Formules de Taylor

Cours PCSI
Formules de Taylor
Table des matières
Introduction..........................................................................................................................................2
I- Formule de Taylor avec reste intégral...............................................................................................4
1- Théorème.....................................................................................................................................4
2- Application aux polynômes.........................................................................................................5
II- Inégalité de Taylor-Lagrange...........................................................................................................7
III- Formule de Taylor Young...............................................................................................................9
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Formules de Taylor
Introduction
Les formules de Taylor permettent d'approcher des fonctions transcendantes par des polynômes.
Elles permettent d'approcher des irrationnels par des rationnels (exemple e). (Taylor-Lagrange).
Développement en série.
TAYLOR Brook, anglais, 1685-1731
Savant éclectique, Brook Taylor s'adonna à la musique, à la peinture et à la philosophie. Il fut formé
aux mathématiques par John Machin et compléta ses études à l'université de Cambridge.
Admirateur de Newton, dont il adopta les idées et perfectionna sa méthode des fluxions, Taylor fut
membre de la Royal Society de Londres (l'équivalent de notre Académie des sciences) dès 1712 (il
n'a que 27 ans). Il en fut le secrétaire en 1714.
En dehors de certains travaux en géométrie axés sur la perspective qui servira de base à la
photogrammétrie, on lui doit principalement la publication (1715-1717) de son traité sur le
développement en série des fonctions : Methodus incrementorum directa et inversa, qui engendra
injustement des disputes de paternité car il fut le premier à établir de tels développements dans le
cas général et non pour une fonction particulière.
La célèbre formule est en fait l'aboutissement de travaux entamés auparavant par Gregory, Newton,
Leibniz et Jacques Bernoulli. Selon CDSB, en 1712, dans une lettre à son ancien maître, John
Machin, Taylor écrit que sa formule est née du problème de Kepler concernant le calcul de
l'anomalie excentrique d'une planète :
Le calcul (ou la majoration) du reste rn n'est pas étudié rigoureusement par Taylor. Un exemple de
développement de Taylor convergent, mais non vers la fonction initiale, fut d'ailleurs donné par
Cauchy au moyen de la fonction :
e
1
2
x
C'est pourquoi, suite à des travaux ultérieurs, sa formule est partiellement rebaptisée : formule de
Taylor-Lagrange, Taylor-Young, Taylor-Laplace :
Extraits de http://serge.mehl.free.fr/
Formule de Taylor avec reste intégral (f de classe C n+1 ): généralisation de :
x
f ( x )= f (a )+∫ f ' ( t ) dt pour une fonction de classe C 1 .
a
Inégalité de Taylor-Lagrange, (f de classe C n+1 ): généralisation de l'inégalité des
accroissements finis. Si f est de classe C 1 et que ∣ f '∣ est majorée par M.
∣ f (b) f ( a)∣≤M (b a)
Inégalité de Taylor-Young (f est de classe C n ), généralisation de f de classe C 1 :
f ( x )= f (a )+ f ' (a)( x a)+ǫ( x)( x a)
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I- Formule de Taylor avec reste intégral.
1- Théorème
Soit
f une fonction de classe Cn +1 sur un intervalle I et (a , b)∈I 2 , on a :
n
f ( b)=∑
k =0
f (k ) (a )
( b t) n (n+1)
k
( t)dt
( b a) +∫
f
k!
n!
a
b
Remarque : la formule peut s'écrire avec x.
Démonstration : récurrence sur n.
Initialisation :
Au rang 0, la formule de Taylor avec reste intégral est :
b
f ( b)=f (a )+∫ f '(t) dt pour
f ∈C 1 ( I ) (intégrale opération inverse de la dérivée).
a
Hérédité.
On suppose que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'elle est vraie au rang n+1.
Soit f une fonction de classe C n +2 sur un intervalle I, montrons que :
n +1
b
( b a)k (k)
( b t) n+1 ( n+2)
f ( b)=∑
f (a )+∫
f
( t )dt .
k!
k =0
a ( n+1)!
f est une fonction de classe C n +2 sur I, donc f est de classe C n +1 sur I.
On applique l'hypothèse de récurrence.
b
n
( b a)k k
( b t )n n+1
f (a)+∫
f ( t)dt (1)
k!
n!
k =0
a
f ( b)=∑
( b t)n
et f ( n+1) sont de classe C1 sur [a , b ] .
n!
On peut faire un intégration par parties et on obtient :
Les fonction g (t)=
b
[
( b t ) n (n+1)
∫ n ! f (t )dt =
a
b
∫
a
]
b
( b t )n +1 (n +1)
( b t) n+1 (n+2)
f
(t ) +∫
f
( t) dt
(n+1) !
a
a ( n+1) !
b
( b t ) n (n+1)
( b a) n+1 (n +1)
( b t )n +1 (n +2)
f
(t )dt =
f
(a )+∫
f
( t) dt .
n!
(n +1) !
a ( n+1)!
b
Et en remplaçant l'intégrale dans (1) on obtient le résultat.
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Remarques : la formule de Taylor avec reste intégral est une égalité.
Permet de faire des développements en série si le reste tend vers 0.
Si les dérivées f (n ) ont le même majorant, démonstration plus facile.
n
Exemple : e =∑
x
k=0
+∞
( x t) n t
xk
xk
+∫
e dt . Et on obtient : e x =∑
k ! 0 n!
k=0 k !
x
Écriture du reste avec des bornes fixes.
t a
⇒dt =(b a )dx
On effectue le changement de variable : t =(b a )x+a et x=
b a
b
1
( b t ) n n +1
( b ((b a)x+a )) n n+1
(t
)
dt=
f
f (( b a) x+a)( b a) dx
∫ n!
∫
n!
a
0
b
1
( b t ) n n +1
( b a )n+1
f
(
t)
dt=
∫ n!
∫ (1 x)n f n +1 (a+(b a ) x) dx
n
!
a
0
2- Application aux polynômes.
Soit
P un polynôme de degré n , on a P(n +1 ) est le polynôme nul et on obtient :
x
n
(x a)k (k )
( x t)n (n +1)
( t ) dt et comme P(n +1 )=0 .
P (a )+∫
P
k
!
n
!
k =0
a
P (x)=∑
Théorème : formule de Taylor pour les polynômes.
n
P (X)= ∑
k=0
P(k ) (a )
( X a) k
k!
Corollaire :
∀ a∈ K , ((X a) k )0≤k≤ n forme une base de K [X] .
Démonstration : elle est génératrice et a (n+1) éléments.
Remarque : on peut démontrer la formule de Taylor par d'autres méthodes.
1 ère méthode : formule de Mac-Laurin.
n
k
On peut la démontrer d'abord en 0. Si P=∑ a k X alors a k k !=P(k ) (0) et a k =
k =0
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P(k ) (0)
et :
k!
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n
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(k )
P (0) k
P (X)= ∑
X .
k!
k=0
Pour la démontrer en a , on pose Q( X)=P(X+a) et on applique la relation précédente au
polynôme Q. Puis on retrouve le résultat avec P (X)=Q(X a) .
2 ième méthode : l'algèbre linéaire.
On démontrer que la famille (( X a) k )0≤k≤ n est libre car car elle est échelonnée en degré.
Elle a (n+1) éléments et dim (K n [ X ])=n+1 . C'est donc une base, et P peut s'écrire.
n
P=∑ λ k ( X a )k Et on a : P(k ) (a )=k ! λ k ⇒ λ k=
k =0
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P(k ) (a )
k!
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II- Inégalité de Taylor-Lagrange.
Théorème
Soit
∣
f une fonction de classe Cn +1 sur [a , b] .
∣
( b a) k k
( b a)n +1
(a
)
≤M
f
, avec
∑ k!
( n+1)!
k =0
n
f ( b)
M = sup ∣ f ' (t )∣
t ∈[a , b]
Démonstration :
C'est un corollaire de la formule de Taylor avec reste intégral.
b
n
( b a)k (k)
( b t) n (n+1)
f ( b) ∑
f (a )=∫
f
( t)dt
k!
n!
k =0
a
∣
∣
∣∣
∣ ∫∣
∣
b
( b a) k (k)
(b t)n (n +1)
f ( a) = ∫
f
f ( b) ∑
( t) dt
k!
n!
k =0
a
f ( b)
n
n
k
b
∣
n
( b a)
(b t)
∑ k ! f (k) ( a) ≤ n ! f (n+1) ( t) dt
k =0
a
Sur [a , b] , (b t) est positif donc :
∣
n
∣
b
( b a) k (k)
( b t) n (n +1)
f ( b) ∑
f ( a) ≤∫
∣f ( t)∣dt
k!
n!
k =0
a
Or : ∀ t ∈[a , b],∣f (n+1) ( t)∣≤M
∣
∣
∣
∣
f ( b)
n
∣
∣ ∫
∣ [
∣
b
( b a) k k
( b t )n
f
(a
)
≤
∑ k!
∫ n ! M dt
k =0
a
n
( b a) k k
f ( b) ∑
f (a ) ≤M
k!
k =0
( b a) k k
f ( b) ∑
f (a ) ≤M
k!
k =0
f ( b)
n
b
a
( b t )n
dt
n!
( b t)n +1
( n+1)!
]
b
a
( b a) k k
( b a)n +1
f
(a
)
≤M
∑ k!
( n+1)!
k =0
n
Remarque
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Pour n=0, l'inégalité de Taylor Lagrange se traduit par : une fonction dérivable qui a une
dérivée bornée est lipschitzienne. Inégalité des accroissements finis.
∣f ( b) f (a )∣≤M (b a ) .
- Pour a=0 , on obtient une majoration par : M
∣x∣n+1
qui est un O( x n+1) et donc un
(n+1)!
o( x n )
Joseph-Lagrange (1736-1813) né à Turin (Italie)
Enseigne les mathématiques à l'âge de 19 ans.
Mécanique analytique. Problème des 3 corps.
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III- Formule de Taylor Young
Théorème
Si
f est une fonction de classe Cn sur
n
f ( x)=∑
k =0
I , alors :
f (k ) (a )
k
n
( x a ) +o( x a) .
k!
Il existe une fonction ǫ qui tend vers zéro lorsque x tend vers a telle que :
n
f ( x)=∑
k =0
(k )
f (a )
( x a )k+(x a) n ǫ( x)
k!
Remarque : si f est de classe C n+1 , le résultat est une conséquence directe de l'inégalité de
Taylor-Lagrange. Dans ce cas le reste est même un O( x a) n+1 . A fortiori pour des fonctions de
classe C ∞ .
Démonstration
n
On pose : g (x )=f ( x)
∑
k =0
(k )
f (a )
(x a )k .
k!
On doit montrer que : g ( x)=o( x a)n c'est-à-dire que :
lim
x →a
g ( x)
=0
( x a )n
On a : g ( a)=0 . Et on trouve de même que
g (a )=g '(a)=....=g(n
1)
g ' (a )=0 et on a :
(a)=0 (on a aussi
D'après l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à
∣
n 1
g (n) ( a)=0 )
g qui est de classe C (n
∣
( x a) k k
( x a) n
g (x) ∑
g (a) ≤
sup ∣g(n) ( α)∣ et donc :
k!
n! α∈[a ,x ]
k =0
Or : ∀ k , 0≤k ≤n 1 ,
∣g (x)∣≤
∣g (x )∣
( x a) n
g (k) ( a)=0 . Donc :
1
( x a )n
sup ∣g(n ) (α)∣ . Et on a :
sup ∣g(n ) (α)∣ . On pose : ǫ n ( x)=
n ! α∈[ a, x ]
n ! α∈[a , x]
ǫn (x )=0 .
≤ǫ n (x) avec lim
x →a
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1 )+1
, on obtient :
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Car
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g (n) ( a)=0 et g (n) est continue en a.
On en déduit que : g (x )=o ((x a )n ) et g (x )=f ( x)
n
On a démontré que : f ( x)=∑
k =0
n
∑
k =0
k
f (a)
(x a)k =o (( x a )n ) .
k!
k
f (a)
k
n
(x a) +(x a ) ǫ n ( x)
k!
Remarques : Taylor avec reste intégral et Taylor Lagrange sont globales et Taylor-Young est locale.
Généralisation de f classe C 1 :
f ( x )= f (a )+ f ' ( a)( x a)+ǫ( x)( x a) .
Permet de déterminer les développements limités des fonctions usuelles.
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