Interférences à N ondes, réseaux - MP*1

MP*1-2015/2016
Interférences à N ondes, réseaux
1) Couche anti-reflet :
Sur un milieu d'indice    limité par un plan, on dépose une lame mince à face
parallèle, d'épaisseur , d'indice    et baignant d'un côté seulement dans l'air.
On donne le coefficient de réflexion en amplitude pour une vibration lumineuse se
propageant dans un milieu d’indice  et se réfléchissant sur un milieu d’indice :   
On note  et  les coefficents de réflexion et de transmission en intensité lumineuse. On a les
relations suivantes :    et     
1) On éclaire le système sous incidence normale. Les rayons lumineux peuvent se
réfléchir un nombre infini de fois sur les deux dioptres délimitant la lame. Faire un dessin des
différents rayons lumineux. Quel est le déphasage  entre deux rayons lumineux transmis
consécutifs ? Quel est le rapport des amplitudes de deux rayons transmis consécutifs ? En
déduire l'intensité transmise dans le milieu d'indice  en fonction des différents coefficients
de réflexion et de transmission, de  ainsi que de Io, l’intensité incidente de la vibration
lumineuse On rappelle que 
2) A quelle condition sur  a-t-on  maximale? Calculer cette valeur
maximale  en fonction des indices des différents milieux.
3) En appliquant le principe de conservation de l’énergie lumineuse, en déduire
l’intensité réfléchie  correspondante ainsi que le pouvoir réflecteur du dispositif 
Pour quelle valeur de  le coefficient réflecteur du dispositif est-il nul ? Conclure.
2) Dispersion et résolution d’un spectrographe à réseau :
Un goniomètre comporte un réseau par transmission de pas   . Le faisceau sortant du
collimateur éclaire le réseau sous une incidence moyenne   . Le spectre obtenu
est, au niveau de la lunette, projeté à l’aide d’un objectif sur un capteur CCD situé dans le
plan focal image de la lentille  de distance focale   .
1) Dispersions angulaire et linéaire :
On note  l’angle de diffraction dans l’ordre k pour la longueur d’onde .
a) Pour deux radiations de longueur d’onde  et    incidentes sur le
réseau, exprimer à partir de la formule du réseau la dispersion angulaire 
 en fonction de
et .
b) en déduire la dispersion linéaire 
 sur le capteur CCD perpendiculairement
à la direction moyenne des rayons diffractés dans l’ordre  ; commenter.
𝑓
𝑓
résea
u
𝑂
𝑂
𝐿
𝐿
Δ𝑖
Δ𝑖
𝑎
𝑎
collimateur
objectif

c) Calculer la valeur de 
 , exprimées en , dans l’ordre 1, pour la
longueur d’onde moyenne   
2) Résolution des doublets jaunes dans les spectres d’ordre 1 :
On admet que la limite de résolution d’un spectrographe à réseau est imposée par la largeur 
de la fente d’entrée  uniformément éclairée par une lampe spectrale. Son image
géométrique sur le capteur CCD a une largeur . Les ouvertures  et  mentionnées sur la
figure sont les variations des angles d’incidence et d’émergence d’un bord à l’autre de la fente
et de son image.
a) Déterminer  en fonction de      (focale du collimateur)
et   .
b) Déterminer dans les spectres d’ordre 1 les distances  et , sur le
capteur CCD, entre chacune des images de la fente source donnée par le doublet du sodium (
 et ) et le doublet du mercure (  et 
). Le spectroscope permet-il de séparer visuellement ces doublets ?
3) Monochromateur à réseau :
Un monochromateur à réseau est un dispositif permettant d’obtenir une onde quasi
monochromatique à partir d’une source de lumière blanche. Le réseau a  traits par  et
   traits au total. Il est éclairé sous incidence i par un faisceau parallèle de lumière
blanche. Une lentille convergente mince, de distance focale    a son axe optique
perpendiculaire au réseau et une fente fine de largeur  se trouve centrée au foyer image  de
la lentille.
1) Déterminer l’angle d’incidence  sachant que la lumière de longueur d’onde
 diffractée dans l’ordre deux parvient en .
2) Pour une longueur d’onde , un peu différente de , les rayons diffractés dans
l’ordre deux convergent en , d’abscisse  ; donner une expression approchée de  en
fonction de   .
3) Calculer la demi-largeur  d’un pic du réseau.
4) La fente placée au foyer image de la lentille a une largeur    et ne laisse
passer que les radiations comprises entre 
 et  . Calculer l’intervalle .
4) Ghosts du réseau :
Un réseau plan, constitué de  traits parallèles à  dans le plan , est éclairé sous
incidence normale par une onde plane monochromatique. On suppose , pour simplifier, la
longueur d’onde très supérieure à la largeur des traits et très inférieure à leur hauteur, de
telle sorte qu’on peut considérer que chaque trait diffracte de façon isotrope uniquement dans
les directions du plan .
𝑥
𝑖
𝐹
réseau
lentille
fente

Du fait d’un défaut de la vis ayant servi à la gravure du réseau, la distance entre les traits varie
périodiquement: l’ordonnée du trait d’indice  est    
 avec    
, où  est un entier relatif et  une constante qui vérifie   .
Montrer que la modulation de  due à  donne naissance à deux raies de faible
intensité (ghosts) entourant chaque maximum principal.
Indications
1) Couche anti-reflet :
1) Par rapport à la vibration , la vibration    effectue un aller-retour dans la lame
d’épaisseur  ; en déduire le chemin optique puis le déphasage ; pour les amplitudes, la
vibration    se réfléchit une fois de plus que la vibration  aux interfaces  et  ;
somme toutes les vibrations lumineuses, puis passer à l’intensité lumineuse ; 2) Il faut séparer
les cas    et    pour trouver l’expression de l’intensité transmise maximale ; 3) Dans
un des deux cas, le coefficient réflecteur peut s’annuler.
2) Dispersion et résolution d’un spectrographe à réseau :
1)a) Il suffit de dériver la formule des réseaux par rapport à la longueur d’onde ; b) Comme
les angles sont petits on a   ; 2a) faire une construction géométrique pour trouver la
relation entre  et , puis entre  et  ; 2b) Chaque longueur d’onde donne une image de
largeur .
3) Monochromateur à réseau :
1) appliquer la formule des réseaux pour un angle diffracté nul ; 2) Ecrire la formule des
réseaux appliquer à l’ordre 2. L’image de l’onde plane d’angle  correspond à un point  du
plan focal image de la lentille ; 3) Question de cours ; 4) La lumière de longueur d’onde 
traverse la fente si son image dans le plan focal image vérifie l’inégalité :   
.
4) Ghosts du réseau :
Il faut sommer les amplitudes complexes émises dans une direction  ; on obtient alors
 ; effectuer un DL au premier ordre en , puis
transformer les sinus en exponentielles complexes ; on a alors trois sommes ; interpréter
chacun des termes. Solutions
1) Couche anti-reflet :
1)   
 ;    ;    ; 2) Si    ;
 et    ; si    ;   et  
 ; 3) Si       ; si       ; le pouvoir
réflecteur est nul si   
2) Dispersion et résolution d’un spectrographe à réseau :
1a) 
 ; b)   ; c)     ; 2a)     ; b)  
   ; ce doublet ne sera pas séparé ;      ce doublet sera
visible.
3) Monochromateur à réseau :

1)    ; 2) 
  ; 3)      ; 4)   
4) Ghosts du réseau :
Maxima principaux pour    
 ; ghosts pour    