DM n°4

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MP 2016/2017
DM n°4
Spectrophotomètre à réseau
On se propose dans ce problème d’étudier le principe de la diffraction et de la dispersion de la lumière par un réseau par transmission, élément
essentiel d’un spectrophotomètre. Dans l’ensemble de ce problème, les radiations seront caractérisées par leur longueur d’onde λ dans le vide.
D’autre part, les lentilles utilisées sont supposées minces et achromatiques.
Les angles sont comptés positivement dans le sens des orientations choisies dans les schémas.
1. Réseau par transmission éclairé par un faisceau parallèle monochromatique
On considère un réseau (R) plan par transmission formé de n traits par unité de longueur. (figure 1) Les traits
sont fins, équidistants et parallèles à l’axe Oy perpendiculaire au plan de la figure. On pose a le pas du réseau,
éclairé sur une largeur l perpendiculairement aux traits, par un faisceau lumineux parallèle mono-chromatique, de
longueur d’onde λ, sous l’incidence
θ
. Le système optique est centré autour de l’axe horizontal Ox
perpendiculaire au plan du réseau et est éclairé dans les conditions de Gauss.
On observe les rayons diffractés dans la direction faisant l’angle
'
θ
avec l’axe horizontal Ox dans le plan focal
image d’une lentille convergente (L) de focale f’ = 20 cm et de foyer image F’.
1.1. Reproduire la figure 1 et la compléter en indiquant la marche des rayons après la traversée de la lentille.
1.2. Etablir l’expression de la différence de marche δ(
'
θ
) entre deux rayons consécutifs à la traversée du réseau
de pas a.
1.3. Montrer que pour observer les maxima principaux de lumière diffractée d’ordre K dans la direction d’angle
'
K
θ
cet angle doit vérifier la relation :
sin( θ ) - sin(
'
K
θ
) = K.n. λ
1.4. Application numérique : Le réseau est éclairé sous incidence normale par une lampe à vapeur de mercure et
on obtient pour la raie verte de longueur d'onde λ = 546 nm le premier maxima principal pour sin(
1
'
θ
) = 0,546.
1.4.1. En déduire le nombre de traits par millimètre, n, et le pas du réseau, a.
1.4.2. Déterminer le nombre et la position des maxima principaux observables dans le plan focal image de la
lentille (L).
1.5. Minimum de déviation
1.5.1. Déterminer l’expression de la déviation D du faisceau lumineux.
1.5.2. On fait varier
θ
. Montrer que, pour un ordre K donné, la déviation D passe par un minimum D
mK
, pour
une valeur
θ
=
m
θ
. telle que D
mK
vérifie la relation :
2.sin
mK
D
2
=K.n λ
1.5.3. Dessiner le schéma (rayons lumineux et réseau) qui illustre le réglage du réseau au minimum de déviation,

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pour un ordre K donné et une longueur d’onde λ donnée.
2. Réseau par transmission éclairé par un faisceau parallèle polychromatique
Le réseau (R) est maintenant éclairé, en incidence normale, par un faisceau lumineux parallèle polychromatique.
Ce faisceau comporte des radiations comprises dans le domaine spectral [λ
V
, λ
R
] avec λ
V
= 400 nm et λ
R
= 750
nm.
2.1. Décrire la figure que l’on observe sur l’écran placé dans le plan focal image de la lentille (L). En particulier,
dans un ordre donné K positif, entre le rouge et le violet, quelle est la radiation qui est la plus déviée ? Cette
relation d’ordre est-elle la même pour un prisme ?
2.2. Calculer la dispersion du réseau définie par la grandeur
'
K
θ
θ
λ
∂
∂
.De quel(s) paramètre(s).dépend cette
dispersion?
Rappel :
( )
2
'( )
arcsin( ( ))
1 ( )
d u x
u x
dx
u x
=
−
2.3. Calculer la largeur angulaire
1
Δ '
θ
d’étalement du spectre visible d’ordre 1 sur l’écran d’observation.
2.4. Y a-t-il recouvrement entre les spectres d’ordres 1 et 2 pour cette source ? Justifier.
3. Etude du monochromateur
Le schéma de la figure 2 en annexe donne le principe d’un monochromateur à réseau.
Ce monochromateur comporte une fente d’entrée (F
e
) solidaire du collimateur représenté par une lentille
convergente (L
1
) de distance focale f’
1
= 20 cm, un réseau (R) par transmission de n traits par millimètre sur une
largeur l = 2 cm, une lentille convergente (L
2
), dite de projection, de distance focale f’
2
= 20 cm et une fente de
sortie (F
s
) de largeur b = 0,1 mm, symétrique par rapport à l’axe Ox et placée dans le plan focal image de la
lentille (L
2
). Les deux fentes (F
e
) et (F
s
) sont d’égale largeur. Les traits du réseau sont fins, équidistants et
parallèles à l’axe Oy perpendiculaire au plan de la figure.
Le monochromateur comprend un système mécanique permettant de faire tourner un miroir plan (M) autour de
l’axe (∆) parallèle à l’axe Oy et par suite de diriger le faisceau lumineux de longueur d’onde choisie vers la fente de
sortie (F
s
).(voir figure en annexe).
Une source lumineuse (S) polychromatique comportant des radiations comprises dans l’intervalle [λ
V
, λ
R
], éclaire la
fente d’entrée (F
e
) perpendiculaire au plan yOz.
3.1. A quoi sert un monochromateur ? Dans un monochromateur pratique, on utilise des miroirs sphériques
concaves au lieu des lentilles convergentes. Expliquer pourquoi.
3.2. Quel est le rôle du collimateur ?
3.3. Sur le schéma de la figure 2 et tracer depuis la fente d’entrée (F
e
) jusqu’au plan focal image de la lentille (L
2
)
la marche du faisceau lumineux comportant trois rayons de longueur d’onde λ
0
.
3.4. On oriente le miroir plan (M) dans la position initiale (M
0
) de sorte que le spectre
de premier ordre correspondant à la radiation de longueur d’onde λ
0
se forme au centre de la fente de sortie (F
s
).
3.4.1. Calculer la valeur
0
θ
qu’il faut donner à l’angle d’incidence
θ
du faisceau incident sur le réseau. En
déduire la valeur α
0
de l’angle α correspondant à
0
θ
. On donne λ
0
= 550 nm et n = 1000 traits par millimètre.
3.4.2. Entre quelles limites α
V
et α
R
doit-on faire varier l’angle α pour pouvoir sélectionner au centre de la fente
de sortie (Fs) le spectre d’ordre 1 de la source (S) ?
3.4.3. En déduire de quel angle il faut faire tourner le miroir (M) depuis sa position initiale pour sélectionner les
radiations extrêmes de longueurs d’onde λ
V
et λ
R
.
3.5. Le miroir (M) est orienté dans la position (M
0
) correspondant à l’angle α
0
.
3.5.1. Déterminer l’abscisse z
A
du point de convergence de la radiation de longueur d’onde λ voisine de λ
0
,
diffractée par le réseau (R) dans le premier ordre. On exprimera z
λ
en fonction de λ
0
, λ et n.
3.5.2. Calculer la largeur spectrale ∆λ
1
du monochromateur étudié autour de la longueur d’onde λ
0
sélectionnée
par la fente de sortie (F
s
)

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ANNEXE : Spectromètre à réseau