Étude théorique de la formation d`images mobiles ponctuelles. Role

Étude théorique de la formation d’images mobiles
ponctuelles. Role cinématique des conditions d’Abbe et
de Herschell
M. Risco
To cite this version:
M. Risco. Étude théorique de la formation d’images mobiles ponctuelles. Role cinématique des
conditions d’Abbe et de Herschell. J. Phys. Radium, 1950, 11 (4), pp.159-163. <10.1051/jphysrad:01950001104015901>. <jpa-00234232>
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159
permettent d’6tablir que l’anisotropie optique varie
tres sensiblement, avec la longueur d’onde, comme
la ref ractivite.
Certes, cette variation reste faible en Comparaison
de celle des birefringences cristallines ou des ’effets
Kerr ou Cotton-Mouton et la notion d’anisotropie
moyenne garde tout son interet pour la
des calculs..
Mais, c’est la dispersion de l’anisotropie optique
avec la longueur d’onde qui explique les importants
décalages observes entre longueurs d’onde propres
reduites de refraction et de birefringence.
optique
plupart
Manuscrit reçu Ie18
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2014
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TOME
ET LE RADIUM.
11 ,
AVRIL
1950,
ÉTUDE THÉORIQUE DE LA FORMATION D’IMAGES MOBILES PONCTUELLES.
ROLE CINÉMATIQUE DES CONDITIONS D’ABBE ET DE HERSCHELL (1)
Par M. RISCO.
Concept interférentiel des images mobiles. Le théorème général relatif à la reproduction
de deux points très voisins, peut être aisément déduit par une double
de la
formule classique de l’effet Doppler, en supposant qu’une source monochromatique ponctuelle parcoure
l’objet élémentaire. Aspect des conditions d’Abbe et de Herschell dans la Cinématique des images. En
utilisant la première approximation de Gauss, on fait l’étude relativiste des changements de vitesse
et de fréquence propre qu’éprouve l’image correspondante à un point lumineux qui, venant de l’infini,
se déplace tout le long de l’axe du système.
Sommaire.
-
application
stigmatique
1. Soit la
un
trajectoire lumineuse qui unit, a travers, consequence
écrire
systeme optique quelconque, deux points P et Pcoordonn6es x, y, z; x, y. z’. et considérons
de
aussi la
trajectoire qui lie deux autres points Q et Q, oil n et n repr6sentent les indices de refraction
suppos6s respectivement tres voisins de P et P.. des milieux extr6mes, et 9, Q les angles qui forment
On démontre que la variation (QQ-)
(PP-) du les elements linéaires- PQ et P-Q- avec les rayons
chemin optique est 6gale a la difference entre les
respectits. C’est le th6or6me de la differentielle
projections, traduites, en chemin optique, des du, chemin optique » que l’on emploie si souvent
segments élémentaires PQ = s et P-Q- = s sur les dans 1’etude des aberrations geometriques des
rayons conjugu6s correspondants, et 1’on peut en instruments.
Lorsqu’au lieu de considerer des points purement
(1) Voir la .Note intitulee Concept interlérentiel des images
on applique le théorème à deux sources
g6om6triques
optiques mobiles dans la lhéorie de la relatioité (C. R. Acad. Sc.,
et leurs images, on trouve la condition pour que
1949; 228, p. 2014-2016),
-
«
-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01950001104015901
160
deux points lumineux P et Q, séparés par une
distance très petite, soient en.même temps reproduits
stigmatiquement en P- et Q. (fig. i). 11 est evident
utilise dans l’ optique .des corps en repos, nousdevons
aux images elt, mouvement un
essentiellement interférentiel. Cela veut’
dire que le-point 0- n’aura Ie rang et la .catégori&
d’une image que si sa vitesse v- est compatible avec
la r6ception sous une meme et commune frequence,
pour un 6bservateur lie a 0-,’de tous les rayons
attribuer aussi
caractere
trajectoires caracterisees. individu,ellement’paf.-, leg diverse vàleurs (2) dev)I. En general pour un rayon d’-õbliqliquité Q, la
frequence apparente èst
extremes A* de-s,
-
qu’en ce cas la difference entre les projections Pq
et Pq (waluees en chemin optique) des segments PQ
et PQ sur deux rayons conjugu6s A et A doit se
maintenir constante, independante de-la trajectoire
T
va = v ( i IC-0
n.i /cls j. ) ,
c
ou
bien, tenant
compte
de
((3)
3)
(2),
lumineuse; c’est-a-dire quel
n· S, Cos Q’2013
pour
les divers
couples
ns cos Q =
( 1)
consb
de valeurs
de p
6t en
renonvant aux termes
I
du deuxième ordre,,
et Q: .
Ce theoreme particulier, fondamental aussi dans
L’optique géométrique, admet une interpretation
cinematique interessante car on le retrouve immedia-
devons maintenant exprimer,
criterium adopte,- que cette
frequence est commune a toutes les trajectoires
conclusion
que la lumi6re suit, nous 6crtrons
Or,
comme
conformelnent
nous
,au
sement, quoique sous un autre aspect, par un proedd6
en
bas6 sur la theorie de la formation d’images mobiles.
n- v- cos Q nv cos Q= const: = k.
’(5 )
Supposons, pour cela, qu’une source monochrode
matique ponctgelle 0, fréquence vo, parcourt PQ
Nous trouvons ainsi une equation qui a la Yn6me
avec une vitesse v ( fig. I). II s’agit d’une source
forme que la relation (1). L’une et Fautredeviennent
_fictive £ laquelle nous faisons décrire par son mouve- en plus identiques si nous posons
ment l’objet élémentaire-_’
Par suite de 1’effet Doppler, cette source emet
vers te systeme ,optique un faisceau lumineux au
sein-duquel-la frequence v varie avec l’inclinaison Q c’est-à-dire, si nous admettons que pendant Tindu rayon A par rapport a la trajectoire PQ. Or; tervalle de temps que la source fictive emploie pour
comme nous disposons librement deia valeur de la parcourir 1’-objet elementaire, son image ponctuelle
vitesse.’,v, admettons pour le moment que celle-ci - decrit justement ’l’image -de lobjet.. Cela concorde
soit tres petite en comparaison a’ la! vitesse’-de la
avec les idees , classiques, mains,en
lumièrt; et memo extrêmemènt petite si l’on veut parfaiteme-nt
ne pourrait plus Atre maintenu comme
general
tout a fait 6carter les exigences de I’achromatisme. nous aurons I’occasion de ’le voir
pour des vitesses
Dans ces-- conditions, - -c’est-a-dire .-- à un degre
seraient
appréciables par rapport a la vitesse
d’approximation non relativiste, nous pourrons qui
de la iumiere.
ecrire comme equation du faisceau incident la,- En resume, avec cette restriction de n’employer
forinule classique.
que des vitesses modérées,. Ie théorème _(1) est
demontrable par une méthode tres -rapide et directe,
fond6e sur 1’ektension du concept interférentieI
Une fois transforme par I appitreil, ce faisceau des irriagés, en 1’adaptant au cas ou elles sout -en
produira une image ponctuelle 0’ en- mouvement, movement.
Dans les paragrapbes 3 et 4 serontexpsose les
laquelle evidemnient, 6tant conjugu6e de la source
mobile fic)ive doiit nous avons doue 1’ ohj et PQ, resultats auxquels on parvient en 6tudiapt la question
se deplacera exactement tout Ie long de l’image, P - Q d"ap point de, vue relativiste.
II
de celuiici.
n’est pas necessaire d’imposer aucune
limitation aux ouvertures des faisceaux parce que,
2. La valeur de la constante k qui intervient en (5)
comme nous I’avqns admis au commencement,
peut 6tre facilement d6termin6e dans tes deux cas
la reproduction de tous les points de l’objet - est remarquables correspondant a la theorie des systemes
réalisée avec stigmatisme rigoureux.
optiques centres ; cas representes sur les figures "2
Par generalisation du concept d’image que l’on et 3 o-fi toutes les grandeurs so4t designs par
-
-
,
-
161
I
leurs valeurs metriques, essentit-ellement positives, Herschell.
faisant preceder dd signe moins, quand il est-necessalre, les Iéttres. representatives.
Considérons premièrement un objet élémentàire
place perpendiculairement a l’axe. et en un point
rigoureusement stigmatique Al (fig. 2). Cet objet
la constance du quotient des sinus
des angles, ou des demi-angles, d’inclinaison d’un
rayon et de
11 convient de souligifer que .cesdeux , relations
classiques ont ete- presentees ,ici sous.- un, nouvel
aspect. Nous tes avon-g. en effet d6duites par un
au faisceau lumineux
serait emis- par .une source ponctuelle d6crivant
qui
sera envisage ici comme
de
la
source
trajectoire
fictive 0 dont maintenant nous appellerons Vn la dans chaque cas l’objèt 61&nefttaire : tous les rayons
vitesse, vn etant celle ’de l’image correspondante. qui parvienment au point-image mobile doivent lui
frequence (frequence
L’angle que forme tin rayon lumineux A avecle communiquet une meme et seulede
Ia limitation des
petit objet peut s’exprimer, ’en fonction de l’incli- propre). Comme consequence
naison u du rayon par rapport a 1’axe du systeme, calculs ,a 1’approximation du ,premiereordre, les
quotients des vitesses V,I et Va% remplissent dans (11)
au moyen de la
formule 9 = ,u + n.
2
et
(12) exactetnent le rôle que jouent les grossis,Nous, poserons d’une maniere analogique pour
sements lateral et axial dans les expressions ordi1’espace-image 9. u- 2. et -l’équation(5) devient naires des relations d’Abbe et de Hersehell. Ce sont
des analogies de type formel qui ressortent clairement
par consequent
du simple examen de la commune structure des
n’vn, sin u - nvn sin u = const. = k.(7)
-
qui expriment
son conjugue.
precede .cinématique-applique
-
,
+. n2
equations (1) et (5)
Or, - puisque a ‘ u o correspond évidemment
u* = o, la constante Jc est, dans le cas
present, neces=
sairement nulle
k=o.
(8)
Si, par contre, - il s’agiL d’un objet lineaire en
competence avec un element axial comprenant (fig. 3)
.parcourant
un point stigmatique A2(Ia source 0
donc cet element) nous aurons Q = U, (p*
u- et
si 1’on designe maintenant par vu et-va-Ies vitesses
de 0 et de son ,image 0’ 1’equation
prend la .
=
.
3. Nous ,allons traiter maintenant par la. methode
relativiste la ’theorie generale de la formationdes
images mobiles. Les resultats jusqu’ici bbtenus
apparaitrout done modifies par la presence de
termes correctifs qpi affecteront, en particulier,
les equations (5) it (6) et les deuxiemes membres des relations (11) ‘ .et (12). Nous limiterons notre
etude, d’ores et d6jh, au cas ou les faces terminales
du systeme optique sopt en presence du vide,
carc’est la maniere d’ecarter les difficult6squi
proviendraient, pour des grandes vitesses, du fait
de la dispersion.
Ayant d6sign’e’ par v 0 la frequence propre de Ia
source ponctuelle 0 (fig. I), animée d’une vitesse v’
dans un systeme d’axes fix6 a l’appareil, un observateur en repospar rapport a celui-ci- attribuera
la frequence
(5)
forme
a
et il suffit dutiliser la correspondance des angles u= 0,
U.
o, pour obtenir. cette fois comme valeur de la
constante
=
.
Par substitution de (8) et (10) en (7) et (9), respectivement,
on
arrive
aux
conditions_ d’Abbe et de
un
avec
rayon A qui forme, dans son referentiel, I’angle o
la direction suivie- par la source..
Or, -én vertu de la conservation de la frequence au
de chaque trajectoire lumineuse, Ie rayon
-conjugu6 A., - observe aussi dans un referentiel XY lie, a l’instrument, sortira de celui-ci
et arrivera au point-image 0. avec la frequence (13).
Maintenant, pour un observateur qui, se déplaçant
long
162
-vitesse v-, -accompagne l’image; et qui
Ie
utilise systeme d’axes X- Y- repr6sent6 sur la
figure, la fr6quence correspondante A une trajectoire lumineuse d6finie par les angles cp et cp. sera
-Awec une
Nous -trouvons donc
pour 1’existence de
viste
qui
comme
expression
Nous arrivons 4insi a une
qui, ne
aucun
terme
correctif
’exception
par
supplémentaire, concorde exactement avec celle
que nous avions obtenu [formule (11) OÙ n = n" == IJ
par la m6thode classique correspondant a 1’ancienne
hypothese de l’éther. Il faut cependant souligner
que la frequence propre de 1’image a bien maintenant
une valeur relativiste, representee d’apres (14) par
contenant
condition relati-
l’image
s’écrit. aussi
equation qui fait ressortir l’intervention d’un effet
Dcppler transversal et de caract6re double, puisqu’il
est du en partie au mouvement de la source, en
partie au mouvement de l’image.
Revenons a present au cas où fa source ponctuelle
se d6place avec une vitesse constante va (que nous
prendrons toujours_ comme positive) sur un element
axial qui contienne un point rigoureusement stigmatique.
Les angles ? et Q seront alors equivalents aux
inclinaisons u et w des rayons, et la condition (16)
qui sert de garantie a la formation d’une image
correcte s’ecrira
,
C’est-A-dire que si 1’on retranche de c la projection sur
le rayon incident de la vitesse du point-source, et si l’on
calcule la valeur analogue en utilisant les elements
correspondants de 1’espace-image, Ie quotient de
ces deux differences doit se maintenir constant,
independant de la trajectoire lumineuse, pour que
l’image mobile puisse prendre rigoureusement nais-
.
sance..
.
On v6rifle ais6ment qu’en n6gligeant les termes
du deuxieme ordre dans les formules (14) et (15)
on retrouve, pour n
I, n. = i, les formules (4)
et (5),
De meme, la relation (6) n’qst valable qu’en
premiere approximation. En general, un objet
linéaire, considere toujours comme tres petit, et
son image optique ne seront pas parcourus respectivement par une source ponctuelle et son image en
desintervalles de tempsrigoureusement egaux.
=
et il suffit
ctlier, a
systeme
un
d’appliquer cette equation, en partirayon qui suive pr6cis6ment 1’axe du
pour obtenir
autrement dit
4. Supposons A ’nouveau (continuant 1’etude
relativiste) que le système optique soit un systeme
centre.
Dans le cas ou la source, animée d’une vitesse v,,,
traverse perpendiculairement 1’axe, le coupant en
un point pour lequel le systeme est stigmatique,
nous devons ecrire
(Ton l’on tire la relation de Herschell,
la forme
conform£Went aux notations et signes adoptes dans
le paragraphe 2 let la figure 2l et, d’autre part, en
consid6rant 1’axe comme une trajectoire lumineuse,
on trouve que la constante qui figure en (16) a
pour valeur l’unité. Cette formule acquiert,en
consequence, 1’aspect meme de la relation d’Abbe
cas
.
qui
revêt ici
U.
La frequence propre du point-image
pour valeur, selon les (14) et (19);
a
dans
ce
163
En
si loin utilise des faisceaux lumineux
ou I’autre des conditions
d’Abbe et Herschell doit etre remplie pour pouvoir,
en toute rigueur, produire l’image d’un simple point
mobile ,( fig. 2 et 3).
5. Les deuxiemes membres des
que ,:
Quand la source mobile est a l’infini, JG
d’ou va o. L’image (au foyer principal) est
a.
=
=
repos et
sa
frequence, qui
vaut selon
o,
au
(21).
equations(17)
(20) ne sont evidemment que l’inverse I/G du
grossissement lateral, qui r6sulte maintenant exprim6
et
en
De,la discussion des formules il r6sulte
somme :
grande ouverture, l’une
de
fonction de certaines vitesses d’une source et de
image. Nous pourrons poser ilidifferemment
son
n’est autre que celle correspondant a une observation ordinaire de 1’effet Doppler lorsqu’on emploie
une vitesse radiale dirigde vers le récepteur.
b. Quandla source traverse un plan principal
syst6me optique (G ± I), l’image produite
a la meme vitesse et la meme frequence que le
point-source du
Si nous nous tenons a la premiere approximation
de Gauss pour lever la restriction que nous nous
6tions impose de n’employer que des points axiaux
correctement stigmatiques, les formules que nous
venous d’ecrire, et les formules (18) et (21) qui leur
sont respectivement associ6es, conduisent a J11aintsrésultats qui peuvent servir d’appui a la m6thode que
nous avons suivie pour Fetude relativiste et interferentielle de la formation jdes images mobiles.
Faisons parcourir 11’axe du systeme a une source
monochromatique ponctuelle venant de l’infini, et
analysons les changements de vitesse et de frequence
de l’image correspondante.
L’6quation (23) s’6crit aussi.
=
c. Quand la source s’approche du foyer-principalobjet, son image, s’61oignant a l’infini, tend a acqu6rir
pr6cis6ment la vitesse c et une frequence propre 6gale
a zero. Lkes equations (24) et (21) donnent en effet
Ces valeurs sont en bon accord avec la conception
du photon comme corpuscule qui aurait une masse
nulle au repos. Aucune difficult6 ne se presente
6videmment pour appliquer cette idee aux rayons
qui, sortant de 1’appareil parallèlement a l’axe,
int6grent un faisceau dans lequel la longueur d’onde,
loin d’8tre constante, varie avec la distance du
rayon lumineux a l’axe.,
Ajoutons qu’independamment de la valeur de G,
la formule (24) donne naturellement pour
o,
=
ou G
la valeur du grossisa la position momentanee que 1’on attribue a la source. Nous disposons,
en somme, du systeme qui forme .cette equation
avec 1’equation (21) pour 1’etude de la question
posee.
Soulignons pr6alablement que la vitesse va de
la source 6tant positive et forcement inférieare a c,
1’equation (24) conduit a ,une valeur aussi positive
de va et impose a l’image la meme limitation relativisite, va c, -quelque soit le grossissement G
c’est-A-dire, independamment de 1a position instantanee de la source. En consequence, 1’expression(21)
de la frequence propre du point-image garde ..toujours une valeur r6elle.
repr6sente maintenant
lateral correspondant
sement
Toujours d’apres, la theorie de Gauss, consid6rons
finalement le cas ou la source traverse perpendiculairement 1’axe en un point quelconque, caracterise
par la valeur numerique du grossissement G,
Celui-ci a pour expression g6n6rale
-
et, d’autre part, la
est ,
frequence
propre du
point-image
selon
(18).
I,’im,age ne peut donc rdellement exister
sa vitesse et la’ vitesse de la source sont,
les
deux, inferieures a
que- si
toutes
c.
Manuscrit reeu Ie 28 décembre1949.