TD-CMCE-POLY-2017-01-19

TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
2/17
Sommaire
Sommaire ................................................................................................................................... 2
TD 1 : Capteur de position – Montage push-pull (1h15) ........................................................... 3
TD 2 : Influence de la résistance des fils de mesure : Méthode des quatre fils (0h45) .............. 4
TD 3 : Choix d’un capteur de température (2h) ......................................................................... 6
TD 4 : Jauge d’extensométrie capacitive haute température (2h) .............................................. 8
TD 5 : Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie (4h) ...................... 11
TD 6 : Conditionnement d’un capteur capacitif & Thermistance (2h) .................................... 13
TD 7 : Etude de différents conditionnements de capteurs résistifs (2h) .................................. 16
Travaux Dirigés
[email protected]
http://chamilo1.grenet.fr/ujf/courses/IUT1MPHM4201ALT/
Chaines de mesures,
de contrôle, d’essais
Module : M4201 CMCE (coefficient 3)
Unité d’Etude : 42 « Expertise en mesure, instrumentation et spécialisation»
(ALT4 2017)
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
3/17
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
4/17
TD 2 : Influence de la résistance des fils de mesure : Méthode des quatre fils (0h45)
TD 1 : Capteur de position – Montage push-pull (1h15)
Un capteur de déplacement rectiligne est constitué d'un potentiomètre linéaire
schématisé sur la figure On désigne par ∆x la valeur du déplacement du curseur par rapport à
la position milieu que l'on prend pour origine de l'axe x
On considère une résistance thermométrique PT100 de résistance RC(T) = R0(1+ αT) où
T représente la température en °C, R0 = 100Ω la résistance à 0°C et α = 3,85.10-3 °C-1 le
coefficient de température. On dispose, pour alimenter cette résistance thermométrique, d'une
carte de conditionnement fournissant une sortie de courant parfaite calibrée à I = 5 mA, les deux
entrées différentielles d'un amplificateur d'instrumentation, la borne de sortie de ce dernier et une
borne de masse. La résistance ajustable R permet de faire varier le gain de l'amplificateur et les
impédances d'entrée de ce dernier sont considérées infinies. La carte est schématisée figure 1.
1. La PT 100 est directement connectée entre la source de courant et la masse et ses bornes
sont reliées à l'amplificateur d'instrumentation (voir figure 2). Les fils de liaison sont de longueur
négligeable. Déterminer la tension de mesure Vmes et calculer la sensibilité de la mesure Smes =
dVmes/dT. Quel doit être le réglage du gain de l'amplificateur d'instrumentation pour obtenir une
sensibilité Smes = 0,1 V/°C ?
1. La course utile du potentiomètre est 2l = 10cm et sa résistance totale est 2R0. En déduire
l'expression des résistances Rb(∆x) et Rh(∆x) du potentiomètre (voir figure) pour un
déplacement ∆x du curseur par rapport à la position milieu.
2. Le potentiomètre est monté suivant le schéma de la figure. La tension de mesure Vmes,
image de la position du curseur, est mesurée par une électronique d'impédance d'entrée Rapp.
Exprimer Vmes en fonction de Rb(∆x), Rh(∆x), Rg, Rapp et Vg.
3. Que devient cette expression pour Rapp>>R0
4. En déduire la sensibilité Smes de la mesure.
5. Quelle valeur doit-on donner à Rg pour que cette sensibilité soit maximale ? Que
deviennent dans ce cas Vmes et Smes ? Calculer la sensibilité réduite Sr.
6. Afin d'assurer un fonctionnement correct du capteur, le constructeur a fixé une limite
vmax=0,2m/s pour la vitesse de déplacement v du curseur. En admettant que le curseur a un
mouvement sinusoïdal d'amplitude a = 1cm autour d'une position x0 donnée, calculer la
fréquence maximale des déplacements que l'on peut traduire avec ce système.
2. La PT100 est maintenant mise en service à distance de la carte et on doit donc tenir compte de
la résistance des fils de liaison. Ces fils de liaison sont des fils de cuivre de résistivité ρ =1,72.10-8
Ω.m, de diamètre 0.5 mm et de longueur l= 5 m. Chaque fil est modélisé par sa résistance r
(voir figure 3). Déterminer la nouvelle tension de mesure V mes2 . En déduire l’erreur δV 2 = V mes2V mes sur la tension de mesure introduite par la résistance des fils de liaison. Quelle est alors
l'erreur δT2 engendrée sur la mesure de la température ?
3. Pour pallier cette erreur, on modifie le montage pour obtenir un montage classique dit à quatre
fils : deux fils amenant le courant à la résistance thermométrique et deux fils servant à la prise de
tension aux bornes celle-ci (voir figure 4). Déterminer la nouvelle tension de mesure Vmes3 et
conclure.
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
5/17
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
6/17
TD 3 : Choix d’un capteur de température (2h)
On désire mesurer la température à l'intérieur d'une enceinte soumise à de brusques
variations de température (c'est en fait la chambre de combustion d'un moteur à explosion
monocylindre schématisé sur la figure 1). La mesure de la température est effectuée par un
thermocouple. La quantité de chaleur passant pendant un intervalle de temps dt d'un milieu de
température T2 à un milieu de température T1 est donnée par :
dq=K(T2-T1)dt où K est le coefficient d’échange entre les milieux.
Figure 1 : Conditionnement. On suppose Vmes=G(e+-e-)
Figure 1 : Chambre de combustion d’un moteur et son capteur de température.
On note Text la température absolue extérieure (supposée constante), Tcap celle du
capteur et Tenc celle de l’enceinte. Kext est le coefficient d’échange entre le capteur et
l’extérieur et Kenc celui entre l’enceinte et le capteur. M désigne la masse du capteur et C sa
chaleur massique tels que :
Figure 2 : Montage 2 fils de résistance négligeable
Figure 3 : Montage 2 fils réel
dq=M.C.dT
1. Établir le bilan énergétique lors d'une variation dTcap de la température du capteur pendant
l'intervalle élémentaire de temps dt. Donner l’équation différentielle qui donne l’évolution de
la température du capteur.
On suppose que la température extérieure est constante et on pose :
T*enc= Tenc - Text
T*cap= Tcap - Text
2. Donner l’équation différentielle qui donne l’évolution de T*cap
Figure 4 : Montage 4 fils
3. Convertir cette équ. diff. en fonction de transfert H(p)=Tcap*/Tenc* où Tenc* est
l’excitation (ou l’entrée) du système et Tcap* est la réponse (ou la sortie) du système.
Identifier l’ordre et le nature du filtre (passe haute, passe bas, passe bande etc…) ainsi que la
constante de temps et en déduire la fréquence de coupure à 3dB de ce système de mesure.
4. On considère trois thermocouples donnés dans le tableau. Calculer leurs fréquences de
coupure.
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
7/17
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
8/17
TD 4 : Jauge d’extensométrie capacitive haute température (2h)
On cherche à enregistrer les déformations d’une structure pour laquelle, pour des
raisons de températures élevées, 1’utilisation de jauges d’extensometrie collées classiques est
impossible On se propose d’étudier la jauge capacitive de la figure 1.
5. Le moteur tourne à 730 tours/minute, soit 730 cycle de température Tenc par minute. En
déduire la fréquence équivalente fm de Tenc en Hz et choisir le thermocouple offrant la
meilleure sensibilité parmi les trois proposés. Calculer la sensibilité de mesure en régime
quasi statique (f tendant vers 0) puis à la fréquence du moteur fm. Si l’on négligeait la
capacité thermique du capteur et les échanges thermiques avec le capteur, quelle serait alors
l’erreur de mesure commise, en régime quasi statique puis à la fréquence du moteur fm ?
Les trois métallisations forment les armatures de deux condensateurs C12 et C13
schématises figure 2. L’aire des armatures est S, leur longueur l et la distance entre les
armatures e La permittivité électrique de I air environnant est considérée égale à celle du vide
ε0.
l
l
On fait l'approximation grossière que la température dans l'enceinte varie
sinusoïdalement, la température extérieure restant constante et égale à 20 °C.
6. Calculer les valeurs extrêmes de la température de l'enceinte sachant que les valeurs
extrêmes données par le capteur sont Tcap1=288,8 °C et Tcap2=960,6 °C.
σ
e
l
x
0
Figure 1 : Principe de la jauge cpacitive hautes températures
l
p
(2)
(3)
(1)
e
l
x
0
Figure 2 : Armatures des condensateurs de la jauge
1. À l’origine l’armature (1) se trouve au milieu des armatures (2) et (3). Donner 1’expression
des capacités des condensateurs C12 et C13 ainsi formés. On note C0 = ε0S/2e.
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
9/17
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
10/17
5. Pour récupérer l’information intéressante, on se propose de « démoduler » ce signal en
réalisant la « détection synchrone » de la figure 5 où k est une constante, Vref une tension
continue constante et où toutes les tensions sont référencées à la masse. Déterminer
l’expression de la tension de sortie v puis vs du montage (sachant que
cos2(a)=(1/2).(1+cos(2a))). Conclure sur la linéarité de la chaine de mesure.
vmes
e
v
vs
Figure 5 : Détection synchrone
Figure 3 : Expression de la capacité de deux électrodes planes en influence partielle ;
on ne prend alors en compte que la surface effective Seff (ie. la partie en vis à vis)
2. On considère que la distance entre le milieu de l’armature (1) et la fixation vissée est
initialement de longueur L. La structure subit une contrainte σ orientée selon la direction x.
En déduire le déplacement x de l’armature (l) par rapport aux armatures (2) et (3) si le
matériau de la structure est de module d’Young E.
3. Donner alors les nouvelles expressions de C12 et C13 en fonction de x, l et C0.
4. Les condensateurs sont montés en demi-pont push-pull avec deux résistances fixes selon le
schéma de la figure 4. Le pont est alimenté en alternatif par une source de tension vg
d’amplitude Vg, de pulsation ωg et d’impédance interne négligeable. Donner l’expression de
la tension de mesure vmes en fonction de C12, C13 et Vg puis de x, l et Vg.
vg
vmes
Figure 4 : Alimentation du capteur en « pont de Sauty »
En considérant que x(t)=X.cos(wt), on réalise alors que l’on est face à une modulation
d’amplitude : AM (exit FM, MLI etc…)…telle est la réalité de tous les conditionneurs de type
« ponts » . Si l’on regarde le signal vmes du point de vu spectral, on constatera deux pics de
fréquence : l’un à ωg-ω et l’autre à ωg+ω, en traitement du signal on parle alors d’effet de
« suppression de porteuse » (car cos(a).cos(b)=(1/2).[cos(a+b)+cos(a-b)]).
On s’intéresse maintenant aux effets parasites et premièrement à l’effet de la
température au travers de la dilatation thermique des matériaux.
6. Comment réaliser le support des armatures (2) et (3) pour que la dilatation thermique du
support et de la structure n’entraîne pas de déplacement x parasite ?
7. Expliquer pourquoi la dilatation thermique du support ayant pour effet d’entraîner une
variation de l’épaisseur e des condensateurs est sans effet sur la mesure.
8. Expliquer comment on peut s’affranchir d’un défaut de fabrication qui donnerait des
épaisseurs différentes e12 et e23 aux condensateurs C12 et C13 de façon à toujours avoir
vmes=0 pour x=0.
9. En supposant tous les problèmes précédents réglés, quelle source d’erreur subsiste sur la
mesure de la valeur de la contrainte σ.
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
11/17
TD 5 : Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie (4h)
A-Etude d'un brin d'une jauge d'extensomètrie
On considère un fil cylindrique, rectiligne, de longueur l, de section s=10-2 mm2, de
résistance R égale au repos à R0 = 10 Ω, dont le matériau est de module d'Young E = 1,6 .
1011 N.m-2 et de coefficient de Poisson ν=0,3. On rappelle la loi de Hook => ∆x/x=σ/E et la
loi de Poisson => ∆y/y=-ν.∆x/x.
Ce fil est placé dans un pont de Wheatstone alimenté par une source de courant
parfaite, Ig = 10mA (voir figure 1).
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
12/17
1. En l'absence de contrainte, déterminer les expressions de la résistance longitudinale Rl des
brins longitudinaux, la résistance transversale Rt des bruns transversaux et la résistance totale
Rj
2. La jauge est parfaitement collée sur une barre cylindrique parallèlement à l’axe de celle-ci
(cf figure). La barre, qui constitue le corps d’épreuve est de longueur au repos L, de module
d’Young E0 et de coefficient de Poisson ν0. Elle est soumise à une contrainte σ0 dans le
domaine élastique. Exprimer en fonction de K, n, a, l, σ0 ,E0 et ν0 la variation relative ∆Rl/Rl ,
la variation relative ∆Rt/Rt, et en déduire la variation relative ∆Rj/Rj
=10Ω
Figure 2 : Jauge d’extensométrie et jauge collée sur le corps d’épreuve
3. Établir l'expression du coefficient de jauge Kj = (∆Rj / Rj )/(∆L / L) de la jauge en fonction
de K, n, a, l et ν0
4. On pose α=Rt/Rl . Donner l'expression approchée de Kj dans le cas où α est petit.
Figure 1 : Pont alimenté en courant
1. On soumet le fil à une force de traction F=4N dans le sens de sa longueur. Déterminer la
contrainte appliquée σ.
La jauge est utilisée sur deux supports métalliques différents : un acier de coefficient
de Poisson ν1= 0.28 et un alliage d'aluminium de coefficient de Poisson ν2 = 0.35 ; les
facteurs de jauge étant respectivement Kj1 et Kj2.
5. Exprimer l'écart relatif δK/K = | Kj1- Kj2| /K sur le coefficient de jauge.
2. Sachant que la limite élastique du matériau utilisé est de 2.109 Nm-2, vérifier que la
contrainte subie par le fil de meure est bien dans le domaine élastique.
6. Déterminer les valeurs maximales de α compatibles avec un écart relatif δK/K < 10-2 puis
δK/K < 10-3.
3. Calculer la variation relative ∆l/l de la longueur du fil.
7. Comment réduire pratiquement le rapport α ? On étudiera, par exemple, la possibilité de
réaliser une jauge carrée de 3 mm de côté. Les conditions de la question précédente sont-elles
rédhibitoires compte tenu du fil utilisé ?
4. Etablir l'expression de la tension de mesure différentielle du pont Vmes en fonction de Ig,
R et r (la nouvelle valeur de la résistance du fil).
5. Sachant que cette tension de déséquilibre du pont est de 0.13 mV lorsqu'on applique la
force de traction F au fil, exprimer et calculer la variation relative ∆R/R de la résistance de ce
dernier (pour ce faire posons r=R+∆R).
6. En déduire le cœfficient de jauge du fil : K=(∆R/R)/(∆l/l).
B-Réalisation de la jauge
On réalise une jauge d'extensométrie (voir schéma figure 2) avec du fil du type
précèdent et on se propose de calculer son coefficient de jauge Kj en fonction du coefficient
de jauge K du brin étudié précédemment. La jauge est constituée de n brins longitudinaux de
longueur l et de brins transversaux de longueur totale a.
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
13/17
TD 6 : Conditionnement d’un capteur capacitif & Thermistance (2h)
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
14/17
5. Que vaut la capacité C0 qui assure l’équilibre du pont (Vmes=0) quand le niveau
d’hydrocarbure est à zéro ?
Problème 1
On désire mesurer le niveau d’hydrocarbure dans un réservoir. Le niveau peut varier
entre 0 et L=2 mètres. Le capteur est constitué de deux conducteurs cylindriques coaxiaux
(voir figure 1) plongés dans le réservoir (non représenté). Le conducteur interne est en métal
plein. On mesure la capacité entre les conducteurs, séparés partiellement par de
l’hydrocarbure et partiellement par de l’air. On rappelle que la capacité d’un condensateur
constitué de deux conducteurs cylindriques coaxiaux en regard est
C =
6. Application numérique : donner les valeurs numérique de Vmes (valeur crête) pour une
tension Vg=24V et x=0, 0.5, 1 et 2m. En reportant ces points sur une courbe Vmes en
fonction de x, conclure sur la bonne, mauvaise ou très mauvaise linéarité de la mesure.
Plutôt que d’utiliser le pont décrit figure 2, on utilise celui donné figure 3.
2πε r ε 0 λ
ln (rext / rint )
où ε0 est la permittivité diélectrique du vide (ou de l’air), εr la permittivité relative du
diélectrique (hydrocarbure ou air selon le cas), λ la longueur du condensateur et rext et rint sont
les rayons internes et externes du capteur. On rappelle également que deux condensateurs de
capacité C1 et C2 placés en parallèle ont une capacité C1+C2 (question1.3).
On posera a =
2πε 0
ln (rext / rint )
Figure 3 : Conditionnement en pont
7. Que vaut l’impédance complexe Z0 qui assure Vmes=0 quand C(x)=C0 ? Donner la valeur
littérale et la valeur numérique pour R=100Ω et une fréquence de 1 kHz.
.
On donne ε0=8.85 10-12, rext=2.1cm, rint=0.7cm, εr=1 pour l’air et 12 pour
l’hydrocarbure.
8. Comment la réalise-t-on ? A l’aide de quel composant et de quelle valeur (capacité,
inductance, résistance ?).
Problème 2 (optionnel)
Plutôt que de monter le capteur en pont comme précédemment, on le monte
directement selon le schéma donné figure 4. On ne demande pas de valeurs numériques en
dehors de la question 5. Le générateur fournit une tension Vg=Ve.cos(ωt). Une de ses bornes
est connectée à la masse, comme l’entrée « + » de l’amplificateur le point de référence de Vs.
On suppose que le capteur a une capacité que l’on notera C (sans plus de détail).
1. Que vaut la tension Va ?
2. En déduire le courant I traversant R1
3. Quelle est l’impédance complexe du circuit constitué de R2 et C1 montés en parallèle ?
4. Déduire des questions précédentes la valeur de la tension de sortie Vs
Figure 1 : Schéma du capteur
Figure 2 : Pont de mesure
1. Exprimer et calculer la capacité du capteur quand le réservoir est vide.
capteur
2. Exprimer et calculer la capacité du capteur quand le réservoir est plein.
3. De manière générale, x étant la hauteur de liquide, calculer la capacité C(x) du capteur.
Vg
Va
Vs
4. Pour mesurer la capacité, on monte le capteur sur un pont décrit figure 2. Le générateur
assure une tension à ses bornes Vg=V0.cos(ωt). Que vaut la tension Vmes en fonction de la
hauteur de liquide, toujours notée x ?
Figure 4 : Conditionnement par ampli
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
15/17
5. On donne R1=1kΩ, R2=10 MΩ, C=100 pF, C1=10pF et une fréquence de 1 kHz. Déduire
numériquement le module de Vs/Vg.
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
16/17
TD 7 : Etude de différents conditionnements de capteurs résistifs (2h)
A-Conditionneur mixte pont/ampli-op
6. Compte tenu des valeurs précédentes, comparer R1Cω et R2C1ω au nombre 1 et déduire de
la question 2.4 que le module de Vs varie à peu près linéairement avec C. Déduire de la
question 1.5 (si vous l’avez faite), en donnant maintenant la valeur explicite de C en fonction
de x, que le module de Vs varie linéairement avec x (avec une bonne précision). Ecrire |Vs/Ve|
sous la forme α+βx et donner la valeur numérique de α et β.
Un capteur constitué d’une résistance variable R = R0 + ∆R (où R0 est constante) est
monté en pont (figure 1) alimenté par un générateur de tension constante Ea.
Problème 3
On considère une thermistance dont la résistance est donnée par R=a.eb/T où T est la
température absolue. La résistance est parcourue par un courant I de 1 microampère qui a un
effet thermique négligeable sur la thermistance. On mesure 492 mV aux bornes de la
résistance à la température de 25 degrés Celsius et 385 mV à 50 degrés Celsius.
1. Calculer numériquement les valeurs de a et b
2. Déduire la sensibilité S de la thermistance en ohms par degré, à la température de référence
de 25 degrés (indication : la sensibilité n’est pas du tout constante en fonction de la
température. Se rappeler ce qu’est la sensibilité de manière générale).
3. En déduire la sensibilité réduite S/R0 où R0 est la résistance à 25 degrés C
Figure 1
1. Sachant que l’amplificateur est idéal, donner la tension de sortie vm en fonction de R0, ∆R
et Ea.
2. On suppose que R = R0 (1 + αT ) où T est la température exprimée en degrés Celsius.
Donner la sensibilité du système en volts par degré.
B-Mesure différentielle de températures
On considère (figure 2) un potentiomètre linéaire de résistance totale 2R0 et de
longueur 2L. On note x la position du curseur comptée à partir du centre du potentiomètre et
positivement vers la droite. On note Rg et Rd les résistances des parties respectivement
gauche et droite du potentiomètre.
1. Donner la valeur de Rd et de Rg en fonction de R0, L et x (cf TD 1 !)
On considère ensuite le système donné figure 3. Le potentiomètre est en bas du
dispositif et son curseur est connecté à une borne du générateur (tension continue notée V).
Les résistances en haut à gauche et à droite sont égales à R (quelconque). Les deux résistances
du bas sont constituées de deux thermistances identiques mais placées à des températures
différentes. Ainsi on suppose que Rc1 = R1 (1 + βT1 ) et Rc 2 = R1 (1 + β T2 ) . Pour mesurer la
différence des deux températures, on ajuste le potentiomètre afin que la tension Vmes soit
nulle.
TD Chaines de Mesures…
(ALT4 2017)
R
17/17
R
2L, 2R0
Vmes
V
Rc2
Rc1
x
x
Rd
Rg
Figure 2
Figure 3
2. Quelle est la condition générale reliant Rc1, Rc2, Rg et Rd pour que Vmes soit nulle ?
3. Déduire de la relation précédente la valeur de T2-T1 en fonction de x, β, R1, R0 et L
4. Quelle est la sensibilité en millimètres par degré pour L=40mm, β = 2 ⋅ 10 − 4 , R0=2Ω et
R1=100Ω ?
C-Conditionnement par montage amplificateur
On considère le circuit représenté figure 4 :
Z4
Z3
Vg
R
+
Vs
R
Figure 4
1. On suppose que que l’impédance Z4 est celle d’un capteur inductif d’inductance de la
(
)
forme L( x ) = L0 1 + kx , où x est la grandeur à mesurer. Que choisir comme composant pour
réaliser Z3 de sorte que la tension de sortie soit nulle pour x=0 ?
2. Montrer que dans ce cas, la tension de sortie est une fonction linéaire de x.