Interférences à N ondes, réseaux - MP*1

MP*1-2015/2016
Interférences à N ondes, réseaux
1) Couche anti-reflet :
Sur un milieu d'indice 𝑁 > 1, limité par un plan, on dépose une lame mince à face
parallèle, d'épaisseur 𝑒, d'indice 𝑛 > 1 et baignant d'un côté seulement dans l'air.
On donne le coefficient de réflexion en amplitude pour une vibration lumineuse se
𝑛 −𝑛
propageant dans un milieu d’indice 𝑛1 et se réfléchissant sur un milieu d’indice 𝑛2 : 𝑟 = 𝑛1 +𝑛2
1
2
On note 𝑅 et 𝑇 les coefficents de réflexion et de transmission en intensité lumineuse. On a les
relations suivantes : 𝑅 = 𝑟 2 et 𝑅 + 𝑇 = 1
1) On éclaire le système sous incidence normale. Les rayons lumineux peuvent se
réfléchir un nombre infini de fois sur les deux dioptres délimitant la lame. Faire un dessin des
différents rayons lumineux. Quel est le déphasage 𝜑 entre deux rayons lumineux transmis
consécutifs ? Quel est le rapport des amplitudes de deux rayons transmis consécutifs ? En
déduire l'intensité transmise dans le milieu d'indice 𝑁 en fonction des différents coefficients
de réflexion et de transmission, de 𝜑 ainsi que de Io, l’intensité incidente de la vibration
1
𝑘
lumineuse On rappelle que ∑𝑘=∞
𝑘=0 𝑥 = 1−𝑥
2) A quelle condition sur 𝑒 a-t-on 𝐼𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠 maximale? Calculer cette valeur
maximale 𝐼𝑡,𝑚𝑎𝑥 en fonction des indices des différents milieux.
3) En appliquant le principe de conservation de l’énergie lumineuse, en déduire
𝐼
l’intensité réfléchie 𝐼𝑟 correspondante ainsi que le pouvoir réflecteur du dispositif 𝑅𝑟 = 𝐼𝑟
𝑜
Pour quelle valeur de 𝑛 le coefficient réflecteur du dispositif est-il nul ? Conclure.
2) Dispersion et résolution d’un spectrographe à réseau :
Un goniomètre comporte un réseau par transmission de pas 𝑝 = 2 𝜇𝑚. Le faisceau sortant du
collimateur éclaire le réseau sous une incidence moyenne 𝑖 = 0. Le spectre obtenu
(𝐿)
𝑎
Δ𝑖
𝑂
𝑓
collimateur
résea
u
(𝐿′ )
𝑓′
𝑂′
Δ𝑖′
𝑎′
objectif
est, au niveau de la lunette, projeté à l’aide d’un objectif sur un capteur CCD situé dans le
plan focal image de la lentille (𝐿’) de distance focale 𝑓’ = 1 𝑚.
1) Dispersions angulaire et linéaire :
On note 𝜃𝑘 l’angle de diffraction dans l’ordre k pour la longueur d’onde 𝜆.
a) Pour deux radiations de longueur d’onde 𝜆 et 𝜆 + 𝑑𝜆 incidentes sur le
𝑑𝜃
réseau, exprimer à partir de la formule du réseau la dispersion angulaire 𝑑𝜆𝑘 en fonction de
𝑘, 𝑝 et 𝜃𝑘 .
𝑑𝑋
b) en déduire la dispersion linéaire 𝑑𝜆𝑘 sur le capteur CCD perpendiculairement
à la direction moyenne des rayons diffractés dans l’ordre 𝑘 ; commenter.
𝑑𝑋
c) Calculer la valeur de 𝑑𝜆𝑘 , exprimées en 𝑚𝑚. 𝑚𝑚−1, dans l’ordre 1, pour la
longueur d’onde moyenne 𝜆 = 578 𝑛𝑚.
2) Résolution des doublets jaunes dans les spectres d’ordre 1 :
On admet que la limite de résolution d’un spectrographe à réseau est imposée par la largeur 𝑎
de la fente d’entrée (𝐹), uniformément éclairée par une lampe spectrale. Son image
géométrique sur le capteur CCD a une largeur 𝑎’. Les ouvertures ∆𝑖 et ∆𝑖′ mentionnées sur la
figure sont les variations des angles d’incidence et d’émergence d’un bord à l’autre de la fente
et de son image.
a) Déterminer 𝑎’ en fonction de 𝑎 = 70 𝜇𝑚, 𝑓 = 20 𝑐𝑚 (focale du collimateur)
et 𝑓’ = 1 𝑚.
b) Déterminer dans les spectres d’ordre 1 les distances Δ𝑋𝑁𝑎 et Δ𝑋𝐻𝑔 , sur le
capteur CCD, entre chacune des images de la fente source donnée par le doublet du sodium (
𝜆1 = 589,0 𝑛𝑚 et 𝜆2 = 589,6 𝑛𝑚) et le doublet du mercure ( 𝜆1 = 577,0 𝑛𝑚 et 𝜆2 =
579,1 𝑛𝑚). Le spectroscope permet-il de séparer visuellement ces doublets ?
3) Monochromateur à réseau :
Un monochromateur à réseau est un dispositif permettant d’obtenir une onde quasi
monochromatique à partir d’une source de lumière blanche. Le réseau a 500 traits par 𝑚𝑚 et
𝑁 = 104 traits au total. Il est éclairé sous incidence i par un faisceau parallèle de lumière
blanche. Une lentille convergente mince, de distance focale 𝑓’ = 20 𝑐𝑚 a son axe optique
perpendiculaire au réseau et une fente fine de largeur 𝑏 se trouve centrée au foyer image 𝐹’ de
la lentille.
réseau
lentille
𝑥
fente
𝑖
𝐹′
1) Déterminer l’angle d’incidence 𝑖 sachant que la lumière de longueur d’onde
𝜆𝑜 = 550 𝑛𝑚 diffractée dans l’ordre deux parvient en 𝐹’.
2) Pour une longueur d’onde 𝜆1 , un peu différente de 𝜆𝑜 , les rayons diffractés dans
l’ordre deux convergent en 𝐹1 , d’abscisse 𝑥1 ; donner une expression approchée de 𝑥1 en
fonction de 𝜆1 − 𝜆𝑜 .
3) Calculer la demi-largeur Δ𝑥 d’un pic du réseau.
4) La fente placée au foyer image de la lentille a une largeur 𝑏 = 0,1𝑚 et ne laisse
Δ𝜆
Δ𝜆
passer que les radiations comprises entre 𝜆𝑜 − 2 et 𝜆𝑜 + 2 . Calculer l’intervalle Δ𝜆.
4) Ghosts du réseau :
Un réseau plan, constitué de 𝑁 traits parallèles à 𝑂𝑧 dans le plan 𝑦𝑂𝑧, est éclairé sous
incidence normale par une onde plane monochromatique. On suppose , pour simplifier, la
longueur d’onde 𝜆 très supérieure à la largeur des traits et très inférieure à leur hauteur, de
telle sorte qu’on peut considérer que chaque trait diffracte de façon isotrope uniquement dans
les directions du plan 𝑥𝑂𝑦.
Du fait d’un défaut de la vis ayant servi à la gravure du réseau, la distance entre les traits varie
2𝜋𝑚
périodiquement: l’ordonnée du trait d’indice 𝑚 est 𝑦𝑚 = 𝑎 [𝑚 + 𝜀𝑠𝑖𝑛 ( 𝑝 )] avec 1 ≤ 𝑚 ≤
𝑁, où 𝑝 est un entier relatif et 𝜀 une constante qui vérifie 𝜀 ≪ 1.
Montrer que la modulation de 𝑦𝑚 due à 𝜀 donne naissance à deux raies de faible
intensité (ghosts) entourant chaque maximum principal.
Indications
1) Couche anti-reflet :
1) Par rapport à la vibration 𝑘, la vibration 𝑘 + 1 effectue un aller-retour dans la lame
d’épaisseur 𝑒 ; en déduire le chemin optique puis le déphasage ; pour les amplitudes, la
vibration 𝑘 + 1 se réfléchit une fois de plus que la vibration 𝑘 aux interfaces 𝑛/1 et 𝑛/𝑁 ;
somme toutes les vibrations lumineuses, puis passer à l’intensité lumineuse ; 2) Il faut séparer
les cas 𝑛 > 𝑁 et 𝑛 < 𝑁 pour trouver l’expression de l’intensité transmise maximale ; 3) Dans
un des deux cas, le coefficient réflecteur peut s’annuler.
2) Dispersion et résolution d’un spectrographe à réseau :
1)a) Il suffit de dériver la formule des réseaux par rapport à la longueur d’onde ; b) Comme
les angles sont petits on a 𝑋𝑘 = 𝑓′𝜃𝑘 ; 2a) faire une construction géométrique pour trouver la
relation entre Δ𝑖 et Δ𝑖′, puis entre 𝑎 et 𝑎’ ; 2b) Chaque longueur d’onde donne une image de
largeur 𝑎’.
3) Monochromateur à réseau :
1) appliquer la formule des réseaux pour un angle diffracté nul ; 2) Ecrire la formule des
réseaux appliquer à l’ordre 2. L’image de l’onde plane d’angle 𝜃1 correspond à un point 𝑥1 du
plan focal image de la lentille ; 3) Question de cours ; 4) La lumière de longueur d’onde 𝜆
𝑏
traverse la fente si son image dans le plan focal image vérifie l’inégalité : −Δ𝑥 − 2 < 𝑥 <
𝑏
Δ𝑥 + 2.
4) Ghosts du réseau :
Il faut sommer les amplitudes complexes émises dans une direction 𝜃 ; on obtient alors
2𝜋
2𝜋𝑚
𝑠(𝜃) = 𝑠𝑜 ∑𝑁−1
𝑚=0 𝑒𝑥𝑝 (𝑖 𝜆 𝑎 [𝑚 + 𝜀𝑠𝑖𝑛 ( 𝑝 )]) ; effectuer un DL au premier ordre en 𝜀, puis
transformer les sinus en exponentielles complexes ; on a alors trois sommes ; interpréter
chacun des termes.
Solutions
1) Couche anti-reflet :
4𝜋𝑛𝑒
1) 𝜑 = 𝜆 ; 𝑠𝑘+1 = 𝑟𝑛→𝑁 . 𝑟𝑛→1 𝑠𝑘 ; 𝐼𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠 = 1+𝑅
𝜆
𝑒𝑝 = 𝑝 2𝑛 et 𝐼𝑡,𝑚𝑎𝑥 = 1+𝑅
𝐼𝑜 𝑇𝑛→𝑁 𝑇1→𝑛
1+𝑅𝑛→𝑁 +𝑅𝑛→1 +2𝑟𝑛→𝑁 .𝑟𝑛→1
𝐼𝑜 𝑇𝑛→𝑁 𝑇1→𝑛
𝑛→𝑁 +𝑅𝑛→1 −2𝑟𝑛→𝑁 .𝑟𝑛→1
;
𝐼𝑜 𝑇𝑛→𝑁 𝑇1→𝑛
; 2) Si 𝑛 < 𝑁 ;
𝑛→𝑁 +𝑅𝑛→1 −2𝑟𝑛→𝑁 .𝑟𝑛→1 𝑐𝑜𝑠𝜑
2𝑝+1 𝜆
si 𝑛 > 𝑁 ; 𝑒𝑝 = 2 2𝑛
(1−𝑁)2
(𝑛2 −𝑁)
et 𝐼𝑡,𝑚𝑎𝑥 =
2
; 3) Si 𝑛 > 𝑁 𝐼𝑟 = 𝐼𝑜 (1+𝑁)2 ; si 𝑛 > 𝑁 𝐼𝑟 = 𝐼𝑜 (𝑛2 +𝑁)2 ; le pouvoir
réflecteur est nul si 𝑛 = √𝑁
2) Dispersion et résolution d’un spectrographe à réseau :
𝑑𝜃
𝑘
𝑑𝑋
𝑘𝑓′
𝑑𝑋
𝑎𝑓′
1a) 𝑑𝜆𝑘 = 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜃 ; b) 𝑑𝜆𝑘 = 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜃 ; c) 𝑑𝜆𝑘 = 0,52 𝑚𝑚. 𝑚𝑚−1 ; 2a) 𝑎′ = 𝑓 ; b) Δ𝑋𝑁𝑎 =
𝑘
𝑘
0,31 𝑚𝑚 < 𝑎′ ; ce doublet ne sera pas séparé ; Δ𝑋𝐻𝑔 = 1,09 𝑚𝑚 > 𝑎′ ce doublet sera
visible.
3) Monochromateur à réseau :
1) 𝑖 = −33,4° ; 2) 𝑥1 =
2𝑓′
𝑎
(𝜆1 − 𝜆𝑜 ) ; 3) Δ𝑥 =
2𝜋𝑓′
𝑁
𝑎
𝑏
= 0,126 𝑚𝑚 ; 4) Δ𝜆 = 2𝑓′ (2 + Δx) =
1,2. 10−3 𝜇𝑚
4) Ghosts du réseau :
𝜆
1 𝜆
Maxima principaux pour 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝐾 𝑎 ; ghosts pour 𝑠𝑖𝑛𝜃± = (𝐾 ± 𝑝) 𝑎