IS P2 160115 corrige

Interrogation surveillée de
mécanique du point matériel.
UV P2
J. Yon & C. Keller
Durée 2h
le 16/01/15
Seules les calculatrices « collège » sont autorisées. Merci d’éteindre et de ranger les téléphones portables.
Exercice 1 :Equilibre d’un ressort en rotation
Un ressort de longueur à vide et de raideur   est amené à tourner sans
frottement autour du point A tout en étant maintenu dans le plan horizontal. Au bout du ressort
(point M) est attachée une masse   qui, elle aussi, glisse sans frotter sur le support
horizontal (lié au référentiel ). En fonction de l’étirement initial du ressort et de l’impulsion
donnée à la masse M, cette dernière peut former des figures relativement complexes dans le
plan du support. On s’intéresse ici à décrire un cas particulier.
1) Exprimer, en coordonnées cylindriques, les forces s’appliquant au point M. Certaines
de ces forces se compensent, lesquelles ? Justifier sans calcul.
2) Donner l’expression de la vitesse et de l’accélération du mobile par rapport au sol
exprimée de façon générale en coordonnées polaires (la démonstration ne vous est pas
demandée).
3) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et projeter le résultat sur les deux
vecteurs de la base polaire, vous obtenez ainsi deux équations différentielles.
4) Déterminer à l’aide de la question 2, l’expression du moment cinétique du point M par
rapport au point O et au référentiel , en fonction de  et   .
5) La force résultante est portée par  . Donner le nom d’une telle force. Que nous
apprend le théorème du moment cinétique pour une telle force ? Qu’en conclure de la
variable C ?
6) Montrer que cette information, qui découle du théorème du moment cinétique, est
redondante de l’une des équations différentielles obtenues à la question 3.
7) On se place maintenant dans le cas particulier d’une rotation à vitesse angulaire
constante du mobile M autour du point O. D’après la réponse 5, qu’en déduire de la
variable r.
8) Reprendre les équations différentielles du mouvement obtenues à la question 3 dans ce
cas particulier et exprimer les à l’aide de  et  si r est également constant), k,
m et .
9) Ce mouvement peut-il exister pour   ?
10) Donner l’expression analytique de la vitesse angulaire uniforme de rotation du
mobile ainsi que de la période de rotation du mobile en fonction de k, m, , .
11) Faire l’application numérique de la période de rotation correspondant   puis à
 . Commenter le comportement du mobile.

Exercice 2 : Vitesse de libération de la Terre
On considère un tir de fusée de masse de m, assimilée à un point matériel M, depuis la surface
de la Terre, suivant le schéma représenté ci-dessous. On cherche à déterminer la vitesse
initiale à fournir à la fusée pour qu'elle puisse s'échapper de l'attraction gravitationnelle
terrestre. Le rayon et la masse terrestre sont notés respectivement RT (6400 km) et MT. G
définit la constante de gravitation universelle. Les frottements sont négligés, le référentiel
géocentrique est considéré comme Galiléen.
1) Exprimer la force d'attraction gravitationnelle 
 agissant sur la fusée en faisant apparaître
sa dépendance à z, sa distance depuis la surface de la Terre. On assimilera pour ce calcul la
terre comme un point matériel situé en O.
2) Montrer que l'expression de l'énergie potentielle associée à cette force peut s'écrire sous la
forme:
3) On note maintenant  , avec g la norme du champ gravitationnel terrestre pour
une altitude z. En déduire l’expression de g en fonction de g0 (champ gravitationnel évalué à
la surface de la Terre), RT et z. En déduire ainsi la relation existant entre 
 et g0.
4) Exprimer alors l’énergie potentielle de la question 2 en fonction de m, RT, g0 et z.
5) A l'aide du théorème de l'énergie mécanique, exprimer la vitesse v de la fusée lorsqu'elle
est située à une distance z de la surface de la Terre, en fonction de g0, RT, z et v0 la vitesse
initiale de la fusée. On pourra poser :  
5) Quelle doit être la vitesse initiale v0 pour que la fusée puisse échapper à l'attraction
terrestre? En déduire la signification de la variable  puis effectuez l'application numérique
et commentez le résultat.

Exercice 1 : Equilibre d’un ressort en rotation
1) Bilan des forces
, 
à cause du fait que le mouvement est plan (PFD).
2)  
3) PFD :  
Projection sur  : 
Projection sur  : 
4) 
5) La force résultante est portée par  , il s’agit donc d’une force centrale. L’application
du théorème du moment cinétique conduit à  ainsi,   est
constante.
6) Si l’on dérive par rapport au temps    on trouve   ce qui
correspond au résultat obtenu en projetant le PFD sur  .
7) A vitesse angulaire constante on a    donc r est également constante :
  .
8) Projection sur  :
Projection sur  :  
9)   donc  
10) 
 donc   
11) Application numérique
  et    . A
vitesse angulaire constante, la période de révolution est d’autant plus longue que le
ressort est étiré par rapport à sa longueur à vide.
/ ?

Exercice 2 : Vitesse de libération de la Terre
1) La force d’attraction gravitationnelle s’écrit : 
2) Cette force est conservative, elle dérive donc d’une énergie potentielle. Ainsi, par
définition : 
 donc 
D’où
3) En notant  il vient que  
à l’altitude z=0,  
 d’où  
 .
Par ailleurs, comme  
, on en déduit que 
4) L’énergie potentielle s’écrit alors :
5) La fusée n’est soumise qu’à la force d’attraction gravitationnelle conservative, donc,
d’après le TEM, l’énergie mécanique est conservée.
A l’altitude z de la surface de la Terre, l’énergie mécanique de la fusée s’écrit :
Même démarche à la surface de la Terre :
D’après le TEM, les deux énergies mécaniques sont égales d’où :
et 
 avec   (la solution négative ne convient
pas physiquement)
6) Pour que la fusée échappe définitivement à l’attraction terrestre, il faut que sa vitesse
soit positive pour z tendant vers l’infini. Il faut donc que   .  représente

ainsi la vitesse de libération de la Terre et égale à 11,2 km/s. Cette vitesse est
impossible à obtenir à la surface de la Terre (frottements visqueux trop importants,
forte augmentation de la température de la fusée). On procède donc différemment pour
lancer une fusée.