Principe de dualité pour des espaces de suites associés à une suite

S ÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (S TRASBOURG )
D IDIER DACUNHA -C ASTELLE
Principe de dualité pour des espaces de suites associés
à une suite de variables aléatoires
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 4 (1970), p. 47-59.
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1970__4__47_0>
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MATHEMATIQUE AVANCEE
INSTITUT DE RECHERCHE
Laboratoire Associé
au
C.N.R.S.
Rue René Descartes
1968-69
STRASBOURG
-
Séminaire de Probabilités -
PRINCIPE DE DUALITÉ POUR DES ESPACES DE SUITES ASSOCIÉS À UNE
SUITE DE VARIABLES ALÉATOIRES.
Par D. DACUNHA-CASTELLE
i
Dans cet
[2] , ~31~ ~
aussi
exposé!
nous
et une note de
dégagé
gies
méthode bien
technique
un
principe
de
dualité, qui
certains résultats de la théorie des
pour terminer comment
on
dont
est
l’interprétation
I. ESPACES DE TYPE
Soit
peut appliquer
naturelle,
ce
du
point
de
vue
a
F ,
v.a.
Nous
sys-
Schwartz
peut-être
au cas
a
des analo-
indiquons
des espaces d’Or1icz
probabiliste.
P)
un
espace
probabilisé,
(v.a.)
réelles
et soit
p.s.
de l’écart habituel de la convergence en P . Soit X =
de
(utilisée
(L) .
des classes de variables aléatoires
quelconque
utilisé pour
connue
martingales.
résultat
a
aléatoires).
dans l’étude des séries à coefficients
de cette
avec
une
(4~ (voir
de Schwartz
[1] . Kwanpien
Kwanpien
traiter des applications radonifiantes
tématiquement
exposé
un
reprenons
réelles
et b =
(bn)nEN
une
l’espace
finies,
une
munies
suite
suite de nombres réels.
-
48 -
DEFINITION.
k
Lx
soient bornées
l’espace
est
des suites
probabilité,
en
telles que les
qui
ce
v.a.
E
Xn
traduit par
se
k
pour tout
>
e
Remarquons que si les
bX
converge
Soit
avec une
B
métrisable
B
et
tel que
cela
sup
k
P~~
L
équivaut
0b~ Xn~
~
~
e .
à dire que
p.s.
espace de suites réelles
un
complet.
x)
(i.e.
un
sous-espace de
plus fine que celle de
On sait
distance
une
~x~ S
M
indépendantes,
topologie d’e,v,t,
être définie par
d8(0 ,
sont
X~
k
E
0 , il existe
qu’alors
la structure uniforme de
invariante par
dB
Supposons
B
peut
et telle que
translation,
si
LAMME 1.
(au
Supposons que
tout
M >
0 , il existe
r >
’
ensembliste) .
Pour tout
s
> 0
et
tel que
k
k
pour tout
0
sens
b E B
tel que
0 ~ ~
d8(0 ,
b) ~
r
.
DEMONSTRATION.
La suite des
définies par
de Banach-Steinhaus
=
k applications linéaires
b Xn , simplement bornée,
continues
E
(C5~ ,
est
p.
86)
elle est
équicontinue
Jk
et
en
de
B
d’après
0 .
dans
L(Q)
le théorème
49 -
-
DEFINITION.
Un
et s’il existe
métrisable,
et
complet
B
telle que
LX (au
=
une
suite
type
(L) .
suite
X
=
Une suite
(Xn)
deux
a
de
de
e.v.t.
sera
=
v.a.
voa.
s’il est
indépendantes
ensembliste).
sens
C
B ~
de
X
(L).
II. THEOREME DE DUALITE POUR LES ESPACES DE TYPE
Soient
(L)
de suites réelles est dit de type
B
e.v.t.
suites ; supposons
B
que
soit du
dite de type
(B,C)
s’il existe
définies
sur un
espace 0 ,
indépendantes,
une
telle
que
2)
la suite
X
appartient à
n (w))
U)-p.s.. Le
C
[4] .
théorème de dualité suivant est dû à Schvartz
THEOREME.
Si
alors
a
B
est de
C
et
type
sont de
type
(L~ ~
vue
est de
a
type
(B, C),
(C, B) .
Le théorème résulte du théorème
de
si
suivant, plus intéressant
du
point
probabiliste.
THEOREME.
Soient
métrique complet
de v.a.
telle que
à
C .
(non
C
un
espace de type
et soit
GY
nécessairement
B c LX ,
une
(L)
B
suite de type
indépendantes)
Alors la suite
,
un
(C ~ B).
définie
(an
e.v.t.
Soit
sur un
de suites
X
espace
appartient
une
suite
(Q , F , P),
w-p.s.
50 -
-
DEMONSTRATION.
(i~’ , F’ , P’)
Nous choisissons
pendantes
Soit
Q’
sur
telle que
~
~ donné ,
e
C
et une suite
M > 0 ; choisissons
et soit
r >
0
comme
indé-
v.a.
E B ,
(an
et que
=
de
Z
cu’-p.s..
dans le
2
lemme
1
Ar = ~
M’ :
.
Choisissons ensuite le scalaire B > 0
X
dH(0 ~
a
Z(w’ ) ) s r ~
S (cu ! tu’ )
Si
03C9’ E
Ar ,
d’après
=
on
ait
1 - e . Posons alors
supt ak Zk (w’ )
le lemme
1
,
tel que si
nous
Î
.
avons
B
et donc
(P X P’) { (03C9 , 03C9’) : S(03C9 , 03C9’) ~ M 03BB,03C9’ ~ Ar} ~ 1 -2 .
K03C9 = { 03C9’ :
Soit
N
On
voit,
en
= ~cu :
réappliquant
S (w , w’ )
> M 03BB }
U
P’ ( w ) z 2s ~
le théorème de
~2~
1
Fubini,
Ac
.
que
.
k
Si
si
w
4
N ,
on a
P’
r.: sup
P’{l U)’
l1
sup k E 1
(cyn
(w) ) Z~ > 1
x~w»
X
n
n
M
1 .
_
1
-
>
> 0
° .
-
étant
Mais la suite
propriété
51 -
indépendante,
on a
(C )
pour toute suite
la
suivante
k
supk | 03A3
e Z(w’)| ~ } = 0
1
P’ £ cu’ :
Ainsi si
E
tu
1 -
à
1~
où
e
appartient à
(an
la suite
2~ t
est
arbitraire,
la suite
1
.
LZ
=
(a
C . Mais
comme
appartient
C . Le théorème est établi.
III. ETUDE D’UNE CLASSE D’ESPACES DE TYPE
a)
Le
pendantes alors
L -
...) ,
qui
(~~.
hilbertien.
cas
Si l’on prend pour
(1, 1, 1,
ou
~1 ~
l2 .
est de
Z
une
suite de v,a, de Bernouilli indé-
Prenons
et pour
(C ,
type
a Z
car
est
la suite
a
bornée. Le théorème
donne :
PROPOSITION.
Si
(X )
est
une
suite de
v,a,
~
toute suite bornée
la suite
(Xn(c~~~
la suite E
appartient
Prenons maintenant
que
type
E
03B12n
p.s.
B
=
C
~ . La suite 03B1Z(03C9’)
(C , B) .
sur
(~ ,
telle que pour
F ,
k
Le théorème donne :
bn Xn
à
est
bornée
en
probabilité,
alors
J~ .
= ~2 ,
et pour
a
appartient p.s. à
une
suite
telle
a
n
B , donc a
est de
52 -
-
PROPOSITION.
(X1~
(a X(w))
ayant la même signification que ci-dessus, la suite
appartient
Cette
p.s.
proposition
à l2 ,
est en fait une version
de Sazonov-Minlos. On aurait pu y
r
(x )
des suites
norme(x)I
=
telles que
IE
sup
(03B1n) ~ l2 .
si
remplacer
E
B
= ~2
converge
x
probabiliste
du théorème
de Banach
l’espace
par
(non absolument)
la
avec
"
1
n
b)
Les espaces associés
aux
suites de v,ao
indépendantes,
équidistribuées.
DEFINITION.
Un espace
de
v.a.
est dit de
B
K
type
s’il existe
indépendantes, équidistribuées, symétriques,
une
telles que
et définitions suivants tirés de
Rappelions les résultats
suite
X
B
=
=
(X )
LX .
[6] .
DEFINITIONS.
f
Deux fonctions
tiplicativement équivalentes
et
g ,
(ce
R -
{0} ~ R+ - (0)
que l’on note
g) ,
f ~
sont dites mul-
s’il existe des
constantes telles que :
0
Dans la
suite,
b~ f(a1 x) g(a2 x) b2 f(a2 x)
nous
;
x > 0 .
étudierons les classes de fonctions suivantes
m
Classe:
f E
(q)
f(x) =
fonction croissante ;
si
1
pour
,x~ -
1
.
f(o~ - 0 ;
et
-
Classe
(o) :
Classe
K(2
(o)
f E
p):
,
f E
si
(q)
£ E
(q)
53 -
et
f ~
fonction
convexe.
et
fonction
croissante ,
(avec x0 = 1 ) .
fonction décroissante
x
Classe
Enfin
f E
0~ :
si
~2
noterons lf
nous
f E
(q)
l’espace
et s’il existe
des suites
k
tel que
f ( 2x? s
k
f(x) .
£-sommables, c’est-à-dire
ce
telles
que 03A3 f(c n)
.
0
THEOREME A.
Si
(q) n A2
£ E
i) J&-.
est un espace vectoriel
Si
( n~
e : E f
ne
;~
des suites nulles à
d
e ) .
(comme E.V.T.) .
partir d’un certain rang,
est
dans ££ .
est
un
d(0 , c) = inf ~
m
iii) d , l’espace
dense
la distance
métrique complet,
c
pouvant être définie par
ii)
alors
un
E.V.T.L.C. si et seulement si
(dit d’Orlicz)
espace de Banach
muni de la
f E
(o) ;
c’est alors
norme
c
o
n
e
THEOREME B.
Pour que
B
=~f
avec
f E
B
soit
K(2 , 0) .
un
espace de type
K
il faut et il suffit que
54 -
-
Si
F
est une loi de
ou
X
(Xn)
=
probabilité symétrique
est
une
suite de
v.a.
notera
on
indépendantes
l’espace
Lp
de loi
F .
THEOREME C.
f E K(2 ~ 0) ~
Si
il existe
F
telle que
~f
et que
~
x2J
,
Le calcul élémentaire
type
(B ~ C),
+J
0
qui suit vise à
B
lorsque
sont de
C
et
calculer
dF(u)
1/x
.
explicitement les suites
K .
type
THE OREME.
Pour que
a E
ex
soit de type
K(2 ~ 0)
~f~g ;
(f
à
g) (x) _ - 1 [f(x)
+
est donnée par
g(x)
4
qu’il existe
une
il faut et il suffit que
(~f : ~g)
suite
+ J1
(Z )
1~c
f(cx) dG(x) ~ g(cx) dF(x) ]
telle que
.
’
Remarques.
1) Si ~ _ ~2 ~
2)
On
peut 9
f(x)
=
pour tout
on a
remplacer dans la
1
,
pour
x ~ 1
et
formule J
f(x) ‘-_
1~
Mx 12
f ,
m
par j 0
pour
M
~
car
convenable.
de
-
3)
Si
les lois
un
(voir
général
en
F
Banach, il n’en
sont des espaces de
lf et lg
même
55 -
ont des
G
et
loin).
exemple plus
espérances
est pas de
Si cependant
finies alors
est
espace de Banach.
4)
Il n’est pas évident à
5)
Parmi les fonctions de
priori
f ~
que
K(2 t 0)
un
ordre de croissance du type
la
puissance étant inférieure à
on
g ~
f .
trouve les fonctions
ayant
puissance-logarithmes itérés
2 .
DEMONSTRATION.
(Xn)
Soit
f(x) ~
x~2 S
g(x)
x2 f
2
f(x) = x2 01/x0u2dFu2(u)+
=
u
de loi
F ,
co
dF(u)
+~
1/x dF(u) et g ~
dG(u)
telle
que lX = lF = lf;
dF(u) et g K(2 , 0) lg G
avec
avec
dG(u) .
1
1
On
ne
restreint pas la
Les calculs
en
f
et
En
que
en
supposant de plus
qui suivent visent simplement à
g
(0)
appliquant
(0) a (1 )
trouver une
pour caractériser les suites de type
systématiquement
On notera
généralité
le
2°)
du théorème de manière à
la condition
est de
le théorème des deux séries
+
(2)
dG(u) J" 0 dF(u»O
0
condition
(f , g) .
procéder
par
symétrique
On utilisera
équivalences.
(f , g) .
type
(g
que
est à valeurs ~
0)
on
voit
..
00
(1 )
(2)
~
2 j*0
n
1/a n
.
g(an u)
dF(u)
°° .
56 -
-
ce
Comme
j*
dF(x)
=
~
(2)
+
EJ
(1) ~
x) dF(x)
~
m
,~0
Ju=0
(u~ S1
Pour
(1
x~ a u2~ dF(x) dG(u)
n
x=0
, on a ::
f 1 f 1/a x2 a2 u2 dF(x)
~3~
u=0
x~ dF(x) .
x=0
0
00
(1~
Donc
+
(2) =>
E
n=1
f(cxn)
~~a
Posant
=
(3’~
m
u2
e
on a
1
+ f 1~a u2
a2 + a2
(4~
’
cp(c,)
et
1
1~a ’ u x 2 a 2 u 2
Ju=1
(5)
+~1
dF(x)
x=0
oo
_
_
~~
dF(x)
x=1
1/03B1u
1
a2 x2 u2
=
- ~ 1 X2
1
~P~a~
.
0
Enfin
(?) J* 1
dF(u) dG(x)
= f0
1/~
~
a
m
(5)
+
(6)~(8):
.
E
n=1
9(an)
~
,
dF(x)
G(2014L-)
ax
+ f 1~a G~ 1 ~ dF’~x~
1
ax
.
57 -
-
Tenant compte de
(l)
de voir que
(8)
(2~ a (3’)
+
(9)
et
regroupant
(8)
+
+
(9)
dF(x) ~
il est aisé
avec
.
1
n
En remarquant enfin que dans
symétriques
(5~ ! (6) , (~~
obtient la forme cherchée de
on
Prenant pour
(1)
(5) , (6~ ~ (~) ~
Zn
+
des variables
(2)
de
f
et
f ~ g .
Bernouilli~
g
jouent
des rôles
Si maintenant
f(x) =
x2.
on a :
a E E
n
a ~
n
9(«n)
oo
,
Exemple :
f(x~ - xp , !
Si
p~
g(x)
dG(x) = (1 ~
-=- )
dx
(1 A
_~.
)
x
dx
.
x~q
(f A g)
P = q
alors
;
x
(f A g)
q
x~
=
+log
~)
.
x
Remarque :
Si
a un
f(x~ ~ xp ,
moment d’ordre
x ...
p
on a
fini,
ce
f ~
x~
qui explique
si et seulement si la loi
en
particulier
F
le résultat pour
-
58 -
Remarque finale :
Nous n’avons pas donné ici
radonifiantes
[3]
Par des
de
techniques élémentaires,
inverses
K(2 , 0)
au sens
de
et
dans
K*(2 ,
Young
ainsi tous les espaces
sance
J~p
U
en
termes
d’applications
résultats.
ces
suites radonifiantes de
fonctions de
l’interprétation
où
~g
0) ;
K*(2 ,
de celles de
~f
logarithmes itérés.
associés à
on
peut caractériser toutes les
f
et
0)
g
sont des classes de
étant la classe des fonctions
K(2 , 0) .En particulier
une
fonction
f
on
de croissance
obtient
puis-
-
59 -
BIBLIOGRAPHIE.
[1]
KWANPIEN
Notes
n°
[2]
SCHWARTZ
[3]
SCHWARTZ
SCHWARTZ
aux
[6]
SCHAEFFER
BRETAGNOLLE et
nov.
1968 ,
p.
1, 3 janv. 1968,
p.
25, 18 déc. 1967,
p.
A - T.
266,
A - T.
265,
7-9 .
832-834.
Séminaire de Calcul des Probabilités
Paris
267,
698-700.
C.R. Acad. Sc. Paris - Série
orale) [5]
C.R. Acad. Sc. Paris - Série A - T.
Note aux C.R. Acad. Sc. Paris - Série
n°
[4]
19 , 4
Note
n°
aux
(communication
12/68.
Espaces vectoriels topologiques - New-York ,
Mc Millan
1967.
Notes
C.R. Acad. Sc. Paris - T. 265 - Oct. 1967.
aux
DACUNHA-CASTELLE
[7]
BRETAGNOLLE et
DACUNHA-CASTELLE
Annales de l’Ecole Nationale
Supérieure
(à paraître).