du facteur de qualité d`un oscillateur mécanique

CONTRIBUTI
DELL'OSSERVATORIO ASTRONOÀIICO
r
xuova
sERrE
DI
ÀTILANO.ÀIIRATE
cur-. dcl Diacnorc
Prof. FR.{NCESCO ZAGAR
x- 235
Edoardo PROVERBIO
SUR LA DÉTERMINATION
DU FACTEUR DE QUALITÉ
DU SYSTÈME BALANCIER.SPIRAL
D'UN OSCILLATEUR MÉCANIQUE
(E.trono. Aonolca Frorcol$ dc Clronornérric., lo,m XlX, 3. t'im-)
t
9ó5
SUR LA DÉTERMINATION
DU FACTEUR DE QUALITÉ
DU SYSTÈME BALANCIER.SPIRAL
D'UN OSCILLATEUR MÉCANIQUE
Edoardo PROVERBIO
SUR LA DETERMINATION
DU FACTEUR DE QUALITÉ
DU SYSTEME BALANCIER-SPIRAL
D'UN OSCILLATEUR MÉCANIQUE
Edoardo PROVERBIO
L'importanc€ remarquable que revél le facleur de qualité e d'un système
..Résumé.
oscillant dans-la chronométrie en général est brièvement aappelee.
On considère eÍsuite I'oscillateur mécanique coostitué par le système balancier-spiral et
ùne relation, valable dans des cas plus généraux, qui permet la détermination de e en fònction
de la vitesse angulaire p'au point de repos.
On déduit enfin c€rtaines relations cìui fournissent, en fonction de e, Ies valeurs de g, 9,
et d'autres grandeurs.
Summary.
Briefly is reminded rhe remarkable significance rhat the figurc
- chtonometry,
assume in general
of merit g
Successively foî the mechadcal oscillator spring balance is determined a relatioo allowing
_
to determine O in terms of the angular speed 9' in the poise point in the most common cases.
Finally some relations are deduced giving q, 9' and other quantities in terms of O.
Ríassunlo. Vìene brevemente ricordata la notevole importanza che il fattore di qualità e
di un sistema oscillante riveste nella cronometria ìn gederale.
In seguito viene considerato I'oscillatore meccanico costituito dal sistema bilanciere-spirale
e d€lerninaîa una relazione, valida nei casi piÌr generali, che permette la determinazioni di e
in fùnzione della velocità angolare 9' nel punto di riposo.
Sono dedotte infine alcune relazioni che forniscono, in funzione di e, i valoai dj q, g, e
di altre
grandezze.
T
L'importance que le facteur de qualité Q revèt dans la chronométrie technique
et scientifique est connue. La connaissance de cct élément, délìni par le rapport
.',
)_
énergie emmagasinée
énergie dis:ipée par cycle
permet en effet une classification hautement indicative du rendement d'un oscillateur mécanique quelconque, électrique ou électronique. ll est en outre étroitement
bé àla stqbilité+ d'un oscillateur; à ce propos, il a été mis en évidence [1] que le
produit des deux quantités suivantes, relatives à plusieurs types d'oscillateurs, peut
étre repré"ente par l3 rclation empirique
a/o.
't
to'
où la valeur du second membre représente seulement un ordre de grandeur.
La confirmation ou la démonstration d'une telle relation pour les diverses
classes d'oscillateurs fournirait par conséquent la valeur d'une des deux quantités
en fonction de l'autre; dans ce cas, la connaissance du facteur de qualité permettrait
d'obtenir des valeurs sufflsamment indicatives de I'une des plus importantes caractéristiques dynamiques d'un oscillateur.
Si nous considérons en particulier un oscillateur mécanique constitué par le
système balancier-spiral, le facteur Q peut etre exprimé en fonction du décrément
de l'ónergie W depuis f instant I a f instant I - 1". L'on obtient en effet
-o
(ù
w,"
r
wre
Puisque
pour le système étudié, si 9 est l'amplitude, l'énergie emmagasinée vaut
* : 1..,,,
où C représente le moment élastique du
pour le facteur de qualité
(l)
a,
íirut,
O" la relation précédente on obtient
: - 9;:
, rt
+,
,,;
dans laquelle o :2rf(f:
fréquence d'oscillation), q1 et qt+ r, respectivement
I'amplitude de l'oscillation à f instant I et à l'instant , + 1", alors que
.j.
représente ce que
l'on appelle le
l-'o 9'
| ",p'*,'
< décrémert logarithmique >.
La détermination du facteur Q est conditionnée dans ce cas par la connaissanco
de I'amplitude gr et de son décrément dont la mesure ne peut étre effectuée par
des méthodes visuelles directes, que dans des cas très particuliers, et requiert l'usage
de techniques photographiques spéciales [2] ou électroniques [3].
Il
est par consé'
(*) Ce ternre est employé comnle corresponda[t au terùe anglais accuracy et, comme celui
encore plus général de précision, ne coùespond pas à la définition omcielle (UNf) pour les
inslruftIenls de mesures,
_,f--
quent intéressant de rechercher la possibilité de déterminer le faoteur Q en fonction
d'éventuelles autres grandeurs qui peuvent, dans des cas particuliers, étre mesurées
plus simplement ou représenter un élément valable de contróle des méthodes basées
sur la mesure de l'amplitude.
II
En négligeant pour simplifier le mouvement harmonique idéal, considérons
les deux cas les plus communs dans lesquels le système balancier-spiraL est soumis :
a) à un frottement p- : constante; A) à un couple de frottement visqueux proportionnel à. la vitesse angulaire p du balancier.
Dans le premier
la relation [4]
dunt la position d'équilibre, peut èlre exprimée par
"ur, 9,
Jc
e |ee"
(2)
I représente le moment d'inertie du balancier, g! et q/i représentent respectivement la semi-alternance ascendante et descendante. Le rapport des carrés des vitesses
angulaires aux instants f et I + 1" seîa donc
oìr
g'' 9"
9'+,9"*t
Qr
"Pt + r
d'où
tg 9' -tg,9'
ێ'
?!+ 1
?'+r --2 9'+r
Si nous appellons ù* le décrément logarithmique du système et puisque I'on peut
poser
5_
_
j rr
ò,r,
dans laquelle ò et ò' sont les decrelents correspondants aux semi-alternances
ascendantes et descendantes. I'on a
ò*
l@r
- Ils
| -' 9t !+
'
r
d'oùr
'
Q'-
(3)
@r
91 )t
Dans le second cas
ou p : qg, avec a constante de proportionnalité,
vitesse angulaire résulte
qt - I
^
.
oct
(p cos pt
-5-
-
o(
sin pt),
la
c'est pourquoi dans la position d,équilibre (,p
(4)
')
-
^
DtOi .
'5
l/
: 0, t l4IC
\
0) I'on
a
-a
41'?
Ce cas-donne pour le facteur Q une relation identique à la relation (3), qui
exprime ce lacteur en fonctior de la vitesse angulair" ou pìint ae repos du ìyiteme
balancier-spiral. De la relation (3) pour lcs cas ionsidérés, comme djla relation (1),
or peut déduire une relatjon de validitó généralc qui peut étre avanrageusement
ut
ilisée.
Dans 1a_position d'équilibre du système balancìer-spiral, la vitesse angulaire
peut encore étre exprimée par la relation
.
ds
I
,1-.'
I'intcrvalle de temps mis par le balancìer pour parcourir l'élément d'arcs d.i à partir du point de repos.
Avec cette substjtution, la relation (3) devient
(5)
?' '= R
oùr R représente Ic rayon du balancier et /tt
(.3',)
et elle
a,:
p_ermet
successifs
/t;.
2ls*, /*. .
plus simplement le calcul de Q
et.t
fo].ìction des intervalles de temps
iI
-. La relation (3') peut étre utilisée avec une remarquable convenance pour la
déterminalion du lacteur de qualité des horloges électiiques avec bobine mobile
du type Hamiltotl ou avec aimaot mobile. Dans ces cas, la n.resure de l,intervalle
dr' se réduìt à la mesure de la durée de I'impulsion coffespondant au passage
du courant dans la bobine au momerìt où le balincier passe pu, la position d'éq;_
libre. Cette mesure peut étre facilemelt effectuée au moyen d,un oscilloscope,
après avoir calibró la base des temps.
Méme dans le cas de mouvements purement mécaniques, la mesure de I'inter_
valle d.rr peut etrc ellectùée etÌ ayant recours à des dispo;itifs simples tel que celui
expérimenté au Centre de Chronométrie de l,Observatoire de N4ilan. óonstitué
d'un mince pinceau lumineux, périodiquement il.ìterronlpu par un écrln minuscule,
solidaire du balancìer. L'iÍìterruption produit un slgnal d.als un circuit à photo_
transistor ou àL photo-résistaÍìcc, dont la durée est dirèctement lue ou photogàphiée
sur l'écran d'un oscilloscope.
_ . 11-est par conséquent possible au moyen de l'équation (3,) de connaître I'allure
de la fonction Q - Q(.).
Le calcul de l'amplitude gi correspondant à une certaine valeur de e peut
au contraire etre obtenu par la relation de récurrence
_
qt
t:?te
'Qì
qui permet le calcul de la fonction inverse g : 9(e) connaissant la valeur de I'amplitude 9r.à I'instant I : 0, coÌ.respondant au déùut-des opérations (9" : maximum
de I'amplitude).
_ ti_
Une formule de récurrence analogue à la précédente peut étre écrite pour
la vitesse angulaire àL I'entour de la posiîion d'équìlibre du balancier
(1)
t8'.
9'"
'P'rt:
Cette dernière, aussitót que la valeur de i, à I'instant initial I :
par la relation
0 a été calculée
ds I
t<' a--'
'
!':
fonctìon ó : ,e fql.
La cornaissance de 9(Q) et Oe 91q; peut enfìn fournir par la relation (2),
si l'on pose avec une approximation suflìsante rp, : g" pour chaque instant I la
valeur du rapport
permet à son tour de déterminer l'allure de la
C
ò,'
T:?,.
D'une faqon analogue, par la relation
peut étre déterminée.
(,1), ulle séiie des valeurs de la
quantité
Les résultats de cette analyse sont utilisés au Celtre de Chronométrìe
l'Observatoire de Brera pour l'étude des fonctious a : a(t et 9 : 9(c)
nombreux types de mouvements électriques et électrot]iques.
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(Continttd tr,
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- E.
r
r
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lempo e ili trongitudine.
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-
MrsaNr - f,d pîoduzione di neutîirl,i dei Ltldsni aA akissiìú ter^pérolúraE. PÈovlaBro - Eicerche sulla marcùr e suIItL ileriùa ili campioni di Íreqltenzd a quoîzo.
.4..