06 - Triangle rectangle et applications

2015
Cours 4ème – Chapitre VI
Triangle rectangle et applications
I. Cosinus d’un angle aigu dans le triangle rectangle
Vocabulaire :
A
On considère l’angle aigu ACB dans le triangle
ABC rectangle en A.
Cet angle a deux côtés :
C
•
Le côté [BC] qui est l’hypoténuse
•
Le côté [AC] qui est appelé le côté adjacent à l’angle ACB
B
De même, le côté [AB] est le côté adjacent de l’angle ABC
Définition 1 : Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d’un angle aigu, le quotient de
la longueur du côté adjacent de cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
A
On note :
cos ACB =
CA côté adjacent de l'angle ACB
=
CB
hypoténuse
C
B
De même on obtiendra : cos ABC =
BA
BC
Remarques :
1
Cette formule ne s’applique q’aux triangles rectangles !
2 Du fait que AB et AC sont des longueurs, alors le cosinus d’un angle aigu est toujours
strictement positif.
3 Du fait également que les longueurs AB et AC sont inférieures à la longueur de
l’hypoténuse, le cosinus d’un angle aigu est toujours inférieur à 1.
CONCLUSION :
4
0 < cos ACB < 1
Le cosinus d’un angle aigu n’a pas d’unité !!!
M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der
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Cours 4ème – Chapitre VI
Intérêt : Le cosinus d’un angle aigu permet de calculer une longueur ou la mesure d’un
angle dans un triangle rectangle.
METHODE:
1 Calculer une longueur dans un triangle rectangle
Cas n°1: On cherche la longueur du côté adjacent.
On considère un triangle ABC rectangle en A tel que ABC = 42° et BC = 7,5 cm.
Déterminer la valeur approchée au dixième près de la longueur AB.
B
Rédaction:
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
AB
cos ABC =
BC
cos 42° =
42°
?
AB
7,5
7,5 cm
A
C
Calculatrice:
D’où :
AB = 7,5 × cos 42° ⇒ valeur exacte
AB ≈ 5,6 cm
⇒ valeur approchée
Utilisation de la calculatrice en mode « degrés ».
Cas n°2: On cherche la longueur de l'hypoténuse.
On considère un triangle XYZ rectangle en Y tel que YXZ = 54° et XY= 4 cm.
Déterminer la valeur approchée au dixième près de la longueur XZ.
Z
Rédaction:
Dans le triangle XYZ rectangle en Y, on a :
cos YXZ =
cos 54° =
XY
XZ
?
4
XZ
54°
D’où :
XZ =
4
cos 54°
XZ ≈ 6,8 cm
Y
⇒ valeur exacte
4 cm
X
Calculatrice:
⇒ valeur approchée
M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der
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Cours 4ème – Chapitre VI
2 Calculer une mesure d’angle dans un triangle rectangle
On considère un triangle KLM rectangle en K tel que : LK = 4 cm et LM = 9 cm.
Déterminer une valeur approchée au dixième près de la mesure de l’angle KLM.
Rédaction:
Dans le triangle KLM rectangle en K, on a :
cos KLM =
K
LK
LM
4 cm
4
cos KLM =
9
?
Donc : KLM ≈ 70,7°
L
M
9 cm
Calculatrice:
II. Triangle rectangle et cercle circonscrit
Rappels : droites remarquables
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le
milieu de l’hypoténuse (ou encore l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit).
C
A
I est le milieu de l’hypoténuse [BC]
du triangle ABC rectangle en C.
I
B
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Donc I est le centre du cercle
circonscrit du triangle ABC.
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Cours 4ème – Chapitre VI
Propriété 2 : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors
ce triangle est rectangle (et a pour hypoténuse ce côté).
G
Comment montrer
F
que EFG est
rectangle en G ?
D
E
R
Rédaction:
Le triangle EFG est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre le côté [EF].
Donc le triangle EFG est rectangle en G.
De la même manière, on montrerait que le triangle DEF est rectangle en D et que le triangle
FER est rectangle en R .
APPLICATION :
1°) Tracer un segment [AB] de 6 cm, puis tracer le cercle de diamètre [AB].
Placer un point C sur ce cercle tel que : BAC = 37°
2°) Montrer que le triangle ABC est rectangle.
3°) Déterminer la mesure de l’angle ABC.
4°) Calculer la longueur du segment [BC] arrondi au dixième près.
REDACTION :
1°) Faire la figure
2°) Le triangle ABC est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre le côté [AB]. Donc le
triangle ABC est rectangle en C.
3°) Dans le triangle ABC rectangle en C, la somme des angles aigus est égales à 90°,
donc :
ABC = 90° – 37° = 53°
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4°) Dans le triangle ABC rectangle en C, on a :
cos BAC =
cos 53° =
BC
BA
BC
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D’où : BC = 6 × cos 53°
Donc : BC ≈ 3,6 cm
III. Distance d’un point à une droite
Soit une droite (D) et un point A.
Le point de la droite (D) le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est
perpendiculaire à (D).
AH est appelée la distance du point A à la droite (D).
A
(D)
H
REDACTION :
La droite (MH) est perpendiculaire à la droite (D) en H. Donc la distance du point M à la droite
(D) est MH, soit 2,4 cm. (3 carreaux)
Remarque :
1 Pour tout point N de la droite (D) non confondu avec le point H, on a AH < AN.
A
(D)
N1
H
N2
N3
2 Si le point A appartient à la droite (D), alors la distance du point A à la droite (D) est nulle.
M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der
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Cours 4ème – Chapitre VI
IV - Tangente à un cercle en un point
Définition 2 : On appelle TANGENTE au cercle (C) (de centre O) en un point A de (C), la droite
passant par A perpendiculaire au rayon [OA].
Construction : Avec l’équerre
Soit (C) un cercle de centre O et A un point du cercle.
Tangente
au point A
A
Pour construire la tangente de (C)
en A, il suffit :
1 de tracer le segment [OA] ;
2 puis de tracer la droite
perpendiculaire au segment [OA]
passant par le point A.
Construction à la règle et au compas
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