TES/Spé TL Eléments de correction du D.N.S n°8 pour le Vendredi

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Eléments de correction du D.N.S n°8 pour le Vendredi 11 Janvier 2013
Objectifs : Savoir repérer les indications d’un énoncé (probabilités)
Donner du sens à un algorithme.
Dans cet exercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 10−3 près.
Exercice 1 :
Une étude sur la fréquentation d’une salle de spectacle a permis d’établir les résultats suivants :

60 % des spectateurs possèdent un abonnement ;

parmi les spectateurs ne possédant pas d’abonnement, 75 % ont été influencé par une critique ;

24 % des spectateurs possèdent un abonnement et ont été influencé par une critique.
A la sortie d’un spectacle, on choisit un spectateur au hasard et on note :
A l’évènement : « le spectateur possède un abonnement » ;
C l’évènement : « le spectateur a été influencé par une critique ».
1. a. Grâce aux données de l’énoncé, donner les probabilités suivantes p(A), p  A  C  et p A (C)
C
A
0,6
C
(0,4)
0,75
C
(0,25)
C
A

60 % des spectateurs possèdent un abonnement donc p(A) = 0,60

24 % des spectateurs possèdent un abonnement et ont été influencé par une critique.
donc p  A  C  = 0,24

parmi les spectateurs ne possédant pas d’abonnement, 75 % ont été influencé par une critique
donc p A (C) = 0,75
b. Calculer pA  C  .
pA (C) =
p ( A ∩ C) 0,24
24
=
=
= 0,4
p (A)
0,6
60
on a donc
0,4
C
0,6
(0,6)
C
(0,4)
0,75
C
(0,25)
C
A
A
2. Démontrer que la probabilité de l’évènement C est 0,54.
p(C) = p(AC) + p( A C)
p(C) = 0,24+ p( A )  pA(C)
p(C) = 0,24 + 0,4  0,75
p(C) = 0,24 + 0,3
p(C) = 0,54
3. Le spectateur choisi n’a pas été influencé par une critique, quelle est la probabilité que ce soit un
spectateur possédant un abonnement ?
p (A) × pA( C )
pC (A) =
p(A C )
pC (A) =
36 18
= ≈ 0,783
46 23
p( C )
=
p( C )
=
0,6 × (1 - pA (C) ) 0,6× ( 1 ‒ 0,4) 0,6 × 0,6 0,36
=
=
=
1‒ p (C)
1‒ 0,54
0,46
0,46
Le spectateur choisi n’a pas été influencé par une critique, la probabilité que ce soit un spectateur
possédant un abonnement est égale à environ 0,783
4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante six spectateurs.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de spectateurs qui ont un abonnement.
a. Préciser la loi de probabilité de X.

Choisir un spectateur revient à effectuer une épreuve de Bernoulli car il n’y a que deux issues
possibles :
A « avoir un abonnement » ( le succès) de probabilité 0,6
A « ne pas avoir d’abonnement » de probabilité 0,4

Choisir successivement 6 spectateurs revient à répéter de façon identique et indépendante cette
épreuve de Bernoulli donc on est en présence d’un schéma de Bernoulli et X qui est le nombre
de spectateurs qui ont un abonnement est le nombre de succès.
On peut donc affirmer que X suit la loi binomiale de paramètres 6 et 0,6
b. Quelle est la probabilité qu’il y en ait au plus deux ayant un abonnement ?
On cherche donc p ( X ≤ 2 )
p ( X ≤ 2 ) = p(X = 0 ) + p( X = 1) + p ( X = 2)
6
6
6
0
6‒0
  × (0,6)1 × (0,4)6‒1 +   × (0,6)2 × (0,4)6‒2
p ( X ≤ 2 ) =   × (0,6) × (0,4)
+
0
1
2
p ( X ≤ 2 ) = 1 × 1 × 0,46 + 6 × 0,6 × 0,45 + 15 × 0,62 × 0,44 = 0,1792≈ 0,179
La probabilité qu’il y en ait au plus deux ayant un abonnement est égale à environ 0,179
c. Calculer E(X). Interpréter ce résultat.
Comme X suit la loi binomiale de paramètres 6 ( n = 6) et 0,6 ( p = O,6), on en déduit que
E (X) = n × p = 6 × 0,6 = 3,6
On peut en déduire qu’en supposant que l’on fasse un grand nombre de le nombre moyen
de spectateurs ayant un abonnement est d’environ 3,6
Exercice 2 :
Livre p 59 n°100
1. Sens de variation de f . Est-il conforme au phénomène envisagé ?
f est définie sur [0 ; 24] par f(t) = 1,2 × 0,67t
Comme 0 < 0,67 < 1 donc t ↦ 0,67t est strictement décroissante sur IR donc sur [0 ; 24]
En multipliant par le réel strictement positif 1,2, les variations sont conservées donc f est
strictement décroissante sur [0 ; 24]
Ceci est conforme au phénomène étudié. En effet, puisqu’il s’agit de l’élimination d’un
médicament dans le sang, la concentration de ce médicament diminue au fur et à mesure de
l’augmentation du temps écoulé depuis l’instant initial.
2. Rôle de l’algorithme et valeurs affichées dans deux cas donnés
Le rôle de cet algorithme est de trouver au bout de combien d’heures (t) la concentration du
médicament dans le sang est inférieur à celle décidée ( C).
Avec Algobox
Casio :
T.I
Lorsque C = 0,5, on obtient t = 3
Lorsque C = 0,2, on obtient t = 5
3. On admet que le médicament est éliminé lorsque la concentration est inférieure à 0,06 g.l‒1.
Déterminons au bout de combien de temps le médicament est éliminé.
On cherche donc la plus petite valeur entière de t telle que f(t) < 0,06
Avec l’algorithme, on trouve t =8
Au bout de 8 heures, on considère que le médicament est éliminé.