C), formé par le centre de masse du système solaire et des directions d’étoiles choisies
de façon à ce que ce référentiel soit aussi galiléen que possible ;
• le référentiel héliocentrique (H), lié au centre du Soleil et en translation par rapport à (C)
• le référentiel géocentrique (G), lié au centre de la Terre et en translation par rapport à (C)
• le référentiel vénusocentrique (V), lié au centre de Vénus et en translation par rapport à (C)
• le référentiel terrestre (T) lié à la Terre.
Si un satellite décrit une orbite elliptique autour d’un astre, on appelle périastre sa position la plus proche de l’astre et
apoastre sa position la plus éloignée.
1) Expliquer que moyennant des hypothèses qu’on précisera (G) peut être considéré comme galiléen.
2) On se place dans (H). On considère que la Terre et Vénus y décrivent dans le même sens des orbites circulaires
coplanaires. Calculer leurs vitesses vT et vV.
3) Le voyage aller et retour de la Terre vers Vénus le plus économique se fait en trois temps :
– à l'aller, de durée t1, une demi ellipse de Hohmann, c'est-à-dire une orbite tangente en son aphélie à l'orbite de la Terre
et en son périhélie à l'orbite de Vénus ; cette ellipse est décrite dans le même sens que celui dans lequel la Terre et

Vénus tournent autour du Soleil ;
- une durée t2 passée en orbite autour de Vénus ;
- le retour sur Terre par une autre demi ellipse de Hohmann de durée t3.
3.a) Dessiner de façon qualitativement juste les orbites de la Terre et de Vénus et l’orbite de transfert. Quelle est la
longueur du grand axe de l’orbite de transfert ? Donner l'équation numérique en coordonnées polaires de cette orbite de
transfert.
3.b) Enoncer en beau langage la troisième loi de Kepler. Calculer en année la période de Vénus sur son orbite autour
du Soleil TV.
3.c) Calculer la durée en année t1 de l'aller et celle t3 du retour.
4) A l’instant 0, le Soleil, Vénus et la Terre sont alignés dans cet ordre. La direction correspondante est choisie
comme origine des abscisses angulaires et de Vénus et de la Terre.
V
θT θ
4.a) Exprimer ces abscisses angulaires et en fonction du temps t et de T
V
θT θT et TV.
4.b) Déterminer les dates t5 propices au lancer d’une mission aller et retour vers Vénus. Quel intervalle de temps t4
sépare deux fenêtres successives de tir vers Vénus ?
4.c) Déterminer les dates t6 propices au départ de Vénus. Calculer la durée t2 en année du séjour minimum en orbite
autour de Vénus et la durée totale du voyage.
5) On se place dans (G). On lance depuis la surface de la Terre un mobile de masse m à la vitesse v0.
5.a) Montrer que pour que ce mobile s’écarte indéfiniment de la Terre il faut que v0 soit supérieur ou égal à une
limite vLT qu’on calculera numériquement.
5.b) Exprimer la vitesse très loin de la Terre v∞ en fonction de v0 et vLT.
6) Soit un satellite sur une orbite elliptique autour d’un astre fixe de masse M.
6.a) Ecrire la conservation de l’énergie et du moment cinétique aux deux extrémités de son grand axe. En déduire que
l’énergie du satellite est égale à l’énergie potentielle qu’il aurait à une distance de l’astre égale à la longueur du grand
axe de son orbite.
6.b) En déduire les expressions des vitesses de ce satellite aux deux extrémités de son grand axe.
6.c) En déduire numériquement la vitesse v1 du véhicule Terre-Vénus sur son orbite de transfert à son aphélie ;
6.d) et la vitesse v2 du véhicule Terre-Vénus sur son orbite de transfert à son périhélie.
6.e) Dans quel référentiel ces résultats sont-ils valables ?
7.a) Calculer la vitesse v1' du véhicule Terre-Vénus par rapport au référentiel géocentrique sur son orbite de transfert
à son aphélie.
7.b) Dans quelle direction faut-il lancer le véhicule ?
8) Calculer la vitesse de lancement v0 depuis la surface terrestre.
9) Quelle est la forme de la trajectoire du véhicule dans le référentiel vénusocentrique au voisinage de Vénus si l’on
n’allume pas les moteurs ?
10) L’atmosphère de Vénus freine le véhicule seulement près du point de cette trajectoire le plus proche de Vénus, le
périvénus, si bien qu’on peut considérer dans un vision simplifiée que le véhicule subit une diminution de sa vitesse au
périvénus. Que devient alors sa trajectoire ? Quel est le cas favorable ? Comment est située alors cette trajectoire ?
11) Dans ce cas, montrer que sans utiliser les moteurs fusées on se rapprocherait progressivement d’une orbite
circulaire autour de Vénus. Quel défaut présente cette manœuvre et pourquoi faut-il en réalité utiliser les moteurs fusée
pour obtenir un orbite stable autour de Vénus permettant d’attendre la durée t2 ? A quel endroit faut-il allumer les
moteurs fusée et dans quelle direction faut-il diriger leur jet ?
12) Expliquer qualitativement, mais avec précision, la manœuvre nécessaire pour reprendre la route de la Terre.
VI. L’atome, d’après centrale MP 2005.
Le problème qui suit étudie divers modèles de l’atome qui se sont succédés au début du dernier siècle. Dès la fin du
XIXe siècle, des expériences ont mis en évidence la notion d’atome contenant une charge positive, ainsi qu’une charge
négative, celle-ci identifiée comme étant constituée d’électrons de charge et de masse . On connaît aussi le
nombre de masse A caractéristique de chaque espèce.
e−e m
Les valeurs numériques demandées seront calculées avec les données suivantes :
()
91
0
41/910Fm
−
πε =⋅⋅
Masse de l’électron :
31
9, 1 10 kg
e
m− =⋅
Charge élémentaire :
19
1, 6 10 Ce− =⋅
Célérité de la lumière dans le vide :
81
310msc− =⋅⋅
Constante de Planck :
34
6, 63 10 SIh− =⋅
Masse d’un atome de nombre de masse : A27
1, 6 7 1 0 k g
at
mA − =× ⋅
Les diverses parties sont partiellement indépendantes.
B79. Champ électrique d’une boule uniformément chargée.
Une boule de centre O et de rayon aporte une charge Q positive uniformément répartie dans son volume.
1) Déterminer par un argument précis la direction du champ électrique.
2) Exprimer sa grandeur à la distance r de O en fonction de .
0
,,,Qraε
Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 4

3) Déterminer sa valeur maximale quand r varie.
C73. Généralités sur le problème à deux corps.
Soit un système S isolé constitué de deux particules A et B de masses respectives et . On étudie ce système
dans un référentiel R supposé galiléen. On se donne également un point O fixe dans ce référentiel. On appelle
a
mb m
a
F
G
et
b
F
G
les forces exercées par B sur A et A sur B. On suppose que leur module ne dépend que de la distance r entre
les deux particules.
1) Soit C le centre de masse du système . Déterminer, en le démontrant, le mouvement de C dans R. S
2) Soit rAB=
J
JJG
G
. Montrer que l’étude du mouvement relatif se réduit à l’étude plus simple du mouvement d’une
seule particule (que l’on nommera mobile fictif) de masse et de vecteur position rµ
G
soumise à la force b F
G
. On
donnera l’expression de . µ
3) Dans le cas particulier où , que vaut et où se trouve le centre de masse C ?
b
mmaµ
4) Montrer que la variation de l’énergie cinétique du système est égale à celle du mobile fictif.
D32. Le modèle de Thomson, ou modèle de l’électron élastiquement lié à l’atome.
En 1904, le physicien anglais Sir Joseph John Thomson (1856-1940) proposa le modèle suivant pour l’atome
d’hydrogène.
• Il est constitué d’une sphère de centre O et de rayon a.
• La charge positive e de l’atome est répartie uniformément dans le volume intérieur de cette sphère.
• La sphère est supposée fixe dans un référentiel galiléen auquel on associe le repère orthonormé direct
()
,,,
xyz
Oe e e
G
GG .
• L’électron se déplace librement à l’intérieur de la sphère ; on note rOM=
J
JJJG
G
son vecteur position.
• On néglige l’interaction gravitationnelle devant l’interaction électromagnétique.
1) Quelle est l’expression de la force ressentie par l’électron ? On posera 2
3
0
4
e
ka =πε .
2) Montrer que le mouvement de l’électron est plan.
3) Donner la loi horaire du mouvement de l’électron pour les conditions initiales suivantes : à , 0t=00x
rre=
G
G et
00z
vve=
G
G
où x e
G
est le vecteur unitaire de l’axe Ox et z e
G
le vecteur unitaire de l’axe Oz .
4) Tracer l’allure de la trajectoire, le plan de figure étant celui de la trajectoire.
5) En prenant , calculer la fréquence du mouvement et la longueur d’onde associée. Dans quel domaine
du spectre électromagnétique celle-ci est-elle située ?
0, 1 nma=
E7. Invalidation du modèle de Thomson par l’expérience de Rutherford.
L’expérience réalisée en 1909 par Geiger et Marsden et interprétée en 1911 par le physicien néo-zélandais
Rutherford a été une étape capitale dans l’histoire de la physique atomique. Elle consiste à bombarder une mince feuille
d’or avec les particules émises par un corps radioactif. On constate que ces particules ressortent de la feuille
métallique, la majorité n’étant pas déviées, quelques unes étant déviées : on dit qu’elles sont diffusées. Quelques rares
particules sont même rétrodiffusées, c’est-à-dire qu’elle sont déviées d’un angle supérieur à 90 degrés. On se place dans
le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, où la feuille d’or est fixe.
α α
On étudie, pour le moment, la diffusion d’une particule par un atome cible B. La particule α, de masse ,
arrive de l’infini avec une vitesse
αa m
0
v
G
(voir figure) et un paramètre d’impact b (distance minimale à laquelle elle
passerait à côté de B en l’absence de toute interaction). L’atome cible
possède une masse telle que . B
b
mba mm
Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 5
On néglige toute interaction gravitationnelle. L’énergie potentielle
d’interaction entre la particule et l’atome cible B , distants de r, est
électrostatique et de forme a priori quelconque : on la note Wr et elle est
prise nulle à l’infini.
α
()
Dans le cas de l’expérience de Rutherford, les particules cibles étaient d
atomes d’or (nombre de masse A=méro atomique Z=n
considère que ces atomes d’or sont fixes à cause de leurs interactions avec
les autres atomes d’or du solide dont ils font partie. On suppose, comme à l’époque, que la partie essentielle de la masse
de l’atome est liée à sa charge positive. Une particule α est u atome d’hélium ionisé, portant deux charges
élémentaires positives et de nombre de masse égal à 4. On admet que l’action d’un atome d’or sur cette particule α est
purement électrostatique et qu’elle est plus faible que celle de la seule charge positive de l’atome d’or, les électrons de
l’atome d’or compensant la majeure partie de la force exercée par la charge positive de l’atome.
es
, nu ). O
n
197 79
Pour montrer que l’existence de particules rétrodiffusées invalide le modèle de Thomson, on cherche une majoration
de l’angle de déviation prévu par ce modèle. Le rayon de l’atome est . 0, 1 nma=
1) Avec les hypothèses précédentes sur le modèle de Thomson, la particule α perçoit une force électrostatique
inférieure à une borne ; évaluer numériquement .
max
Fmax F