Principes de la mécanique quantique - ENS-phys

Le cours de physique (18 blocs) :
mécanique quantique (7) et physique statistique (11)
Outils pour le cours de mécanique quantique
Livres (existent aussi en anglais) :
• « Mécanique quantique »
• « Problèmes quantiques »
résonance magnétique astrophysique
Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard
+ CD-rom d’illustrations et de simulations, Manuel Joffre
Chaque semaine: un QCM à remplir à l’adresse :
http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/physique/Manuel.Joffre/qcm/
même identifiant et mot de passe que pour se connecter en salle info
atomes
nature du “réel”
laser
Matière complexe
Fichier pdf des diapositives et infos sur le cours:
http://www.phys.ens.fr/~dalibard/PHY432.htm
Principes de la mécanique quantique
Idées clés de la description quantique d'un système physique :
¾ Etats du système
¾ "Observables" de ce système
¾ Evolution dans le temps du système
1.
Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique ?
Relations d'incertitude :
Avec quelle précision peut-on connaître simultanément
la valeur de plusieurs grandeurs physiques ?
Physique newtonienne ou physique ondulatoire ?
Particule ponctuelle de masse m (non relativiste)
groupe quantronique, Saclay
Newton
Schrödinger
a
action caractéristique pa
à comparer à la cte. de Planck h
IBM
Les concepts classiques cessent de s'appliquer quand :
action caractéristique < constante de Planck h
impulsion
Pont d’aluminium sur un isolant
électron d’impulsion p
Electrons confinés
sur un “billard”
formé par 48 atomes
de fer sur une
surface de cuivre
action = longueur
Conduction d’électrons par un fil
= énergie
Description quantique en terme d'onde plane de longueur d'onde
(de Broglie)
Les phénomènes non classiques (diffraction) seront dominants si
temps
La physique quantique peut être macroscopique
Ordres de grandeur
Système
considéré
Masse
(kg)
Vitesse
(m/s)
Taille de
l'ouverture
(m)
pa/h
Homme passant
une porte
70
1
1
1034
Globule rouge
dans un capillaire
10-16
10-1
10-4
1011
Electron dans
un fil étroit
9 10-31
106
10-9
Superfluidité de l'hélium
liquide à basse température
(T < 2,3 K)
Supraconductivité de
certains métaux à
basse température
Stade ultime de
l’évolution stellaire :
les étoiles à neutrons
1
Caractère quantique si
Une particule ponctuelle
Particule ponctuelle de masse m dans un état
fonction d’onde complexe, continue et
Mesure de position : résultat incertain
variable aléatoire de densité de probabilité
2.
La description d’un système quantique :
l’espace de travail et les observables physiques
Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules,
toutes préparées dans le même état
, on peut tracer un histogramme :
position moyenne :
x
Exemple : états de polarisation d’un photon
Formulation générale
L'état d'un système quantique est caractérisé par
un vecteur
d'un espace de Hilbert
Particule ponctuelle :
Fonctions de
carré sommable
Atome d'hydrogène :
Autres types de degrés de liberté : moment magnétique, spin, polarisation
Espaces de dimension finie
Le vecteur
On dispose désormais de sources délivrant des photons "un par un".
z
On considère un photon de vecteur d’onde
L’état de polarisation peut s’écrire comme combinaison
des deux états de polarisation linéaire
et
polarisation linéaire quelconque :
est normé :
qui généralise
polarisation circulaire gauche ou droite :
bien défini.
dimension 2
Observables
Mesures individuelles
Relation entre le formalisme et les quantités mesurables
A toute grandeur physique A, on associe un opérateur
agissant dans l'espace de Hilbert
En dimension finie,
Les opérateurs
est une matrice carrée
Principe :
• Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs
propres
de
.
• La probabilité de trouver la valeur propre
est dans le cas non dégénéré :
, de vecteur propre
associés aux grandeurs physiques sont hermitiens
Observables
vecteur ligne
matrice carrée
Exercice : valeur moyenne des résultats d'une mesure de A, effectuées
sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l'état
:
vecteur colonne
(réel)
base orthonormée
Mesure de la polarisation d'un photon
z Cube polariseur
polarisation
verticale
polarisation inconnue
polarisation
horizontale
a
Le cas de la particule ponctuelle (1)
A toute grandeur de la physique newtonienne
on associe un opérateur
,
Position moyenne
Observable : composante de la polarisation le long de l'axe z
2 résultats possibles :
photon de pol. verticale
photon de pol. horizontale
Notion qui sera approfondie lors de l'étude de l'expérience de Stern & Gerlach
Action de l'opérateur position
sur
: multiplication par
Le cas de la particule ponctuelle (2)
On considère un système quantique préparé dans un état
Impulsion moyenne :
Action de l'opérateur impulsion
sur
dérivation par rapport à
:
(gradient)
« Opérateur énergie » ou « hamiltonien », pour une particule
dans un potentiel
action sur
Etat du système après une mesure
:
On effectue une mesure de la quantité physique A et on trouve le
résultat
, valeur propre (supposée ici non dégénérée) de
la probabilité pour que ceci se produise est
Si on remesure cette même grandeur A immédiatement après la première
mesure, avant que le système n’ait pu évoluer sous l’effet d’autres causes,
on s’attend à retrouver avec certitude le même résultat
ceci n’est possible que si l’état du système après la première
mesure a été projeté sur l’état propre
« Projection du paquet d’onde » :
Avec quelle précision peut-on mesurer une observable ?
On considère N systèmes tous préparés dans le même état
Valeur moyenne des résultats :
3.
Mesure de plusieurs grandeurs physiques :
les relations d’incertitude
a
Variance :
Peut-on avoir un résultat certain ?
Oui, si
état propre de
Avec quelle précision peut-on mesurer 2 observables ?
On considère 2N systèmes préparés dans le même état
Le couple « position – impulsion »
Commutateur
b
Mesure de A sur N systèmes
Mesure de B sur N systèmes
Peut-on avoir simultanément
et
?
En général, non !
Exemple : l'oscillateur harmonique
La relation générale
donne alors
Relation souvent utilisée pour évaluer l’ordre de grandeur de
l’énergie et de l’extension de l’état fondamental dans un potentiel
n=3
La vibration d'une molécule (CO)
n=2
n=1
1,13 Å
Jet
moléculaire
de CO
n=0
avec cette contrainte donne
La minimisation de
E1
Coïncide avec le résultat exact !
L’état fondamental est la gaussienne
avec
Plus généralement, spectre discret :
Electrons
incidents
E2
Electrons
diffusés
Courant électronique diffusé
Estimation de l’état fondamental
x3
0
1
Perte d'énergie E1-E2 (eV)
2
Exemple 2 : électron dans un puits quantique
Sandwich de
Al Ga As – Ga As – Al Ga As
Le puits quantique (suite)
Potentiel électrostatique vu par
un électron de conduction
Le résultat d’une mesure de l'énergie de l'électron ne peut
être qu'une des valeurs propres
de l'hamiltonien
L
Spectre continu d'énergie :
états asymptotiquement libres
Estimation de l’énergie du fondamental dans la limite V0 très grand
à comparer au résultat exact dans la limite
Partie discrète du spectre :
états liés
:
Emission de lumière par
un « point quantique »
Relation d’incertitude et diffraction
nanocristal d’or
(Univ. Chicago)
Onde plane
Écran de
largeur a
y
12 couches
atomiques
Dr. D. Talapin, University of Hamburg
Fluorescence induite par lumière UV sur
des nanocristaux CdSe de taille croissante
6 couches
atomiques
x
Evolution temporelle des systèmes
Principe : l’évolution dans le temps du vecteur d’état
est donné par l’équation de Schrödinger :
4.
lien temps-énergie
Evolution d’un système quantique
(en dehors d’une mesure)
rôle équivalent à
en physique newtonienne
Pour un système isolé,
est indépendant du temps
Cette équation fait alors jouer un rôle
particulier aux vecteurs propres de
Résolution de l’équation de Schrödinger
Si on a pu déterminer les vecteurs propres
• décomposer
indépdt. du temps)
, il suffit de :
sur la base
:
avec
• obtenir le vecteur
Si l'état initial est
et les valeurs propres
(
alors, pour tout état initial
Exemple d'évolution : mouvement dans un puits carré
à n'importe quel instant ultérieur grâce à :
Pas de mouvement !
Si
alors
Modulation de
à la pulsation
état stationnaire
En résumé…
La description quantique d’un système physique se fait dans l’espace de
Hilbert « approprié »
espace de dimension finie (2 pour la polarisation du photon) ou infinie
(fonctions de carré sommable pour le mouvement d’une particule)
Les grandeurs physiques sont décrites par des observables,
i.e. opérateurs hermitiens sur l’espace de Hilbert
le résultat d’une mesure d’une quantité physique A ne peut être
qu’une valeur propre de l’opérateur
Deux types d’évolution sont possibles d’un système quantique
• évol. « réversible » sous l’effet de l’hamiltonien en l’absence de mesure
• évol. « irréversible » (projection) lors d’une mesure