Principes de la mécanique quantique - ENS-phys

Le cours de physique (18 blocs) :
mécanique quantique (7) et physique statistique (11)
atomes
laser Matière complexe
résonance magnétique astrophysique
nature du “réel”Fichier pdf des diapositives et infos sur le cours:
http://www.phys.ens.fr/~dalibard/PHY432.htm
+ CD-rom d’illustrations et de simulations, Manuel Joffre
Outils pour le cours de mécanique quantique
Livres (existent aussi en anglais) :
• « Mécanique quantique »
• « Problèmes quantiques » Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard
Chaque semaine: un QCM à remplir à l’adresse :
http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/physique/Manuel.Joffre/qcm/
même identifiant et mot de passe que pour se connecter en salle info
Idées clés de la description quantique d'un système physique :
Principes de la mécanique quantique
¾Etats du système
¾"Observables" de ce système
¾Evolution dans le temps du système
Avec quelle précision peut-on connaître simultanément
la valeur de plusieurs grandeurs physiques ?
Relations d'incertitude :
1.
Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique ?

action = longueur impulsion
Particule ponctuelle de masse m(non relativiste)
Physique newtonienne ou physique ondulatoire ?
Les concepts classiques cessent de s'appliquer quand :
action caractéristique < constante de Planck h
Newton Schrödinger
Electrons confinés
sur un “billard”
formé par 48 atomes
de fer sur une
surface de cuivre
IBM
= énergie temps
Conduction d’électrons par un fil
Description quantique en terme d'onde plane de longueur d'onde
Les phénomènes non classiques (diffraction) seront dominants si
(de Broglie)
action caractéristique pa
à comparer à la cte. de Planck h
groupe quantronique, Saclay Pont d’aluminium sur un isolant
a
électron d’impulsion p
p a / h
Taille de
l'ouverture
(m)
Vitesse
(m/s)
Masse
(kg)
Système
considéré
1
1011
1034
10-9 106 9 10-31
Electron dans
un fil étroit
10-4
10-1 10-16
Globule rouge
dans un capillaire
1 170
Homme passant
une porte
Ordres de grandeur
Superfluidité de l'hélium
liquide à basse température
(T < 2,3 K)
La physique quantique peut être macroscopique
Supraconductivité de
certains métaux à
basse température
Caractère quantique si
Stade ultime de
l’évolution stellaire :
les étoiles à neutrons

2.
La description d’un système quantique :
l’espace de travail et les observables physiques
Particule ponctuelle de masse mdans un état
Une particule ponctuelle
Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules,
toutes préparées dans le même état , on peut tracer un histogramme :
Mesure de position : résultat incertain
variable aléatoire de densité de probabilité
position moyenne :
fonction d’onde complexe, continue et
x
L'état d'un système quantique est caractérisé par
un vecteur d'un espace de Hilbert
Particule ponctuelle :
Atome d'hydrogène :
Fonctions de
carré sommable
Autres types de degrés de liberté : moment magnétique, spin, polarisation
Espaces de dimension finie
qui généralise
Le vecteur est normé :
Formulation générale Exemple : états de polarisation d’un photon
On considère un photon de vecteur d’onde bien défini.
polarisation linéaire quelconque :
polarisation circulaire gauche ou droite :
On dispose désormais de sources délivrant des photons "un par un".
z
dimension 2
L’état de polarisation peut s’écrire comme combinaison
des deux états de polarisation linéaire et

Les opérateurs associés aux grandeurs physiques sont hermitiens
Relation entre le formalisme et les quantités mesurables
A toute grandeur physique A, on associe un opérateur
agissant dans l'espace de Hilbert
Observables
vecteur ligne vecteur colonnematrice carrée
Observables
En dimension finie, est une matrice carrée
base orthonormée
Principe :
• Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs
propres de .
• La probabilité de trouver la valeur propre , de vecteur propre
Mesures individuelles
Exercice : valeur moyenne des résultats d'une mesure de A , effectuées
sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l'état :
(réel)
a
est dans le cas non dégénéré :
polarisation
horizontale
polarisation
verticale
polarisation inconnue
Cube polariseurz
Observable : composante de la polarisation le long de l'axe z
2 résultats possibles : photon de pol. verticale
photon de pol. horizontale
Notion qui sera approfondie lors de l'étude de l'expérience de Stern & Gerlach
Mesure de la polarisation d'un photon Le cas de la particule ponctuelle (1)
Action de l'opérateur position sur : multiplication par
A toute grandeur de la physique newtonienne ,
on associe un opérateur
Position moyenne

Action de l'opérateur impulsion sur :
dérivation par rapport à (gradient)
« Opérateur énergie » ou « hamiltonien », pour une particule
dans un potentiel
Le cas de la particule ponctuelle (2)
Impulsion moyenne :
action sur :
Etat du système après une mesure
On considère un système quantique préparé dans un état
On effectue une mesure de la quantité physique Aet on trouve le
résultat , valeur propre (supposée ici non dégénérée) de
la probabilité pour que ceci se produise est
Si on remesure cette même grandeur Aimmédiatement après la première
mesure, avant que le système n’ait pu évoluer sous l’effet d’autres causes,
on s’attend à retrouver avec certitude le même résultat
ceci n’est possible que si l’état du système après la première
mesure a été projeté sur l’état propre
« Projection du paquet d’onde » :
3.
Mesure de plusieurs grandeurs physiques :
les relations d’incertitude
Avec quelle précision peut-on mesurer une observable ?
Peut-on avoir un résultat certain ? Oui, si état propre de
a
On considère Nsystèmes tous préparés dans le même état
Valeur moyenne des résultats :
Variance :