Corrigé :Solutions de la deuxième édition du Concours de mathématiques Poincaré Question 1: a) 1, 4, 9, 16, 25, etc. sont des carrés parfaits car ils sont respectivement les carrés des nombres 1, 2, 3, 4,5, etc. Le plus petit carré parfait inférieur à 1000 est 961 car Par suite, il y a 31 carrés parfaits entre 1 et 1000 dont 16 sont impairs et ainsi il y a 16 carrés parfaits dans la suite 1,3, 5, …, 999. b) 1ère ligne : 1 dont la somme est 1= 2e ligne : 3 5 dont la somme des deux nombres est égale à 3+5=8= 3e ligne : 7 9 11 dont la somme des 3 nombres est égale à 7+9+11=27= . . . 2000e ligne : sa somme est égale à Question 2 : Le triangle ABC est rectangle en B; soit h =BD, la hauteur relative à l’hypoténuse. Elle partage le triangle ABC en deux triangles rectangles, à savoir le triangle ADB et le triangle BDC. Le triangle ADB est semblable au triangle ABC car l’angle A est commun et les angles D et B sont égaux. De même, le triangle BDC est semblable au triangle ABC. Par suite, les triangles ADB et BDC sont semblables au triangle ABC. Question 3 : Soient ∑ ( . et sont deux entiers positifs quelconques; comme ( ) ( ) ( ) ( ) ( e ) ( ) car le 7 terme est ) Question 4 : [ ] Or ∑ ( ∑ )( ∑ ∑ ) ∑ et donc ∑ ( ( ( ∑ ) ( )( ) ) )( ) . Par suite, [ ] Question 5 : Soit un nombre palindrome ayant un nombre pair de chiffres; on a On a ( ) ) ( ) ( . ∑ Par suite, ( ) . Or, est divisible par 11 et donc est divisible par 11. Question 6 : ( ) ( ) Or ( ) ( D’autre part, si ) ( ) si cette limite existe. ( ) et donc ( ) . , ( ( ) Et donc ( ) ( ) ( ) ) où ( ) ( ) ( ) est une constante d’où ( ) ( ) . On obtient ( )= ( ) ( )