Mathématiques appliquées `a la construction

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 9 1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
La fonction exponentielle de base est une fonction de la forme :
f(x) = bx
o`u la constante b > 0 et b6= 1. On appelle bla base.
Base naturelle
On appelle base naturelle le nombre irrationnel e≈2,7182818284590452353602874 . . .
D´eveloppements de e
e= 1 + 1
1+1 1×2+1 1×2×3+1 1×2×3×4+1 1×2×3×4×5+...
= 1 + 1
1! +1 2! +1 3! +1 4! +1 5! +...
1 + 1
nn
Valeur num´erique
1 + 1
11
2,000000000. . .
1 + 1
100100
2,704813829. . .
1 + 1
10 00010 000
2,718145927. . .
1 + 1
1 000 0001 000 000
2,718280469. . .
1 + 1
100 000 000100 000 000
2,718281815. . .
1 + 1
10 000 000 00010 000 000 000
2,718281828. . .
Caract´eristiques de la fonction exponentielle f(x) = bx
•Domaine :
•Image :

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 9 2
•Ordonn´ee `a l’origine :
•Croissance :
•D´ecroissance :
Graphique d’une fonction exponentielle
(a) (b)
Transformation de la fonction exponentielle
Lorsque la fonction exponentielle f(x) = bxest transform´ee :
g(x) = a·bx−h+k
a :
h :
k :

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 9 3
-2 -1 1 2
2
4
6
8
10
12
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
Figure 1: Haut : Comparaison de f(x) = 2xet g(x) = 3 ·2x,Milieu : Comparaison
de f(x) = 2xet g(x) = 2x−1,Bas : Comparaison de f(x) = 2xet g(x) = 2x+ 1
Exercice : Trouver la ou les valeurs de xqui satisfont les ´equations suivantes :
4x·8x+1 = 16 3x+1 =1
27x−2

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 9 4
EXERCICES
Question 1: Indiquer les fonctions exponentielles parmi les fonctions suivantes.
a) f(x) = 4x
b) f(x) = 1
4x
c) f(x) = x4
d) f(x) = 1x
e) f(x) = (−4)x
f) f(x) = πx
Question 2: Faire l’´etude des fonctions f(x) = 4xet g(x) = 1
4xen respectant les
´etapes suivantes:
a) Trouver le domaine;
b) Trouver l’ensemble image;
c) Trouver le point d’intersection du graphique avec l’axe des y;
d) ´ Etudier la croissance/d´ecroissance de la fonction.
Question 3: Trouver la r`egle de correspondance de la fonction exponentielle y=bx
qui passe par chacun des points (x, y) suivants.
a) (3; 125)
b) −5; 1
32
c) (4; 81)
d) −4; 1
10000
Question 4: En tenant compte de la croissance ou de la d´ecroissance de la fonction
exponentielle appropri´ee, trouver le plus grand des deux nombres.
a) 24−14 et 24−8
b) (0,25)1/4et (0,25)1/10
c) 3
545
et 3
5100
d) 200√2et 200√3
e) 151/7et 15−7
f) 1
2−8
et 1
2−19
Question 5: Trouver l’ensemble solution de chacune des ´equations suivantes.
a) 53x= 25
b) 7x−1=1
343
c) 92x+1 = 27
d) 4x2−1= 1
e) 3(92x) = 1
31−x
f) 52+x
25x=1 5
g) 8x+3 = 16x
h) 2 42x+3=1
8
i) 41+x
2x=1 82x

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 9 5
j) 105x−71002x= 10004−x
k) (0,25)x+2 = (0,5)3−4x
l) 6x
2x= 243
Question 6: D´eterminer les coordonn´ees du point d’intersection avec l’axe horizontal
et avec l’axe vertical des fonctions ci-dessous (si ces coordonn´ees existent).
a) f(x) = 3x−1
b) f(x) = 2x+1 −4
c) f(x) = 2−3x
d) f(x) = 1
2·4x
Question 7: Dans une pi`ece isol´ee, on installe un d´eshumidificateur pour voir de
quelle mani`ere d´ecroˆıt le taux d’humidit´e relative. On accroˆıt le taux d’humidit´e
relative `a 100% et on d´emarre le d´ehumidificateur. Apr`es deux heures, le taux
d’humidit´e relative de la pi`ece est de 81%. Supposons que le taux d’humidit´e relative
d´ecroˆıt en ob´eissant `a une fonction exponentielle de la forme f(t) = a·bto`u t est le
temps en heures ´ecoul´e depuis le d´ebut de l’exp´erience.
a) En fonction des mesures donn´ees, d´eterminer les valeurs des param`etres aet b
de la fonction exponentielle.
b) Quel est le taux d’humidit´e relative apr`es 3h?
c) Votre objectif est d’atteindre un niveau de confort apr`es 5h (taux d’humidit´e
relative inf´erieur `a 60%). Cela est-il r´ealis´e grˆace au d´ehumidificateur?
Lorsqu’il fonctionne, le d´ehumidificateur chauffe et fait augmenter la temp´erature de
la pi`ece de mani`ere exponentielle g(t) = c·dt. La temp´erature de la pi`ece au d´ebut de
l’exp´erience est de 20◦C et elle augmente de 2◦C apr`es 1h.
d) En fonction des mesures donn´ees, d´eterminer les valeurs des param`etres cet d
de la fonction exponentielle.
e) Quel est la temp´erature dans la pi`ece apr`es 3h?
f) Votre objectif est de ne pas d´epasser une temp´erature de 30◦C apr`es 5h de
fonctionnement. Cela est-il r´ealis´e grˆace au d´ehumidificateur?
SOLUTIONS
1a) oui
1b) oui
1c) non
1d) non
1e) non
1f) oui
2a) Dom(f) = R
Dom(g) = R
2b) Ima(f) = R+∗
Ima(g) = R+∗