Cahier de travaux dirigés
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Université Abdelmalek Essaadi Faculté des Sciences & Techniques Département de Physique Groupe de Recherche appliquée Électricité Cahier de travaux dirigés MIP, MIPC Pr. Dr. A.J. Rusi El Hassani AVERTISSEMENT Ce polycopié est constitué de textes de travaux dirigés pour approfondir certaines notions de l’électrostatique et magnétostatique présentés en séances de cours. Cet enseignement est destiné aux étudiants de tronc commun option MIP et MIPC. Les textes présentés dans ce polycopié ont été inspirés principalement du cours Contenu du cours : 1. Électrostatique : charges - forces - champ et potentiel électrostatiques 2. Les équations locales de l’électrostatique 3. Les conducteurs en électrostatique 4. Énergie potentielle d’interaction électrostatique 5. Magnétostatique : champ et force magnétiques 6. Symétries du champ magnétique. Théorème d’Ampère 7. Potentiel vecteur. Flux et circulation du champ magnétique 8. Induction électromagnétique Évaluation : Contrôle continu 1 (30% de la note finale) Contrôle continu 2 (50% de la note finale) Travaux pratique (20% de la note finale) Remarques importantes : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. L'assiduité aux cours-TD est obligatoire. Les changements de groupe ne sont pas autorisés. Préparer le cours avant d'y assister. Réviser le cours après y avoir assister. Préparer la série de TD Faîtes très attention à l'absentéisme. Les documents, notes de cours et le téléphone sont INTERDITS aux contrôles. 8. L'échange de matériel (stylo, règle, calculatrice, etc.) entre étudiants au cours des contrôles est interdit. TD1 I. Comparer la force de répulsion électrique de deux électrons (deux protons). séparés par une distance r, à leur attraction gravitationnelle. Que faudrait-il prendre comme masse de l'électron(proton) pour que ces forces soient égales ? Particule Électron Proton La constante de gravitation : Charge (𝑪) - 1.6 x 10-19 1.6 x 10-19 Masse (Kg) 9.11 x 10-31 1.673 x 10-27 Dans le système SI : Dans le système CGS : La constante de Coulomb : 1 Dans le système SI : =4𝜋𝜀 0 Dans le système CGS : 𝐾 = 1. kg-1·m-3·A2·s4. La permittivité du vide Table de Convertion CGS/SI cgs Facteur de Conv. SI Distance cm =10-2 m Masse g =10-3 kg Temps sec = sec Force dyne =10-5 Newton Energie erg =10-7 Joule Charge esu Potentiel El statvolt ChampMagnetique Gauss =3.336.1010 =299.8 =10 -4 Coulomb Volt Tesla D’autres units: 1 eV = 1.602.10-12 erg II. On place trois charges dans un repère plan (𝑂, 𝑥, 𝑦) de coordonnéées : +𝑄 en 𝐴(−𝑎, 0) ;-𝑄 en 𝐵(𝑎, 0) ; 2𝑄 en 𝐶(0, 𝑏).Calculer la résultante des forces sur la charge 2𝑄. III. On considère quatre particules A, B, C et D chacune a une charge 0.4e, -0.4e,0.2e et ̅̅̅̅ = 1.2 10−10 𝑚 , 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ = 10−10 𝑚. Calculer ̅̅̅̅ = 2.8 10−10 𝑚 et 𝐶𝐷 0.2e . La distance 𝐴𝐵 la force électrostatique sur la charge B en précisant sa direction. IV. Quelle est la force électrique qui s'exerce sur une charge positive unité placée au centre d'un carré de côté 𝑏 qui porte des charges 𝑞, 2𝑞, − 4𝑞 et 2𝑞 placées dans cet ordre sur ses quatre coins. V. Des charges -e sont placées aux sommets d'un triangle équilatéral de côté r, et une charge 𝑄 > 0 est placée au centre de gravité du triangle. Quelle doit être la valeur de 𝑄 pour que les forces sur chacune des charges négatives soient nulles? VI. Supposons que la terre est entièrement sphérique de rayon 𝑅 = 6400 𝑘𝑚, portant une charge négative 𝑄 = −106 𝐶. qui sont réparties uniformément sur sa surface avec une densité de charge surfacique 𝜎𝑇 . Calculer cette charge. Si les charge sont maintenant réparties uniformément dans le sol sur une profondeur égale à 𝑃 = 50 𝑘𝑚, quelle est alors la densité volumique de charge 𝜌𝑇 ?. VII. Calculer la charge totale porté par une pièce de monnaie en cuivre de masse 2g sachant que la masse atomique du cuivre est 𝐴 = 63 et le nombre de proton est Z=29. (l’unité de masse atomique 𝑢 = 1.67 10−27 𝑘𝑔. VIII. On considère un fil très fin de centre 𝑂, de longueur 2L dirigé suivant l’axe 𝑂𝑧 et portant une charge totale 𝑄 répartie uniformément et linèrement. Donner l’expression de la densité linèique de charge moyenne 𝜆𝑚 . Si la distribution de charge n’est pas uniforme et suit la loi : 𝜋.𝑧 𝜆(𝑧) = 𝜆0 𝑐𝑜𝑠 2𝐿 pour −𝐿 ≤ 𝑧 ≤ +𝐿 et 𝜆(𝑧) = 0 pour |𝑧| ≥ 𝐿 Trouver la charge élémentaire 𝛿𝑄 située en 𝑧 sur une portion de fil 𝑑𝑧. En déduire l’expression de 𝜆0 en fonction de 𝑄 et de 𝐿. IX. Une particule 𝛼 passe rapidement à travers le centre d'une molécule d'hydrogène en se déplaçant le long dune ligne perpendiculaire à l'axe internucléaire. La distance internucléaire vaut 𝑏. En quel point de son parcours la particule α subit-elle la force la plus grande ? On supposera que les noyaux ne bougent pas beaucoup durant le passage de la particule. (Cette hypothèse est valable en raison de la grande vitesse de la particule 𝛼. Vous négligerez aussi le champ électrique dû aux électrons dans la molécule. (Ce n'est pas une très bonne approximation, car, dans la molécule 𝐻2 , il y a une importante densité de charge négative dans la région centrale). TD1-bis I. Trouvez les dispositions géométriques d'un proton et d'un électron pour lesquelles l'énergie potentielle du système est nulle. Combien y-a-t-il de telles dispositions avec les trois particules en ligne droite ? II. Calculer l'énergie potentielle, par ion, d'un cristal unidimensionnel infini, c'est-à-dire d'un alignement de équidistantes de valeur e et de signes alternés. ionique charges III. Une sphère de rayon a une densité de charge volumique uniforme ρ. Nous voulons savoir l'énergie potentielle de cette sphère chargée, c'est-à-dire le travail nécessaire pour établir cette distribution de charge. Calculez-le en fabriquant la sphère couche par couche, en utilisant le fait que le champ à l'extérieur d'une distribution sphérique de charge est le même que si toute la charge était concentrée au centre. Supposez que la sphère a atteint un rayon r. Quelle est sa charge totale q à cet instant? Ajoutez maintenant une couche infinitésimale d'épaisseur dr. Quel travail dU doit-on fournir pour apporter de l'infini au rayon r la quantité de charge contenue dans cette couche? Intégrez alors de r = 0 à r = a. Exprimez le résultat en fonction de la charge totale Q de la sphère. IV. Au début de ce siècle, l'idée que la masse au repos de l'électron pouvait avoir une origine purement électrique était très attirante, d'autant plus que la relativité restreinte venait d'établir l'équivalence entre masse et énergie. Imaginez que l'électron soit une sphère de charge de densité volumique constante jusqu'à un rayon maximum 𝑟0 . Calculer 𝑟0 . (Le Rayon classique de l'électron : 2,817 940 325(28)×10-15 m). V. On peut décrire, en première approximation, le noyau des atomes lourds, pour ce qui concerne leur structure électrique, comme des sphères de matière ayant une densité volumique de charge constante de 1,331025 C/𝑚3 . Si un noyau d'uranium de charge totale 92e se désintègre en deux noyaux de charge et de rayon égaux qui se séparent ensuite, quelle est la variation d'énergie électrique exprimée en Joules et en million d'électronvolts ? TD2 I. Deux charges ponctuelles 1mC et -2 mC sont situés à (3, 2, -1) et (-1, -1,4), respectivement. a) Calculer la force électrique sur une charge de 10 nC située à (0, 3, 1). b) Calculer le champ électrique à ce point. II. Deux charges ponctuelles de masse m et de charge Q sont suspendus à un point commun par deux fils de masse et de longueur négligeables t. Montrer qu'à l'équilibre, l'angle d'inclinaison 𝛼 de chaque charge à la verticale est donnée par: 𝑄² = 16𝜋𝜀0 𝑚𝑔𝑙² 𝑠𝑖𝑛² 𝛼 tan 𝛼 3 𝑄² si 𝛼 est très petite, montrer que: 𝛼 = √ 16𝜋𝜀 0 𝑚𝑔𝑙² III. Une plaque finie 0 <x <1, 0 <y <1 située sur le plan z = 0 a une densité de charge 𝜌𝑠 = 𝑥𝑦 (𝑥² + 𝑦² + 25)3/2 nC/m². Trouver : a) la charge totale sur la plaque. b) le champ électrique au point (0,0,5). c) la force sur une charge de -1 mC située au point (0,0,5). IV. Soient deux charges ponctuelles de valeurs – 𝑞 et 3𝑞 placées respectivement sur l’axe 𝑂𝑥 en : 𝐴(−𝑎, 0) et 𝐵(3𝑎, 0). Trouver l’expression du champ électrique créé au point 𝑃(𝑥, 𝑦). Calculer le potentiel électrique 𝑉(𝑃). Quelle est la nature de la courbe associée à l’équipotentielle 𝑉 = 0. V. Soit un condensateur vide formé de deux plaques parallèles infinies et distantes de d. Les deux plaques sont maintenues respectivement aux potentiels 𝑉1 et 𝑉2 . Calculer le potentiel et deduire le champ électrostatique qui régne entre les plaques. Si le condensateur est placé dans un milieu où règne une densité volumique de charge uniforme 𝜌, déterminer le potentiel et le champ électrostatique. VI. Soit un conducteur cylindrique plein, de rayon 𝑅1 , de charge 𝑄, de longueur ℎ, d’axe 𝑂𝑧, de potentiel 𝑉1 > 0, entouré d’un conducteur cylindrique creux, de rayon intérieur 𝑅2 , de charge – 𝑄, de potentiel 𝑉2 = 0. Le vide sépare les deux conducteurs. On néglige les effets de bord. On pose 𝑈 = 𝑉1 − 𝑉2 . La capacité 𝐶 du système est définie par 𝑄 = 𝐶𝑈. On donne l’expression du Laplacien en coordonnées cylindriques : 1𝜕 𝜕𝑉 1 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 ∆𝑉 = (𝑟 ) + 2 2 + 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 Déterminer le potentiel V(r) pour 𝑅1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅2 en fonction de 𝑈, 𝑟, 𝑅1 et 𝑅2 . Calculer le champ électrostatique. En utilisant le théorème de Gauss, trouver le champ 𝐸⃗ en fonction de 𝑄 et ℎ. Déduire la capacité 𝐶 du système. Déterminer l’énergie électrostatique emmagasinée en fonction de 𝐶 et 𝑈. VII. Soit une charge 𝑞 négative répartie en volume entre deux sphères concentriques de rayon 𝑅1 et 𝑅2 . On donne la densité volumique de charge 𝜌(𝑟) entre 𝑅1 et 𝑅2 . L’expression du champ électrostatique 𝐸⃗ a symétrie sphérique pour 𝑅1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅2 est donné par : 𝐸⃗ = 𝑎(𝑟 − 𝑅1 )𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑟 𝑎 une constante. 𝑑𝐸 𝐸 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝑟 + 2 𝑟 avec 𝐸𝑟 = 𝐸⃗ (𝑟)𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑟 𝑑𝑟 𝑟 Calculer 𝜌(𝑟), déterminer 𝑎 en foction de 𝑞, 𝜀0 , 𝑅1 et 𝑅2 . Déterminer le champ en tout point de l’espace. Représenter graphiquement 𝐸𝑟 (𝑟). I. II. TD3 Trouver le champ électrique d’une sphère chargée de rayon 𝑅 (la densité de charge volumique de la sphère étant 𝜌) pour 𝑟 < 𝑅 𝑒𝑡 𝑟 > 𝑅. En déduire le potentiel V. Une minerai de phosphate, composé de petites particules de quartz et de phosphates, peut être séparé en ses composants en appliquant un champ électrique uniforme comme sur la Figure. En supposant que la vitesse initiale de déplacement est nulle, déterminer la séparation entre les particules après une chute de 80 cm. Prendre 𝐸 = 500 𝑘𝑉 / 𝑚 et 𝑄/ 𝑚 = 9 𝜇𝐶 / 𝑘𝑔 pour les particules chargées négativement et positivement. Un anneau circulaire de rayon a porte une charge uniforme de 𝜌𝑙 𝐶 / 𝑚 et est placé sur le plan xy (son axe est le même que celui de l'axe z). 1. montrer : III. 𝐸⃗ (0,0, ℎ) = 𝜌𝐿 𝑎ℎ 3 2𝜀0 [ℎ² + 𝑎²]2 𝑎𝑧 2. Quelles sont les valeurs de ℎ pour que 𝐸⃗ soit maximal. 3. Si la charge totale sur l'anneau est 𝑄, trouver 𝐸 pour a→ 0. IV. Soit un champ électrique E tel que : 𝐸𝑥 = 𝐾. 𝑦 𝐸𝑦 = 𝐾. 𝑥 1 où K est une constante. La figure ci-dessous montre quelques-unes des lignes de force. Quelle est la valeur de la circulation de E entre le point 𝐴 et le point 𝐶, le long du circuit 𝐴𝐵𝐶 de la figure ? V. 1. 2. 3. 4. Soit un condensateur plan formé de deux plans parallèles de grandes dimensions, , distants d’une longueur d portant des charges positives + 𝑄 sur la plaque du haut et – 𝑄 sur la plaque du bas. Chaque plaque a une surface 𝐴. Verticalement, entre les plaques, une petite particule chargée de charge 𝑞 et de masse 𝑚 est suspendue à 𝑦 = 𝑑 / 2. Quel est le signe de la petite particule de charge q? Déterminer 𝑞 en fonction des données. Représenter l’énergie électrostatique 𝑈𝐸 sur un graphe sachant que 𝑈𝐸 = 0 à 𝑦 = 0. Représenter le potentiel électrique 𝑉 entre les plaques de 𝑦 = 0 à 𝑦 = 𝑑 ( on négligeant la charge 𝑞). 2 TD3_bis I. Trouvez les dispositions géométriques d'un proton et d'un électron pour lesquelles l'énergie potentielle du système est nulle. Combien y-a-t-il de telles dispositions avec les trois particules en ligne droite ? II. Calculer l'énergie potentielle, par ion, d'un cristal unidimensionnel infini, c'est-à-dire d'un alignement de équidistantes de valeur e et de signes alternés. ionique charges III. Une sphère de rayon a une densité de charge volumique uniforme ρ. Nous voulons savoir l'énergie potentielle de cette sphère chargée, c'est-à-dire le travail nécessaire pour établir cette distribution de charge. Calculez-le en fabriquant la sphère couche par couche, en utilisant le fait que le champ à l'extérieur d'une distribution sphérique de charge est le même que si toute la charge était concentrée au centre. Supposez que la sphère a atteint un rayon r. Quelle est sa charge totale q à cet instant? Ajoutez maintenant une couche infinitésimale d'épaisseur dr. Quel travail dU doit-on fournir pour apporter de l'infini au rayon r la quantité de charge contenue dans cette couche? Intégrez alors de r = 0 à r = a. Exprimez le résultat en fonction de la charge totale Q de la sphère. IV. Au début de ce siècle, l'idée que la masse au repos de l'électron pouvait avoir une origine purement électrique était très attirante, d'autant plus que la relativité restreinte venait d'établir l'équivalence entre masse et énergie. Imaginez que l'électron soit une sphère de charge de densité volumique constante jusqu'à un rayon maximum 𝑟0 . Calculer 𝑟0 . (Le Rayon classique de l'électron : 2,817 940 325(28)×10-15 m). V. On peut décrire, en première approximation, le noyau des atomes lourds, pour ce qui concerne leur structure électrique, comme des sphères de matière ayant une densité volumique de charge constante de 1,331025 C/𝑚3 . Si un noyau d'uranium de charge totale 92e se désintègre en deux noyaux de charge et de rayon égaux qui se séparent ensuite, quelle est la variation d'énergie électrique exprimée en Joules et en million d'électronvolts ? TD4 Nous considérons 5. 1016 ions positifs ionisés deux fois par mètre cube, se déplaçant tous vers l'ouest à la vitesse de 105 m/s. Dans la même région de l'espace, il y a 1017 électrons par mètre cube, se déplaçant vers le nord-est à la vitesse de 106 m/s. Quelle est la direction de J? Quel est son module en ampères par mètre carré ? II Dans un synchrotron à électrons de 6 BeV, les électrons effectuent un trajet approximativement circulaire d'une longueur de 240 m. Il est normal d'avoir environ 1011 électrons qui décrivent ce cercle à chaque cycle d'accélération. La vitesse des électrons est pratiquement celle de la lumière. Que vaut l'intensité du courant ? Nous proposons ce problème extrêmement simple pour mettre en évidence le fait que rien, dans notre définition de l'intensité du courant, n'exige que les vitesses des porteurs de charge soient non-relativistes et que rien n'empêche de compter plusieurs fois par seconde la même particule dans l'estimation du courant. III Un récipient rempli d'air aux conditions normales de température et de pression est exposé à un faisceau de rayons X qui ionisent une petite partie des molécules qu'il contient. Les ions négatifs sont constitués par des molécules d'𝑂2 possédant un électron supplémentaire. Dans les limites de ce problème, vous pouvez traiter toutes les molécules comme si elles avaient un mème poids moléculaire compris entre celui de 𝑂2 et 𝑁 2 (≈ 29). Le récipient est une boîte de 10 cm × 10 cm × 2 cm dont les faces de 10 cm × 10 cm sont métalliques tandis que les autres sont isolantes. Une tension de 1 000 volts appliquée sur les faces métalliques fait passer un courant de 1,5 ×10−6 amp. Quelle est la conductivité de ce gaz faiblement ionisé ? Si on prend comme vitesse moyenne des ions 5× 102 m/s et comme libre parcours moyen 10−7 m, quel est le temps de collision? Quelle fraction du nombre total de molécules du gaz est-elle ionisée? (On supposera qu'il y a un nombre égal d'ions chargés positivement et négativement ionisés une fois). TD4_bis I. Donner les dimensions du champ magnétique et de la constante 𝜇0 à partir des unités du système International d’unités. I. Calculer le champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire de rayon R, parcourue par un courant permanent I. Quel rayon R faut-il donner à une spire circulaire pour obtenir en son centre un champ magnétique B = 5 mT, lorsqu’elle est parcourue par un courant I = 2 A ? II. Une boucle de courant a la forme de deux demi-cercles concentriques de rayons respectifs 𝑅1 = 5 𝑐𝑚 et 𝑅2 = 8 𝑐𝑚 , et parcourue par un courant constant 𝐼 = 2𝐴. Calculer le champ magnétique au centre 𝐶 de la boucle. III. Soient des particules portant une charge 𝑞 et une masse 𝑚 emises par un filament chaud avec une vitesse initiale nulle sont accélérées par une difference de potentiel U régnant entre les électrodes accélératrices ( le champ électrique étant 𝐸⃗0 ), distantes de 𝑑. Trouver la vitesse 𝑣0 acquise par ces particules ? Calculer le rayon de giration si les particules entrant ⃗ 0 perpendiculaire à leur dans un champ magnétique permanent uniforme 𝐵 vitesse 𝑣0 à la sortie des électrodes accélératrices ?. Application numérique : la charge 𝑞 = −𝑒 = −1.6 10−19 𝐶, la masse 𝑚 = 9.1 10−31 𝑘𝑔, 𝑈 = 1000 𝑉 et 𝐵 = 2 10−3 𝑇. IV. Soit un disque conducteur de rayon a qui tourne autor d’un arbre dans un champ magnétique invariable dans le temps telque : ⃗ = 𝐵𝑒𝑧 𝐵 Ce disque est relié à un circuit électrique extèrieur parcouru par un courant I comme sur la figure. Trouver la force de Laplace qui agit sur le disque. ⃗ 0 = 𝐵0 𝑒𝑧 Montrer que l’on peut associer à ce V. Soit un champ magnétique 𝐵 champ un potentie vecteur de la forme 𝐴 = 𝐴(𝑟)𝑒𝜃 en coordonnées cylindriques d’axe (𝑂𝑧). VI. Des ions positifs de charge 𝑞 et de masse 𝑚 sont emis par une source ponctuelle 𝑆 avec une vitesse initiale nulle. Ces ions sont accélérés sous une ddp 𝑈 puis déviés grâce à un champ magnétique uniforme en decrivant un demi cercle atteignant un collecteur 𝐶. Trouver l’expression de la distance 𝑥 entre la fente d’entrée dans l’enceinte de déviation magnétique et le collecteur en fonction de la charge 𝑞, la masse 𝑚, le potentiel 𝑈 et le champ magnétique 𝐵. Calculer la largeur maximale 𝑎 du collecteur qui permet de séparer deux isotopes de masse atomiques 𝑚1 = 200𝑢, 𝑚2 = 202𝑢 (1𝑢 = 1.6610−27 𝑘𝑔), de charge 𝑞 = 𝑍𝑒 = 80𝑒. La tension accélératrice vaut 𝑈 = 12 𝑘𝑉 et le champ magnétique 𝐵 = 0.2 𝑇. TD5 I Deux barres omnibus cylindriques de 3 mètres de long portent un courant normal de 1000 A. Calculer la force d’attraction lors d’un courant de court circuit de 60 000 A schant qu’elles sont séparées par une distance de 10 cm. II Le circuit magnétique d’un transformateur est composé d’un ensemble de tôles d’acier superposées. La section du noyau magnétique est égale à 4cm X 5 cm. Sachant que le flux traversant ce noyau est de 3 mWb, trouver le champ magnetique B dans l’acier. III Calculer la force qui agit sur un conducteur de 1.2 m de long parcouru par un courant de 200 A et placé dans un champ magnétique de 0.5 tesla. Le conducteur est perpendiculaire aux lignes de force. IV Un aimant permanant ayant une section de 100 cm² produit un champ magnétique de 0.5 tesla entre ses pôles. Calculer la tension induite entre les extrémités d’un conducteur traversant le champ en 0.1 seconde. V L’induction mutuelle de deux bobines A et B est de 3.7 henrys. Quelle est la valeur moyenne de la tension induite dans la bobine B lorsque le courant dans la bobine A décroît de 7 A à 3 A en 2 secondes ? VI Une bobine ayant une inductance de 2 H est parcourue par un courant de 5 A lorsqu’elle est raccordée à une pile de 4 V. Calculer la valeur moyenne de la tension induite si le courant est interompu en 0.1s ? VII Une bobine comprenant 2000 spires est traversée par un flux de 5 mWb provenant d’un aimant permanent. L’aimant est alors éloigné de la bobine en 1/10 de seconde et le flux à l’intérieur de la bobine baisse à 2 mWb. Quelle est la valeur moyenne de la tension induite ? VIII Lorsqu'un courant traverse un barreau en matériau semi-conducteur (ou conducteur), et si un champ magnétique d'induction B est appliqué perpendiculairement au sens de passage du courant, une tension, appelée tension Hall, proportionnelle au champ magnétique et au courant apparaît sur les faces latérales du barreau. Cette tension est proportionnelle à la vitesse de déplacement des porteurs de charge qui est considérablement plus grande dans les matériaux semi-conducteurs que dans les conducteurs métalliques. Démontrez qu’en terme du champ E de Hall et de la densité du courant J, que le nombre de porteur par unité de volume n est donné par la formule : n= JB eE TD6 I On considère un électron situé au temps t=0 à l’origine S d’un référentiel et de vitesse 𝑣0 contenue dans le plan (x,z), faisant un angle 𝛼 avec l’axe z. Cet électron est soumis à un champ magnétique B uniforme et parallèle à l’axe z. a) Écrire les trois composantes de la force de Lorentz 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 , 𝐹𝑧 exercées sur l’électron. b) À l’aide de l’équation de Newton, écrivez les trois équations indépendantes pour les vitesses 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 . c) Démontrez que la solution le long de z est une constante et que les vitesses le long x et y ont un comportement oscillatoire. Déterminez la fréquence d’oscillation. d) En utilisant les conditions initiales pour les accélérations, écrivez les solutions pour les trois directions. vitesses et les e) À partir des vitesses déterminées au point précédent et en respectant les conditions initiales, déterminez la position de l’électron en fonction du temps. Démontrez que l’électron a un mouvement hélicoïdal autour d’un cylindre qui a un axe parallèle à l’axe z et qui passe par le point (0,R). Déterminez le rayon R du cylindre. II Un solénoïde de N spires de surface A tourne à une vitesse angulaire ω dans un champ magnétique perpendiculaire à l’axe de rotation. a) Quelle est la tension entre les deux contacts du solénoïde, s’il n’y a pas de courant dans la bobine ? b) On met une résistance R aux armatures du générateur. Quelle est la puissance dissipée dans cette résistance ? c) Montrez que la puissance mécanique qui freine la bobine est égale au résultat de b). Indication pour b) et c) : On suppose que l’auto-induction de la bobine et la résistance de la bobine sont négligeables. Indication pour c) : La puissance mécanique d’un objet tournant à une vitesse angulaire ω et soumis à un moment de force τ est P=ω∗τ. VI Un cylindre métallique massif est mis en rotation dans un champ magnétique uniforme (voir figure ci-contre). Sur l’axe et sur le manteau du cylindre se trouvent des contacts. a) Expliquer (sans calcul) pourquoi il y a une tension entre les deux prises de contact. b) Calculer la tension U en fonction de B, ω et R. Discuter l’évolution du champ électrique à l’intérieur du cylindre. Université Abdelmalek Essaadi Faculté des sciences & Techniques Département de Physique Equipe de Recherche Appliquée 01/09/2016 «Electricité» Cahier de travaux pratiques MIP, MIPC www.aprt.hol.es
