Quantique TD1

Quantique TD1
I- « Microscopie »
La résolution de tout dispositif utilisant une onde pour détecter ou observer un objet est soumis a une limite ultime, fondamentale, liée au
phénomène de diffraction : l'onde utilisée est insensible à des détails de tailles inferieures à sa longueur d'onde.
1°) Quelle est la taille du plus petit détail observable à l'aide d'un microscope optique ? (en lumière visible)
2°) On peut atteindre des résolutions bien plus fines en utilisant des ondes de matière...
La microscopie électronique consiste à bombarder d'électrons un échantillon à observer. En détectant ensuite ces
électrons ayant rebondi sur l'échantillon, ou l'ayant traversé, on arrive à en construire une image extrêmement détaillée.
On rappelle que la charge de l’électron est q = -e où e = 1,6.10
-19
C, sa masse est m
électron
= 9,11.10
-31
kg.
Nous allons déterminer la vitesse
atteinte par l’électron soumis à
un champ électrique
E
.
Nous admettrons que pour cela un
raisonnement classique est possible.
On considère un électron sans
vitesse en un point O origine
du repère utilisé et point fixe
du référentiel du laboratoire
considéré comme galiléen.
Dans cette région règne un champ
électrique
E
= -E.
x
e où E > 0.
L’électron est alors soumis
à la force E.qF =
a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique et donner ainsi les équations différentielles vérifiées par les
variables cartésiennes x et z.
b) En déduire les équations horaires x(t) et z(t).
c) Exprimer l’instant t
1
pour lequel l’électron atteint P.
d) Donner l’expression littérale de z(t
1
) puis calculer cette valeur sachant que E = 1000 V.m
-1
, d = 1,00 m , m = 9,1.10
-31
kg.
e) Expliquer pourquoi on peut négliger l’effet du poids de l’électron.
f) En négligeant l’effet du poids de l’électron déterminer l’expression littérale de la vitesse V de celui ci lorsqu’il
quitte la zone où règne le champ électrique (vitesse qu’il conservera par la suite puisqu’il ne sera plus soumis
qu’à son poids force négligeable).
g) Sachant qu’il faut appliquer une différence de potentiel U = E.d entre la cathode et l’anode pour créer le
champ
E
donner l’expression littérale de V en fonction de e, U et m.
h) Déterminer la valeur numérique de V.
i) L’électron est il alors relativiste ?
j) Donner l’expression littérale de la longueur d’onde de Broglie associée à l’électron à la sortie de
l’accélérateur ? On exprimera λ en fonction de h, e, m et U.
k) Quelle est la taille du plus petit détail observable à l'aide d'un microscope électronique dans lequel les
électrons sont accélérés sous une tension de 1000V ?
3°) La technique de neutronographie repose sur le même principe mais en utilisant des neutrons a la place des
électrons (masse d’un neutron : m
neutron
= 1,67.10
-27
kg).
Indication : l'énergie cinétique d'agitation thermique d'une particule est T.k.
2
3
²v.m
2
1
B
=
avec T la température (en kelvins) et k
B
= 1,381.10
-23
J.K
-1
(constante de Boltzmann)
a) On doit se contenter de la vitesse « naturelle » des neutrons due à l’agitation thermique. Pourquoi ne peut-on
par accélérer les neutrons comme les électrons de la partie précédente ?
b) Quelle est la taille du plus petit détail observable par neutronographie en utilisant des "neutrons thermiques"
(c'est à dire pris à une température proche des températures ambiantes courantes) ?
On donnera l’expression littérale de la longueur d’onde De Broglie en fonction de k
B
, h, m et T puis on fera
l’application numérique.
E
x
e
e
-
(m)
O
v
g
P
Zone où règne le champ électrique
(dispositif pour accélérer les
électrons)
d
z
e
Cathode
Anode

II- L’oscillateur harmonique quantique
On considère dans un premier temps
l’oscillateur classique schématisé
ci-contre :
un ressort de raideur k et de longueur
à vide l
0
est relié à un mobile M de
masse m.
On note x l’abscisse de M (mesurée à
partir de sa position de repos, p
x
sa
quantité de mouvement.
On considère que le mouvement a
lieu uniquement le long de l’axe
O
x
e (translation rectiligne).
1°) Dans le cadre de la mécanique classique, démontrer que l’expression générale de x(t) est : x = X
m
.cos(ω.t + φ).
On donnera l’expression littérale de la pulsation ω.
2°) En déduire l’expression de la quantité de mouvement p
x
(
xx
e.pp = ) de M en fonction de t, ω, φ, m et X
m
.
3°) Donner l’expression littérale de l’énergie cinétique de M, notée E
c
en fonction de m, ω, X
m
, t et φ.
En déduire l’expression littérale de la valeur moyenne de l’énergie cinétique : <E
c
>.
4°) Donner l’expression littérale de l’énergie potentielle de M, notée E
p
en fonction de m, ω, X
m
, t et φ.
Et en déduire l’expression littérale de la valeur moyenne de l’énergie potentielle : <E
p
>.
5°) Donner l’expression littérale de l’énergie totale E
m
du point matériel M.
6°) Déterminer la valeur moyenne de x notée <x> puis celle de x² notée <x²>.
7°) Déterminer la valeur moyenne de p
x
notée <p
x
> puis celle de p
x
² notée <p
x
²>.
8°) A l’échelle microscopique il existe des systèmes tout à fait analogues à celui étudié ci dessus.
par exemple M pourrait représenter un atome d’un solide cristallin et le ressort modéliserait les forces exercées
par les atomes voisins qui tendent à le maintenir dans une position d’équilibre (force de rappel).
On travaille sur un cristal de cuivre pour lequel un atome est susceptible de se déplacer sur des distances de
l’ordre d’un Armstrong. On donne la masse molaire M
Cu
= 63,5 g.mol
-1
.
On supposera que l’on peut utiliser ici la formule de l'énergie cinétique d'agitation thermique d'une particule au
sein d’un gaz : T.k.
2
3
²v.m
2
1
B
= où m est la masse d’un atome et k
B
la constante de Boltzmann
( k
B
= 1,381.10
-23
J.K
-1
) pour estimer l’ordre de grandeur de la vitesse d’un atome de cuivre au sein du cristal.
a) Calculer en ordre de grandeur, la quantité de mouvement d’un atome de cuivre à température ambiante (20°C).
b) Expliquer pourquoi le mouvement d’un atome au sein d’un cristal de cuivre ne peut être traité dans le cadre
des lois de la mécanique classique (on justifiera numériquement).
9°) On parle alors d’oscillateur harmonique quantique. On admet que les résultats, <x²> , <p
x
²>, <E
c
>, <E
p
> et
E
m
déterminés dans les questions précédentes, restent cependant valables pour l’oscillateur harmonique
quantique.
a) Déterminer l’indétermination quantique ∆x en fonction de X
m
uniquement.
b) Déterminer l’expression de l’indétermination quantique ∆p
x
en fonction de m, ω et X
m
.
c) Appliquer le principe d’indétermination d’Heisenberg et en déduire une inégalité sur l’expression de l’énergie
E
m
de M (inégalité du type E
m
≥ E
m MIN
ou E
m MIN
est appelée énergie de point zéro à exprimer en fonction de
h
et la pulsation d’oscillation ω)
9°) Donner une inégalité sur X
m
imposée par le principe d’Heisenberg du type X
m
≥ X
m MIN
.
10°) Calculer X
m MIN
pour un oscillateur classique de constante de raideur k = 10 N.m
-1
de masse m = 100g et
conclure.
Ω M(µ)
0
M en position
quelconque
x
e
x
O
l
Ω M(µ)
0
M lorsqu’il « passe »
par la valeur moyenne
de sa position
x
e
O
l