Mouvement Brownien Exité

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE 20 AOUT 55 DE SKIKDA
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DES SCIENCES FONDAMONTALES
MEMOIRE
POUR L’OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER EN
MATHEMATIQUES DE L’ECOLE DOCTORALE
OPTION
PROBABILITES ET STATISTIQUES
Intitulé :
Présenté par : Halim Atoui
Soutenu devant le jury
Année universitaire 2009/2010
PRESIDENT A. NOUAR M.C U.SKIKDA
RAPPORTEUR H. BOUTABIA Prof U.Badji Mokhtar
EXAMINATEUR N. DJELLAB M.C U.Badji Mokhtar
EXAMINATEUR M.R. REMITA M.C U.Badji Mokhtar
Mouvement Br
ownien Exité

Table des matières
1 Rappels de calcul stochastique 1
1.1 Généralités sur les processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Intégralestochastique. .................................. 6
1.2.1 Intégrale par rapport au MB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Intégration par rapport à une martingale continue . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Semimartingales.................................. 10
1.2.4 Résultats importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Equations di¤érentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Processus de Markov et Di¤usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Distributions invariantes et loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . 19
2 Temps Locaux Et Excursions 22
2.1 TempsLocaux....................................... 23
2.1.1 Temps local brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Excursions......................................... 27
2.2.1 Processus de Poisson ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Excursions Browniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Mouvement Brownien Excité 30
3.1 Décompositon trajéctorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Théorème de Ray-Knight pour X1et X2........................ 38
3.3 Drift homogène, comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Critère de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 conclusion ........................................ 52
i

ii
Remerciements
Je tiens à exprimer ma reconnaissance à Monsieur H. Boutabia Professeur à l’université de
Annaba qui m’a donné l’idée de ce travail. il m’a communiqué le goût de la théorie d’approximation
et m’a beaucoup appris dans ce domaine. il m’a o¤ert toutes les facilités a…n de me permettre de
réaliser mon travail.
Je remercie vivement Monsieur A. Nouar Maître de conférence à l’université de Skikda d’avoir
accepté de présider le jury de ma soutenance.
Je remercie in…niment Madame N. Djellab Maître de conférence à l’université de Annaba, Mon-
sieur R. Remita, Maître de conférence à l’université de Annaba d’avoir acceptés d’examiner mon
travail.
En…n je remercie tous mes amis et tout le personnel administratif du département de mathématiques

iii
Abstract
We study a natural continuous time version of excited random walks, “Excited Brownian motions”
in Rdwhen specialised and simpli…ed to d= 1;becomes the stochastic di¤erential equation
Xt=Bt+
t
Z
0
gXs; LXs
sds;
for some bounded measurable g; and where Bis a Brownian motion and (Lx
t:t0; x 2R)
is the local time process of X. Though Xis not Markovian, an analogue of the Ray-Knight
theorem holds for Lx
1;which allows one to obtain a necessary and su¢ cient condition for
recurrence and to prove in many cases of interest that limt!1 Xt=t exists almost surely, and
to identify the limit.
Keywords : Reinforced process; Excited process ; Recurrence ; Law of large numbers.

iv
Résumé
Nous étudions la version continue en temps des marches aléatoires excitées ; “Mouvements Brow-
niens Excités”dé…nis par l’équation di¤érentielle stochastique
Xt=Bt+
t
Z
0
gXs; LXs
sds;
pour une certaine fonction gmesurable et bornée, et où Best un mouvement brownien et (Lx
t:t0; x 2R)
est le processus du temps local de X: Bien que Xne soit pas markovien, un analogue du théorème
de Ray-Knight se tient pour Lx
1;ce qui permet d’obtenir une condition nécessaire et su¢ sante pour
caractèriser la récurrence, et de prouver dans de nombreux cas d’intérêt que limt!1 Xt=t existe
presque sûrement en donnant la forme explicité de cette limite.
Mots clés : processus renforcés ; Processus excités; Récurrence; Loi des grands nombres.