Le cours de physique 18 blocs pour apprendre la mécanique quantique et la physique statistique Outils pour le cours de mécanique quantique Livres (existent aussi en anglais) : • « Mécanique quantique » • « Problèmes quantiques » Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard Structure des atomes Résonance magnétique M.Q. + P.S. Principe du laser Physique des solides Physique stellaire Nature du "réel" Mécanique quantique (7 blocs) + Les fichiers pdf des diapositives ainsi que les infos du cours sont disponibles à partir de la page web du département de physique ou directement à l'adresse http://www.lkb.ens.fr/~dalibard/ (enseignement) + CD-rom d’illustrations et de simulations, Manuel Joffre Physique statistique (11 blocs) Principes de la mécanique quantique Idées clés de la description quantique d'un système physique : ¾ Etats du système ¾ "Observables" de ce système ¾ Evolution dans le temps du système 1. Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique ? Relations d'incertitude : Avec quelle précision peut-on connaître simultanément la valeur de plusieurs grandeurs physiques ? Physique newtonienne ou physique ondulatoire ? Particule ponctuelle de masse m (non relativiste) Newton Conduction d’électrons par un fil groupe quantronique, Saclay Schrödinger a électron d’impulsion p Electrons confinés sur un “billard” formé par 48 atomes de fer sur une surface de cuivre action caractéristique pa à comparer à la cte. de Planck h IBM Description quantique en terme d'onde plane de longueur d'onde (de Broglie) Les concepts classiques cessent de s'appliquer quand : action caractéristique < constante de Planck h action = longueur caractéristique Pont d’aluminium sur un isolant Les phénomènes non classiques (diffraction) seront dominants si impulsion caractéristique Ordres de grandeur La physique quantique peut également être macroscopique Système considéré Masse (kg) Vitesse (m/s) Taille de l'ouverture (m) pa/h Homme passant une porte 70 1 1 1034 Globule rouge dans un capillaire 10-16 10-1 10-4 1011 Electron dans un fil étroit 9 10-31 106 10-9 Superfluidité de l'hélium liquide à basse température (T < 2,3 K) Supraconductivité de certains métaux à basse température Stade ultime de l’évolution stellaire : les étoiles à neutrons 1 Caractère quantique si Une particule ponctuelle Particule ponctuelle de masse m dans un état fonction d’onde complexe, continue et Mesure de position : résultat incertain variable aléatoire de densité de probabilité 2. La description d’un système quantique : l’espace de travail et les observables physiques Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules, toutes préparées dans le même état , on peut tracer un histogramme : position moyenne : x Exemple : états de polarisation d’un photon Formulation générale L'état d'un système quantique est caractérisé par un vecteur d'un espace de Hilbert Particule ponctuelle : Fonctions de carré sommable Atome d'hydrogène : Autres types de degrés de liberté : moment magnétique, spin, polarisation Espaces de dimension finie Le vecteur On dispose désormais de sources délivrant des photons "un par un". z On considère un photon de vecteur d’onde L’état de polarisation peut s’écrire comme combinaison des deux états de polarisation linéaire et polarisation linéaire quelconque : est normé : qui généralise polarisation circulaire gauche ou droite : bien défini. dimension 2 Observables Mesures individuelles Relation entre le formalisme et les quantités mesurables A toute grandeur physique A, on associe un opérateur agissant dans l'espace de Hilbert En dimension finie, Les opérateurs est une matrice carrée Principe : • Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs propres de . • La probabilité de trouver la valeur propre est dans le cas non dégénéré : , de vecteur propre associés aux grandeurs physiques sont hermitiens Observables vecteur ligne matrice carrée Exercice : valeur moyenne des résultats d'une mesure de A, effectuées sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l'état : vecteur colonne (réel) base orthonormée Mesure de la polarisation d'un photon z Cube polariseur polarisation verticale polarisation inconnue polarisation horizontale a Le cas de la particule ponctuelle (1) A toute grandeur de la physique newtonienne on associe un opérateur , Position moyenne Observable : composante de la polarisation le long de l'axe z 2 résultats possibles : photon de pol. verticale photon de pol. horizontale Notion qui sera approfondie lors de l'étude de l'expérience de Stern & Gerlach Action de l'opérateur position sur : multiplication par Le cas de la particule ponctuelle (2) On considère un système quantique préparé dans un état Impulsion moyenne : Action de l'opérateur impulsion sur dérivation par rapport à : (gradient) « Opérateur énergie » ou « hamiltonien », pour une particule dans un potentiel action sur Etat du système après une mesure : On effectue une mesure de la quantité physique A et on trouve le résultat , valeur propre de la probabilité pour que ceci se produise est Si on remesure cette même grandeur A immédiatement après la première mesure, avant que le système n’ait pu évoluer sous l’effet d’autres causes, on s’attend à retrouver avec certitude le même résultat ceci n’est possible que si l’état du système après la première mesure a été projeté sur l’état propre « Projection du paquet d’onde » : Avec quelle précision peut-on mesurer une observable ? On considère N systèmes tous préparés dans le même état Valeur moyenne des résultats : 3. Mesure de plusieurs grandeurs physiques : les relations d’incertitude a Variance : Peut-on avoir un résultat certain ? Oui, si état propre de Avec quelle précision peut-on mesurer 2 observables ? On considère 2N systèmes préparés dans le même état Le couple « position – impulsion » Commutateur b Mesure de A sur N systèmes Mesure de B sur N systèmes Peut-on avoir simultanément et ? En général, non ! Exemple : l'oscillateur harmonique La relation générale donne alors Relation souvent utilisée pour évaluer l’ordre de grandeur de l’énergie et de l’extension de l’état fondamental dans un potentiel n=3 La vibration d'une molécule (CO) n=2 n=1 1,13 Å Jet moléculaire de CO n=0 avec cette contrainte donne La minimisation de E1 Coïncide avec le résultat exact ! L’état fondamental est la gaussienne avec Plus généralement, spectre discret : Electrons incidents E2 Electrons diffusés Courant électronique diffusé Estimation de l’état fondamental x3 0 1 Perte d'énergie E1-E2 (eV) 2 Exemple 2 : électron dans un puits quantique Sandwich de Al Ga As – Ga As – Al Ga As Potentiel électrostatique vu par un électron de conduction Le puits quantique (suite) Le résultat d’une mesure de l'énergie de l'électron ne peut être qu'une des valeurs propres de l'hamiltonien L Spectre continu d'énergie : états asymptotiquement libres Estimation de l’énergie du fondamental dans la limite V0 très grand à comparer au résultat exact dans la limite Partie discrète du spectre : états liés : Emission de lumière par un « point quantique » nanocristal d’or (Univ. Chicago) 12 couches atomiques Dr. D. Talapin, University of Hamburg Fluorescence induite par lumière UV sur des nanocristaux CdSe de taille croissante 6 couches atomiques 4. Evolution d’un système quantique (en dehors d’une mesure) Evolution temporelle des systèmes Principe : l’évolution dans le temps du vecteur d’état est donné par l’équation de Schrödinger : lien temps-énergie rôle équivalent à en physique newtonienne Pour un système isolé, est indépendant du temps Résolution de l’équation de Schrödinger Si on a pu déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres ( alors, pour tout état initial • décomposer indépdt. du temps) , il suffit de : sur la base : avec • obtenir le vecteur à n'importe quel instant ultérieur grâce à : Cette équation fait alors jouer un rôle particulier aux vecteurs propres de Exemple d'évolution : mouvement dans un puits carré En résumé… La description quantique d’un système physique se fait dans l’espace de Hilbert « approprié » Si l'état initial est espace de dimension finie (2 pour la polarisation du photon) ou infinie (fonctions de carré sommable pour le mouvement d’une particule) Pas de mouvement ! état stationnaire Les grandeurs physiques sont décrites par des observables, i.e. opérateurs hermitiens sur l’espace de Hilbert le résultat d’une mesure d’une quantité physique A ne peut être qu’une valeur propre de l’opérateur Si alors Modulation de à la pulsation Deux types d’évolution sont possibles d’un système quantique • évol. « réversible » sous l’effet de l’hamiltonien en l’absence de mesure • évol. « irréversible » (projection) lors d’une mesure