IS P2 160115 corrige
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Interrogation surveillée de mécanique du point matériel. UV P2 J. Yon & C. Keller Durée 2h le 16/01/15 Seules les calculatrices « collège » sont autorisées. Merci d’éteindre et de ranger les téléphones portables. Exercice 1 :Equilibre d’un ressort en rotation Un ressort de longueur à vide 𝑟0 et de raideur 𝑘 = 400 𝑁/𝑚 est amené à tourner sans frottement autour du point A tout en étant maintenu dans le plan horizontal. Au bout du ressort (point M) est attachée une masse 𝑚 = 40 𝑘𝑔 qui, elle aussi, glisse sans frotter sur le support horizontal (lié au référentiel ℜ0 ). En fonction de l’étirement initial du ressort et de l’impulsion donnée à la masse M, cette dernière peut former des figures relativement complexes dans le plan du support. On s’intéresse ici à décrire un cas particulier. 1) Exprimer, en coordonnées cylindriques, les forces s’appliquant au point M. Certaines de ces forces se compensent, lesquelles ? Justifier sans calcul. 2) Donner l’expression de la vitesse et de l’accélération du mobile par rapport au sol exprimée de façon générale en coordonnées polaires (la démonstration ne vous est pas demandée). 3) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et projeter le résultat sur les deux vecteurs de la base polaire, vous obtenez ainsi deux équations différentielles. 4) Déterminer à l’aide de la question 2, l’expression du moment cinétique du point M par rapport au point O et au référentiel ℜ0 , en fonction de 𝑚 et 𝐶 = 𝑟 2 𝜃̇. 5) La force résultante est portée par ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 . Donner le nom d’une telle force. Que nous apprend le théorème du moment cinétique pour une telle force ? Qu’en conclure de la variable C ? 6) Montrer que cette information, qui découle du théorème du moment cinétique, est redondante de l’une des équations différentielles obtenues à la question 3. 7) On se place maintenant dans le cas particulier d’une rotation à vitesse angulaire 𝜔𝑒 constante du mobile M autour du point O. D’après la réponse 5, qu’en déduire de la variable r. 8) Reprendre les équations différentielles du mouvement obtenues à la question 3 dans ce cas particulier et exprimer les à l’aide de 𝜔𝑒 et 𝑟 (= 𝑟𝑒 si r est également constant), k, m et 𝑟0 . 9) Ce mouvement peut-il exister pour 𝑟𝑒 < 𝑟0 ? 10) Donner l’expression analytique de la vitesse angulaire uniforme de rotation 𝜔𝑒 du mobile ainsi que de la période de rotation du mobile en fonction de k, m, 𝑟𝑒 , 𝑟𝑜 . 11) Faire l’application numérique de la période de rotation correspondant 𝑟𝑒 = 2𝑟0 puis à 𝑟𝑒 = 4𝑟0 . Commenter le comportement du mobile. Exercice 2 : Vitesse de libération de la Terre On considère un tir de fusée de masse de m, assimilée à un point matériel M, depuis la surface de la Terre, suivant le schéma représenté ci-dessous. On cherche à déterminer la vitesse initiale à fournir à la fusée pour qu'elle puisse s'échapper de l'attraction gravitationnelle terrestre. Le rayon et la masse terrestre sont notés respectivement RT (6400 km) et MT. G définit la constante de gravitation universelle. Les frottements sont négligés, le référentiel géocentrique est considéré comme Galiléen. 1) Exprimer la force d'attraction gravitationnelle 𝐹 agissant sur la fusée en faisant apparaître sa dépendance à z, sa distance depuis la surface de la Terre. On assimilera pour ce calcul la terre comme un point matériel situé en O. 2) Montrer que l'expression de l'énergie potentielle associée à cette force peut s'écrire sous la forme: 𝐺𝑀𝑇 𝐸𝑝 = −𝑚 +𝐶 (𝑅𝑇 + 𝑧) 3) On note maintenant 𝐹 = −𝑚𝑔𝑒⃗⃗⃗𝑧 , avec g la norme du champ gravitationnel terrestre pour une altitude z. En déduire l’expression de g en fonction de g0 (champ gravitationnel évalué à 𝐺𝑀𝑇 la surface de la Terre), RT et z. En déduire ainsi la relation existant entre (𝑅 +𝑧) et g0. 𝑇 4) Exprimer alors l’énergie potentielle de la question 2 en fonction de m, RT, g0 et z. 5) A l'aide du théorème de l'énergie mécanique, exprimer la vitesse v de la fusée lorsqu'elle est située à une distance z de la surface de la Terre, en fonction de g0, RT, z et v0 la vitesse initiale de la fusée. On pourra poser : 𝑣𝑒 2 = 2𝑔0 𝑅𝑇 5) Quelle doit être la vitesse initiale v0 pour que la fusée puisse échapper à l'attraction terrestre? En déduire la signification de la variable 𝑣𝑒 puis effectuez l'application numérique et commentez le résultat. Exercice 1 : Equilibre d’un ressort en rotation /? 1) Bilan des forces 𝑃⃗ = −𝑚ℎ 𝑔𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑧 , 𝑅⃗ = 𝑅𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐹 = −𝐾(𝑟 − 𝑟0 )𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑟 𝑃⃗ + 𝑅⃗ = ⃗0 à cause du fait que le mouvement est plan (PFD). 2) 𝑣 (𝑀/ℜ0 ) = 𝑟̇ ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑟 + 𝑟𝜃̇⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜃 ⃗⃗⃗⃗𝑟 + (2𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟𝜃̈)⃗⃗⃗⃗ 𝑎(𝑀/ℜ0 ) = (𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 )𝑈 𝑈𝜃 ⃗⃗⃗⃗𝑟 + 𝑚(2𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟𝜃̈ )⃗⃗⃗⃗ 3) PFD : 𝑚(𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 )𝑈 𝑈𝜃 = −𝐾(𝑟 − 𝑟0 )𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑟 𝐾 Projection sur ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 :𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 + 𝑚 (𝑟 − 𝑟0 ) = 0 Projection sur ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝜃 : 2𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟𝜃̈ = 0 𝑀 ⃗⃗⃗⃗𝑧 4) 𝜎 ⃗⃗⃗⃗𝑂 (𝑀/ℜ0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 ∧ 𝑚𝑣 ( ) ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑧 = 𝑚𝑟 2 𝜃̇⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑧 = 𝑚𝐶𝑈 𝑅𝑜 5) La force résultante est portée par ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 , il s’agit donc d’une force centrale. L’application du théorème du moment cinétique conduit à 𝜎 ⃗⃗⃗⃗𝑂 (𝑀/ℜ0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶 𝑠𝑡 ainsi,𝐶 = 𝑟 2 𝜃̇ est constante. 6) Si l’on dérive par rapport au temps 𝐶 = 𝑟 2 𝜃̇ on trouve 2𝑟𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟 2 𝜃̈ = 0 ce qui correspond au résultat obtenu en projetant le PFD sur ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝜃 . 2 7) A vitesse angulaire constante on a 𝐶 = 𝑟 𝜔𝑒 = 𝐶𝑠𝑡 donc r est également constante : 𝐶 = 𝑟𝑒2 𝜔𝑒 . 𝐾 8) Projection sur ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 :𝑟𝑒 𝜔𝑒 2 = (𝑟𝑒 − 𝑟0 ) Projection sur ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝜃 : 0 = 0 2 9) 𝑟𝑒 𝜔𝑒 > 0 donc 𝑟𝑒 > 𝑟0 10) 𝜔𝑒 = 2𝜋 𝑇 𝐾 𝑚 𝑟 = √𝑚 (1 − 𝑟0 ) donc 𝑇 = 𝑒 11) Application numérique𝑇1 = 2𝜋 𝐾 𝑟 √𝑚(1−𝑟0 ) 𝑒 2𝜋 400 1 √ (1− ) 40 2 = 2𝜋 √5 = 2.8 𝑠 et 𝑇2 = 2𝜋 400 1 √ (1− ) 40 4 = 2𝜋 √7.5 = 2.3 𝑠 . A vitesse angulaire constante, la période de révolution est d’autant plus longue que le ressort est étiré par rapport à sa longueur à vide. Exercice 2 : Vitesse de libération de la Terre 𝐺𝑀𝑇𝑚 1) La force d’attraction gravitationnelle s’écrit : 𝐹 = − (𝑅 𝑇 +𝑧)² 𝑒𝑧 ⃗⃗⃗ 2) Cette force est conservative, elle dérive donc d’une énergie potentielle. Ainsi, par définition : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐸𝑝 ) donc 𝑑 (𝐸𝑝 ) = 𝐺𝑀𝑇𝑚 𝐹 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑅 +𝑧)² 𝑑𝑧 𝑇 D’où 𝐺𝑀𝑇𝑚 𝐺𝑀𝑇𝑚 𝑑𝑧 = − +𝐶 (𝑅𝑇 + 𝑧) (𝑅𝑇 + 𝑧)² 𝐺𝑀𝑇𝑚 𝐺𝑀𝑇 3) En notant 𝐹 = − (𝑅 +𝑧)² 𝑒𝑧 = −𝑚𝑔𝑒⃗⃗⃗𝑧 il vient que 𝑔 = (𝑅 +𝑧)² ⃗⃗⃗ 𝐸𝑝 = ∫ 𝑇 à l’altitude z=0, 𝑔0 = 𝑇 𝐺𝑀𝑇 𝑅𝑇 ² 𝑔 𝑅 ² + 𝑧) = 𝑔0 𝑅𝑇 ² 𝑇 𝐺𝑀𝑇 Par ailleurs, comme 𝑔 = (𝑅 𝑔0 𝑅𝑇 ² (𝑅𝑇 (𝑅𝑇 +𝑧)² 𝑇 d’où 𝑔 = (𝑅0 +𝑧)² . 𝑇 , on en déduit que +𝑧)² 𝐺𝑀𝑇 𝑅𝑇 +𝑧 = 𝑔(𝑅𝑇 + 𝑧) = 𝑅𝑇 +𝑧 4) L’énergie potentielle s’écrit alors : 𝐸𝑝 = −𝑚 𝑔0 𝑅𝑇 ² +𝐶 (𝑅𝑇 + 𝑧) 5) La fusée n’est soumise qu’à la force d’attraction gravitationnelle conservative, donc, d’après le TEM, l’énergie mécanique est conservée. A l’altitude z de la surface de la Terre, l’énergie mécanique de la fusée s’écrit : 𝐸𝑚 (𝑧) = 1 𝑔0 𝑅𝑇 ² 𝑚𝑣(𝑧)² − 𝑚 +𝐶 (𝑅𝑇 + 𝑧) 2 Même démarche à la surface de la Terre : 𝐸𝑚 (𝑧 = 0) = 1 𝑔0 𝑅𝑇 ² 𝑚𝑣0 ² − 𝑚 +𝐶 2 𝑅𝑇 D’après le TEM, les deux énergies mécaniques sont égales d’où : 1 𝑔0 𝑅𝑇2 1 𝑔0 𝑅𝑇2 𝑚𝑣(𝑧)2 − 𝑚 + 𝐶 = 𝑚𝑣02 − 𝑚 +𝐶 (𝑅𝑇 + 𝑧) 2 2 𝑅𝑇 𝑅𝑇 et 𝑣(𝑧) = √𝑣02 − 𝑣𝑒2 (1 − (𝑅 ) avec 𝑣𝑒 2 = 2𝑔0 𝑅𝑇 (la solution négative ne convient 𝑇 +𝑧) pas physiquement) 6) Pour que la fusée échappe définitivement à l’attraction terrestre, il faut que sa vitesse soit positive pour z tendant vers l’infini. Il faut donc que 𝑣0 > 𝑣𝑒 . 𝑣𝑒 représente ainsi la vitesse de libération de la Terre et égale à 11,2 km/s. Cette vitesse est impossible à obtenir à la surface de la Terre (frottements visqueux trop importants, forte augmentation de la température de la fusée). On procède donc différemment pour lancer une fusée.
