CIRCUITS LINÉAIRES

n Circuits linéaires (32-002) Page 1 sur 10 JN Beury
i
I
0
uU
0
CIRCUITS LINÉAIRES
I. DIPÔLES LINÉAIRES ET NON LINÉAIRES, DIPÔLES ACTIFS ET PASSIFS
Un phénomène est linéaire s’il est régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
On appelle dipôle linéaire un dipôle pour lequel u et i sont liés par une équation différentielle linéaire à coefficients
constants.
Un dipôle est passif si sa caractéristique passe par l’origine, il est actif dans le cas contraire.
Exemples :
• Une résistance est un dipôle passif linéaire.
• Diode à jonction PN (voir chapitre sur les diodes pour une étude des circuits comprenant des diodes).
Une diode à jonction PN est constituée de deux semi-conducteurs de même nature (silicium ou germanium),
dopés différemment : l’un de type N (les électrons sont les charges électriques mobiles), l’autre de type P (les
trous positifs sont les charges électriques mobiles).
Représentation d’une diode :
On peut démontrer que la caractéristique de ce dipôle récepteur peut s’écrire :
exp 1
d
dS
B
qu
iI kT
η
=
−
avec q = 1,6×10-19 C ; kB = constante de Boltzmann =1,38×10-23 J.K-1 ;
T = température thermodynamique (en K),
η
coefficient compris entre 1 et 2.
Application numérique diode au silicium à 25 °C = 300 K : 25 mV
B
kT
q= ; IS
≈
10-12 A.
Il existe des limitations en intensité et en tension afin d’éviter un claquage destructif de la diode. En TP, il faut faire
attention à ne pas dépasser la puissance maximale pouvant être dissipée par la diode.
Une diode est un dipôle passif non linéaire.
• Une alimentation stabilisée (cf TP) est un dipôle actif non linéaire.
Elle fonctionne soit en générateur de tension, soit en générateur de courant.
anode cathode anode cathode
ud
id
ud (en volts)
id (en ampères)
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 00.20.4 0.6
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04

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R
i
u
L
i
u
II. DIPÔLES PASSIFS LINÉAIRES
II.1 Conducteur ohmique – résistance – résistor
En convention récepteur, on a : uRi=
Attention à cette relation qui semble bien connue mais de nombreuses erreurs de signe sont commises.
On écrit uRi=− en convention générateur.
Un fil de connexion peut être assimilé à une résistance nulle ou négligeable. On a alors : ∀i, u = 0.
On verra en fin d’année que la résistance d’un conducteur cylindrique de longueur L et de section S est :
1L
RS
γ
=
γ
est la conductivité du fil en S.m-1. On définit la résistivité
ρ
telle que : 1 ρ
γ
=
. On a alors : L
RS
ρ
=
On définit la conductance 1
GR =.
Unités : R en ohm
()
Ω, G en siemens
()
S. On en déduit que
γ
est en S.m-1 et
ρ
en m
Ω
⋅.
Application numérique : fil de cuivre de longueur L = 1 m et de section S = 1 mm2, 71 6, 2 10 S.m γ
−
=× :
2
1, 6 10R− =× Ω. Cette résistance est négligeable devant les autres résistances du circuit. On pourra la considérer
comme nulle dans les exercices sauf indication contraire.
II.2 Bobine
a) Bobine idéale
Une bobine (ou self) est un enroulement de spires conductrices. Elle présente un phénomène d’autoinduction
(voir cours de deuxième année).
En convention récepteur, on a : d
d
i
uL
t
=
Le courant ne peut pas varier de façon discontinue dans une bobine.
L’énergie emmagasinée dans une bobine à un instant t vaut : 2
bobine
1
2
ELi=
L est appelé inductance ou inductance propre ou coefficient d’autoinductance. Elle s’exprime en henry (H).
• Si le courant varie de façon discontinue, alors d
d
i
t→∞ et on aurait une tension infinie. Remarque : en fait, il
faut raisonner sur le flux LiΦ= qui ne peut pas varier de façon discontinue (voir cours de deuxième année
avec l’inductance propre et l’inductance mutuelle).
• La puissance instantanée consommée dans la bobine vaut :
2
1
d
d2
dd
Li
i
PuiL i
tt
== =
L’énergie électromagnétique instantanée stockée dans la bobine vaut :
2
1
2
bobine
ELi=

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L,r
i
u
⇔
L
i
u
r
Lr
C
i
+ q
−
q
u
+ q
−
q
u
i
+ q − q
u
i
+ q
−
q
qCu
=
d
d
q
it =
b) Bobine réelle
Dans certains exercices, on tient compte de la résistance de l’enroulement. On écrit alors L, r sur la bobine réelle.
On peut alors la modéliser par l’association série d’une résistance r et d’une bobine idéale d’inductance propre L.
Exemple de valeur numérique : L = 0,5 H et r = 5
Ω
.
Parfois, on tient compte de la capacité interspire :
Au delà de 100 kHz, une bobine finit par devenir capacitive !!!
II.3 Condensateur
Un condensateur plan est constitué de deux plaques métalliques (voir cours d’électrostatique) parallèles séparées
par un matériau isolant (diélectrique).
Il y a deux relations pour le condensateur :
• relation entre la charge q et la tension u. On démontrera que les charges sont opposées (influence totale). On a
alors : qCu=± . Il faut bien réfléchir s’il y a un signe + ou un signe –. Voir la démonstration dans le cours
d’électrostatique.
On retiendra pour l’instant par cœur le schéma correspondant au signe +
• relation entre l’intensité et la charge q : d
d
q
it =± . Sur le schéma, supposons i > 0. Comme le sens du courant
correspond au déplacement des charges positives, des charges positives arrivent sur l’armature A, la charge q va
donc augmenter et d0
d
q
t>, d’où le signe +.
On retiendra pour l’instant par cœur le schéma correspondant au signe +
Quelques schémas pour le condensateur :
d
d
qCu
q
it
=
=
d
d
qCu
q
it
=
−
=−

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i
e
u
AB
A
B
A
B
k i
1
i
La tension aux bornes d’un condensateur (ou la charge) ne peut pas varier de façon discontinue.
L’énergie emmagasinée dans un condensateur à un instant t vaut : 2
condensateur
1
2
ECu=
C est appelé capacité. Il s’exprime en farad (F).
En TP, on utilise des condensateurs en céramique de l’ordre de grandeur du nF, pF.
Les condensateurs au mica sont constitués d’empilements de feuilles de mica séparées par des feuilles d’aluminium. Les
capacités sont bien définies avec des pertes diélectriques faibles.
Pour obtenir des valeurs plus élevées, on utilise des condensateurs électrochimiques ; de tels condensateurs sont formés
par électrolyse d’une solution aqueuse ionique retenue par un gel de silice entre des électrodes d’aluminium : lorsqu’on
établit une différence de potentiel entre les électrodes, on peut former une mince couche d’alumine isolante qui sert de
diélectrique, et dont l’épaisseur est très faible (de l’ordre du micron). Ces condensateurs sont polarisés et présentent un
« sens » de branchement que l’on doit respecter dans les montages.
• Si la tension varie de façon discontinue, alors d
d
q
t→∞ et on aurait une intensité infinie.
• La puissance instantanée consommée dans le condensateur vaut :
2
1
d
dd2
dd d
Cu
qu
Puiu Cu
tt t
== = =
L’énergie électromagnétique instantanée stockée dans le condensateur vaut :
2
2
11
22
condensateur
q
ECu
C
==
On tient compte parfois de la résistance de fuite du condensateur. On modélise le condensateur réel par
l’association parallèle d’un condensateur avec une résistance.
III. GÉNÉRATEUR DE COURANT, DE TENSION, INDÉPENDANT OU LIÉ
III.1 Générateur indépendant
Générateur de tension (ou source de tension) :
∀
i, uAB = e
e est appelé force électromotrice ou fem.
Générateur de courant (ou source de courant) :
∀
uAB, i = J
J est appelé courant électromoteur ou cem
Une alimentation stabilisée se comporte comme un générateur de tension ou un générateur de courant.
III.2 Générateur lié
C’est un générateur de tension (ou de courant) dont la fem (ou le cem) dépend d’une grandeur qui est ailleurs
dans le circuit.
Exemples :
SCV→V. Source de tension commandée par une tension.
SCI→V. Source de tension commandée par un courant.
∀ i, uAB = k i1
i
1 est le courant dans une autre branche du circuit.
On dit que i1 est le courant de commande. k est une constante qui s’exprime en ohm
()
Ω
SCV→I. Source de courant commandée par une tension.
SCI→I. Source de courant commandée par un courant.
i
J
u
AB
A
B

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ie
u
AB
AB
i
u
AB
A
B
g
énérateur éteint
i
J
u
AB
ABi
u
AB
A
B
J
R
e
u
J
R
r
u
III.3 Extinction d’un générateur indépendant
Éteindre un générateur, c’est supprimer son effet.
a) Générateur de tension
On éteint un générateur de tension quand on le remplace par un interrupteur fermé. En effet, l’effet d’un générateur
de tension est d’imposer AB
ue=− pour tout i. Supprimer son effet, c’est imposer uAB = 0 pour tout i.
Éteindre un générateur de tension, c’est le remplacer par un interrupteur fermé.
Attention, on ne peut pas éteindre un générateur lié si la grandeur de commande n’est pas annulée. Dans les
théorèmes qui suivront, on n’éteint pas un générateur lié.
b) Générateur de courant
On éteint un générateur de courant quand on le remplace par un interrupteur ouvert. En effet, l’effet d’un générateur
de courant est d’imposer iJ= pour tout uAB. Supprimer son effet, c’est imposer i = 0 pour tout uAB.
Éteindre un générateur de courant, c’est le remplacer par un interrupteur ouvert.
Attention, on ne peut pas éteindre un générateur lié si la grandeur de commande n’est pas annulée. Dans les
théorèmes qui suivront, on n’éteint pas un générateur lié.
III.4 Remarques
La seule considération d’un générateur de tension ne donne aucun renseignement sur l’intensité.
La seule considération d’un générateur de courant ne donne aucun renseignement sur la tension.
L’erreur fréquemment commise est de dire que la tension est nulle aux bornes d’un générateur de courant. C’est
faux. On ne connaît pas la tension a priori. Il faut étudier le reste du montage pour la calculer…
Exemple n°1 : Le courant qui circule dans la maille est i = J.
La loi des nœuds permet d’écrire : euRJ=+ ,
d’où ueRJ=−
Exemple n°2 : Le courant qui circule dans la maille est i = J.
La loi des nœuds permet d’écrire : rJ u RJ−=+ ,
d’où
()
urRJ=− +
Conclusion : Dans les deux montages, on n’a pas la même tension aux bornes du générateur de courant J.