1/6 COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULC) Imagerie par résonance

X Physique MP 2011 — Énoncé 1/6
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE–ÉCOLESNORMALES SUPÉRIEURES
CONCOURSD’ADMISSION2011 FILIÈREMP
COMPOSITIONDEPHYSIQUE(XULC)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
Onse contentera,pourlesapplicationsnumériques,d’un seulchiffresignificatif.
⋆ ⋆ ⋆
Imageriepar résonancemagnétique
L’imageriepar résonance magnétique(ouIRM)estunetechniqueutilisée parlesradiologues
pourvisualiserlestissusmousdu corpshumain.Ellepermeten particulierdelocaliserprécisé-
mentlescancers.Cettetechniqueutiliseun champmagnétiqueintensepourorienterlesmoments
magnétiquesdesprotonsdesmoléculesd’eau,etun champmagnétiqueoscillantpouren pertur-
berl’orientation.
Ceproblème exposeleprincipephysiquedel’IRM,etcertainsaspectsdesamise enœuvre
pratique.
Donnéesnumériques
Perméabilitédu vide:µ0=1,3×10−6H·m−1
Conductivitédu cuivre:σ=6,0×107S·m−1
Massedel’électron:me=9,1×10−31 kg
Momentmagnétiquedu proton:µ=1,4×10−26 J·T−1
ConstantedeBoltzmann :kB=1,4×10−23 J·K−1
ConstantedePlanckréduite:~=1,1×10−34 J·s
Charge élémentaire:e=1,6×10−19 C
Massedu proton:mp=1,7×10−27 kg
Vitessedelalumièredanslevide:c=3,0×108m·s−1
Formulaire
−→
rotÄ−→ rot~ Bä=−−→ gradÄdiv~ Bä−∆~ B
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X Physique MP 2011 — Énoncé 2/6
I.Production dechampsmagnétiquesintensesethomogènes
On utiliseun solénoïded’axeOz,parcouru parun courantcontinu,pourproduireun champ
magnétique.Onchoisitun systèmede coordonnéescylindro-polairesd’axeOz,donton note
(r,θ,z)lescoordonnéeset(O,~er,~eθ,~ez)lerepèreorthonormédirect.
I.1Onsupposequetoutplancontenantl’axeOzestun plan d’antisymétriedeladistribution
de courant.Quellesconditionsladensitéde courant~ j(jr,jθ,jz)doit-ellevérifierpourcela?
I.2Quellesconditionsenrésultentpourle champmagnétique~ B(Br,Bθ,Bz)?
I.3Onsupposequejθestuniformeàl’intérieurd’un cylindrederévolutioncreuxderayon
extérieurR2,derayonintérieurR1<R2,etdelongueurLtrèsgrandedevantR2.Quelle estla
particularitédu champmagnétique créé parun telsolénoïde?Donnerl’expression desavaleur
B0aucentre.
I.4Laconductivitéohmiquedu matériau,notée σ,estsupposée uniforme.Donnerl’expression
delapuissance dissipée danslesolénoïdepareffetJoule.
I.5B0,LetR2étantfixés,commentfaut-il choisirR1pourminimiserlapuissance dissipée ?
I.6Onconsidèreun solénoïdede cuivredelongueurL=1mdélivrantun champB0=1,3T.
Calculeruneborneinférieuredelapuissance dissipée.Compareràlapuissance d’un radiateur
électriqueordinaire.
I.7B0étantfixé,commentchoisirR2pourminimiserl’élévation detempératuredu solénoïde
dueàl’effetJoule?Commenter.
I.8Onréaliselabobine enenroulantun filélectriqueautourd’un cylindrederayonR1.Expliquer
pourquoi lapropriétédesymétriedelaquestionI.1nepeutpasêtre exacte.Comment réaliser
lebobinage en pratiquepourqu’ellesoitunebonneapproximation?
I.9Tracer,sanscalcul, l’alluredelavariation du champmagnétiquesurl’axeOzlorsqueR2et
Lsontdu mêmeordredegrandeur.Commentfaudrait-il modifierlebobinagepourquele champ
surl’axesoituniformeauvoisinagedu centre?Onse contenterad’uneréponsequalitative et
d’un croquis.
I.10 On parvientàréaliserunebobinetellequele champsurl’axesoitquasimentuniformedans
un intervalleautourdu centredelabobine.Montrerquele champestalorségalementuniforme
auvoisinagedel’axe.
II.Utilisation desupraconducteurs
Pours’affranchirdel’effetJoule,on utilisepourlesbobinagesdesmatériauxsupraconduc-
teurs,quiontlapropriétédepouvoir transporterun courantsansdissipationau-dessousd’une
température critiqueTc.
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X Physique MP 2011 — Énoncé 3/6
II.1Onadopteun modèlemicroscopiquedesupraconducteurdanslequel lesélectronsde conduc-
tion(de charge−eetdemasseme), initialementaurepos,sontmisenmouvementsousl’action
d’un champélectrique~ E,supposéuniforme etconstant.Ecrirel’équation du mouvementd’un
électron.
II.2On notenladensitévolumiqued’électrons,supposée uniforme.Déduiredelaquestion
précédenteunerelationsimple entre∂~ j/∂tet~ E.
II.3OnsupposequelarelationobtenueàlaquestionII.2restevalablemêmesi le champ n’est
niuniformeniconstant,etonseplace dansl’approximation desrégimesquasi-stationnaires.En
utilisantleséquationsdeMaxwell, montrerquele champmagnétiquevérifiel’équation
∂
∂tÅ−→
rot(−→ rot~ B)+1
λ2~
Bã=~ 0,(1)
oùλestunelongueurdonton donneral’expression.
II.4Calculerλpourunedensitéd’électronsde conductionn=1028 m−3.
II.5Lorsqu’on plongeun supraconducteurdansun champmagnétique extérieur, il expulse ce
champ.Cettepropriété,quiportelenomd’effetMeissner,est représentée surlafigure1.
Figure1.EffetMeissnerdansune boulesupraconductrice placée dansunchampmagnétique
lorsqu’elle estrefroidiesouslatempérature critiqueTc.Leslignes sontleslignesde champ.
Pourexpliquerl’effetMeissner,on postuleunerelation plusfortequel’équation(1):
~
rot( ~ rot~ B)+1
λ2~
B=~ 0.(2)
Onconsidèreun supraconducteuroccupantledemi-espace x>0dansun systèmede coordonnées
cartésiennesderepèreorthonormédirect(O,~ex,~ey,~ez).Onsupposequele champàl’extérieur
du supraconducteur (x<0)estuniforme etvautB0~ez,etonadmetque~
Bnedépend quede
x.Calculerle champmagnétiquepourx>0enfonction deB0,xetλ.Enquoice modèle
explique-t-il l’effetMeissner?
II.6Déterminerladensitéde courant~ j(x)àl’intérieurdu supraconducteur.
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X Physique MP 2011 — Énoncé 4/6
III.Momentsmagnétiquesetaimantation
III.1Un proton devitessenullepossèdeun momentmagnétiqueintrinsèque~µ,dontlanormeµ
estconstante,maisladirection peutvarier.L’imageriepar résonance magnétiqueutilisel’interac-
tion desprotonsdesatomesd’hydrogènedel’eauavec un champmagnétique.Donnerl’expression
del’énergiepotentielled’interaction,notée U,d’un proton(assimiléàun dipôlemagnétique)avec
un champmagnétiqueuniforme etconstant~ B0=B0~ez.
Application numérique:on donneB0=1,5T.Calculerlesvaleursmaximale etminimaledeU.
III.2UnéchantillonétudiéparIRMcontientun grand nombredeprotonsdontlesmoments
magnétiquespointentdansdesdirectionsdifférentesetaléatoires.Onadmetqu’àl’équilibre
thermodynamique, laprobabilitépourqueladirection d’un momentdonné~µsoitdansl’angle
solide élémentaired2Ωautourd’unedirection donnée vaut
dp=1
ZexpÅ−U kBTãd2Ω,(3)
oùTestlatempératureabsolue etZ=RR expÄ−U
kBTäd2Ω, l’intégraleportantsur toutesles
directions spatiales.Comments’appelle cetteloi?Dansquelcontextel’avez-vousrencontrée ?
Quelle estladirection de~µlaplusprobable?
III.3Exprimerl’énergiepotentielleUetl’anglesolide élémentaired2Ωdansun systèmede
coordonnées sphériquesd’axepolaireOz.
III.4Onsupposedorénavantque|U|est trèspetitdevantkBT.Est-ce unebonneapproximation
àtempératureambianteavec le champmagnétiquedelaquestionIII.1?
III.5Onappelleaimantationd’un échantilloncontenantNprotonslasommedeleursmoments
magnétiques,notée ~ M.Expliquerpourquoi, lorsqueN≫1, l’aimantationvautapproximative-
ment~ M≃Nh~µi,oùh~µidésignelavaleurmoyennede~µavec laloideprobabilité(3).
III.6Développerlaloideprobabilité(3)àl’ordre1enU/(kBT).Calculerlavaleurmoyennede
~µdanscetteapproximation,eten déduirequel’aimantationvérifielaloideCurie:
~
M=C
T~
B0,(4)
oùCestune constantequ’onexprimeraenfonction deN,µetkB.
III.7Rappelerl’expression du couple exercé parle champmagnétique~ B0surledipôlemagné-
tiquedemomentmagnétique~µ.
III.8Un proton devitessenulle estaniméd’un mouvementderotation propre.Cemouvement
luiconfèreun momentcinétiqueintrinsèque,nomméspinetnoté~ S,denorme constanteS=~/2,
où~estlaconstantedePlanckréduite.Onadmetquelesvecteurs~ Set~µsontproportionnels:
~µ=γ~ S,avec γ=µ/S.Montrerque~µestaniméd’un mouvementdeprécession devitesse
angulaire~ω0=ω0~ez,etdonnerl’expression deω0,ditepulsation deLarmor,enfonction deB0
etγ.Calculerω0pourB0=1,5T.
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X Physique MP 2011 — Énoncé 5/6
III.9Soitun proton devitesseinitiale~v0perpendiculaireà~ B0.Rappelerl’expression delavitesse
angulairedesatrajectoiredansle champ~ B0(pulsationcyclotron),etcomparersavaleuràcelle
delapulsation deLarmor.
IV.Résonancemagnétique
L’imageriepar résonance magnétiqueutilised’unepart un champ uniforme etconstant~ B0,
qu’onsupposeradirigésuivantl’axeOz,etd’autrepart un champ dépendantdu temps~ B1(t),
avec |~ B1|≪|~
B0|.
IV.1On place dansle champ un échantilloncontenantNprotons,avec N≫1.Onassimile
chacun de cesprotonsàun dipôlemagnétiquesoumisaucouple exercé parle champmagnétique
total~ B0+~
B1(t).Ecrirel’équation du mouvementdel’aimantation~ M(t)souslaforme
d~ M
dt=(~ω0+~ω1(t)) ∧~
M(5)
etdéfinirlevecteur rotation~ω1(t)enfonction de~ B1(t).
IV.2Le champauxiliaire~ B1(t)estun champtournantautourde~
B0etperpendiculaireàcelui-
ci. Dansun référentielgaliléen derepère cartésienR=(O,~ex,~ey,~ez),sescoordonnées sont
(B1cos(ωt),B1sin(ωt),0).On définitlerepèreR′=(O,~uX(t),~uY(t),~uZ(t)) tournantàlavitesse
angulaireωautourdel’axeOzetcoïncidantavec Ràt=0,detellesorteque~ B1(t)=B1~uX(t).
Ecrirel’équation du mouvementde~ MdansR′.
IV.3Onsupposedanstoute cettepartiequel’aimantationàt=0estlavaleurd’équilibredéter-
minée àlaquestionIII.6,~ M0=C~
B0/T.Expliquerpourquoi lescomposantesdel’aimantation
perpendiculairesàOzsontpetitespour toutt>0,saufsiωest trèsprochedeω0.
IV.4Onseplace àlarésonance,définieparω=ω0.Décrireaumoyen d’un schémal’évolution
del’aimantation dansR′puisdansR.
IV.5En prenantpourω0lavaleurobtenueàlaquestionIII.8,àqueldomainedefréquences
appartientle champ~ B1(t)?
IV.6On donneB1=3×10−5T.Calculerlanormedu vecteurdePoyntingd’uneonde électro-
magnétiqueplanede champmagnétique~ B1(t)sepropageantdanslevide.
IV.7Onseplace toujoursàlarésonance,etonappliquele champ~ B1(t)uniquemententreles
instantst=0ett=τ,oùτestchoisidetellesortequel’aimantationtourned’un angleπ/2
dansR′entrelesinstantst=0ett=τ.Donnerl’expression deτetcalculersavaleur.Montrer
quel’aimantationestun vecteurconstantpourt>τdansR′.Quelle estsadirection?
IV.8En pratique, le champ~ B0n’estpasparfaitementhomogènesur toutl’échantillon,etl’écart
àlarésonance δω=ω−ω0fluctueautourde0d’un boutàl’autredel’échantillon.Onsuppose
entoutpoint|δω|≪ω1.Décrirequalitativementcommentévoluel’aimantation del’échantillon
pourt≫τdansR′.
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