Infinitude des nombres premiers

M´ emoire de Master 1
mention Math´ ematiques et Mod´ elisation
Infinitude des nombres premiers
Alexandre Temperville
28 mai 2009

Table des mati`eres
1 Les nombres premiers 3
1.1 Rappels .............................. 3
1.2 Distribution des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Lescongruences.......................... 8
1.4 Infinitude de quelques progressions arithmétiques . . . . . . . 10
2 Une estimation à la Tchebychev 14
2.1 Minoration de π.......................... 14
2.2 Majoration de π.......................... 18
2.3 Conclusion............................. 20
3 Le théorème de Dirichlet 22
3.1 Caractères d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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Introduction
Dans ce mémoire, nous nous intéresserons principalement aux nombres
premiers dans différents sous-ensembles d’entiers après avoir énoncé quelques
propriétés les concernant. Nous étudierons notamment leur répartition dans
les classes de congruence, l’infinitude de l’ensemble des nombres premiers
(avec différentes preuves variées et originales), les estimations de Tchebychev
(ces dernières ne seront pas développées dans ce mémoire, mais approchées
par celles de Erd´os) et le théorème de Dirichlet (généralisant l’infinitude de
différents ensembles arithmétiques de nombres premiers). Nous supposerons
dans ce mémoire acquises les notions de théorie des groupes, de topologie,
d’analyse réelle et complexe, d’algèbre commutative, abordées en licence, bien
que nous rappelerons certaines d’entre elles, pour introduire des notations et
faire apparaître des éléments utiles pour notre mémoire.
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Chapitre 1
Les nombres premiers
1.1 Rappels
Définition 1.1. Un nombre premier est un entier naturel qui a exac-
tement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. On note Pl’ensemble des
nombres premiers.
On remarque que 1 n’est pas un nombre premier. Par ailleurs, 2 est le
seul entier à la fois pair et premier.
Proposition 1.1. Soit a∈N\ P. Soient b, c ∈Ntels que a=b×c. Alors,
soit b≤√asoit c≤√a.
D´emonstration. Supposons par l’absurde que b, c > √aalors b×c > a d’où
a>ace qui est absurde donc soit b≤√asoit c≤√a.
Cette proposition justifie un premier test de primalité :
Test de primalité. Tenter toutes les divisions de apar les nombres suc-
cessifs appartenant à [1 ; Ent(√a)]. Si une division donne un nombre entier,
alors on conclut que an’est pas premier. Si aucune division ne donne un
nombre entier, alors aest premier.
Théorème 1.1 (Théorème de Wilson).Soit n∈N∗. Alors l’entier npeut
s’écrire comme un produit de nombres premiers de manière unique (à part
l’ordre dans lequel on dispose les facteurs premiers). Autrement dit, il existe
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