ENSEMBLES DE NOMBRES

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Comme le biologiste qui classe les animaux en plusieurs espèces, le mathématicien classe les
nombres dans différents ensembles. Mais attention, les nombres peuvent s'écrire sous
différentes formes et il faut parfois simplifier leur écriture pour déterminer leur nature...
ENSEMBLES
DE
NOMBRES
ENTIERS NATURELS
On appelle entiers naturels les nombres entiers positifs. On dit que ces entiers sont naturels car ce sont
ceux que l'on utilise naturellement dans la vie de tous les jours.
Ils forment un ensemble noté ℕ (comme naturel) : ℕ = {0; 1; 2; 3; ...}.
Par exemple, le nombre 37 appartient à l'ensemble ℕ : on note cela : 37 ∈ ℕ.
Par contre, le nombre 74,3 n’appartient pas à l'ensemble ℕ : on note cela : 74,3 ∉ ℕ.
Remarques : a) Si on additionne deux entiers naturels, on obtient toujours un entier naturel (si a ∈ ℕ et
b ∈ ℕ alors a + b ∈ ℕ : par exemple, 2 + 3 = 5 et 5 ∈ ℕ) : on dit que ℕ est stable pour l'addition.
ℕ est également stable pour la multiplication (si a ∈ ℕ et b ∈ ℕ alors a × b ∈ ℕ).
b) Si on soustrait deux entiers naturels, on n'obtient pas toujours un entier naturel (par
exemple 2 – 5 = -3 et -3 ∉ ℕ); si on divise deux entiers naturels, on n'obtient pas toujours un entier naturel
(par exemple, 3 ÷ 2 = 1,5 et 1,5 ∉ ℕ) : ℕ n'est stable ni pour la soustraction ni pour la division.
c) On note ℕ* l'ensemble ℕ privé de 0 : ℕ* = {1; 2; 3; ...}.
ENTIERS RELATIFS
Afin de pallier aux problèmes de stabilité de l'ensemble ℕ, on a construit l'ensemble des entiers relatifs.
On appelle entiers relatifs les nombres entiers positifs ou négatifs. Ils forment un ensemble noté ℤ
(comme l'allemand zahl, nombre) : ℤ = {...;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...}.
Remarques : a) ℤ est stable pour l'addition, la soustraction et la multiplication.
b) Si on divise deux entiers relatifs, on n'obtient pas toujours un entier relatif (par
exemple, -3 ÷ 2 = -1,5 et -1,5 ∉ ℤ) : ℤ n'est pas stable pour la division.
c) L'ensemble ℕ fait partie de l'ensemble ℤ puisque tous les entiers naturels sont des entiers
relatifs : on dit que ℕ est inclus dans ℤ et on note ℕ ⊂ ℤ.
d) On note ℤ* l'ensemble ℤ privé de 0 : ℤ* = {...; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; ...}.
DÉCIMAUX
Afin de pallier aux problèmes de stabilité de l'ensemble ℤ, on a construit l'ensemble des décimaux.
On appelle décimaux les nombres ayant une écriture décimale finie (c'est à dire que, excepté les zéros
inutiles, il y a un nombre fini de chiffres après la virgule). Ces nombres peuvent donc s'écrire sous la
forme du quotient d'un entier relatif par une puissance de 10.
Exemple : 2,345 est un décimal puisque il y a trois chiffres après la virgule. On peut l'écrire sous la forme
2345 2345
a
2,345=
=
.
n avec a = 2345 et n = 3 puisque
1000 103
10
Contre-exemple : par contre, le nombre 0,3333... (avec une infinité de 3 après la virgule) n'est pas un
décimal puisqu'il y a une infinité de chiffres non nuls après la virgule.
a
; a ∈ ℤ , n ∈ ℕ}.
10 n
Remarques : a) ID est stable pour l'addition, la soustraction et la multiplication.
b) Si on divise deux décimaux, on n'obtient pas toujours un décimal (par exemple,
1,3 ÷ 3,9 = 0,3333... et 0,3333... ∉ ID) : ID n'est pas stable pour la division.
c) L'ensemble ℤ est inclus dans l'ensemble ID puisque tous les entiers et relatifs peuvent
a
−7 −7
=
s'écrire sous la forme
) : ℤ ⊂ ID. De même, vu que les
0 avec a ∈ ℤ (par exemple -7 =
1 100
10
entiers naturels sont des entiers relatifs, on a donc : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID.
Les nombres décimaux forment un ensemble noté ID (comme décimal): ID = {
Lycée Victor Hugo
M. CHAPON
RATIONNELS (du latin ratio, compte)
Afin de pallier aux problèmes de stabilité de l'ensemble ID, on a construit l'ensemble des rationnels.
On appelle rationnels les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction (par exemple
−7
).
9
a
; a ∈ ℤ , b ∈ ℤ∗}.
b
Remarques : a) b ∈ ℤ∗ puisqu'on ne peut pas diviser par 0.
b) ℚ est stable pour les quatre opérations.
Ils forment un ensemble noté ℚ (comme quotient) : ℚ = {
Tout nombre rationnel se caractérise par une écriture décimale périodique (c'est à dire comportant une
période). Pour montrer que l'écriture décimale est périodique, on souligne la période avec un trait.
Exemple : si on effectue la division décimale 23 ÷ 7, il y a au plus 7 restes possibles (0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6)
puisque le reste est toujours inférieur au diviseur : la période comporte donc au plus 7 chiffres. Le
23
quotient de la division est 3,28571428571428.... On note cela :
= 3,285714.
7
période
Réciproquement, tout nombre ayant une écriture décimale périodique est
rationnel et peut donc s'écrire sous forme de fraction.
Exemple : appelons x le nombre 2,531 : x a une écriture décimale périodique. On a 10x = 25,31 et
1000x = 2531,31 donc 1000x – 10x = 2531,31 – 25,31 c'est à dire 990x = 2506. On conclut donc que
2506 1253
=
x=
: x est donc rationnel.
990
495
Remarque : l'ensemble ID (et donc aussi les ensembles ℕ et ℤ) fait partie de l'ensemble ℚ puisque tous les
décimaux ont une écriture décimale ayant pour période 0. Ainsi : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID ⊂ ℚ.
RÉELS
L'ensemble ℚ est stable pour les quatre
opérations, mais il reste des nombres que l'on
ne peut pas écrire sous la forme d'une fraction
et qui ne sont donc pas rationnels. C'est le cas
de  2 qui est la longueur de l'hypoténuse d'un
triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle
droit mesurent 1; c'est le cas aussi de  qui est
le périmètre d'un cercle de diamètre 1 : on
appelle ces nombres des irrationnels. On a
donc du construire un ensemble encore plus
grand, qui contient ℚ ainsi que tous les
irrationnels : cet ensemble se nomme Un réel positif est un "nombre mesurable" en ce sens
l'ensemble des réels et se note ℝ (comme que l'on peut construire une ligne géométrique finie
réel). On a ainsi : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
(c'est-à-dire un cercle, un segment ...) dont la longueur
est ce nombre réel. Réciproquement, la longueur de
n'importe quelle ligne géométrique finie est un nombre
réel positif. On peut donc représenter cet ensemble ℝ
par une droite graduée (c'est à dire munie d'un repère).
Une telle droite est appelée droite numérique : tout
point de la droite numérique a pour abscisse un
nombre réel; réciproquement, tout nombre réel est
l'abscisse d'un point de cette droite. Cela qui donne par
exemple :
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M. CHAPON
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