RELATIVITÉ ET PHYSIQUE QUANTIQUE UNE

RELATIVITÉ ET PHYSIQUE QUANTIQUE
UNE INTRODUCTION A LA PHYSIQUE
MODERNE
Corrigés des exercices et problèmes
Claude FABRE, Charles ANTOINE, Nicolas TREPS
10 avril 2015
©Dunod, Paris, 2015

0.1 Exo 1
Course de vitesse "Galiléenne"
a) Nageur dans la direction de l’écoulement : ta=d/(v+V);tr=d/(v−
V). Au total :
t1= 2dv/(v2−V2)
Nageur perpendiculaire à l’écoulement : soient vaet v0
ales vecteurs vitesse à
l’aller du nageur dans les référentiels liés, respectivement, à la terre et au fleuve,
avec va=v0
a+Vet v02 a=v2 a+V2, car les vitesses vaet Vsont perpendiculaires,
d’où v2
a=v2−V2. La durée de l’aller-retour est donc :
t2= 2d/pv2−V2
Le rapport des deux temps vaut donc :
t2/t1=p1−V2/v2<1
C’est le nageur perpendiculaire à l’écoulement du fleuve qui gagne la course.
b) Cas du signal lumineux "sensible au vent d’éther" t1= 2dc/(c2−v2),
t2= 2d/√c2−V2
c) Temps de parcours : t1't2'0,66ns ;δt =t1−t2'3.10−18s=
3attosecondes,δt/t1='5.10−9
d) Déphasage δφ =ωδt = 2πcδt/λ '4π.10−3. Délicat à mesurer, mais
faisable.
0.2 Exo 2
Une demie vie bien relative
a) Nombre moyen de particules non désintégrées : N(t) = N(0)e−t/τ , où
test le temps dans le référentiel où les particules sont au repos.
b) E=γmc2d’où
v=cr1−m2c4
E2
c) Temps T1/2de demie-vie dans le référentiel de la particule :
exp (−T1/2/τ)=1/2
D’où T1/2=τln 2 '0,69τ.
Dans le référentiel de l’observateur, il y a dilatation des temps :
T0
1/2=γT1/2= (E/mc2)T1/2
d) T0
1/2tend vers zéro à énergie fixée lorsque m→0. Les particules de faible
masse ont en général une plus longue durée de vie que les particules de grande
masse.
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0.3 Exo 3
Où l’on parle d’un oeuf dans une bouteille
a) γ= 1/p1−V2/c2. Pour V= 0,6c,γ= 1,25.
b) x0=γ(x−V t) ; t0=γ(t−V x/c2)(yet zinchangés)
x=γ(x0+V t0) ; t=γ(t+V x0/c2).
c) x0
1= 5 années-lumière (a.l.), t0 1=−2,2années (a).
d) x0
2= 2,5a.l., t0 2= 0,1a.
e) ∆x0= 2,5−5 = −2,5a.l. et ∆x= 3,2−4,6 = −1,4a.l.
|∆x0|>|∆x|. Ce n’est pas un exemple de contraction relativiste des lon-
gueurs, car les coordonnées des extrémités ne sont pas prises pour le même
temps dans chacun des référentiels.
f) Dans R,L=L0/γ =−2,5/1,25 = −2a.l.
g) Les conclusions sont les mêmes car γ(V) = γ(−V).
h) Plusieurs réponses sont possibles :
- On peut considérer qu’il est impossible pour un oeuf se déplaçant sur l’axe
Ox de rentrer dans une bouteille couchée selon le même axe. En effet il faudrait
que la dimension en yde l’oeuf soit réduite alors que la contraction dans notre
cas s’effectue uniquement selon l’axe Ox.
- Sans entrer dans le détail de la géométrie, on peut calculer la vitesse V
nécessaire pour qu’une dimension de l’oeuf soit inférieure à celle du goulot. En
prenant un oeuf de 5cm de largeur et un goulot de diamètre 2,5cm, on doit
avoir γ= 2 soit V= 0,9c.
0.4 Exo 4
Hors-jeu relativiste
a) x0=γ(x−βct),ct0=γ(ct −βx),β=V/c
x” = γ(x+βct),ct” = γ(ct +βx).
b) t0
c=t”c= 0
c) ctp= 0,xp=−LA2.
d) ct0
p=γβLA2,x0 p=−γLA2.
e) Composition des vitesses relativistes V1= 2V /(1 + V2/c2).
f) ct”p=γβLA2,x”p=−γLA2.
g) x”p=γ1(x0
p−V1t0 p), avec γ1= (1 −V2
1/c2)−1/2= (1 + V2/c2)/(1 −
V2/c2), d’où x”p= (1 + V2/c2)/(1 −V2/c2)(1 −V V1/c2)x0
pcar ct0 p=−x0 pV/c.
On trouve finalement x”p=x0
p=−γLA2comme attendu .
h) t0
c= 0,t0 p=γβLA2/c > t0 c. Dans R0la passe est après le croisement :
il y a hors-jeu.
i) t”c= 0,t”p=−γβLA2/c < t”c. Dans R”la passe est avant le croise-
ment : il n’y a pas hors-jeu.
j) La règle du hors-jeu est incompatible avec la relativité restreinte car on
trouve des résultats différents suivant le référentiel.
k.1) L’intervalle d’espace-temps est la "distance" séparant deux évène-
ments. C’est un invariant relativiste qui prend la même valeur dans tous les
référentiels Galiléens.
k.2) ∆s2=c2(tp−tc)2−(xp−xc)2=−L2
A2<0donc du genre espace.
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k.3) Aucune lien de causalité ne peut exister entre les évènements E1et
E2.
l.1) Vu du gardien : tvu
c=tc+LG/c =LG/c,tvu p=tp+ (LA2+LG)/c =
(LA2+LG)/c donc tvu
p> tvu c.
l.2) Le gardien ne peut pas conclure à un lien de causalité, car si par
exemple E1pouvait influencer E2(noté E1→E2) alors nécessairement tvu
c< tvu p
mais l’inverse est faux : si tvu
p> tvu con n’a pas forcément E1→E2comme dans
cet exercice.
m.1) Le ballon a une forme elliptique, car il y a contraction des longueurs
dans le sens du déplacement. Rx= 6,6cm.
m.2) C’est l’inverse qui se produit : le ballon est aplati dans la direction du
mouvement. Attention à ne pas confondre forme dans le repère en mouvement,
et forme "vue" par un observateur en tenant compte des temps de propagation
de la lumière depuis les différents points du ballon vers l’oeil de l’observateur,
qui dépend de la position de l’observateur par rapport au ballon.
0.5 Exo 5
N’est pas gagnant celui qu’on croit
a) Etant donné que les vaisseaux se déplacent de façon symétrique par
rapport au juge, ce dernier les verra atteindre leur ligne d’arrivée respective en
même temps et les déclarera ex aequo.
b) ∆s2=c2∆t2−∆x2,∆x= 1,6a.l, ∆t= 0, donc ∆s2=−2,56 a.l.2.
c) ∆s2<0: intervalle de genre espace. Il n’existe pas de référentiel où les
deux évènements seraient distants de moins de 1,6a.l. En effet supposons que
dans un référentiel R0,∆x0<1,6. Comme ∆s02=c2∆t02−∆x02, et ∆t02>0, on
aurait ∆s02>∆s2, ce qui est contradictoire avec le fait que ∆s2est un invariant
relativiste.
d.1) t0
1=γ(t1−V x1/c2) = 0,6a. ; t0 2=γ(t2−V x2/c2) = −2,74 a.
d.2) I. est vrai : on a t0
1> t0 2. Comme le problème est symétrique, alors
on peut dire sans calcul qu’on trouve t”1< t”2dans le référentiel R”du second
vaisseau.
0.6 Exo 6
Une autre course de vaisseaux
a) t1=L1/v1,t2=L2/v2=t1=L1/v1. Les deux vaisseaux arrivent
simultanément dans R. Ils sont ex aequo.
b) L0
1=p1−v2
1/c2L1,L0
2=p1−v2
1/c2L2= 2p1−v2 1/c2L1.
c) Dans R0la vitesse du vaisseau 1 est nulle, celle de la terre vaut v1par
symétrie. Donc t0
1=p1−v2
1/c2L1/v1.
d) La vitesse du vaisseau 2 s’obtient par composition des vitesses relati-
vistes :
v0
2=v2−v1
1−v1v2/c2=v1 1−2v2
1/c2.
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e) Dans R0le vaisseau 2 se rapproche de la terre à la vitesse v0
2et la Terre
se rapproche du vaisseau 2 à la vitesse v1. Ils se rencontrent à l’instant t0
2. La
distance à parcourir en tout est L0
2. Ainsi
L0
2=v1t0 2+v0 2t0 2, soit
t0
2=2p1−v2
1/c2L1
v1(1 + 1
1−2v2
1/c2)
f) De c) et e) on déduit
t0
2
t0
1
=2p1−v2
1/c2L1
v1(1 + 1
1−2v2
1/c2)
v1
p1−v2
1/c2L1
=2
1 + 1
1−2v2
1/c2
g) On a v1≤c/2car alors v2= 2v1≤c. Ainsi 2/3≤(t0
2/t0 1)≤1.
h) Le vaisseau 2 est donc sûr de gagner dans cette configuration car t0
2≤t0 1.
Il devrait accepter la proposition du pilote 1.
i) Dans le référentiel Rles évènements sont simultanés. Il ne peut alors
s’agir que d’un intervalle de type espace, et donc ∆s2<0.
0.7 Exo 7
Croisement de fusées
a)
t=d/v1=4années ∗c
(4/5) c= 5 années
b) Il y a dilatation (relativiste) des durées ! C’est-à-dire que la durée t
du voyage pour un observateur terrestre est augmentée (dilatée) par le facteur
γ1comparé à la durée du voyage t’ pour un observateur à bord de la fusée :
t=γ1∗t0, d’où :
t0=t
γ1
=d
v1γ1
avec :
γ1=1
p1−β2
1
=1
q1−(4/5)2=1
0,6'1,67
Donc :
t0= 0,6∗5années = 3 années
c) On applique les formules de Lorentz exprimant les coordonnées d’un
même événement (le départ de la terre de la première fusée ou le départ de
Proxima du Centaure de la seconde fusée) dans deux référentiels différents, R
et R0:
Pour le départ de la terre de la première fusée dans R0(défini par β1) :
x0
A=γ1(xA−β1ctA)=0
t0
A=γ1(tA−β1xA/c)=0
Et pour le départ de Proxima du Centaure de la seconde fusée dans R0(défini
aussi par β1!) :
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