Mathématiques appliquées `a la construction

Mathématiques appliquées à la construction - Cours 9
1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
La fonction exponentielle de base est une fonction de la forme :
f (x) = bx
où la constante b > 0 et b 6= 1. On appelle b la base.
Base naturelle
On appelle base naturelle le nombre irrationnel e ≈ 2, 7182818284590452353602874 . . .
Développements de e
e = 1+
= 1+
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ ...
1 1×2 1×2×3 1×2×3×4 1×2×3×4×5
1
1
1
1
1
+ + + + + ...
1! 2! 3! 4! 5!
n
1
1+
n
1
1
1+
1
100
1
1+
100
10 000
1
1+
10 000
1 000 000
1
1+
1 000 000
100 000 000
1
1+
100 000 000
10 000 000 000
1
1+
10 000 000 000
Valeur numérique
2,000000000. . .
2,704813829. . .
2,718145927. . .
2,718280469. . .
2,718281815. . .
2,718281828. . .
Caractéristiques de la fonction exponentielle f (x) = bx
• Domaine :
• Image :
2
Mathématiques appliquées à la construction - Cours 9
• Ordonnée à l’origine :
• Croissance :
• Décroissance :
Graphique d’une fonction exponentielle
(a)
(b)
Transformation de la fonction exponentielle
Lorsque la fonction exponentielle f (x) = bx est transformée :
g(x) = a · bx−h + k
a:
h:
k:
3
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12
10
8
6
4
2
-2
-1
1
2
1
2
1
2
4
3
2
1
-2
-1
5
4
3
2
1
-2
-1
Figure 1: Haut : Comparaison de f (x) = 2x et g(x) = 3 · 2x , Milieu : Comparaison
de f (x) = 2x et g(x) = 2x−1 , Bas : Comparaison de f (x) = 2x et g(x) = 2x + 1
Exercice : Trouver la ou les valeurs de x qui satisfont les équations suivantes :
4x · 8x+1 = 16
3
x+1
=
1
27
x−2
4
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EXERCICES
Question 1: Indiquer les fonctions exponentielles parmi les fonctions suivantes.
a) f (x) = 4x
x
1
b) f (x) =
4
d) f (x) = 1x
c) f (x) = x4
f) f (x) = π x
e) f (x) = (−4)x
Question 2: Faire l’étude des fonctions f (x) = 4x et g(x) =
étapes suivantes:
1 x
4
en respectant les
a) Trouver le domaine;
b) Trouver l’ensemble image;
c) Trouver le point d’intersection du graphique avec l’axe des y;
d) Étudier la croissance/décroissance de la fonction.
Question 3: Trouver la règle de correspondance de la fonction exponentielle y = bx
qui passe par chacun des points (x, y) suivants.
c) (4; 81)
1
d)
−4;
10000
a) (3; 125)
1
b)
−5;
32
Question 4: En tenant compte de la croissance ou de la décroissance de la fonction
exponentielle appropriée, trouver le plus grand des deux nombres.
√
2
√
3
a) 24−14 et 24−8
d) 200
b) (0, 25)1/4 et (0, 25)1/10
45
100
3
3
c)
et
5
5
e) 151/7 et 15−7
−8
−19
1
1
f)
et
2
2
et 200
Question 5: Trouver l’ensemble solution de chacune des équations suivantes.
a) 53x = 25
b) 7x−1 =
f)
1
343
c) 92x+1 = 27
d) 4x
2 −1
=1
e) 3(92x ) =
1 1−x
3
52+x
1
=
25x
5
g) 8x+3 = 16x
1
h) 2 42x+3 =
8
i)
41+x
1
= 2x
x
2
8
5
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j)
105x−7
1002x = 10004−x
k) (0, 25)x+2 = (0, 5)3−4x
l)
6x
= 243
2x
Question 6: Déterminer les coordonnées du point d’intersection avec l’axe horizontal
et avec l’axe vertical des fonctions ci-dessous (si ces coordonnées existent).
a) f (x) = 3x−1
c) f (x) = 2−3x
b) f (x) = 2x+1 − 4
d) f (x) =
1 x
·4
2
Question 7: Dans une pièce isolée, on installe un déshumidificateur pour voir de
quelle manière décroı̂t le taux d’humidité relative. On accroı̂t le taux d’humidité
relative à 100% et on démarre le déhumidificateur. Après deux heures, le taux
d’humidité relative de la pièce est de 81%. Supposons que le taux d’humidité relative
décroı̂t en obéissant à une fonction exponentielle de la forme f (t) = a · bt où t est le
temps en heures écoulé depuis le début de l’expérience.
a) En fonction des mesures données, déterminer les valeurs des paramètres a et b
de la fonction exponentielle.
b) Quel est le taux d’humidité relative après 3h?
c) Votre objectif est d’atteindre un niveau de confort après 5h (taux d’humidité
relative inférieur à 60%). Cela est-il réalisé grâce au déhumidificateur?
Lorsqu’il fonctionne, le déhumidificateur chauffe et fait augmenter la température de
la pièce de manière exponentielle g(t) = c · dt . La température de la pièce au début de
l’expérience est de 20◦ C et elle augmente de 2◦ C après 1h.
d) En fonction des mesures données, déterminer les valeurs des paramètres c et d
de la fonction exponentielle.
e) Quel est la température dans la pièce après 3h?
f) Votre objectif est de ne pas dépasser une température de 30◦ C après 5h de
fonctionnement. Cela est-il réalisé grâce au déhumidificateur?
SOLUTIONS
1a) oui
1f) oui
1b) oui
2a) Dom(f ) = R
1c) non
Dom(g) = R
1d) non
2b) Ima(f ) = R+∗
1e) non
Ima(g) = R+∗
6
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2c) (0, 1) et (0, 1)
5g) {9}
2d) f est croissante sur R
5h) {−5/2}
g est décroissante sur R
3a) y = 5x
3b) y = 2
x
3c) y = 3
x
5j) {19/12}
5k) {−1/6}
3d) y = 10
4a) 24
5l) {5}
x
−8
4b) (0, 25)1/10
45
4c) 35
4d) 200
√
3
4e) 151/7
−19
4f) 12
5a) {2/3}
5b) {−2}
5c) {1/4}
5d) {−1, 1}
5e) {0}
5f) {3}
5i) {−2/7}
6a) (0, 1/3)
6b) (0, −2) et (1, 0)
6c) 0, 1
6d) (0, 1/2)
7a) f (t) = 100 ·
9
10
t
7b) 72, 9 %
7c) Oui, après 5h, on observe un taux
d’humidité de 59, 049 %
t
11
7d) g(t) = 20 ·
10
7e) 24, 2◦ C
7f) Non, après 5h, on observe une
température de 32, 2102◦C