MP 2016/2017 DM n°4 Spectrophotomètre à réseau On se propose dans ce problème d’étudier le principe de la diffraction et de la dispersion de la lumière par un réseau par transmission, élément essentiel d’un spectrophotomètre. Dans l’ensemble de ce problème, les radiations seront caractérisées par leur longueur d’onde λ dans le vide. D’autre part, les lentilles utilisées sont supposées minces et achromatiques. Les angles sont comptés positivement dans le sens des orientations choisies dans les schémas. 1. Réseau par transmission éclairé par un faisceau parallèle monochromatique On considère un réseau (R) plan par transmission formé de n traits par unité de longueur. (figure 1) Les traits sont fins, équidistants et parallèles à l’axe Oy perpendiculaire au plan de la figure. On pose a le pas du réseau, éclairé sur une largeur l perpendiculairement aux traits, par un faisceau lumineux parallèle mono-chromatique, de longueur d’onde λ, sous l’incidence θ . Le système optique est centré autour de l’axe horizontal Ox perpendiculaire au plan du réseau et est éclairé dans les conditions de Gauss. On observe les rayons diffractés dans la direction faisant l’angle θ ' avec l’axe horizontal Ox dans le plan focal image d’une lentille convergente (L) de focale f’ = 20 cm et de foyer image F’. 1.1. Reproduire la figure 1 et la compléter en indiquant la marche des rayons après la traversée de la lentille. 1.2. Etablir l’expression de la différence de marche δ( θ ' ) entre deux rayons consécutifs à la traversée du réseau de pas a. 1.3. Montrer que pour observer les maxima principaux de lumière diffractée d’ordre K dans la direction d’angle θ 'K cet angle doit vérifier la relation : sin(θ) - sin( θ 'K ) = K.n.λ 1.4. Application numérique : Le réseau est éclairé sous incidence normale par une lampe à vapeur de mercure et on obtient pour la raie verte de longueur d'onde λ = 546 nm le premier maxima principal pour sin( θ '1 ) = 0,546. 1.4.1. En déduire le nombre de traits par millimètre, n, et le pas du réseau, a. 1.4.2. Déterminer le nombre et la position des maxima principaux observables dans le plan focal image de la lentille (L). 1.5. Minimum de déviation 1.5.1. Déterminer l’expression de la déviation D du faisceau lumineux. 1.5.2. On fait varier θ . Montrer que, pour un ordre K donné, la déviation D passe par un minimum DmK, pour une valeur θ = θm . telle que DmK vérifie la relation : D 2.sin mK =K.nλ 2 1.5.3. Dessiner le schéma (rayons lumineux et réseau) qui illustre le réglage du réseau au minimum de déviation, Pour le lundi 14 novembre 2016 © JM DUCRET Page1/3 pour un ordre K donné et une longueur d’onde λ donnée. 2. Réseau par transmission éclairé par un faisceau parallèle polychromatique Le réseau (R) est maintenant éclairé, en incidence normale, par un faisceau lumineux parallèle polychromatique. Ce faisceau comporte des radiations comprises dans le domaine spectral [λV, λR] avec λV = 400 nm et λR = 750 nm. 2.1. Décrire la figure que l’on observe sur l’écran placé dans le plan focal image de la lentille (L). En particulier, dans un ordre donné K positif, entre le rouge et le violet, quelle est la radiation qui est la plus déviée ? Cette relation d’ordre est-elle la même pour un prisme ? 2.2. Calculer la dispersion du réseau définie par la grandeur ∂θ 'K .De quel(s) paramètre(s).dépend cette ∂λ θ dispersion? d u '(x ) ( arcsin(u(x ))) = dx 1 − u(x )2 2.3. Calculer la largeur angulaire Δθ '1 d’étalement du spectre visible d’ordre 1 sur l’écran d’observation. Rappel : 2.4. Y a-t-il recouvrement entre les spectres d’ordres 1 et 2 pour cette source ? Justifier. 3. Etude du monochromateur Le schéma de la figure 2 en annexe donne le principe d’un monochromateur à réseau. Ce monochromateur comporte une fente d’entrée (Fe) solidaire du collimateur représenté par une lentille convergente (L1) de distance focale f’1 = 20 cm, un réseau (R) par transmission de n traits par millimètre sur une largeur l = 2 cm, une lentille convergente (L2), dite de projection, de distance focale f’2 = 20 cm et une fente de sortie (Fs) de largeur b = 0,1 mm, symétrique par rapport à l’axe Ox et placée dans le plan focal image de la lentille (L2). Les deux fentes (Fe) et (Fs) sont d’égale largeur. Les traits du réseau sont fins, équidistants et parallèles à l’axe Oy perpendiculaire au plan de la figure. Le monochromateur comprend un système mécanique permettant de faire tourner un miroir plan (M) autour de l’axe (∆) parallèle à l’axe Oy et par suite de diriger le faisceau lumineux de longueur d’onde choisie vers la fente de sortie (Fs).(voir figure en annexe). Une source lumineuse (S) polychromatique comportant des radiations comprises dans l’intervalle [λV, λR], éclaire la fente d’entrée (Fe) perpendiculaire au plan yOz. 3.1. A quoi sert un monochromateur ? Dans un monochromateur pratique, on utilise des miroirs sphériques concaves au lieu des lentilles convergentes. Expliquer pourquoi. 3.2. Quel est le rôle du collimateur ? 3.3. Sur le schéma de la figure 2 et tracer depuis la fente d’entrée (Fe) jusqu’au plan focal image de la lentille (L2) la marche du faisceau lumineux comportant trois rayons de longueur d’onde λ0. 3.4. On oriente le miroir plan (M) dans la position initiale (M0) de sorte que le spectre de premier ordre correspondant à la radiation de longueur d’onde λ0 se forme au centre de la fente de sortie (Fs). θ 0 qu’il faut donner à l’angle d’incidence θ du faisceau incident sur le réseau. En déduire la valeur α0 de l’angle α correspondant à θ 0 . On donne λ0 = 550 nm et n = 1000 traits par millimètre. 3.4.1. Calculer la valeur 3.4.2. Entre quelles limites αV et αR doit-on faire varier l’angle α pour pouvoir sélectionner au centre de la fente de sortie (Fs) le spectre d’ordre 1 de la source (S) ? 3.4.3. En déduire de quel angle il faut faire tourner le miroir (M) depuis sa position initiale pour sélectionner les radiations extrêmes de longueurs d’onde λV et λR. 3.5. Le miroir (M) est orienté dans la position (M0) correspondant à l’angle α0. 3.5.1. Déterminer l’abscisse zA du point de convergence de la radiation de longueur d’onde λ voisine de λ0, diffractée par le réseau (R) dans le premier ordre. On exprimera zλ en fonction de λ0, λ et n. 3.5.2. Calculer la largeur spectrale ∆λ1 du monochromateur étudié autour de la longueur d’onde λ0 sélectionnée par la fente de sortie (Fs) Pour le lundi 14 novembre 2016 © JM DUCRET Page2/3 NOM : prénom : ANNEXE : Spectromètre à réseau Pour le lundi 14 novembre 2016 © JM DUCRET Page3/3